Leçons de niveau 15

Réduction des endomorphismes/Exercices/Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique

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Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique
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Exercices no2
Leçon : Réduction des endomorphismes
Chapitre du cours : Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique

Ces exercices sont de niveau 15.

Exo préc. :Diagonalisation et sous-espaces stables
Exo suiv. :Réductions de Dunford, Jordan et Frobenius
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Réduction des endomorphismes/Exercices/Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique
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Exercice 2-1[modifier | modifier le wikicode]

Référence pour la question 3 : Ralph Howard, « The Characteristic Polynomial of a Product » sur people.math.sc.edu, 20121995.

Soient , où est un anneau commutatif unitaire.

  1. Montrer que si ou est inversible alors et ont même polynôme caractéristique.
  2. Dans le cas particulier où est le corps des réels ou des complexes, étendre ce résultat au cas où ni , ni n'est inversible.
  3. Étendre également ce résultat en supposant seulement que l'anneau est un corps. Indication (cf. Matrice/Relations entre matrices) : si alors est équivalente à la matrice .

Exercice 2-2[modifier | modifier le wikicode]

Référence : Qiaochu Yuan, « ab, ba, and the spectrum » sur qchu.wordpress.com, 2012, qui indique aussi d'autres méthodes.

Soit . On se propose de démontrer que et ont même polynôme caractéristique, pour toutes matrices carrées et de taille à coefficients dans un même anneau commutatif unitaire.

  1. Soient l'anneau de polynômes à coefficients entiers en indéterminées et les matrices dont les coefficients sont ces indéterminées. Montrer que dans , .
  2. En déduire le théorème annoncé.

Exercice 2-3[modifier | modifier le wikicode]

Généralisation du résultat de l'exercice précédent.
Référence : Keith Conrad, « Universal identities, I », p. 8 (à une coquille près).

Soient un anneau commutatif unifère, et . On considère les matrices par blocs de  :

et .
  1. Calculer et .
  2. En déduire que .

Exercice 2-4[modifier | modifier le wikicode]

Soient un anneau commutatif unifère et . On considère le polynôme  :

.
  1. Démontrer que  ;
  2. En déduire que si alors .