Leçons de niveau 15

Réduction des endomorphismes/Exercices/Diagonalisation et sous-espaces stables

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Diagonalisation et sous-espaces stables
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Exercices no1
Leçon : Réduction des endomorphismes
Chapitre du cours : Diagonalisabilité

Ces exercices sont de niveau 15.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique
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Réduction des endomorphismes/Exercices/Diagonalisation et sous-espaces stables
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit un endomorphisme d'un espace vectoriel .

  1. Montrer que tout sous-espace de engendré par une famille de vecteurs propres pour est stable (par ).
  2. On suppose que est diagonalisable. Déduire de la question précédente qu'alors, tout sous-espace de admet un supplémentaire stable.

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Soit un endomorphisme d'un espace vectoriel avec et stables par . On note et les restrictions de à ces deux sous-espaces.

  1. Soit un scalaire. On note , et les sous-espaces correspondants (propres ou nuls) de , et . Démontrer que .
  2. En déduire que si est diagonalisable alors et le sont aussi.
  3. En déduire (en utilisant l'exercice précédent) que :
    La restriction d'un endomorphisme diagonalisable à un sous-espace stable est diagonalisable.

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

  1. Vérifier que si deux endomorphismes u et v d'un espace vectoriel commutent (c'est-à-dire si ) alors chacun des sous-espaces propres pour v est stable par u.
  2. En déduire, par récurrence et à l'aide du résultat de l'exercice 2, que pour tout entier n ≥ 1 :
    Si n endomorphismes diagonalisables d'un espace vectoriel commutent deux à deux, alors ils sont simultanément diagonalisables
    (c'est-à-dire qu'il existe une base de l'espace dont les vecteurs sont propres pour tous ces endomorphismes).
  3. En déduire que dans Mk(K) (pour tout corps K et tout entier naturel k), toute famille (non nécessairement finie) de matrices diagonalisables qui commutent deux à deux est simultanément diagonalisable (c'est-à-dire qu'il existe une matrice inversible telle que pour chaque matrice de la famille, soit diagonale).

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Sur le K-espace vectoriel des suites à valeurs dans K, on définit pour tout l'endomorphisme par : pour toute suite , la suite est celle dont le n-ième terme vaut et les autres sont nuls.

  1. Montrer que les (pour ) commutent deux à deux.
  2. Montrer que chaque est diagonalisable.
  3. Identifier les suites qui sont propres pour tous les à la fois.
  4. En déduire que les ne sont pas simultanément diagonalisables.

Exercice 5[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Résoudre dans l'équation

.