Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie

Exercice 3-1

Soit $A\in \operatorname {M} _{n}(\mathbb {C} )$. Montrer que son exponentielle est un polynôme en $A$ ou plus généralement, que $f(A)\in \mathbb {C} [A]$ pour toute fonction $f$ d'une variable complexe développable en série entière en $0$, avec un rayon de convergence strictement supérieur à la norme subordonnée de $A$ (pour une norme arbitraire fixée sur $\mathbb {C} ^{n}$).

Solution

Par définition, $f(A)$ est une limite de polynômes en $A$ (les sommes partielles de la série entière). Puisque $\operatorname {M} _{n}(\mathbb {C} )$ est de dimension finie, le sous-espace vectoriel $\mathbb {C} [A]$ est fermé.

 

Exercice 3-2 : densité de GL_n

Soit $K=\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$. Démontrer que dans $\mathrm {M} _{n}(K)$ (muni d'une norme arbitraire), le sous-ensemble $\mathrm {GL} _{n}(K)$ des matrices inversibles est dense.

Solution

Soit $A\in \mathrm {M} _{n}(\mathbb {C} )$. Son polynôme caractéristique n'a qu'un nombre fini de racines donc il existe $N\in \mathbb {N}$ tel que pour tout entier $k>N$, $A-{\frac {1}{k}}\mathrm {I} _{n}\in \mathrm {GL} _{n}(K)$, ce qui prouve que $A$ est adhérent à $\mathrm {GL} _{n}(K)$.

 

Exercice 3-3 : extrema d'une fonction continue

Soit $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ une application continue, admettant à l'infini une limite $L$ (finie ou infinie) :

$\lim _{\|x\|\to +\infty }f(x)=L\in \left[-\infty ,+\infty \right]$.

On pose $m:=\inf \left(\operatorname {Im} f\right)\in \left[-\infty ,+\infty \right[$ et $M:=\sup \left(\operatorname {Im} f\right)\in \left]-\infty ,+\infty \right]$ (donc $m\leq L\leq M$).

1. Montrer que si $m<L$, alors la valeur $m$ est atteinte (autrement dit : c'est un minimum).
2. En déduire que (sans cette hypothèse) $f$ admet un extremum.
3. En déduire également que si $L$ est finie, alors $f$ est bornée.

(Ceci généralise les exercices 3 et (en partie) 2 de Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Continuité.)

Solution

1. Soit $m'$ strictement compris entre $m$ et $L$. Puisque $m'<L$, on a $f(x)\geq m'$ pour tout $x\in \mathbb {R} ^{n}$ de norme suffisamment grande, disons supérieure à un certain réel $R$. Puisque $m'>m$, $m$ est aussi la borne inférieure de $f$ restreinte à la boule fermée ${\overline {B}}(0,R)$. Puisque cette boule est compacte et que $f$ est continue, cette borne inférieure est atteinte.
2. Si $m<L$ alors $f$ a un minimum. De même, si $M>L$ alors $f$ a un maximum (en raisonnant sur $-f$). Enfin, si $m=M$ alors $f$ est constante.
3. D'après la question 1, si $m<L$ alors $m>-\infty$. Si $m=L$ (supposée finie), on a aussi $m>-\infty$. Donc $f$ est minorée. On démontre de même (ou on le déduit en remplaçant $f$ par $-f$) que $f$ est majorée.

 

Exercice 3-4 : équivalence des normes et complétude

L'objet de cet exercice est de redémontrer le résultat suivant du cours, sans faire appel à la notion de compacité :

Sur un e.v. réel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes et l'espace est complet pour ces normes.

1. Soit $(E,\|\cdot \|)$ un e.v.n. réel, $e_{0}$ un vecteur non nul de $E$ et $H$ un hyperplan supplémentaire de $\mathbb {R} e_{0}$. On munit $H$ de la norme $\|\cdot \|_{H}$ restriction de $\|\cdot \|$, $\mathbb {R}$ de la norme $|\cdot |$ et $H\times \mathbb {R}$ de la norme produit, que nous noterons $\|\cdot \|'$, et l'on considère la bijection (clairement linéaire et continue) $f:\left(H\times \mathbb {R} ,\|\cdot \|'\right)\to \left(E,\|\cdot \|\right),\ (h,\lambda )\mapsto h+\lambda e_{0}$.
   Montrer que si $H$ est fermé dans $E$ alors $f^{-1}$ est également continue.
2. En déduire par récurrence la proposition suivante :

   Pour tout $n\in \mathbb {N}$, toutes les normes sur un e.v. réel de dimension $n$ sont équivalentes et l'espace est complet pour ces normes.

Solution

1. $f^{-1}(x)=\left(x-g(x)e,g(x)\right)$ où $g$ est une forme linéaire de noyau $H$ donc continue (Exercice 1-2). Par conséquent, $f^{-1}:E\to H\times \mathbb {R}$ est continue.
2. Pour $n=0$, la proposition est triviale. Supposons-la vérifiée à l'ordre $n$ et montrons qu'alors, elle l'est encore à l'ordre $n+1$. Soit donc $(E,\|\cdot \|)$ un e.v.n. réel de dimension $n+1$, $\left(e_{0},\dots ,e_{n}\right)$ une base de $E$, et $H$ l'hyperplan de base $\left(e_{1},\dots ,e_{n}\right)$, complet par hypothèse de récurrence donc fermé dans $E$, ce qui permet d'appliquer la question précédente : les bijections linéaires $f$ et $f^{-1}$ sont continues. Par conséquent :
   • L'e.v.n. $(E,\|\cdot \|)$ est complet car $\left(H\times \mathbb {R} ,\|\cdot \|'\right)$ l'est, puisque $\left(H,\|\cdot \|_{H}\right)$ l'est (par hypothèse de récurrence) et $\left(\mathbb {R} ,|\cdot |\right)$ aussi ;
   • La norme $\|\cdot \|$ est équivalente à la norme
     $\sum _{i=0}^{n}x_{i}e_{i}\mapsto \max \left(\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}\right\|_{H},\left|x_{0}\right|\right)$,
     elle-même équivalente (par hypothèse de récurrence) à la norme
     $\sum _{i=0}^{n}x_{i}e_{i}\mapsto \max \left(\left\|\left(x_{1},\dots ,x_{n}\right)\right\|_{\infty },\left|x_{0}\right|\right)=\left\|\left(x_{0},\dots ,x_{n}\right)\right\|_{\infty }$.

 

Exercice 3-5

Soit $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ une application continue. Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes :

1. $\forall M>0\quad \exists R>0\quad \left(\|x\|>R\Rightarrow |f(x)|>M\right)$ ;
2. Pour toute partie bornée $B$ de $\mathbb {R}$, $f^{-1}(B)$ est une partie bornée de $\mathbb {R} ^{n}$ ;
3. Pour toute partie compacte $K$ de $\mathbb {R}$, $f^{-1}(K)$ est une partie compacte de $\mathbb {R} ^{n}$.

Solution

$1\Longleftrightarrow \forall M>0\quad \exists R>0\quad f^{-1}({\overline {B(0,M)}})\subset {\overline {B(0,R)}}\Longleftrightarrow 2$.

$2\Rightarrow 3$ car tout compact $K$ de $\mathbb {R}$ est fermé dans $\mathbb {R}$ et $f^{-1}(K)$ est alors fermé dans $\mathbb {R} ^{n}$.

$3\Rightarrow 2$ car une partie de $\mathbb {R} ^{n}$ est bornée si et seulement si elle est incluse dans un compact.

 

Exercice 3-6

Montrer que l'ensemble $\mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )=\{M\in \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )\mid {}^{t}\!MM=\mathrm {I} _{n}\}$ est une partie compacte de $\mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )$.

Solution

$\mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )$ est fermé dans $\mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )$, comme image réciproque du fermé $\{\mathrm {I} _{n}\}$ de $\mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )$ par l'application continue $\mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )\to \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} ),\;M\mapsto {}^{t}\!MM$.

Il est de plus borné car $\forall M\in \mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )\quad \sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}M_{i,j}^{2}\right)=\sum _{i=1}^{n}\left({}^{t}\!MM\right)_{i,i}=n$.

Il est donc compact.