Leçons de niveau 14

Matrice/Exercices/Déterminant

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Déterminant
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Exercices no2
Leçon : Matrice
Chapitre du cours : Déterminant et Inverse

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Produit matriciel
Exo suiv. :Matrice d'une application linéaire
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Matrice/Exercices/Déterminant
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Exercice 2-1[modifier | modifier le wikicode]

Soient telles que . Montrer que .

Exercice 2-2[modifier | modifier le wikicode]

Soient . On suppose que les entiers et sont premiers entre eux. Montrer qu’il existe telles que .

Exercice 2-3[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Matrice compagnon ».

À tout polynôme unitaire on associe sa « matrice compagnon » :

.

Démontrer que le polynôme minimal de est , et (sans utiliser le théorème de Cayley-Hamilton) que .

Exercice 2-4[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Matrice de Vandermonde ».

Soit

.

Démontrer que .

Quel est le rang de  ?

Utiliser la méthode de Cramer pour résoudre le système linéaire

avec deux à deux distincts et .

Exercice 2-5[modifier | modifier le wikicode]

À l'aide de l'exercice précédent, déterminer (en fonction de et ) pour quelle valeur de le déterminant suivant est nul :

.

Exercice 2-6[modifier | modifier le wikicode]

Soient et . Si , montrer que .

Exercice 2-7[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que la matrice suivante de est inversible lorsque est pair :

.

Indication : calculer son déterminant modulo 2.

Exercice 2-8[modifier | modifier le wikicode]

Soient les matrices par blocs

.

Montrer que

  • ,
  • et
  • (si est inversible).

Que donne cette dernière formule lorsque  ?

Exercice 2-9[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer pour quelles valeurs de les polynômes , et forment une base de .

Exercice 2-10[modifier | modifier le wikicode]

Calculer les dix déterminants suivants.

  1. Calculer l'aire du parallélogramme défini par les vecteurs et .
  2. Calculer le volume du parallélépipède défini par les vecteurs , et .

Exercice 2-11[modifier | modifier le wikicode]

Soit l'application . Calculer le déterminant de dans la base canonique.

Exercice 2-12[modifier | modifier le wikicode]

Calculer le déterminant des matrices et et préciser pour quelles valeurs des paramètres elles sont inversibles.

Exercice 2-13[modifier | modifier le wikicode]

Montrer les formules suivantes où les déterminants sont d'ordre  :

On pourra développer suivant la première ligne puis, par un développement supplémentaire, trouver une expression de en fonction de et .

Pour , on pourra effectuer les transformations élémentaires pour .

Soient . Notons le déterminant de la matrice tridiagonale d'ordre  :

.

Calculer , puis pour tout (on distinguera les cas pair et impair).

Exercice 2-14[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Déterminant de Cauchy ».

Démontrer que

,

(voir supra).

Exercice 2-15[modifier | modifier le wikicode]

Soit . On considère la matrice d'ordre  :

(en particulier, ).
  1. Montrer que .
  2. En déduire (par récurrence) que .
  3. Montrer que s'annule pour valeurs distinctes de et les déterminer (on rappelle que ).
  4. Soient et son polynôme caractéristique. Calculer et déduire de ce qui précède les valeurs propres de .

Exercice 2-16[modifier | modifier le wikicode]

Calculer les déterminants des matrices suivantes :

,
.

Lien externe[modifier | modifier le wikicode]

« Calculateur en ligne de déterminants », sur dcode.fr