Leçons de niveau 15

Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie

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Dimension finie
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Exercices no3
Leçon : Espaces vectoriels normés
Chapitre du cours : Dimension finie

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Applications linéaires continues
Exo suiv. :Sommaire
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Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie
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Exercice 3-1[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Montrer que son exponentielle est un polynôme en ou plus généralement, que pour toute fonction d'une variable complexe développable en série entière en , avec un rayon de convergence strictement supérieur à la norme subordonnée de (pour une norme arbitraire fixée sur ).

Exercice 3-2 : densité de GLn[modifier | modifier le wikicode]

Soit ou . Démontrer que dans (muni d'une norme arbitraire), le sous-ensemble des matrices inversibles est dense.

Exercice 3-3 : extrema d'une fonction continue[modifier | modifier le wikicode]

Soit une application continue, admettant à l'infini une limite (finie ou infinie) :

.

On pose et (donc ).

  1. Montrer que si , alors la valeur est atteinte (autrement dit : c'est un minimum).
  2. En déduire que (sans cette hypothèse) admet un extremum.
  3. En déduire également que si est finie, alors est bornée.

(Ceci généralise les exercices 3 et (en partie) 2 de Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Continuité.)

Exercice 3-4 : équivalence des normes et complétude[modifier | modifier le wikicode]

L'objet de cet exercice est de redémontrer le résultat suivant du cours, sans faire appel à la notion de compacité :

Sur un e.v. réel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes et l'espace est complet pour ces normes.
  1. Soit un e.v.n. réel, un vecteur non nul de et un hyperplan supplémentaire de . On munit de la norme restriction de , de la norme et de la norme produit, que nous noterons , et l'on considère la bijection (clairement linéaire et continue) .
    Montrer que si est fermé dans alors est également continue.
  2. En déduire par récurrence la proposition suivante :
    Pour tout , toutes les normes sur un e.v. réel de dimension sont équivalentes et l'espace est complet pour ces normes.