Leçons de niveau 15

Sommation/Séries de Fourier et fonction zêta

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Séries de Fourier et fonction zêta
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Chapitre no 6
Leçon : Sommation
Chap. préc. :Sommations de séries entières
Chap. suiv. :Sommaire

Exercices :

Séries de Fourier et fonction zêta
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Sommation/Séries de Fourier et fonction zêta
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Le but de ce chapitre est de présenter certaines techniques de sommation qui vont nous permettre de calculer des sommes que nous n'aurions pas pu calculer avec les techniques des chapitres précédents. Pour cela, nous allons utiliser deux résultats importants issus des séries de Fourier. Il n'est bien sûr, pas question d'exposer en détail la théorie sur les séries de Fourier. Les lecteurs intéressés peuvent, avec profit, commencer par étudier la leçon : Série de Fourier. Nous étudierons aussi, dans ce chapitre, la fonction zêta de Riemann dont certaines de ses valeurs peuvent être calculées grâce aux séries de Fourier. Ce chapitre permet de compléter logiquement la leçon sur les sommations, mais l'étudiant pourra ne pas l'étudier si les séries de Fourier ne figurent pas dans son programme.

Les deux théorèmes fondamentaux[modifier | modifier le wikicode]

Soit f une fonction intégrable et 2π-périodique de l’ensemble des nombres réels dans l’ensemble des nombres réels (éventuellement complexes).

Pour tout entier naturel , on appellera coefficients de Fourier trigonométriques, les deux nombres :

nous admettrons alors les deux théorèmes suivants :

Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d’un théorème


Fin du théorème


Nous remarquons, dans ces deux théorèmes, des sommations. Par un choix convenable de la fonction f et de la valeur de x, nous allons pouvoir calculer des sommes particulières. Nous verrons cela en exercices.

Étude de la fonction zêta[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Nous allons voir un exemple de fonction définie par une somme :




La fonction zêta est bien définie sur l'intervalle car c’est une série de Riemann.

Dérivées successives de la fonction zêta[modifier | modifier le wikicode]


Sens de variation[modifier | modifier le wikicode]

La fonction zêta est décroissante, puisque sa dérivée est négative.

Limite au bornes de domaine de définition[modifier | modifier le wikicode]

Nous utiliserons le lemme suivant :

Début d'un lemme


Fin du lemme


Grâce au théorème des gendarmes, on déduit du lemme :

  •  ;
  • .

Tracé de la fonction[modifier | modifier le wikicode]

Compte tenu des renseignements précédents, nous pouvons en déduire le tracé de la fonction zêta qui est le suivant :

Zeta.png

Développements asymptotiques de la fonction zêta[modifier | modifier le wikicode]

Nous commencerons par étudier le comportement de la fonction zêta au voisinage de 1 :



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Démonstration

Reprenons l'inégalité du lemme établi précédemment.

On en déduit :

En faisant tendre x vers 1, on obtient d’après le théorème de l'encadrement :

et par conséquent en 1 :

30x-Checkmark.png

Remarque

On montre et nous admettrons que :

Υ étant la constante d'Euler.

En 1, on a donc le développement asymptotique suivant :


Nous étudierons ensuite le comportement de la fonction zêta au voisinage de l'infinie :



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Nous avons :

qui peut s'écrire :

Nous voyons que :