En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Déterminant
Matrice/Exercices/Déterminant », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soient
telles que
. Montrer que
.
Solution
Puisque
et
commutent, on a
, et donc :

.
Soient
. On suppose que les entiers
et
sont premiers entre eux. Montrer qu’il existe
telles que
.
À tout polynôme unitaire
on associe sa « matrice compagnon » :
.
Démontrer que le polynôme minimal de
est
, et (sans utiliser le théorème de Cayley-Hamilton) que
.
Solution
L'endomorphisme
associé vérifie
donc
(
), donc
. Pour
cette condition est vérifiée, mais pas pour
de degré
. Donc le polynôme minimal est
.
Puisque le polynôme
est unitaire, de degré
et (d'après le théorème de Cayley-Hamilton) multiple du polynôme minimal, il est donc égal à
, mais vérifions-le directement.
Notons
les lignes de la matrice
.
En remplaçant
par
puis en développant par rapport à cette première ligne, on obtient :
, avec
.
Soit
.
Démontrer que
.
Solution
Il suffit d'exécuter l'opération élémentaire
←
(sur les colonnes, en partant de
et en remontant jusqu'à
).
Le déterminant devient :

En développant selon la première ligne, il vient :

C’est-à-dire, par multilinéarité du déterminant :

Par récurrence immédiate, on trouve le résultat annoncé.
Autre preuve : considérons ce déterminant comme un polynôme en
. C'est un polynôme de degré
, qui s'annule quand
est égal à l'un des
pour
. Il est donc de la forme
. Pour
, cela donne
d'où le résultat, par récurrence.
Quel est le rang de
?
Solution
Le rang est le nombre de valeurs distinctes des
.
Utiliser la méthode de Cramer pour résoudre le système linéaire

avec
deux à deux distincts et
.
Solution
.
À l'aide de l'exercice précédent, déterminer (en fonction de
et
) pour quelle valeur de
le déterminant suivant est nul :
.
Solution
Ce déterminant, développé suivant la première colonne, est égal à

avec

donc
.
Il s'annule pour
.
Soient
et
. Si
, montrer que
.
Montrer que la matrice suivante de
est inversible lorsque
est pair :
.
Indication : calculer son déterminant modulo 2.
Soient les matrices par blocs
.
Montrer que
,
et
(si
est inversible).
Que donne cette dernière formule lorsque
?
Solution
se démontre simplement par récurrence sur la taille
de
, en développant suivant la première colonne : si
, la formule est immédiate (on peut même partir de
, avec la convention
). Et si la formule est vraie pour les matrices
de taille
alors, en notant
la matrice
privée de sa ligne
et sa colonne
et
la matrice
privée de sa ligne
, on a
(par hypothèse de récurrence)
.
Une autre méthode possible est d'utiliser que
(ou
) est triangularisable.
- Par opérations sur les lignes puis sur les colonnes,
, la dernière égalité résultant du point précédent.
résulte également du premier point, en remarquant que
ou simplement en opérant là encore sur les lignes :
.
- Si
(et si
est inversible), la dernière formule donne
.
Déterminer pour quelles valeurs de
les polynômes
,
et
forment une base de
.
Calculer les dix déterminants suivants.

- Calculer l'aire du parallélogramme défini par les vecteurs
et
.
- Calculer le volume du parallélépipède défini par les vecteurs
,
et
.
Solution
donc l'aire vaut 25.
donc le volume vaut 17.
Soit l'application
.
Calculer le déterminant de
dans la base canonique.
Solution
La matrice de
dans la base canonique est triangulaire avec des
sur la diagonale donc le déterminant vaut
.
Calculer le déterminant des matrices
et
et préciser pour quelles valeurs des paramètres elles sont inversibles.
Montrer les formules suivantes où les déterminants sont d'ordre
:

On pourra développer
suivant la première ligne puis, par un développement supplémentaire, trouver une expression de
en fonction de
et
.
Pour
, on pourra effectuer les transformations élémentaires
pour
.
Soient
. Notons
le déterminant de la matrice tridiagonale d'ordre
:
.
Calculer
, puis
pour tout
(on distinguera les cas pair et impair).
Démontrer que
,
où
(voir supra).
Solution
Références :
- A. L. Cauchy, Œuvres complètes, série 2, t. 12, p. 173-182 : « Mémoire sur les fonctions alternées et sur les sommes alternées » (1841)
- (en) Ian G. Macdonald, Symmetric Functions and Orthogonal Polynomials, AMS, 1998, p. 8
- (en) C. Krattenthaler, « Advanced determinant calculus », Séminaire Lotharingien de Combinatoire [electronic only] 42 (1999): B42q, 67 p.-B42q, 67 p. <http://eudml.org/doc/119961>
Ces trois références donnent la preuve suivante, moins laborieuse que la preuve par récurrence que l'on trouve le plus souvent dans les manuels.
Il s'agit de démontrer que
, où
.
Le polynôme de gauche s'annule si deux
ou deux
sont égaux, donc c'est un multiple du polynôme de droite.
Plus précisément, puisque les deux polynômes (homogènes en les
et
) sont de même degré total
: le polynôme de gauche est égal à
fois celui de droite, pour une certaine constante
.
Pour vérifier que
, il suffit de constater que dans ces deux polynômes, le coefficient du monôme
est égal à
.
Soit
. On considère la matrice d'ordre
:
(en particulier,
).
- Montrer que
.
- En déduire (par récurrence) que
.
- Montrer que
s'annule pour
valeurs distinctes de
et les déterminer (on rappelle que
).
- Soient
et
son polynôme caractéristique. Calculer
et déduire de ce qui précède les valeurs propres de
.
Solution
- Immédiat, en développant par exemple suivant la première ligne.
-
- L'égalité est claire pour
.
est bien égal à
(cf. Approche géométrique des nombres complexes/Apports à la trigonométrie#Formules de dé-linéarisation).
(cf. Approche géométrique des nombres complexes/Apports à la trigonométrie#Produit de cosinus et de sinus) est bien égal à
.
(cf. Approche géométrique des nombres complexes/Apports à la trigonométrie#Somme de cosinus et de sinus)
(puisque
)
avec
.
donc les valeurs propres de
(les racines de
) sont les
réels distincts
pour
.
Calculer les déterminants des matrices suivantes :
,
.
Solution
-
- 1re méthode :
est, a priori, un polynôme homogène de degré 4 en
. Il s'annule si
(car la somme des colonnes — ou des lignes — est alors nulle), si
(idem avec la somme alternée), et si
(dans ce cas la matrice est même de rang
). Il est donc de la forme
. Pour trouver
, on peut évaluer
dans des cas particuliers :
,
, et par exemple
donc
, d'où
.
- 2e méthode : pour éviter le dernier des 3 calculs ci-dessus on pouvait affiner le raisonnement précédent, en remplaçant
par
: on trouve les valeurs propres
,
et la valeur propre
, dont le s.e.v. propre associé est de dimension
: donc
est diagonalisable et son déterminant est
. (On peut préciser si on veut :
sont propres pour les valeurs
correspondantes, avec
).
- 3e méthode :


.
- Cette deuxième matrice se déduit de
par une permutation paire (2 transpositions de colonnes ou de lignes) donc a même déterminant.
(car
est lié).
- Égale, à transposition près des 2 dernières lignes et colonnes, à
, donc — d'après la question 1 — le déterminant vaut
. On pouvait aussi le calculer directement, par les mêmes méthodes que dans 1.
-
- 1re méthode : ce déterminant est, a priori, un polynôme homogène de degré 5 en
, qui s'annule dès que
ou que deux des quatre variables
sont égales, donc multiple de
donc (vus les degrés) nul.
- 2e méthode :
(car deux colonnes sont identiques).
-
- 1re méthode :
est, a priori, un polynôme homogène de degré 3 en
, qui s'annule dès que
ou
, donc de la forme
. De plus, il est antisymétrique en
et en
donc
et
. Enfin,
donc
.
- 2e méthode :

.
- 3e méthode :
.
« Calculateur en ligne de déterminants », sur dcode.fr