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Série de Fourier : Introduction Série de Fourier/Introduction », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Les coefficients
c
k
{\displaystyle c_{k}}
sont appelés coefficients complexes de Fourier .
Une série trigonométrique du type
f
(
x
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
c
n
e
i
n
x
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{inx}}
s'écrit aussi :
f
(
x
)
=
c
0
+
∑
n
≥
1
(
c
n
+
c
−
n
)
cos
(
n
x
)
+
i
(
c
n
−
c
−
n
)
sin
(
n
x
)
.
{\displaystyle f(x)=c_{0}+\sum _{n\geq 1}(c_{n}+c_{-n})\cos(nx)+i(c_{n}-c_{-n})\sin(nx).}
On pose alors
a
n
=
c
n
+
c
−
n
{\displaystyle a_{n}=c_{n}+c_{-n}}
et
b
n
=
i
(
c
n
−
c
−
n
)
{\displaystyle b_{n}=i(c_{n}-c_{-n})}
, de sorte que :
f
(
x
)
=
a
0
2
+
∑
n
≥
1
a
n
cos
(
n
x
)
+
b
n
sin
(
n
x
)
.
{\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n\geq 1}a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx).}
On obtient alors les formules d'inversion suivantes :
c
0
=
a
0
2
et
∀
n
>
0
c
n
=
a
n
−
i
b
n
2
,
c
−
n
=
a
n
+
i
b
n
2
{\displaystyle c_{0}={\frac {a_{0}}{2}}\quad {\text{et}}\quad \forall n>0\quad c_{n}={\frac {a_{n}-ib_{n}}{2}},\quad c_{-n}={\frac {a_{n}+ib_{n}}{2}}}
.
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Théorème
La somme d'une série trigonométrique est
2
π
{\displaystyle 2\pi }
-périodique sur son ensemble de convergence
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
.
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Remarque. Si on remplace
x
{\displaystyle x}
par
2
π
T
x
{\displaystyle {\frac {2\pi }{T}}x}
, on obtient une fonction de période T . C’est pourquoi
les séries trigonométriques ont été utilisées par Euler, Fourier... pour la représentation des fonctions périodiques.
Proposition
Les coefficients complexes de Fourier sont donnés par :
c
n
=
1
2
π
∫
α
α
+
2
π
f
(
x
)
e
−
i
n
x
d
x
{\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x)e^{-inx}\,\mathrm {d} x}
.
Démonstration
Nous nous plaçons dans le cas où la série converge uniformément sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
(ce qui a lieu, à cause de la périodicité, si elle converge sur un intervalle
[
α
;
α
+
2
π
]
{\displaystyle \;[\alpha ;\alpha +2\pi ]}
).
Rappelons que
f
(
x
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
c
k
e
i
k
x
{\displaystyle f(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}e^{ikx}}
Multiplions les deux membres de l'équation par
e
−
i
n
x
{\displaystyle e^{-inx}}
puis en intégrons sur
[
α
,
α
+
2
π
]
{\displaystyle \;[\alpha ,\alpha +2\pi ]}
:
∫
α
α
+
2
π
f
(
x
)
e
−
i
n
x
d
x
=
∫
α
α
+
2
π
[
∑
k
=
−
∞
∞
c
k
e
i
k
x
e
−
i
n
x
]
d
x
=
∑
k
=
−
∞
∞
c
k
∫
α
α
+
2
π
e
i
(
k
−
n
)
x
d
x
{\displaystyle \int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x)e^{-inx}\,\mathrm {d} x\;=\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }[\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}e^{ikx}e^{-inx}]\,\mathrm {d} x\;=\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }e^{i(k-n)x}\,\mathrm {d} x}
.
Or
∫
α
α
+
2
π
e
i
(
k
−
n
)
x
d
x
=
{
0
si
k
≠
n
2
π
si
k
=
n
.
{\displaystyle \int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }e^{i(k-n)x}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}0\;{\text{si}}\;k\neq n\\2\pi \;{\text{si}}\;k=n.\end{cases}}}
Par conséquent :
∫
α
α
+
2
π
f
(
x
)
e
−
i
n
x
d
x
=
2
π
c
n
{\displaystyle \int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x)e^{-inx}\,\mathrm {d} x\;=2\pi c_{n}}
.
Calcul des coefficients réels — Formule d’Euler-Fourier [ modifier | modifier le wikicode ]
Début d’un théorème
Formules d’Euler-Fourier
a
n
=
1
π
∫
α
α
+
2
π
f
(
x
)
cos
(
n
x
)
d
x
(
n
≥
0
)
{\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x)\cos(nx)\,\mathrm {d} x\;(n\geq 0)}
b
n
=
1
π
∫
α
α
+
2
π
f
(
x
)
sin
(
n
x
)
d
x
(
n
>
0
)
{\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x)\sin(nx)\,\mathrm {d} x\;(n>0)}
Fin du théorème
Démonstration
a
n
=
c
n
+
c
−
n
=
1
2
π
∫
α
α
+
2
π
f
(
x
)
e
−
i
n
x
d
x
+
1
2
π
∫
α
α
+
2
π
f
(
x
)
e
i
n
x
d
x
=
1
π
∫
α
α
+
2
π
f
(
x
)
e
−
i
n
x
+
e
i
n
x
2
d
x
=
1
π
∫
α
α
+
2
π
f
(
x
)
cos
(
n
x
)
d
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&=c_{n}+c_{-n}\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x)e^{-inx}\,\mathrm {d} x+{\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x)e^{inx}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{\pi }}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x){\frac {e^{-inx}+e^{inx}}{2}}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{\pi }}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x)\cos(nx)\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}}
b
n
=
i
c
n
−
i
c
−
n
=
−
c
n
i
+
c
−
n
i
=
−
1
2
π
i
∫
α
α
+
2
π
f
(
x
)
e
−
i
n
x
d
x
+
1
2
π
i
∫
α
α
+
2
π
f
(
x
)
e
i
n
x
d
x
=
1
π
∫
α
α
+
2
π
f
(
x
)
−
e
−
i
n
x
+
e
i
n
x
2
i
d
x
=
1
π
∫
α
α
+
2
π
f
(
x
)
sin
(
n
x
)
d
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}b_{n}&=ic_{n}-ic_{-n}\\&={\frac {-c_{n}}{i}}+{\frac {c_{-n}}{i}}\\&={\frac {-1}{2\pi i}}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x)e^{-inx}\,\mathrm {d} x+{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x)e^{inx}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{\pi }}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x){\frac {-e^{-inx}+e^{inx}}{2i}}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{\pi }}\int _{\alpha }^{\alpha +2\pi }f(x)\sin(nx)\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}}