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Statique des fluides (PCSI)/Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Équivalent volumique des forces de pression, équation locale de la statique des fluides

Leçons de niveau 14
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Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Équivalent volumique des forces de pression, équation locale de la statique des fluides
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Chapitre no 6
Leçon : Statique des fluides (PCSI)
Chap. préc. :Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Poussée d'Archimède
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L'espace physique étant sauf avis contraire « orienté à droite »[1].

Équivalent volumique des forces de pression dans un fluide[modifier | modifier le wikicode]

But recherché[modifier | modifier le wikicode]

     Les forces de pression s'exerçant sur une particule de fluide[2] étant réparties sur la surface limitant cette dernière, on se propose de déterminer la résultante de ces forces de pression,
         Les forces de pression s'exerçant sur une particule de fluide étant réparties sur la surface limitant cette dernière, on se propose d’établir que cette résultante est au volume de la particule de fluide[2] et
         Les forces de pression s'exerçant sur une particule de fluide étant réparties sur la surface limitant cette dernière, on se propose d’en déduire la « force volumique équivalente » c'est-à-dire le rapport de la résultante des forces de pression s'exerçant sur cette particule de fluide[2] divisée par le volume de cette dernière ;

     on va établir l'expression de cet équivalent en travaillant en coordonnées cartésiennes,
     on va induire une expression intrinsèque de cet équivalent et
     on va vérifier la validité de cette dernière quand on la traduit dans les autres systèmes de coordonnées principalement cylindro-polaire et sphérique.

Établissement de l'équivalent volumique des forces de pression exercées sur une particule de fluide parallélépipédique en repérage cartésien[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de description d'une particule de fluide[2] de forme parallélépipédique en repérage cartésien centrée en un point quelconque

     Considérant le repérage cartésien d'une particule de fluide[2] de forme parallélépipédique centrée en un point quelconque, les faces étant respectivement aux plans , ou , celles en regard étant séparées de , ou voir schéma ci-contre, nous nous proposons de déterminer la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur cette particule de fluide[2]  :

     soient les deux faces en regard « d'abscisse , de vecteur surface élémentaire »[3] et
     soient les deux faces en regard « d'abscisse , de vecteur surface élémentaire »[3],
     soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces et s'écrit « » soit encore « » ;
     soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire de la pression considérée comme fonction d'une seule variable si et sont figées au voisinage de la valeur particulière »[4] pour évaluer et nous obtenons , puis, par différence et après simplification évidente, « » soit finalement, «» ;

     soient les deux faces en regard « d'ordonnée , de vecteur surface élémentaire »[3] et
     soient les deux faces en regard « d'ordonnée , de vecteur surface élémentaire »[3],
     soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces et s'écrit « » ;
     soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire de la pression considérée comme fonction d'une seule variable si et sont figées au voisinage de la valeur particulière »[4] pour évaluer et nous obtenons , puis, par différence et après simplification évidente, « » soit finalement, «» ;

     soient les deux faces en regard « de cote , de vecteur surface élémentaire »[3] et
     soient les deux faces en regard « de cote , de vecteur surface élémentaire »[3],
     soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces et s'écrit « » ;
     soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire de la pression considérée comme fonction d'une seule variable si et sont figées au voisinage de la valeur particulière »[4] pour évaluer et nous obtenons , puis, par différence et après simplification évidente, « » soit finalement, «» ;

     en ajoutant les trois contributions précédentes «», «» et «» nous obtenons la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur la particule de fluide[2] c'est-à-dire «» soit, après report des expressions approchées de «», «» et «» et factorisation évidente,

«» ;

     finalement, reconnaissant les composantes cartésiennes du « champ vectoriel gradient de la fonction scalaire “ pression ” »[5] dans le 2ème membre de la relation ci-dessus, la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur la particule de fluide[2] se réécrit selon l'équivalent volumique suivant

«»[6].

Vérification de l'équivalent volumique des forces de pression exercées sur une particule de fluide par calcul direct en repérage cylindro-polaire[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de description d'une particule de fluide[2] constituée d'une portion élémentaire de tuyau cylindrique en repérage cylindro-polaire centrée en un point quelconque

     Considérant le repérage cylindro-polaire d'axe d'une particule de fluide[2] constituée d'une portion élémentaire de tuyau cylindrique centrée en un point quelconque, les faces étant des portions de cylindres ou de plans méridiens ou de plans , celles en regard étant respectivement séparés de ou de l'écart angulaire ou de la distance voir schéma ci-contre, nous nous proposons de déterminer la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur cette particule de fluide[2]  :

     soient les deux faces en regard « de rayon , de vecteur surface »[3] et
     soient les deux faces en regard « de rayon , de vecteur surface »[3],
     soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces et s'écrit « » soit encore « ou, après factorisation de la partie commune «» ;
     soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire du produit « rayon - pression » considérée comme fonction d'une variable si et sont figées au voisinage de la valeur particulière »[4] pour évaluer et , puis, par différence et après simplification évidente, « » soit finalement la réécriture de la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces et selon «»[7] ;

     soient les deux faces en regard « d'abscisse angulaire , de vecteur surface élémentaire »[3] et
     soient les deux faces en regard « d'abscisse angulaire , de vecteur surface élémentaire »[3],
     soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces et s'écrit « » ou, après factorisation de la partie commune «» ;
     soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire du produit « pression - vecteur unitaire orthoradial » considérée comme fonction vectorielle d'une seule variable si et sont figées au voisinage de la valeur particulière »[8] pour évaluer les expressions vectorielles et nous obtenons alors , puis, par différence, « » soit finalement, «»[7] ;

     soient les deux faces en regard « de cote , de vecteur surface élémentaire »[3] et
     soient les deux faces en regard « de cote , de vecteur surface élémentaire »[3],
     soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces et s'écrit « » ou, après factorisation de la partie commune « » ;
     soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire de la pression considérée comme fonction d'une seule variable si et sont figées au voisinage de la valeur particulière »[4] pour évaluer et nous obtenons , puis, par différence et après simplification évidente, « » soit finalement, «»[7] ;

     en ajoutant les trois contributions précédentes «», «» et «» nous obtenons la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur la particule de fluide[2] c'est-à-dire «» soit, après report des expressions approchées de «», «» et «» et factorisation évidente, «» soit encore, avec [9] soit, après simplification évidente,

«» ;

     finalement, reconnaissant les composantes cylindro-polaires du « champ vectoriel gradient de la fonction scalaire “ pression ” »[10] dans le 2ème membre de la relation ci-dessus, la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur la particule de fluide[2] se réécrit selon l'équivalent volumique suivant

«»[6].

Vérification de l'équivalent volumique des forces de pression exercées sur une particule de fluide par calcul direct en repérage sphérique[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de description d'une particule de fluide[2] constituée d'une portion élémentaire de couche sphérique en repérage sphérique, la portion élémentaire étant centrée en un point quelconque

     Considérant le repérage sphérique de pôle et d'axe d'une particule de fluide[2] constituée d'une portion élémentaire de couche sphérique, portion élémentaire centrée en un point quelconque, les faces étant des portions de sphères ou de plans méridiens ou de surfaces coniques d'axe , celles en regard étant respectivement séparés de ou de l'écart angulaire ou de l'écart angulaire voir schéma ci-contre, nous nous proposons de déterminer la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur cette particule de fluide[2]  :

     soient les deux faces en regard « de rayon , de vecteur surface »[3],[11] et
     soient les deux faces en regard « de rayon , de vecteur surface »[3],[11],
     soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces et s'écrit « » soit encore « ou, après factorisation de la partie commune «» ;
     soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire du produit « rayon au carré - pression » considérée comme fonction d'une variable si et sont figées au voisinage de la valeur particulière »[4] pour évaluer et nous obtenons , puis, en faisant la différence, « » «»[12] ;

     soient les deux faces en regard « de colatitude , de vecteur surface élémentaire »[3],[13] et
     soient les deux faces en regard « de colatitude , de vecteur surface élémentaire »[3],[13],
     soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces et s'écrit « » ou, après factorisation de la partie commune «» ;
     soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire du produit « pression - sinus de colatitude - vecteur unitaire colatitudal » considérée comme fonction vectorielle d'une seule variable si et sont figées au voisinage de la valeur particulière »[8] pour évaluer et , puis, par différence et après simplification évidente, « » dont nous déduisons finalement « »[12] ;

     soient les deux faces en regard « de longitude , de vecteur surface élémentaire »[3] et
     soient les deux faces en regard « de longitude , de vecteur surface élémentaire »[3],
     soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces et s'écrit « » ou, après factorisation de la partie commune « » ;
     soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire du produit « pression - vecteur unitaire longitudal considérée comme fonction d'une seule variable si et sont figées au voisinage de la valeur particulière »[4] pour évaluer les expressions vectorielles des produits et nous obtenons alors , puis, par différence, « » soit finalement, «»[12] ;

     en ajoutant les trois contributions précédentes «», «» et «» nous obtenons la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur la particule de fluide[2] c'est-à-dire «» soit, après report des expressions approchées de «», «» et «» et factorisation, «» soit, avec [14],[15] soit encore, après simplification évidente,

«» ;

     finalement, reconnaissant les composantes sphériques du « champ vectoriel gradient de la fonction scalaire “ pression ” »[16] dans le 2ème membre de la relation ci-dessus, la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur la particule de fluide[2] se réécrit selon l'équivalent volumique suivant

«»[6].

En complément, possibilité de calculer la résultante des forces de pression exercées sur une partie du fluide à l’intérieur d'une surface fermée (fictive) par le fluide situé à l’extérieur à partir de l'« équivalent volumique des forces de pression du fluide »[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque préliminaire : La résultante des forces de pression exercées par le fluide à l'extérieur d'une surface fermée fictive sur la partie du fluide situé à l’intérieur est aussi
     Remarque préliminaire : la résultante des forces pressantes exercées sur un corps , de surface extérieure , totalement immergé dans le fluide , dans la mesure où peut être remplacé par son « fluide déplacé »[17] c'est-à-dire remplacé par du fluide fictif sans modification de la répartition du champ de pression dans à l'extérieur de .

     Développement : il est usuel d'effectuer le calcul de la résultante des forces de pression exercées par le fluide à l'extérieur d'une surface fermée fictive sur la partie du fluide situé à l’intérieur en ajoutant toutes les forces surfaciques que le fluide extérieur exerce sur cette surface fermée selon

«»[18] ;

     Développement : considérons le fluide intérieur à c'est-à-dire