Leçons de niveau 14

Application linéaire/Projecteurs, symétries

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Projecteurs, symétries
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Chapitre no 3
Leçon : Application linéaire
Chap. préc. :Propriétés générales
Chap. suiv. :Rang

Exercices :

Projecteurs, symétries
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Application linéaire/Projecteurs, symétries
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Dans un K-espace vectoriel E, soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires :

Projecteurs[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Tout vecteur de se décompose de façon unique comme somme d'un vecteur de et d'un vecteur de . On appelle le projeté de sur parallèlement à (ce projeté est évidemment égal à si et à si ). On considère l'application  :




Caractérisation[modifier | modifier le wikicode]

Réciproquement :

Début d’un théorème


Fin du théorème

Finalement « projecteurs » et « couples d'espaces vectoriels supplémentaires » se correspondent bijectivement.

Symétries[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Si est le projeté de sur parallèlement à alors est le projeté de sur parallèlement à , , et le symétrique de par rapport à parallèlement à est .




Puisque , on peut aussi définir par : , ou encore : .



Caractérisation[modifier | modifier le wikicode]

Réciproquement :

Début d’un théorème


Fin du théorème