En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Relations entre matrices Matrice/Exercices/Relations entre matrices », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Démontrer que si et sont équivalentes alors elles ont même rang.
Démontrer la réciproque. Indication : montrer que si alors est équivalente à la matrice (écrite par blocs) .
Solution
Soient et deux matrices inversibles telles que . Notons les applications linéaires représentées par dans les bases canoniques de et .
Puisque est surjective, .
Puisque est injective, elle transforme une base de en une base de .
Par conséquent, .
Soit à nouveau l'application linéaire représentée par dans les bases canoniques. Soient une base de , tels que , et une base de . Alors, est une base de et en complétant arbitrairement en une base de , la matrice de dans est celle proposée, qui est donc équivalente à . Elle est de même équivalente à si , donc et sont alors équivalentes.
Soit un polynôme unitaire irréductible. Montrer que toutes les matrices carrées à coefficients dans dont le polynôme caractéristique est sont semblables.
Solution
Soient , de polynôme caractéristique , un vecteur non nul de , pour tout entier , et le sous-espace engendré par . Alors, est stable par donc égal à (car le polynôme caractéristique de la restriction de à est un diviseur ), donc est une base de . La matrice de dans cette base est la matrice compagnon de . Par conséquent, toute matrice dont le polynôme caractéristique est est semblable à cette matrice compagnon.