Application linéaire/Projecteurs, symétries

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Dans un K-espace vectoriel E, soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires : $E=F\oplus G$

Projecteurs

Définition

Tout vecteur $x$ de $E$ se décompose de façon unique comme somme d'un vecteur $y$ de $F$ et d'un vecteur $z$ de $G$. On appelle $y$ le projeté de $x$ sur $F$ parallèlement à $G$ (ce projeté est évidemment égal à $x$ si $x\in F$ et à $0$ si $x\in G$). On considère l'application $x\mapsto y$ :

Définition

L'application $p:E\to E$ définie par (pour tout $x\in E$) :

$p(x)\in F\text{et}x-p(x)\in G$

est appelée le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$.

Propriétés immédiates

1. $p\in \mathrm{L}(E)$.
2. $F=\mathrm{Fix}(p)=\mathrm{Im}p$.
3. $G=\mathrm{Ker}p$.
4. Le projecteur sur $G$ parallèlement à $F$ est ${\mathrm{Id}}_E-p$.
5. $p\circ p=p$.

'Démonstration'

1. Pour tous vecteurs $x,y\in E$ et tout scalaire $\lambda$, $p(x)+\lambda p(y)\in F+\lambda F=F$ et $(x+\lambda y)-(p(x)+\lambda p(y))=(x-p(x))+\lambda (y-p(y))\in G+\lambda G=G$, donc $p(x+\lambda y)=p(x)+\lambda p(y)$.
2. $\mathrm{Fix}(p)\subset \mathrm{Im}p\subset F$ par définition et tout vecteur $x$ de $F$ est fixe par $p$ (car $x\in F$ et $x-x\in G$).
3. $\mathrm{Ker}p\subset G$ par définition et réciproquement, pour tout $x\in G$, $p(x)=0$ (car $0\in F$ et $x-0\in G$).
4. Pour tout $x\in E$, $({\mathrm{Id}}_E-p)(x)=x-p(x)\in G$ et $x-({\mathrm{Id}}_E-p)(x)=p(x)\in F$.
5. équivaut à $\mathrm{Im}p\subset \mathrm{Fix}(p)$, déjà prouvé ci-dessus.

 

Caractérisation

Réciproquement :

Début d’un théorème

Théorème

Pour tout endomorphisme $p$ de $E$ tel que $p\circ p=p$, les sous-espaces $\mathrm{Im}p$ et $\mathrm{Ker}p$ sont supplémentaires, et $p$ est le projecteur sur le premier, parallèlement au second.

Fin du théorème

'Démonstration'

Notons $F^{\prime }=\mathrm{Im}p$ et $G^{\prime }=\mathrm{Ker}p$.

• $F^{\prime }\cap G^{\prime }\subset \{0\}$ : si $y\in F^{\prime }\cap G^{\prime }$, alors $y$ est de la forme $p\left(x\right)$ et $0=p\left(y\right)=p\circ p\left(x\right)=p\left(x\right)=y$.
• $E\subset F^{\prime }+G^{\prime }$ : pour tout vecteur $x$ de $E$, soient $y=p\left(x\right)$ et $z=x-p\left(x\right)$. Alors, $x=y+z$, $y\in F^{\prime }$ et $z\in G^{\prime }$ (car $p(x-p\left(x\right))=p\left(x\right)-p\circ p\left(x\right)=0$).

Donc $F^{\prime }\oplus G^{\prime }=E$, et $p\left(x\right)$ est bien le projeté de $x$ sur $F^{\prime }$ parallèlement à $G^{\prime }$.

 

Finalement « projecteurs » et « couples d'espaces vectoriels supplémentaires » se correspondent bijectivement.

Symétries

Définition

Définition

La symétrie par rapport à F parallèlement à G est l'endomorphisme de E

$s:=p-q$,

où $p$ est le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$ et $q$ est le projecteur sur $G$ parallèlement à $F$.

Puisque $q={\mathrm{Id}}_E-p$, on peut aussi définir $s$ par : $s:=2p-{\mathrm{Id}}_E$, ou encore : $s:={\mathrm{Id}}_E-2q$.

Propriétés immédiates

• $s$ est une involution donc un automorphisme de $E$.
• Si la caractéristique de $K$ est différente de $2$ alors $G=\mathrm{Ker}p=\mathrm{Ker}(s+{\mathrm{Id}}_E)$ et $F=\mathrm{Ker}q=\mathrm{Ker}(s-{\mathrm{Id}}_E)$.

Caractérisation

Réciproquement :

Début d’un théorème

Théorème

Si la caractéristique de $K$ est différente de $2$ alors, pour tout endomorphisme $s$ de $E$ tel que $s\circ s={\mathrm{Id}}_E$, les sous-espaces $\mathrm{Ker}(s-{\mathrm{Id}}_E)$ et $\mathrm{Ker}(s+{\mathrm{Id}}_E)$ sont supplémentaires, et $s$ est la symétrie par rapport au premier, parallèlement au second.

Fin du théorème

'Démonstration'

On pose $p=\frac{{\mathrm{Id}}_E+s}{2}$. Alors, $p\circ p=p$ donc $p$ est un projecteur, et $s=2p-{\mathrm{Id}}_E$ est une symétrie.