Théorie des groupes/Sous-groupes caractéristiques

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Définition et propriétés de base

On a vu qu'un sous-groupe H d'un groupe G est distingué (dans G) si et seulement s'il est invariant par tout automorphisme intérieur de G, c'est-à-dire si, pour tout automorphisme intérieur $\sigma$ de G, $\sigma$(H) = H. Nous allons maintenant considérer des sous-groupes de G possédant une propriété plus forte.

Définition

On dit qu'un sous-groupe H d'un groupe G est un sous-groupe caractéristique de G si H est invariant par tout automorphisme de G, c'est-à-dire si pour tout automorphisme $\sigma$ de G, $\sigma$(H) = H.

D'après la remarque initiale, tout sous-groupe caractéristique d'un groupe G est sous-groupe distingué de G.

Pour qu'un sous-groupe H d'un groupe G soit caractéristique dans G, il suffit qu’il soit stable pour tout automorphisme de G, c'est-à-dire qu'on ait $\sigma (H)\subseteq H$ pour tout automorphisme $\sigma$ de G. En effet, si cette relation est vraie pour tout automorphisme de G, alors, pour tout automorphisme $\sigma$ de G, cette relation est vraie à la fois pour $\sigma$ et pour $\sigma ^{-1}$. On a donc à la fois $\sigma (H)\subseteq H$ et $\sigma ^{-1}(H)\subseteq H$; or cette dernière relation donne $H\subseteq \sigma (H)$, d'où finalement $\sigma$(H) = H.

Début d’un théorème

Proposition

Soient G₁ et G₂ deux groupes isomorphes, $\varphi$ un isomorphisme de G₁ sur G₂. Un sous-groupe H de G₁ est sous-groupe caractéristique de G₁ si et seulement si $\varphi$(H) est sous-groupe caractéristique de G₂.

Fin du théorème

Début d'une démonstration

Démonstration

Supposons H caractéristique dans G₁ et prouvons que $\varphi$(H) est caractéristique dans G₂. Soit $\sigma$ un automorphisme de G₂. Il s'agit de prouver que $\sigma (\varphi (H))=\varphi (H)$. Cela s'écrit encore $\varphi ^{-1}\sigma \varphi (H)=H$, ce qui est bien vrai puisque $\varphi ^{-1}\sigma \varphi$ est un automorphisme de G₁ et que H est supposé caractéristique dans G₁. Nous avons donc bien prouvé que si H est caractéristique dans G₁, alors $\varphi$(H) est caractéristique dans G₂. Pour démontrer l'implication réciproque, on peut par exemple appliquer ce qui précède à l'isomorphisme $\varphi ^{-1}$.

Fin de la démonstration

Début de l'exemple

Exemples de sous-groupes caractéristiques

Soit G un groupe.

• Les sous-groupes 1 et G sont évidemment des sous-groupes caractéristiques de G.
• Si un sous-groupe de G est seul de son ordre parmi les sous-groupes de G, c’est un sous-groupe caractéristique de G. (Noter que les automorphismes de G conservent l’ordre d'un sous-groupe.)
• Si un sous-groupe de G est seul de son indice (dans G) parmi les sous-groupes de G, c’est un sous-groupe caractéristique de G. (Noter que les automorphismes de G conservent l'indice d'un sous-groupe.)
• Si G est monogène, tout sous-groupe de G est sous-groupe caractéristique de G. (Si G est fini, on a vu que tout sous-groupe de G est seul de son ordre parmi les sous-groupes de G. Si G est infini, le théorème ci-dessus permet de se ramener au cas où G = Z. On a vu que tout sous-groupe de Z est de la forme $n$Z, où n est un nombre naturel. Si n > 0, $n$Z est d'indice n dans Z et si n = 0, $n$Z est d'indice infini dans Z. Il en résulte que chaque sous-groupe de Z est seul de son indice parmi les sous-groupes de Z. On pourrait aussi noter que les seuls automorphismes de Z sont l'identité et le passage à l'opposé.)
• Si H est un sous-groupe de G stable pour tout endomorphisme de G, c'est-à-dire tel que $f(H)\subseteq H$ pour tout endomorphisme f de G (un tel sous-groupe est parfois appelé pleinement invariant), H est a fortiori stable pour tout automorphisme de G, donc est un sous-groupe caractéristique de G.
• Soit n un nombre naturel. Le sous-groupe de G engendré par les n-ièmes puissances d'éléments de G (c'est-à-dire par les éléments de la forme xⁿ, où x parcourt G) est caractéristique dans G. (En effet, il est clair que ce sous-groupe est stable par tout endomorphisme de G.) Cela fournit une nouvelle preuve de ce que $n$Z est sous-groupe caractéristique de Z.
• Soit n un nombre naturel. Le sous-groupe de G engendré par les racines n-ièmes de 1 (c'est-à-dire par les éléments x de G tels que xⁿ = 1) est caractéristique dans G. (En effet, il est clair que ce sous-groupe est stable par tout endomorphisme de G.) Cela fournit une nouvelle preuve de ce que tout sous-groupe d'un groupe fini cyclique est caractéristique.
• Soit H un groupe; désignons par G le produit direct $H\times H$ de H par lui-même. Comme on l'a vu dans le chapitre Produit direct et somme restreinte, les « facteurs » $H\times \{1\}$ et $\{1\}\times H$ sont des sous-groupes distingués de G. D'autre part, ils sont images l'un de l'autre par l'automorphisme $(x,y)\mapsto (y,x)$ de G et, si H n’est pas trivial, ils sont distincts. Cela montre qu'un sous-groupe distingué n’est pas forcément caractéristique.

Fin de l'exemple

De façon informelle, on peut dire que si un sous-groupe K d'un groupe G peut se « caractériser » comme étant le sous-groupe de G possédant une certaine propriété qui ne dépend que de la structure de groupe de G (et non de la nature de ses éléments), K est caractéristique dans G. (C'est évident si on considère qu'une propriété qui ne dépend que de la structure de groupe de G est par définition une propriété qui subsiste par application de tout automorphisme de G.)

Début d’un théorème

Proposition

Le centre d'un groupe G est un sous-groupe caractéristique de G.

Fin du théorème

Début d'une démonstration

Démonstration

Prouvons que si $\alpha$ est un endomorphisme surjectif de G, alors $\alpha (Z(G))\subseteq Z(G)$. Soit c un élément de Z(G); il s'agit de prouver que $\alpha (c)\in Z(G)$. Puisque c appartient au centre de G, nous avons cx = xc pour tout élément x de G, d'où $\alpha (c)\alpha (x)=\alpha (x)\alpha (c)$ pour tout élément x de G. Puisque $\alpha$ est supposé surjectif, tout élément de G est de la forme $\alpha (x)$ pour un certain élément x de G, donc la relation obtenue montre que $\alpha (c)$ appartient au centre de G, comme annoncé. Nous avons donc bien prouvé que si $\alpha$ est un endomorphisme surjectif de G, alors $\alpha (Z(G))\subseteq Z(G)$. C'est vrai a fortiori si $\alpha$ est un automorphisme de G, donc Z(G) est caractéristique dans G.

Fin de la démonstration

Remarque. Nous venons de prouver que le centre de G est stable pour tout endomorphisme surjectif de G. En revanche, le centre de G n’est pas forcément stable pour tout endomorphisme de G (voir exercice). Cela montre qu'un sous-groupe caractéristique d'un groupe G n’est pas forcément stable pour tout endomorphisme de G.

Début d’un théorème

Proposition

Soient G un groupe et H un sous-groupe caractéristique de G. Tout sous-groupe caractéristique de H est caractéristique dans G.

Fin du théorème

Début d'une démonstration

Démonstration

Soient K un sous-groupe caractéristique de H et $\sigma$ un automorphisme de G. Il s'agit de prouver que $\sigma$(K) = K. Puisque H est caractéristique dans G, $\sigma$ induit un automorphisme $\sigma _{H}:x\mapsto \sigma (x)$ de H. Puisque K est caractéristique dans H, nous avons $\sigma _{H}(K)=K$, autrement dit $\sigma (K)=K$, comme annoncé.

Fin de la démonstration

Début d’un théorème

Proposition

Soient G un groupe et H un sous-groupe distingué de G. Tout sous-groupe caractéristique de H est distingué dans G.

Fin du théorème

Début d'une démonstration

Démonstration

Soient K un sous-groupe caractéristique de H et g un élément de G. Il s'agit de prouver que gKg^-1 = K. Puisque H est distingué dans G, l'automorphisme intérieur $x\mapsto gxg^{-1}$ de G induit un automorphisme (non forcément intérieur) $x\mapsto gxg^{-1}$ de H. Puisque K est caractéristique dans H, K est invariant par cet automorphisme de H, autrement dit gKg^-1 = K, comme annoncé.

Fin de la démonstration

Groupe des automorphismes d'une somme restreinte de sous-groupes caractéristiques

Début d’un théorème

Proposition

Soit G un groupe, somme restreinte interne d'une famille (finie ou infinie) $(H_{i})_{i\in I}$ de sous-groupe caractéristiques de G. Alors le groupe $Aut(G)$ est isomorphe au produit direct (externe) de la famille $(Aut(H_{i}))_{i\in I}$.

Fin du théorème

'Démonstration'

Du fait que les $H_{i}$ sont caractéristiques dans G, il résulte que pour tout élément i de I et pour tout élément $\sigma$ de $Aut(G)$, il existe un et un seul automorphisme de $H_{i}$ qui coïncide avec $\sigma$ en tout point de $H_{i}$. Nous désignerons cet automorphisme de $H_{i}$ par $\sigma \vert H_{i}$.
Soit $f$ l'application de $Aut(G)$ dans $\prod _{i\in I}Aut(H_{i})$ qui à l'élément $\sigma$ de $Aut(G)$ fait correspondre l'élément

$(\sigma \vert H_{i})_{i\in I}$ de $\prod _{i\in I}Aut(H_{i})$.

(Cette application est correctement définie parce que les $H_{i}$ sont caractéristiques dans G.)
Nous allons prouver que $f$ est un isomorphisme de $Aut(G)$ sur $\prod _{i\in I}Aut(H_{i})$, ce qui démontrera l'énoncé.
Soient $\rho$ et $\varphi$ des éléments de $Aut(G)$. Alors

$f(\rho \circ \varphi )=(\rho \circ \varphi \vert H_{i})_{i\in I}$

(1) $f(\rho \circ \varphi )=((\rho \vert H_{i})\circ (\varphi \vert H_{i}))_{i\in I}$.

Par définition de la loi de groupe du produit direct $\prod _{i\in I}Aut(H_{i})$, loi de groupe que nous noterons ici $\star$, la relation (1) peut s'écrire

$f(\rho \circ \varphi )=(\rho \vert H_{i})_{i\in I}\star (\varphi \vert H_{i})_{i\in I}$

$f(\rho \circ \varphi )=f(\rho )\star f(\varphi )$,

donc $f$ est un homomorphisme de $Aut(G)$ dans $\prod _{i\in I}Aut(H_{i})$.
Il reste à prouver que $f$ est bijectif.
Prouvons que

(thèse 2) l'homomorphisme $f$ est injectif.

Soit $\sigma$ un élément de $Aut(G)$ tel que

(hyp. 3) $f(\sigma )$ soit l'élément neutre du groupe $\prod _{i\in I}Aut(H_{i})$.

Il s'agit de prouver que

(thèse 4) $\sigma$ est l'automorphisme identique de G.

L'hypothèse (3) revient à dire que

pour tout $i\in I$, $\sigma \vert H_{i}$ est l'élément neutre du groupe $Aut(H_{i})$,

c'est-à-dire que $\sigma$ fixe chaque élément de chaque $H_{i}$. Puisque les $H_{i}$ engendrent G, il en résulte que $\sigma$ est l'automorphisme identique de G, ce qui est notre thèse (4). Comme nous l'avons vu, la thèse (2) en résulte, c'est-à-dire que $f$ est injectif.
Il reste à prouver que $f$ est surjectif.
Soit $(\lambda _{i})_{i\in I}$ un élément de $\prod _{i\in I}Aut(H_{i})$, c'est-à-dire que, pour chaque élément $i$ de I, $\lambda _{i}$ est un automorphisme de $H_{i}.$; il s'agit de prouver qu'il existe un élément $\sigma$ de Aut(G) tel que

$(\sigma \vert H_{i})_{i\in I}=(\lambda _{i})_{i\in I}$.

Autrement dit, il s'agit de prouver qu'

(thèse 5) il existe un automorphisme $\sigma$ de G tel que, pour tout élément $i$ de I, on ait $\sigma \vert H_{i}=\lambda _{i}$.

Du fait que G est somme restreinte interne des $H_{i}$, il résulte que si $i$ et $j$ sont deux différents éléments de I, alors $H_{i}$ et $H_{j}$ se centralisent l'un l'autre (c'est-à-dire que chaque élément de $H_{i}$ commute avec chaque élément de $H_{j}$). Dès lors, d'après le chapitre Produit direct et somme restreinte, théorème 11 (propriété universelle de la somme restreinte interne), il existe un et un seul homomorphisme $\sigma$ de G dans lui-même tel que, pour tout élément $i$ de I, $\sigma$ coïncide sur $H_{i}$ avec l'homomorphisme $h\mapsto \lambda _{i}(h)$ de $H_{i}$ dans G.
De même, il existe un et un seul homomorphisme $\tau$ de G dans lui-même tel que, pour tout élément $i$ de I, $\tau$ coïncide sur $H_{i}$ avec l'homomorphisme $h\mapsto \lambda _{i}^{-1}(h)$ de $H_{i}$ dans G.
Alors les endomorphismes $\sigma$ et $\tau$ sont réciproques l'un de l'autre, donc $\sigma$ est un automorphisme de G, ce qui achève de prouver la thèse (5).

 

Voir aussi

Exercices sur les sous-groupes caractéristiques