Leçons de niveau 15

Réduction des endomorphismes/Exercices/Diagonalisation et sous-espaces stables

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Diagonalisation et sous-espaces stables
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Exercices no1
Leçon : Réduction des endomorphismes
Chapitre du cours : Diagonalisabilité

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique
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Réduction des endomorphismes/Exercices/Diagonalisation et sous-espaces stables
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Exercice 1-1[modifier | modifier le wikicode]

Soit un endomorphisme d'un -espace vectoriel .

  1. Montrer que tout sous-espace de engendré par une famille de vecteurs propres pour est stable (par ).
  2. On suppose que est diagonalisable. Déduire de la question précédente qu'alors, tout sous-espace de admet un supplémentaire stable.
  3. On suppose maintenant que et que tout sous-espace stable de admet un supplémentaire stable. Montrer qu'alors, est diagonalisable.
  4. Soit de matrice dans la base canonique. Déterminer les sous-espaces stables par et en déduire que tout sous-espace stable de admet un supplémentaire stable, bien que ne soit pas diagonalisable.

Exercice 1-2[modifier | modifier le wikicode]

Soit un endomorphisme d'un espace vectoriel avec et stables par . On note et les restrictions de à ces deux sous-espaces.

  1. Soit un scalaire. On note , et les sous-espaces correspondants (propres ou nuls) de , et . Démontrer que .
  2. En déduire que si est diagonalisable alors et le sont aussi.
  3. En déduire (en utilisant l'exercice précédent) que :
    La restriction d'un endomorphisme diagonalisable à un sous-espace stable est diagonalisable.

Exercice 1-3[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soient u et v deux endomorphismes d'un espace vectoriel E. Vérifier que si u est diagonalisable et si chacun de ses sous-espaces propres est stable par v, alors u et v commutent (c'est-à-dire que ).
  2. Vérifier que si deux endomorphismes u et v d'un espace vectoriel commutent alors chacun des sous-espaces propres pour v est stable par u.
  3. En déduire, par récurrence et à l'aide du résultat de l'exercice 2, que pour tout entier n ≥ 1 :
    Si n endomorphismes diagonalisables d'un espace vectoriel commutent deux à deux, alors ils sont simultanément diagonalisables
    (c'est-à-dire qu'il existe une base de l'espace dont les vecteurs sont propres pour tous ces endomorphismes).
  4. En déduire que dans Mk(K) (pour tout corps K et tout entier naturel k), toute famille (non nécessairement finie) de matrices diagonalisables qui commutent deux à deux est simultanément diagonalisable (c'est-à-dire qu'il existe une matrice inversible telle que pour chaque matrice de la famille, soit diagonale).

Exercice 1-4[modifier | modifier le wikicode]

Sur le K-espace vectoriel des suites à valeurs dans K, on définit pour tout l'endomorphisme par : pour toute suite , la suite est celle dont le n-ième terme vaut et les autres sont nuls.

  1. Montrer que les (pour ) commutent deux à deux.
  2. Montrer que chaque est diagonalisable.
  3. Identifier les suites qui sont propres pour tous les à la fois.
  4. En déduire que les ne sont pas simultanément diagonalisables.

Exercice 1-5[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Résoudre dans l'équation

.
  1. Si et sont deux matrices de (où est un corps arbitraire) telles que , donner des exemples de sous-espaces de stables à la fois par et par .
  2. Déterminer toutes les matrices carrées réelles d'ordre telles que , où .

Exercice 1-6[modifier | modifier le wikicode]

Soit .

  1. Soit un vecteur propre pour A, pour une valeur propre . Montrer que le -sous-espace de est A-stable.
  2. En déduire que possède un sous-espace A-stable de dimension 1 ou 2 (il en est donc de même pour tout endomorphisme d'un -espace vectoriel de dimension finie).
  3. En supposant que , montrer que est une base de et donner la matrice de dans cette base.

Exercice 1-7[modifier | modifier le wikicode]

Soient un -e.v. et tel que .

  1. Montrer que est diagonalisable.
  2. Montrer que est un isomorphisme et calculer en fonction de .
  3. Calculer en fonction de . Peut-on calculer en fonction de  ?

Exercice 1-8[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer tous les s.e.v. non triviaux de stables par l'endomorphisme de matrice dans la base canonique.

Exercice 1-9[modifier | modifier le wikicode]

Soient et . Pour tout on pose

.

Vérifier que est un endomorphisme de , puis déterminer ses valeurs propres et vecteurs propres.

Mêmes questions pour .