Leçons de niveau 15

Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie

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Dimension finie
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Exercices no2
Leçon : Espaces vectoriels normés

Ces exercices sont de niveau 15.

Exo préc. :Applications linéaires continues
Exo suiv. :Sommaire
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Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie
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Exercice 2-1[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Montrer que son exponentielle est un polynôme en ou plus généralement, que pour toute fonction d'une variable complexe développable en série entière en , avec un rayon de convergence strictement supérieur à la norme subordonnée de (pour une norme arbitraire fixée sur ).

Exercice 2-2 : densité de GLn[modifier | modifier le wikicode]

Soit ou . Démontrer que dans (muni d'une norme arbitraire), le sous-ensemble des matrices inversibles est dense.

Exercice 2-3 : quelques normes sur [modifier | modifier le wikicode]

  1. Représenter graphiquement les boules unité de muni respectivement des normes
    .
  2. Montrer que ces normes sont équivalentes en explicitant les constantes associées.
  3. On considère l'application linéaire définie par . Calculer la norme d'opérateur associée.
  4. Même question en remplaçant par les deux autres normes ci-dessus.

Exercice 2-4 : quelques normes sur les polynômes[modifier | modifier le wikicode]

  1. Montrer que les applications suivantes sont des normes sur l'espace des polynômes réels :
    •  ;
    •  ;
    • .
  2. Soient , nombres réels distincts. Montrer que pour tout , l'application suivante est une norme sur le sous-espace des polynômes de degré au plus  :
    , où est la norme sur .
  3. Montrer que pour tout , il existe une constante (qu'on ne demande pas d'expliciter) telle que :
    .
  4. Est-ce encore vrai sur  ? (On pourra considérer la suite des polynômes .)

Exercice 2-5 : extrema d'une fonction continue[modifier | modifier le wikicode]

Soit une application continue, admettant à l'infini une limite (finie ou infinie) :

.

On pose et (donc ).

  1. Montrer que si , alors la valeur est atteinte (autrement dit : c'est un minimum).
  2. En déduire que (sans cette hypothèse) admet un extremum.
  3. En déduire également que si est finie, alors est bornée.

(Ceci généralise les exercices 3 et (en partie) 2 de Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Continuité.)