Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Groupe à opérateurs

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Groupe à opérateurs
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Chapitre no 15
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Théorème de Jordan-Hölder
Chap. suiv. :Commutateurs, groupe dérivé

Exercices :

Groupe à opérateurs
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La notion de groupe à opérateurs peut être considérée comme une généralisation de la notion mathématique de groupe. Elle permet de donner une forme plus forte à certains théorèmes classiques, comme le théorème de Jordan-Hölder.

Définitions[modifier | modifier le wikicode]

Un groupe à opérateurs est la donnée d'un groupe G, dit groupe sous-jacent (que nous noterons multiplicativement), d'un ensemble Ω dit domaine d'opérateurs, et d'une action de Ω sur G distributive par rapport à la loi de groupe de G, c'est-à-dire d'une application

telle que, pour tout élément ω de Ω et tous éléments g, h de G

Un groupe à opérateurs ne se réduit pas à son groupe sous-jacent, mais on commet souvent l'abus de langage de les identifier.

Un groupe à opérateurs dont l’ensemble d'opérateurs est Ω est appelé un groupe à opérateurs dans Ω ou encore un Ω-groupe[1].

Un groupe ordinaire peut être assimilé à un groupe à opérateurs dans l’ensemble vide. Cela permet d'obtenir certains théorèmes relatifs aux groupes comme cas particuliers de théorèmes relatifs aux groupes à opérateurs.

Pour tout élément ω de Ω, la transformation g ↦ gω est un endomorphisme du groupe sous-jacent G. Un tel endomorphisme est parfois appelé une homothétie du Ω-groupe G. Si G est un groupe et Ω un ensemble, la donnée d'une structure de Ω-groupe sur G équivaut à la donnée d'une famille d'endomorphismes du groupe G indexée par Ω, ou encore à la donnée d'une application de Ω dans l’ensemble des endomorphismes du groupe G.

Un groupe à opérateurs est dit commutatif, ou encore abélien, si son groupe sous-jacent est commutatif.

Un sous-groupe H d'un Ω-groupe (ou, plus exactement, du groupe sous-jacent) est dit stable si, pour tout élément ω de Ω et tout élément h de H, hω appartient à H. On peut alors définir l'action

et cette action fait de H un Ω-groupe. Un sous-groupe stable d'un Ω-groupe G est aussi appelé un Ω-sous-groupe de G.

Si G est un groupe ordinaire considéré comme groupe à opérateurs dans l’ensemble vide, les sous-groupes stables de ce groupe à opérateurs sont les sous-groupes de G. Ceci est un exemple du fait que des notions relatives aux groupes peuvent être considérées comme des cas particuliers de notions relatives aux groupes à opérateurs.

Si G est un Ω-groupe, le sous-groupe trivial de G (c'est-à-dire son sous-groupe réduit à l'élément neutre) et G lui-même sont des Ω-sous-groupes de G.

Soient G un Ω-groupe et H un Ω-sous-groupe de G. On dit que H est un Ω-sous-groupe normal, ou encore distingué, de G si c’est un sous-groupe normal du groupe sous-jacent de G. Dans ce cas, si ω est un élément de Ω, si g1 et g2 sont des éléments de G congrus modulo H (c'est-à-dire appartenant à une même classe modulo H), alors g1ω et g2ω sont eux aussi congrus modulo H, d'où g1ω H = g2ω H. On peut donc définir une action Ω × G/H → G/H de Ω sur le groupe quotient G/H qui, pour tout élément ω de Ω et tout élément g de G, applique (ω, gH) sur gω H. Cette action fait de G/H un Ω-groupe. Pour tout élément ω de Ω et tout élément g de G, on a ainsi (gH)ω = gω H.

Soient G et H deux Ω-groupes. On appelle homomorphisme de groupes à opérateurs de G dans H, ou encore Ω-homomorphisme de G dans H, un homomorphisme f de groupes de G dans H tel que, pour tout élément ω de Ω et tout élément x de G, on ait f(xω) = f(x)ω. Si K est un Ω-sous-groupe normal de G, l'homomorphisme canonique de groupes de G sur G/K est un Ω-homomorphisme du Ω-groupe G sur le Ω-groupe G/K qu'on a défini plus haut.

Si f est un Ω-homomorphisme d'un Ω-groupe G dans un Ω-groupe H, le noyau de l'homomorphisme de groupes f est un Ω-sous-groupe normal de G. L'image de f est un Ω-sous-groupe de G.

Si un Ω-homomorphisme est un isomorphisme de groupes (ce qui revient à dire qu’il est bijectif), on dit que c’est un Ω-isomorphisme. L'isomorphisme de groupes réciproque est alors lui aussi un Ω-isomorphisme. Si G et H sont deux Ω-groupes et qu’il existe un Ω-isomorphisme de l'un sur l'autre, on dit que G et H sont Ω-isomorphes.

Un groupe à opérateurs est dit simple s'il n’est pas réduit à l'élément neutre et s'il n'a pas d’autre sous-groupe stable normal que lui-même et son sous-groupe réduit à l'élément neutre. Pour insister sur le fait qu'un Ω-groupe est supposé simple comme Ω-groupe et non forcément comme groupe, on dit volontiers qu’il est Ω-simple[2]. Si un Ω-groupe est simple comme groupe, il est Ω-simple, mais la réciproque n’est pas vraie. (Voir un contre-exemple dans les exercices.)

Les notions de produit direct et de somme restreinte externe d'une famille de -groupes, de même que la notion de somme restreinte interne d'une famille de -sous-groupes, se définissent par une généralisation évidente des notions analogues relatives aux groupes ordinaires. (Le lecteur est invité à s'en assurer.) On peut noter qu'un -groupe G est somme restreinte interne d'une famille de ses -sous-groupes si et seulement le groupe (ordinaire) G est somme restreinte interne de la famille de groupes (ordinaires) .

Généralisation de théorèmes classiques[modifier | modifier le wikicode]

Théorèmes d'isomorphisme[modifier | modifier le wikicode]

Ces notions permettent d'étendre de façon évidente les théorèmes d'isomorphisme aux groupes à opérateurs[3].

Théorème de Jordan-Hölder[modifier | modifier le wikicode]

Elles permettent aussi de généraliser utilement le théorème de Jordan-Hölder.

Tout d’abord, on étend la notion de suite de composition d'un groupe aux groupes à opérateurs : on appelle suite de composition d'un Ω-groupe G toute suite finie (G0, G1, … , Gr) de Ω-sous-groupes de G telle que

et que, pour tout i dans {0, 1, … , r – 1}, Gi+1 soit un sous-groupe normal (et donc un Ω-sous-groupe normal) de Gi. On dit que cette suite est une suite de Jordan-Hölder si, pour tout i dans {0, 1, … , r – 1}, le Ω-groupe quotient Gi/Gi+1 est Ω-simple[4].

Soit G un Ω-groupe, soient Σ1 = (G0, G1, … , Gr) et Σ2 = (H0, H1, … , Hs) deux suites de Jordan-Hölder de G. On dit que Σ1 et Σ2 sont équivalentes si r = s et s'il existe une permutation σ de l’ensemble {0, 1, … , r – 1} telle que pour tout i dans cet ensemble, le Ω-groupe quotient Gi/Gi+1 soit Ω-isomorphe au Ω-groupe quotient Hσ(i)/Hσ(i)+1.

La démonstration du théorème de Jordan-Hölder s'étend alors immédiatement aux groupes à opérateurs : deux suites de Jordan-Hölder d'un même groupe à opérateurs sont toujours équivalentes[5].

On étend de même la notion de longueur d'un groupe pour définir la longueur d'un groupe à opérateurs.

Exemple d'utilisation[modifier | modifier le wikicode]

Soient K un corps, non forcément commutatif, et V un espace vectoriel à gauche ou à droite sur K. (Le lecteur qui n’est pas familier avec les corps non commutatifs et les espaces vectoriels à gauche et à droite peut supposer que K est un corps commutatif et que V est un espace vectoriel sur K.) L'addition des vecteurs de V est une loi de groupe et la loi externe de V est une opération

qui fait de V un groupe à opérateurs dans K (en raison de la distributivité de la loi externe par rapport à l'addition des vecteurs). Un espace vectoriel à gauche ou à droite sur K peut donc être considéré comme un cas particulier de groupe à opérateurs dans K. Les sous-groupes stables de ce groupe à opérateurs sont les sous-espaces vectoriels de V. Comme le groupe à opérateurs V est commutatif, tous ses sous-groupes stables sont normaux. Si W est un sous-espace vectoriel de V, l'espace vectoriel quotient de l'espace V par l'espace W est le groupe à opérateurs quotient (défini plus haut) du groupe à opérateurs V par son sous-groupe stable normal W. Le groupe à opérateurs V est simple si et seulement si l'espace vectoriel V est de dimension 1.

Nous allons tirer de ce qui précède que deux bases finies d'un même espace vectoriel ont toujours le même nombre d'éléments. Soient (a1, … , ar) et (b1, … , bs) deux bases d'un même espace vectoriel V. Il s'agit de prouver que r = s. Pour chaque i (0 ≤ i ≤ r), désignons par Vi le sous-espace vectoriel de V engendré par les aj avec j ≤ i (on a donc V0 = 0). De même, pour chaque k (0 ≤ k ≤ s), désignons par Wk le sous-espace vectoriel de V engendré par les bl avec l ≤ k. Alors (Vr, … , V0) et (Ws, … , W0) sont deux suites de Jordan-Hölder du groupe à opérateurs V. D'après le théorème de Jordan-Hölder étendu aux groupes à opérateurs, ces deux suites sont équivalentes. En particulier, elles ont la même longueur, donc r = s, comme annoncé[6].

Remarque. La démonstration qui précède montre qu'un espace vectoriel est de dimension finie si et seulement s'il est de longueur finie comme groupe à opérateurs et que sa longueur est alors égale à sa dimension. En revanche, si V est de dimension infinie, la longueur de V (qui est alors infinie elle aussi) n’est pas forcément égale à la dimension de V, car la longueur de V, comme la longueur de tout groupe à opérateurs de longueur infinie, est alors égale au plus petit cardinal infini, ce qui n’est pas forcément le cas de la dimension de V.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

Dans sa forme initiale, le présent chapitre est à peu près copié littéralement de l’article Groupe à opérateurs de Wikipédia, version du 10 juillet 2012.

  1. Les définitions données dans le présent article sont conformes, les unes à N. Bourbaki, Algèbre I, Paris, 1970, chap. 1, p. I.29 et ss., les autres à John S. Rose, A Course on Group Theory, 1978, réimpr. Dover 1994, p. 137 et ss.
  2. Voir par exemple John S. Rose, A Course on Group Theory, 1978, réimpr. Dover 1994, p. 140.
  3. Voir par exemple W.R. Scott, Group Theory, 1964, réimpr. Dover 1987, p. 41-42.
  4. Définition conforme à Bourbaki, Algèbre I, Paris, 1970, chap. 1, p. I.41.
  5. Voir par exemple Bourbaki, Algèbre I, Paris, 1970, chap. 1, p. I.41.
  6. C'est de cette manière que l'équipotence des bases finies d'un même espace vectoriel est démontrée dans N. Bourbaki, Algèbre I, Paris, 1970, chap. 2, p. II.96.