Leçons de niveau 14

Matrice/Exercices/Déterminant

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Déterminant
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Exercices no2
Leçon : Matrice
Chapitre du cours : Déterminant et Inverse

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Produit matriciel
Exo suiv. :Matrice d'une application linéaire
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Matrice/Exercices/Déterminant
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Exercice 2-1[modifier | modifier le wikicode]

Soient telles que . Montrer que .

Exercice 2-2[modifier | modifier le wikicode]

Soient . On suppose que les entiers et sont premiers entre eux. Montrer qu’il existe telles que .

Exercice 2-3[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Matrice compagnon ».

À tout polynôme unitaire on associe sa « matrice compagnon » :

.

Démontrer que .

Exercice 2-4[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Matrice de Vandermonde ».

Démontrer que

.

Exercice 2-5[modifier | modifier le wikicode]

À l'aide de l'exercice précédent, déterminer (en fonction de et ) pour quelle valeur de le déterminant suivant est nul :

.

Exercice 2-6[modifier | modifier le wikicode]

Soient et . Si , montrer que .

Exercice 2-7[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que la matrice suivante de est inversible lorsque est pair :

.

Indication : calculer son déterminant modulo 2.

Exercice 2-8[modifier | modifier le wikicode]

Soient les matrices par blocs

.

Montrer que

  • ,
  • et
  • (si est inversible).

Que donne cette dernière formule lorsque  ?

Exercice 2-9[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer pour quelles valeurs de les polynômes , et forment une base de .