Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Sous-groupes caractéristiques

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Sous-groupes caractéristiques
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Chapitre no 11
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Théorèmes de Sylow
Chap. suiv. :Groupes symétriques finis

Exercices :

Sous-groupes caractéristiques
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Théorie des groupes/Sous-groupes caractéristiques
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On a vu qu'un sous-groupe H d'un groupe G est distingué (dans G) si et seulement s'il est invariant par tout automorphisme intérieur de G, c'est-à-dire si, pour tout automorphisme intérieur de G, (H) = H. Nous allons maintenant considérer des sous-groupes de G possédant une propriété plus forte.


D'après la remarque initiale, tout sous-groupe caractéristique d'un groupe G est sous-groupe distingué de G.

Pour qu'un sous-groupe H d'un groupe G soit caractéristique dans G, il suffit qu’il soit stable pour tout automorphisme de G, c'est-à-dire qu'on ait pour tout automorphisme de G. En effet, si cette relation est vraie pour tout automorphisme de G, alors, pour tout automorphisme de G, cette relation est vraie à la fois pour et pour . On a donc à la fois et ; or cette dernière relation donne , d'où finalement (H) = H.


Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


De façon informelle, on peut dire que si un sous-groupe K d'un groupe G peut se « caractériser » comme étant le sous-groupe de G possédant une certaine propriété qui ne dépend que de la structure de groupe de G (et non de la nature de ses éléments), K est caractéristique dans G. (C'est évident si on considère qu'une propriété qui ne dépend que de la structure de groupe de G est par définition une propriété qui subsiste par application de tout automorphisme de G.) On devine ainsi, par exemple, que si G est un groupe fini et p un nombre premier, le sous-groupe de G engendré par les p-sous-groupes de Sylow de G est un sous-groupe caractéristique de G, ce qui est facile à démontrer.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Remarque. Nous venons de prouver que le centre de G est stable pour tout endomorphisme surjectif de G. En revanche, le centre de G n’est pas forcément stable pour tout endomorphisme de G (voir exercice). Cela montre qu'un sous-groupe caractéristique d'un groupe G n’est pas forcément stable pour tout endomorphisme de G.


Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. N. Bourbaki, Algèbre, Paris, 1970, ch. I, § 5, no 3, p. 53.

Voir aussi[modifier | modifier le wikicode]

Exercices sur les sous-groupes caractéristiques