Leçons de niveau 14

Matrice/Exercices/Relations entre matrices

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Relations entre matrices
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Exercices no4
Leçon : Matrice
Chapitre du cours : Relations entre matrices

Ces exercices sont de niveau 14.

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Matrice/Exercices/Relations entre matrices
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Soit un corps commutatif.

Exercice 4-1[modifier | modifier le wikicode]

Soient A et B deux matrices carrées de même taille.

  1. Montrer que si A ou B est inversible alors AB et BA sont semblables.
  2. Montrer par un contre-exemple que cette hypothèse d'inversibilité est indispensable.

Exercice 4-2[modifier | modifier le wikicode]

Soient .

  1. Démontrer que si et sont équivalentes alors elles ont même rang.
  2. Démontrer la réciproque. Indication : montrer que si alors est équivalente à la matrice (écrite par blocs) .

Exercice 4-3[modifier | modifier le wikicode]

  1. Quel est l'ensemble des matrices de  :
    1. semblables à  ?
    2. équivalentes à  ?
  2. Trouver deux matrices inversibles non semblables, bien qu'ayant même polynôme caractéristique.

Exercice 4-4[modifier | modifier le wikicode]

Soit un polynôme unitaire irréductible. Montrer que toutes les matrices carrées à coefficients dans dont le polynôme caractéristique est sont semblables.