Réduction des endomorphismes/Exercices/Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique

Leçons de niveau 15
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Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique
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Exercices no2
Leçon : Réduction des endomorphismes
Chapitre du cours : Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Diagonalisation et sous-espaces stables
Exo suiv. :Réductions de Dunford, Jordan et Frobenius
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Réduction des endomorphismes/Exercices/Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique
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Exercice 2-1[modifier | modifier le wikicode]

Référence pour la question 3 : Ralph Howard, « The Characteristic Polynomial of a Product », sur people.math.sc.edu, .

Soient , où est un anneau commutatif unitaire.

  1. Montrer que si ou est inversible alors et ont même polynôme caractéristique.
  2. Dans le cas particulier où est le corps des réels ou des complexes, étendre ce résultat au cas où ni , ni n'est inversible.
  3. Étendre également ce résultat en supposant seulement que l'anneau est un corps. Indication (cf. Matrice/Relations entre matrices) : si alors est équivalente à la matrice .

Exercice 2-2[modifier | modifier le wikicode]

Référence : Qiaochu Yuan, « ab, ba, and the spectrum », sur qchu.wordpress.com, , qui indique aussi d'autres méthodes.

Soit . On se propose de démontrer que et ont même polynôme caractéristique, pour toutes matrices carrées et de taille à coefficients dans un même anneau commutatif unitaire.

  1. Soient l'anneau de polynômes à coefficients entiers en indéterminées et les matrices dont les coefficients sont ces indéterminées. Montrer que dans , .
  2. En déduire le théorème annoncé.

Exercice 2-3[modifier | modifier le wikicode]

Généralisation du résultat de l'exercice précédent.
Référence : Keith Conrad, « Universal identities, I », p. 8 (à une coquille près).

Soient un anneau commutatif unifère, et . On considère les matrices par blocs de  :

et .
  1. Calculer et .
  2. En déduire que .

Exercice 2-4[modifier | modifier le wikicode]

Soient un anneau commutatif unifère et . On considère le polynôme  :

.
  1. Démontrer que  ;
  2. En déduire que si alors .

Exercice 2-5[modifier | modifier le wikicode]

Soit un endomorphisme d'un -espace vectoriel .

  1. On suppose que annule les polynômes et . Montrer que .
  2. On suppose que annule les polynômes et . Montrer que .
  3. On suppose que annule les polynômes , et . Montrer que .

Exercice 2-6[modifier | modifier le wikicode]

Soient et .

On note leur polynôme caractéristique, leur spectre et leur polynôme minimal.

  1. Montrer que (donc ).
  2. Démontrer que pour tout polynôme , .
  3. Montrer que divise et que .
  4. On suppose que la matrice est diagonalisable.
    1. Montrer que .
    2. Montrer que , où est le degré du polynôme .
    3. En déduire que , puis que .
    4. Conclure que .

Soient . On suppose que et ont chacune une seule valeur propre. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que la matrice

soit diagonalisable.

Exercice 2-7[modifier | modifier le wikicode]

Soient un espace vectoriel et . Soit l'endomorphisme de défini par . Montrer que toute valeur propre de est valeur propre de .

Exercice 2-8[modifier | modifier le wikicode]

Soient un -e.v. et un endomorphisme de de rang . Montrer qu'il existe un unique scalaire tel que le polynôme annule . Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur pour que soit diagonalisable.

Exercice 2-9[modifier | modifier le wikicode]

Soient défini par et un endomorphisme de qui est non nilpotent et non inversible. On suppose que .

    1. Justifier l'inclusion : .
    2. Prouver l'égalité : .
    1. Soit le polynôme minimal de . Montrer qu'il est déterminé de manière unique par les hypothèses et donner son expression.
    2. Déterminer le polynôme caractéristique de  ; l'endomorphisme est-il trigonalisable ?
    3. Vérifier que est valeur propre simple de  ; quelle est la dimension de  ?
  1. Déduire de ce qui précède les égalités : et . Montrer que est le seul plan vectoriel de stable par .

Exercice 2-10[modifier | modifier le wikicode]

Soient un paramètre réel (lorsque on notera ), et l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est

.
    1. Montrer sans aucun calcul que 0 est valeur propre de .
    2. Déterminer le sous-espace propre associé à cette valeur propre 0. (Préciser, selon les valeurs de , sa dimension, et en expliciter une base.)
    3. Pour , calculer directement et et les comparer.
  1. Déterminer le sous-espace formé des tels que . (Préciser, selon les valeurs de , sa dimension, et en expliciter une base.)
    1. Calculer le polynôme caractéristique de .
    2. Préciser, selon les valeurs de , le nombre des racines de et leurs ordres de multiplicité.
  2. Trouver l'ensemble des valeurs de pour lesquelles est trigonalisable.
  3. Trouver l'ensemble des valeurs de pour lesquelles est diagonalisable.
  4. Déterminer, pour chaque valeur de , le poynôme minimal de . Quel est l'ensemble des valeurs pour lesquelles  ?

Exercice 2-11[modifier | modifier le wikicode]

Soient et définie par

.

Montrer que et déterminer ses éléments propres.

Exercice 2-12[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Exprimer le polynôme caractéristique de en fonction de celui de .

Exercice 2-13[modifier | modifier le wikicode]

Soient un espace vectoriel complexe de dimension et de spectres disjoints.

  1. Montrer que est inversible (appliquer le lemme des noyaux à et à ).
  2. En déduire que pour défini par , on a .
  3. Soient maintenant ayant une valeur propre commune et matrices colonnes non nulles telles que et . Si , calculer . Conclusion ?

Liens externes[modifier | modifier le wikicode]