Application linéaire/Projecteurs, symétries

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Dans un K-espace vectoriel E, soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires : $E=F\oplus G$

Projecteurs

Définition

Tout vecteur $x$ de $E$ se décompose de façon unique comme somme d'un vecteur $y$ de $F$ et d'un vecteur $z$ de $G$. On appelle $y$ le projeté de $x$ sur $F$ parallèlement à $G$ (ce projeté est évidemment égal à $x$ si $x\in F$ et à $0$ si $x\in G$). On considère l'application $x\mapsto y$ :

Définition

L'application $p:E\to E$ définie par (pour tout $x\in E$) :

$p(x)\in F\quad {\text{et}}\quad x-p(x)\in G$

est appelée le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$.

Propriétés immédiates

1. $p\in \operatorname {L} (E)$.
2. $F=\operatorname {Fix} (p)=\operatorname {Im} p$.
3. $G=\operatorname {Ker} p$.
4. Le projecteur sur $G$ parallèlement à $F$ est $\operatorname {Id} _{E}-p$.
5. $p\circ p=p$.

Démonstration

1. Pour tous vecteurs $x,y\in E$ et tout scalaire $\lambda$, $p(x)+\lambda p(y)\in F+\lambda F=F$ et $(x+\lambda y)-(p(x)+\lambda p(y))=(x-p(x))+\lambda (y-p(y))\in G+\lambda G=G$, donc $p(x+\lambda y)=p(x)+\lambda p(y)$.
2. $\operatorname {Fix} (p)\subset \operatorname {Im} p\subset F$ par définition et tout vecteur $x$ de $F$ est fixe par $p$ (car $x\in F$ et $x-x\in G$).
3. $\operatorname {Ker} p\subset G$ par définition et réciproquement, pour tout $x\in G$, $p(x)=0$ (car $0\in F$ et $x-0\in G$).
4. Pour tout $x\in E$, $(\operatorname {Id} _{E}-p)(x)=x-p(x)\in G$ et $x-(\operatorname {Id} _{E}-p)(x)=p(x)\in F$.
5. équivaut à $\operatorname {Im} p\subset \operatorname {Fix} (p)$, déjà prouvé ci-dessus.

 

Caractérisation

Réciproquement :

Début d’un théorème

Théorème

Pour tout endomorphisme $p$ de $E$ tel que $p\circ p=p$, les sous-espaces $\operatorname {Im} p$ et $\operatorname {Ker} p$ sont supplémentaires, et $p$ est le projecteur sur le premier, parallèlement au second.

Fin du théorème

Démonstration

Notons $F'=\operatorname {Im} p$ et $G'=\operatorname {Ker} p$.

• $F'\cap G'\subset \{0\}$ : si $y\in F'\cap G'$, alors $y$ est de la forme $p\left(x\right)$ et $0=p\left(y\right)=p\circ p\left(x\right)=p\left(x\right)=y$.
• $E\subset F'+G'$ : pour tout vecteur $x$ de $E$, soient $y=p\left(x\right)$ et $z=x-p\left(x\right)$. Alors, $x=y+z$, $y\in F'$ et $z\in G'$ (car $p\left(x-p\left(x\right)\right)=p\left(x\right)-p\circ p\left(x\right)=0$).

Donc $F'\oplus G'=E$, et $p\left(x\right)$ est bien le projeté de $x$ sur $F'$ parallèlement à $G'$.

 

Finalement « projecteurs » et « couples d'espaces vectoriels supplémentaires » se correspondent bijectivement.

Symétries

Définition

Définition

La symétrie par rapport à F parallèlement à G est l'endomorphisme de E

$s:=p-q$,

où $p$ est le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$ et $q$ est le projecteur sur $G$ parallèlement à $F$.

Puisque $q=\operatorname {Id} _{E}-p$, on peut aussi définir $s$ par : $s:=2p-\operatorname {Id} _{E}$, ou encore : $s:=\operatorname {Id} _{E}-2q$.

Propriétés immédiates

• $s$ est une involution donc un automorphisme de $E$.
• Si la caractéristique de $K$ est différente de $2$ alors $G=\operatorname {Ker} p=\operatorname {Ker} \left(s+\operatorname {Id} _{E}\right)$ et $F=\operatorname {Ker} q=\operatorname {Ker} \left(s-\operatorname {Id} _{E}\right)$.

Caractérisation

Réciproquement :

Début d’un théorème

Théorème

Si la caractéristique de $K$ est différente de $2$ alors, pour tout endomorphisme $s$ de $E$ tel que $s\circ s=\operatorname {Id} _{E}$, les sous-espaces $\operatorname {Ker} \left(s-\operatorname {Id} _{E}\right)$ et $\operatorname {Ker} \left(s+\operatorname {Id} _{E}\right)$ sont supplémentaires, et $s$ est la symétrie par rapport au premier, parallèlement au second.

Fin du théorème

Démonstration

On pose $p={\frac {\operatorname {Id} _{E}+s}{2}}$. Alors, $p\circ p=p$ donc $p$ est un projecteur, et $s=2p-\operatorname {Id} _{E}$ est une symétrie.