Leçons de niveau 15

Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie

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Dimension finie
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Exercices no3
Leçon : Espaces vectoriels normés

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Applications linéaires continues
Exo suiv. :Sommaire
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Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie
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Exercice 3-1[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Montrer que son exponentielle est un polynôme en ou plus généralement, que pour toute fonction d'une variable complexe développable en série entière en , avec un rayon de convergence strictement supérieur à la norme subordonnée de (pour une norme arbitraire fixée sur ).

Exercice 3-2 : Densité de GLn[modifier | modifier le wikicode]

Soit ou . Démontrer que dans (muni d'une norme arbitraire), le sous-ensemble des matrices inversibles est dense.


Exercice 3-3 : Extrema d'une fonction continue[modifier | modifier le wikicode]

Soit une application continue, admettant à l'infini une limite (finie ou infinie) :

.

On pose et (donc ).

  1. Montrer que si , alors la valeur est atteinte (autrement dit : c'est un minimum).
  2. En déduire que (sans cette hypothèse) admet un extremum.
  3. En déduire également que si est finie, alors est bornée.

(Ceci généralise les exercices 3 et (en partie) 2 de Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Continuité.)