Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Pendule de torsion

**Loi du moment cinétique : Pendule de torsion**
Leçon : Mécanique 2 (PCSI)

Chapitre n^o 7
Chap. préc. :	Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe
Chap. suiv. :	Loi du moment cinétique : Pendule pesant

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Mécanique 2 (PCSI) : Loi du moment cinétique : Pendule de torsion
Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Pendule de torsion », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.

Notion de fil de torsion

Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion »^[1], l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale »^[2] et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension de « fil sans torsion » ;

pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » $\;{\big (}$ voir ci-contre ${\big )}$ ;

sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu $\;{\big (}$ voir figure supérieure ci-contre ${\big )}$ ;

bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens « $\;+\;$ » à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée $\;{\big (}$ voir figure supérieure ci-contre ${\big )}\;$ et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter :

soit le fil reste en l'état c'est-à-dire tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un fil sans torsion », c'est-à-dire les fils utilisés jusqu'à présent,
soit le fil se détord ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens « $\;+\;$ » ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale $\;{\big (}$ correspondant à une rotation des brins dans le sens « $\;-\;$ » ${\big )}\;$ également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial »^[3], il s'agit alors d'« un fil de torsion ».

Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil

Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil »

Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide »^[4] étudié, puis

exerçons une torsion initiale d'un angle « $\;\alpha _{0}\;$ » sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale $\;{\big (}$ voir schéma ci-dessous représenté à un instant $\;t\;$ avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion ${\big )}$ ;

sur ce schéma, « $\;A_{0}B_{0}\;$ », représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur « $\;\alpha (t)={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {A_{0}B_{0}}}\,,\,{\overrightarrow {AB}}(t)\right\rbrace }}\;$ »^[5], « $\;\alpha _{0}\;$ » étant la valeur de « $\;\alpha (t)\;$ à l'instant initial $\;t=0\;$ » ;

seules les actions des fils sur le solide $\;{\big (}$ représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache $\;C\;$ de la tige aux fils ${\big )}\;$ figurent sur le schéma :

celles du fil de torsion supérieur $\;{\big [}$ tension du fil $\;{\vec {T}}_{\text{sup}}\;$ et couple de torsion de moment $\;{\vec {\Gamma }}_{\text{tors}}\;$ ^[6] ${\big ]}\;$ et
celle du « fil sans torsion inférieur $\;{\big [}$ tension du fil $\;{\vec {T}}_{\text{inf}}{\big ]}\;$ »^[7] ;

le fil de torsion supérieur étant orienté par le vecteur unitaire ascendant « $\;{\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}\;$ » lequel définit aussi le sens « $\;+\;$ » des angles dans le plan horizontal passant par $\;C$ , l'angle de torsion « $\;\alpha (t)\;$ »^[5] sur le schéma ci-dessus est « $\;>0\;$ » correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche »^[8], le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens « $\;-\;$ »^[9] dont le vecteur moment « $\;{\vec {\Gamma }}_{\text{tors}}\;$ » est colinéaire et « de sens contraire à $\;{\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}\;$ »^[9].

Le vecteur moment du couple de torsion « $\;{\vec {\Gamma }}_{\text{tors}}(t)\;$ » que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant $\;t$ , sous la forme « $\;{\vec {\Gamma }}_{\text{tors}}(t)={\overline {\Gamma }}_{\text{tors}}(t)\;{\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}\;$ » dans lequel « $\;{\overline {\Gamma }}_{\text{tors}}(t)\;$ est toujours de signe contraire à l'angle de torsion $\;\alpha (t)\;$ »^[5].

Remarque 1 : Le vecteur moment du couple de torsion « $\;{\vec {\Gamma }}_{\text{tors}}(t)\;$ » que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à $\;{\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}\;$ pour éviter la confusion avec une force,
Remarque 1 : on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple « $\;{\vec {\Gamma }}_{\text{tors}}(t)\;$ » $\;{\big (}$ voir sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de $\;C$ , point d'attache du fil au solide ${\big )}$ .

Remarque 2 : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension « $\;{\vec {T}}_{\text{sup}}\;$ » dont le vecteur moment par rapport à $\;C\;$ étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal.

Remarque 3 : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure $\;O_{\text{inf}}\;$ et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand « $\;\alpha =0\;$ », l'angle de torsion « $\;\alpha (t)\;$ »^[5] sur le schéma ci-dessus étant « $\;>0\;$ » correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite »^[8] $\;{\big (}$ le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par $\;C\;$ du fil de torsion supérieur ${\big )}$ ,
Remarque 3 : le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens « $\;-\;$ »^[9] dont le vecteur moment « $\;{\vec {\Gamma }}_{\text{tors. inf.}}\;$ » est colinéaire et « de sens contraire à $\;{\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}\;$ »^[9], $\;{\big [}$ c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore « $\;{\vec {\Gamma }}_{\text{tors. inf.}}={\vec {\Gamma }}_{\text{tors. sup.}}\;$ tous deux notés $\;{\vec {\Gamma }}_{\text{tors}}\;$ » ${\big ]}$ .

Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion

Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que « $\;{\overline {\Gamma }}_{\text{tors}}(t)\;$ est $\;\propto \;$ à l'angle de torsion $\;\alpha (t)\;$ ^[5] », le « cœfficient de proportionnalité étant $\;<0\;$ », « de valeur absolue notée $\;C>0\;$ » et appelée « constante de torsion du fil » soit

«

\;{\overrightarrow {\Gamma }}_{\text{tors}}(t)=-C\;\alpha (t)\;{\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}\;

» ou
«

\;{\overrightarrow {\Gamma }}_{\text{tors}}(t)={\overline {\Gamma }}_{\text{tors}}(t)\;{\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}\;

avec

\;{\overline {\Gamma }}_{\text{tors}}(t)=-C\;\alpha (t)\;

»,
«

\;C\;

» s’exprimant en «

\;N\cdot m\cdot rad^{-1}\;

» ou simplement en «

\;N\cdot m\;

»^[10].

Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion

En théorie la constante de torsion « $\;C\;$ » d'un fil cylindrique de longueur « $\;{\mathit {l}}\;$ », de diamètre « $\;d\;$ » et de module d'élasticité transversale $\;{\big (}$ ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb^[11] ${\big )}\;$ « $\;G\;$ »^[12] s’exprimant en « $\;N\cdot m^{-2}=Pa\;$ », se calcule par

«

\;C={\dfrac {\pi }{2}}\;{\dfrac {d^{4}}{\mathit {l}}}\;G\;

».

     Exemples : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur $\;{\mathit {l}}=1,0\;m\;$ et de même diamètre $\;d=0,20\;mm$ , la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est :
     Exemples : $\;\succ \;$ pour un fil en acier « $\;C_{\text{acier}}={\dfrac {\pi }{2}}\;{\dfrac {d^{4}}{\mathit {l}}}\;G_{\text{acier}}\simeq {\dfrac {\pi }{2}}\times {\dfrac {\left(0,20\;10^{-3}\right)^{4}}{1,0}}\times 81\;10^{9}\;$ »^[12] soit « $\;C_{\text{acier}}\simeq 2,0\;10^{-4}\;N\cdot m\;$ » $\;{\big \{}$ valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion^[5] de valeur absolue « $\;0,1\;rad\simeq 6\;{\text{°}}\;$ » nécessite un couple de moment « $\;2,0\;10^{-5}\;N\cdot m\;$ relativement faible $\;{\big (}$ d'où une grande sensibilité ${\big )}\;$ mais suffisamment grand pour ne pas être considéré comme nul » ${\big \}}$ ,
     Exemples : $\;\succ \;$ pour un fil en tungstène « $\;C_{W}={\dfrac {\pi }{2}}\;{\dfrac {d^{4}}{\mathit {l}}}\;G_{W}\simeq {\dfrac {\pi }{2}}\times {\dfrac {\left(0,20\;10^{-3}\right)^{4}}{1,0}}\times 150\;10^{9}\;$ »^[12] soit « $\;C_{W}\simeq 3,8\;10^{-4}\;N\cdot m\;$ » $\;{\big \{}$ valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion^[5] de valeur absolue « $\;0,1\;rad\simeq 6\;{\text{°}}\;$ » nécessite un couple de moment « $\;3,8\;10^{-5}\;N\cdot m\;$ approximativement deux fois plus grand que le précédent $\;{\big (}$ d'où une sensibilité approximativement deux fois plus faible que le précédent ${\big )}\;$ » ${\big \}}\;$ et
     Exemples : $\;\succ \;$ pour un fil en caoutchouc « $\;C_{\text{caoutchouc}}={\dfrac {\pi }{2}}\;{\dfrac {d^{4}}{\mathit {l}}}\;G_{\text{caoutchouc}}\simeq {\dfrac {\pi }{2}}\times {\dfrac {\left(0,20\;10^{-3}\right)^{4}}{1,0}}\times 0,5\;10^{9}\;$ »^[12] soit « $\;C_{\text{caoutchouc}}\simeq 1,3\;10^{-6}\;N\cdot m\;$ » $\;{\big \{}$ valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion^[5] de valeur absolue « $\;0,1\;rad\simeq 6\;{\text{°}}\;$ » nécessite un couple de moment « $\;1,3\;10^{-7}\;N\cdot m\;$ quasi nul $\;{\big (}$ d'où une très faible sensibilité ${\big )}\;$ permettant de considérer le fil comme un fil sans torsion » ${\big \}}$ .

Présentation du pendule de torsion (non amorti)

Ci-contre un pendule de torsion $\;{\big (}$ non amorti ${\big )}\;$ avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion « $\;C\;$ » et positionnement de masselottes apparemment identiques $\;{\big (}$ sauf pour la couleur ${\big )}\;$ de part et d'autre du point $\;C\;$ ^[13] $\;{\big (}$ point d’attache des deux fils de torsion sur la tige ${\big )}$ ;

contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, seule l'extrémité $\;O_{\text{inf}}\;$ du fil de torsion inférieur est fixe $\;{\big (}$ position servant de référence ${\big )}$ , l'extrémité $\;O_{\text{sup}}\;$ pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle « $\;2\;\theta _{1}\;$ » $\;{\big (}$ repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à $\;O_{\text{inf}}$ , position de référence du cercle gradué ${\big )}$ , la conséquence de ce choix étant que

le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations,

une position d’équilibre repérée par l'angle «

\;\theta _{1}\;

»

en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite^[8] d'un angle « $\;\theta _{1}-2\;\theta _{1}=-\theta _{1}\;$ »^[14] par rapport à l'extrémité $\;O_{\text{sup}}$ , exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment

«

\;{\vec {\Gamma }}_{\text{tors. sup.}}=-C\left(-\theta _{1}\right){\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}=C\;\theta _{1}\;{\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}\;

» et

en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite^[8] d’un angle « $\;\theta _{1}-0=\theta _{1}\;$ »^[14] par rapport à l’extrémité $\;O_{\text{inf}}$ , exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment

«

\;{\vec {\Gamma }}_{\text{tors. inf.}}=-C\left(\theta _{1}\right){\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}=-C\;\theta _{1}\;{\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}\;

»,

en effet, la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant « $\;{\vec {\Gamma }}_{\text{tors. sup.}}+{\vec {\Gamma }}_{\text{tors. inf.}}={\vec {0}}\;$ » le solide est effectivement en équilibre dans cette position $\;\ldots$

Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)

Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion

La tige étant homogène, de masse $\;m_{\text{tige}}\;$ et de longueur $\;{\mathit {l}}_{\text{tige}}$ , le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice $\;\Delta _{C}\;$ de celle-ci s’écrit

«

\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)={\dfrac {1}{12}}\;m_{\text{tige}}\;{\mathit {l}}_{\text{tige}}^{\,2}\;

»^[15] ;

chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse $\;m_{\text{masselotte}}$ , de rayon $\;R_{\text{masselotte}}\;$ et de longueur $\;{\mathit {l}}_{\text{masselotte}}$ , le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe $\;\Delta _{G}\;\parallel \;$ à $\;\Delta _{C}$ , passant par le C.D.I^[16]. $\;G\;$ de la masselotte considérée et $\;\perp \;$ à l'axe de révolution de cette dernière^[17] s’écrit

«

\;J_{\Delta _{G}}\!\left({\text{masselotte}}\right)={\dfrac {1}{4}}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2}+{\dfrac {1}{12}}\;m_{\text{masselotte}}\;{\mathit {l}}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;

»^[18] ;

le C.D.I^[16]. $\;G\;$ de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de $\;C\;$ à la distance $\;x$ , le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe $\;\Delta _{C}\;$ se détermine par utilisation du « théorème de Huygens »^[19] « $\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{masselotte}}\right)=J_{\Delta _{G}}\!\left({\text{masselotte}}\right)+m_{\text{masselotte}}\;x^{2}\;$ » soit finalement

«

\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{masselotte}}\right)=m_{\text{masselotte}}\left({\dfrac {1}{4}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2}+{\dfrac {1}{12}}\;{\mathit {l}}_{\text{masselotte}}^{\,2}+x^{2}\right)\;

» ;

finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive^[20] on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe $\;\Delta _{C}\;$ des fils de torsion soit

«

\;J_{\Delta _{C}}=J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)+2\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{masselotte}}\right)={\dfrac {1}{12}}\;m_{\text{tige}}\;{\mathit {l}}_{\text{tige}}^{\,2}+2\;m_{\text{masselotte}}\left({\dfrac {1}{4}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2}+{\dfrac {1}{12}}\;{\mathit {l}}_{\text{masselotte}}^{\,2}+x^{2}\right)\;

».

Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)

Il s'agit de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion $\;{\big (}$ non amorti ${\big )}\;$ décrit au paragraphe « présentation du pendule de torsion (non amorti) » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I^[21]. de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à $\;\theta _{0}>\theta _{1}\;$ ^[22] où $\;\theta _{1}\;$ est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide^[23] $\;{\big (}$ toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la position de l'extrémité inférieure $\;O_{\text{inf}}\;$ du fil de torsion inférieur ${\big )}\;$ et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ;

repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant $\;t\;$ par son abscisse angulaire $\;\theta (t)$ $\;{\big (}$ repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure $\;O_{\text{inf}}\;$ du fil de torsion inférieur ${\big )}$ ,

l'angle de torsion du fil supérieur étant alors égal à « $\;\theta (t)-2\;\theta _{1}\;$ »^[24] à l'instant $\;t$ , le fil de torsion supérieur $\;\left\lbrace CO_{\text{sup}}\right\rbrace \;$ exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe $\;\Delta _{C}\;$ « $\;{\overline {\Gamma _{\text{tors. sup.}}}}_{\Delta _{C}}=-C\left[\theta (t)-2\;\theta _{1}\right]\;$ » et
l’angle de torsion du fil inférieur étant égal à « $\;\theta (t)-0=\theta (t)\;$ »^[24] à l'instant $\;t$ , le fil de torsion inférieur $\;\left\lbrace CO_{\text{inf}}\right\rbrace \;$ exerce sur le solide « tige + masselottes » un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe $\;\Delta _{C}\;$ « $\;{\overline {\Gamma _{\text{tors. inf.}}}}_{\Delta _{C}}=-C\;\theta (t)\;$ » d'où

d’où l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe $\;\Delta _{C}$ , compte-tenu du fait que « les autres actions extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles »^[25], nous conduit à « $\;{\overline {\Gamma _{\text{tors. sup.}}}}_{\Delta _{C}}+{\overline {\Gamma _{\text{tors. inf.}}}}_{\Delta _{C}}=J_{\Delta _{C}}\;{\ddot {\theta }}(t)\;$ » soit encore « $\;-C\left[\theta (t)-2\;\theta _{1}\right]-C\;\theta (t)=J_{\Delta _{C}}\;{\ddot {\theta }}(t)\;$ »^[26] et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en $\;\theta (t)$

«

\;J_{\Delta _{C}}\;{\ddot {\theta }}(t)+2\;C\;\theta (t)=2\;C\;\theta _{1}\;

».

Remarque : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I^[21]. de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à $\;\alpha _{0}>0$ $\;{\big (}$ abscisse angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure $\;O_{\text{sup}}\;$ du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure $\;O_{\text{inf}}\;$ du fil inférieur sans ou avec torsion ${\big )}\;$ et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale,

Remarque : si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à $\;\Delta _{C}\;$ est celle du fil supérieur^[25], l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant $\;t\;$ « $\;\alpha (t)-0=\alpha (t)\;$ »^[24] $\Rightarrow$ « $\;{\overline {\Gamma _{\text{tors. sup.}}}}_{\Delta _{C}}(t)=-C\;\alpha (t)\;$ » au même instant $\;t\;$ et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe $\;\Delta _{C}$ nous conduit à « $\;{\overline {\Gamma _{\text{tors. sup.}}}}_{\Delta _{C}}(t)=J_{\Delta _{C}}\;{\ddot {\alpha }}(t)\;$ » soit encore « $\;-C\;\alpha (t)=J_{\Delta _{C}}\;{\ddot {\alpha }}(t)\;$ » et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en $\;\alpha (t)$

«

\;J_{\Delta _{C}}\;{\ddot {\alpha }}(t)+C\;\alpha (t)=0\;

» et

Remarque : si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à $\;\Delta _{C}\;$ sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur^[25], l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant $\;t$ , « $\;\alpha (t)-0=\alpha (t)\;$ »^[24] $\Rightarrow$ « $\;{\overline {\Gamma _{\text{tors. sup.}}}}_{\Delta _{C}}(t)={\overline {\Gamma _{\text{tors. inf.}}}}_{\Delta _{C}}(t)=-C\;\alpha (t)\;$ » au même instant $\;t\;$ et l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe $\;\Delta _{C}$ nous conduit à « $\;{\overline {\Gamma _{\text{tors. sup.}}}}_{\Delta _{C}}(t)+{\overline {\Gamma _{\text{tors. inf.}}}}_{\Delta _{C}}(t)=J_{\Delta _{C}}\;{\ddot {\alpha }}(t)\;$ » soit encore « $\;-2\;C\;\alpha (t)=J_{\Delta _{C}}\;{\ddot {\alpha }}(t)\;$ » et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en $\;\alpha (t)$

«

\;J_{\Delta _{C}}\;{\ddot {\alpha }}(t)+2\;C\;\alpha (t)=0\;

».

Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation

Ce paragraphe est traité avec le pendule de torsion décrit au paragraphe « présentation du pendule de torsion (non amorti) » plus haut dans ce chapitre.

Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti)

Au paragraphe « Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) » nous avons établi l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion $\;{\big (}$ non amorti ${\big )}\;$ sous la forme « $\;J_{\Delta _{C}}\;{\ddot {\theta }}(t)+2\;C\;\theta (t)=2\;C\;\theta _{1}\;$ », nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par $\;J_{\Delta _{C}}\;$ soit

«

\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {2\;C}{J_{\Delta _{C}}}}\;\theta (t)={\dfrac {2\;C}{J_{\Delta _{C}}}}\;\theta _{1}\;

».

Remarque : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I^[21]. de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à $\;\alpha _{0}>0$ $\;{\big (}$ abscisse angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure $\;O_{\text{sup}}\;$ du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure $\;O_{\text{inf}}\;$ du fil inférieur sans ou avec torsion ${\big )}\;$ et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale,

Remarque : si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en $\;\alpha (t)$ déterminée précédemment « $\;J_{\Delta _{C}}\;{\ddot {\alpha }}(t)+C\;\alpha (t)=0\;$ », nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par $\;J_{\Delta _{C}}\;$ soit

«

\;{\ddot {\alpha }}(t)+{\dfrac {C}{J_{\Delta _{C}}}}\;\alpha (t)=0\;

» et

Remarque : si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en $\;\alpha (t)$ déterminée précédemment « $\;J_{\Delta _{C}}\;{\ddot {\alpha }}(t)+2\;C\;\alpha (t)=0\;$ », nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par $\;J_{\Delta _{C}}\;$ soit

«

\;{\ddot {\alpha }}(t)+{\dfrac {2\;C}{J_{\Delta _{C}}}}\;\alpha (t)=0\;

».

Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation »

L'équation différentielle normalisée du pendule de torsion $\;{\big (}$ non amorti ${\big )}\;$ « $\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {2\;C}{J_{\Delta _{C}}}}\;\theta (t)={\dfrac {2\;C}{J_{\Delta _{C}}}}\;\theta _{1}\;$ » étant une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre avec un 2^nd membre constant est effectivement la 1^re définition d'un « oscillateur harmonique non amorti »^[27] ;

on vérifie que $\;\theta _{1}\;$ est la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène^[28], laquelle représente l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide que l'on obtiendrait dans l'hypothèse de frottements,

la pulsation propre « $\;\omega _{0}\;$ » du pendule de torsion $\;{\big (}$ non amorti ${\big )}\;$ étant « $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {2\;C}{J_{\Delta _{C}}}}}\;$ »^[29], la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme « $\;\theta _{\mathit {l}}(t)=$ $A\;\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)+B\;\sin \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$ »^[30]^, ^[31] ;

on en déduit la solution transitoire « $\;\theta (t)=\theta _{1}+A\;\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)+B\;\sin \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$ »^[32], $\;A\;$ et $\;B\;$ se déterminant à l’aide des C.I^[21]. soit

$\;\theta (0)=\theta _{0}\;$ $\Rightarrow$ $\;\theta _{1}+A=\theta _{0}\;$ d'où $\;A=\theta _{0}-\theta _{1}\;$ et
$\;{\dot {\theta }}(0)=0\;$ $\Rightarrow$ $\;B\;\omega _{0}=0\;$ ^[33] d'où $\;B=0\;$

finalement la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion $\;{\big (}$ non amorti ${\big )}\;$ avec ces C.I^[21]. « abscisse angulaire initiale $\;\theta _{0}\;$ et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit selon

«

\;\theta (t)=\theta _{1}+\left(\theta _{0}-\theta _{1}\right)\;\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;

»^[34] ;

     finalement la période propre d’oscillation du pendule de torsion s’écrit selon « $\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {J_{\Delta _{C}}}{2\;C}}}\;$ »,
     finalement $\;{\mathcal {T}}_{0}\nearrow \;$ quand l’inertie du solide « tige + masselottes » $\;\nearrow \;$ c'est-à-dire quand $\;J_{\Delta _{C}}\nearrow \;$ ce qui est réalisé en écartant les masselottes de l'axe $\;\Delta _{C}$ $\;{\big (}$ correspondant à $\;x\nearrow {\big )}\;$ ou
                  finalement quand la constante de torsion des fils $\;C\searrow$ $\;{\bigg [}$ d'après le « complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion » exposé plus haut dans ce chapitre « $\;C=$ ${\dfrac {\pi }{2}}\;{\dfrac {d^{4}}{\mathit {l}}}\;G\;$ » avec $\;G\;$ le module d'élasticité transversale^[35] du matériau composant le fil de torsion^[12], $\;d\;$ étant son diamètre et $\;{\mathit {l}}\;$ sa longueur, on en déduit que « $\;C\searrow \;$ » quand le diamètre du fil « $\;d\searrow \;$ » ou quand sa longueur « $\;{\mathit {l}}\nearrow \;$ » ou encore quand le module d'élasticité transversale^[35] du matériau composant le fil « $\;G\searrow \;$ »^[12]^,^[36] ${\bigg ]}$ ;

finalement on notera l’isochronisme des oscillations^[37], cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique.

     Exemple numérique : Considérant un fil d'acier de module d'élasticité transversale^[35] $\;G_{\text{acier}}=81\;GPa\;$ ^[12], de diamètre $\;d=0,50\;mm\;$ et de longueur $\;{\mathit {l}}=0,50\;m$ , sa constante de torsion $\;C\;$ est évaluée à $\;C={\dfrac {\pi }{2}}\;{\dfrac {d^{4}}{\mathit {l}}}\;G={\dfrac {\pi }{2}}\times {\dfrac {\left(0,50\;10^{-3}\right)^{4}}{0,50}}\times 81\;10^{9}\;$ soit « $\;C\simeq 1,59\;10^{-2}\;N\cdot m\;$ »,
     Exemple numérique : Considérant un solide constitué d'une tige de masse $\;m_{\text{tige}}=100\;g$ , de longueur $\;{\mathit {l}}_{\text{tige}}=30\;cm\;$ et
     Exemple numérique : Considérant un solide constitué de deux masselottes de masse individuelle $\;m_{\text{masselotte}}=150\;g$ , de rayon $\;R_{\text{masselotte}}=2,0\;cm\;$ et de longueur $\;{\mathit {l}}_{\text{masselotte}}=$ $3,0\;cm$ , positionnées symétriquement, de part et d'autre de $\;\Delta _{C}$ , à la distance $\;x=10\;cm$ , d'où
     Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide $\;J_{\Delta _{C}}=J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)+2\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{masselotte}}\right)\;$ d'après le caractère additif du moment d'inertie^[20] avec
                  Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide $\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)={\dfrac {1}{12}}\;m_{\text{tige}}\;{\mathit {l}}_{\text{tige}}^{\,2}\;$ ^[15] $={\dfrac {0,10\times \left(0,30\right)^{2}}{12}}=7,5\;10^{-4}\;kg\cdot m^{2}\;$ et
                  Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide $\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{masselotte}}\right)=m_{\text{masselotte}}\left({\dfrac {1}{4}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2}+{\dfrac {1}{12}}\;{\mathit {l}}_{\text{masselotte}}^{\,2}+x^{2}\right)\;$ ^[18]^,^[19] donnant numériquement $\;0,15\times \left[{\dfrac {\left(2,0\;10^{-}2\right)^{2}}{4}}+{\dfrac {\left(3,0\;10^{-}2\right)^{2}}{12}}+\left(0,10\right)^{2}\right]\simeq 15,26\;10^{-3}\;kg\cdot m^{2}\;$ d'où
     Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide $\;J_{\Delta _{C}}\;$ est évalué selon $\;J_{\Delta _{C}}=J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)+2\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{masselotte}}\right)\simeq 7,5\;10^{-4}+2\times 15,26\;10^{-3}\;$ soit « $\;J_{\Delta _{C}}\simeq 3,8\;10^{-3}\;kg\cdot m^{2}\;$ » ;

Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est $\;{\mathcal {T}}_{0,\,{\text{tige + masselottes}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {J_{\Delta _{C}}}{2\;C}}}\;$ soit numériquement $\;{\mathcal {T}}_{0,\,{\text{tige + masselottes}}}\simeq 2\times \pi \times {\sqrt {\dfrac {3,8\;10^{-3}}{2\times 1,59\;10^{-2}}}}\simeq 2,17\;s\;$ et
Exemple numérique : la période propre d'oscillation du pendule de torsion, en absence de masselottes $\;{\mathcal {T}}_{0,\,{\text{tige}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)}{2\;C}}}\simeq 2\times \pi \times {\sqrt {\dfrac {7,4\;10^{-4}}{2\times 1,59\;10^{-2}}}}\simeq 0,96\;s$ .

Remarque : Dans l'hypothèse d'un pendule de torsion qui serait relié à un fil de torsion supérieur et à un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I^[21]. de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à $\;\alpha _{0}>0$ $\;{\big (}$ abscisse angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure $\;O_{\text{sup}}\;$ du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure $\;O_{\text{inf}}\;$ du fil inférieur sans ou avec torsion ${\big )}\;$ et un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale,

Remarque : si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en $\;\alpha (t)\;$ s'écrivant « $\;{\ddot {\alpha }}(t)+{\dfrac {C}{J_{\Delta _{C}}}}\;\alpha (t)=0\;$ », on en déduit la pulsation propre « $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {C}{J_{\Delta _{C}}}}}\;$ »^[29] puis la période propre d'oscillation « $\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {J_{\Delta _{C}}}{C}}}\;$ », suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion « $\;\alpha (t)=\alpha _{0}\;\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$ »^[38]^,^[34] $\;{\big (}$ numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par $\;{\sqrt {2}}\;$ par rapport à celle déterminée hors remarque soit $\;{\mathcal {T}}_{0,\,{\text{tige + masselottes}}}\simeq 2,17\times {\sqrt {2}}\simeq 3,07\;s\;$ ou $\;{\mathcal {T}}_{0,\,{\text{tige}}}\simeq 0,96\times {\sqrt {2}}\simeq 1,36\;s{\big )}\;$ et

Remarque : si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en $\;\alpha (t)\;$ s'écrivant « $\;{\ddot {\alpha }}(t)+{\dfrac {2\;C}{J_{\Delta _{C}}}}\;\alpha (t)=0\;$ », on en déduit la pulsation propre « $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {2\;C}{J_{\Delta _{C}}}}}\;$ »^[29] puis la période propre d'oscillation « $\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {J_{\Delta _{C}}}{2\;C}}}\;$ », suivi de la loi horaire d'abscisse angulaire du pendule de torsion « $\;\alpha (t)=\alpha _{0}\;\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$ »^[38]^,^[34] $\;{\big (}$ numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque soit $\;{\mathcal {T}}_{0,\,{\text{tige + masselottes}}}\simeq 2,17\;s\;$ ou $\;{\mathcal {T}}_{0,\,{\text{tige}}}\simeq 0,96\;s{\big )}$ .

Complément, pendule de torsion amorti

Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti

On reprend le dispositif représenté au paragraphe « présentation du pendule de torsion » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton $\;{\big (}$ ou autre matériau ${\big )}\;$ positionnées perpendiculairement à leur déplacement $\;{\big (}$ c'est-à-dire en position verticale parallèlement à la tige les supportant ${\big )}\;$ voir figure ci-contre en vue de dessus.

Remarque : On peut faire un « enregistrement »^[39] par oscilloscope numérique $\;{\big (}$ le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes ${\big )}\;$ à l’aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente $\;{\big (}$ la position angulaire $\;\theta =\theta _{1}\;$ correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle ${\big )}$ , l’interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique $\;{\big (}$ voir ci-dessous à droite ${\big )}$ :

Remarque : Description de l'interfaçage $\;{\big (}$ voir ci-contre ${\big )}$ : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée $\;{\big (}$ A.S. ${\big )}\;$ ^[40] plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci^[41], une 3^ème électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4^ème électrode est solidaire de la tige ;
Remarque : Description de l'interfaçage : ainsi entre la 4^ème électrode mobile solidaire du pendule et la 3^ème électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension $\;\propto \;$ à l’angle de rotation du pendule par rapport à sa position d’équilibre soit « $\;\theta (t)-\theta _{1}\;$ ».

Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes

Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile $\;{\big (}$ ou dans un liquide plus ou moins visqueux^[42] immobile ${\big )}\;$ sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible^[43] ;

les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe $\;\Delta _{C}\;$ de rotation, chaque point $\;M_{i,\,1}\;$ de l'ailette $\;\left(1\right)\;$ ayant un symétrique $\;M_{i,\,2}\;$ de l'ailette $\;\left(2\right)\;$ de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces^[44] et par suite que l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire^[45] dont le moment scalaire relativement à $\;\Delta _{C}\;$ est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur $\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2}\right\rbrace \;$ pour $\;i\;$ variant de $\;1\;$ à $\;N\;$ le nombre de points matériels de l'ailette $\;\left(1\right)$ $\;{\big [}$ ou $\;\left(2\right){\big ]}\;$ soit $\;{\overline {\Gamma _{\text{flui.}}}}_{\Delta _{C}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left\lbrace {\overline {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,1})\;\left(M_{i,\,1}M_{i,\,2}\right)\right\rbrace \;$ ^[46] ou, avec $\;\left(M_{i,\,1}M_{i,\,2}\right)=$ $2\;r_{i}$ $\;{\big (}r_{i}\;$ étant la distance orthogonale commune de $\;M_{i,\,1}\;$ ou $\;M_{i,\,2}\;$ à $\;\Delta _{C}{\big )}\;$ et $\;{\overline {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,1})=-h\;r_{i}\;{\dot {\theta }}(t)\;$ on en déduit $\;{\overline {\Gamma _{\text{flui.}}}}_{\Delta _{C}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left\lbrace -h\;r_{i}\;{\dot {\theta }}(t)\left(2\;r_{i}\right)\right\rbrace =-\left\lbrace 2\;h\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}r_{i}^{2}\right]\right\rbrace \;{\dot {\theta }}(t)\;$ soit finalement
un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à $\;\Delta _{C}\;$ s'écrivant selon

«

\;{\overline {\Gamma _{\text{flui.}}}}_{\Delta _{C}}=-H\;{\dot {\theta }}(t)\;

» avec

\;H\;

une constante positive exprimée en «

\;N\cdot m\cdot s=kg\cdot m^{2}\cdot s\;

»
                                                  dépendant de la nature du matériau des ailettes,
                                                                      dépendant de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et
                                                   dépendant du fluide sur lequel frottent les ailettes.

Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti

L’application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe $\;\Delta _{C}$ , compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à $\;\Delta _{C}\;$ sont respectivement $\;{\overline {\Gamma _{\text{tors. sup.}}}}_{\Delta _{C}}=-C\left[\theta (t)-2\;\theta _{1}\right]$ , $\;{\overline {\Gamma _{\text{tors. inf.}}}}_{\Delta _{C}}=-C\;\theta (t)\;$ et $\;{\overline {\Gamma _{\text{flui.}}}}_{\Delta _{C}}=-H\;{\dot {\theta }}(t)\;$ »^[47], « les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles »^[48], nous conduit à « $\;{\overline {\Gamma _{\text{tors. sup.}}}}_{\Delta _{C}}+{\overline {\Gamma _{\text{tors. inf.}}}}_{\Delta _{C}}+{\overline {\Gamma _{\text{flui.}}}}_{\Delta _{C}}=$ $J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}+{\text{ailettes}}\right)\;{\ddot {\theta }}(t)\;$ » soit encore « $\;-C\left[\theta (t)-2\;\theta _{1}\right]-C\;\theta (t)-H\;{\dot {\theta }}(t)=$ $J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}+{\text{ailettes}}\right)\;{\ddot {\theta }}(t)\;$ » à résoudre avec les mêmes C.I^[21]. que celles du paragraphe « mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) » plus haut dans ce chapitre^[26] et finalement, en ordonnant l'équation différentielle en $\;\theta (t)$

«

\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}+{\text{ailettes}}\right)\;{\ddot {\theta }}(t)+H\;{\dot {\theta }}(t)+2\;C\;\theta (t)=2\;C\;\theta _{1}\;

»,

soit enfin, en normalisant, « $\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {H}{J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}+{\text{ailettes}}\right)}}\;{\dot {\theta }}(t)+{\dfrac {2\;C}{J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}+{\text{ailettes}}\right)}}\;\theta (t)={\dfrac {2\;C}{J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}+{\text{ailettes}}\right)}}\;\theta _{1}\;$ » c'est-à-dire l'équation différentielle d'un « oscillateur harmonique amorti »^[49].

Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti

Préliminaire : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple $\;m_{\text{ailette}}\simeq 1,0\;g$ , on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe $\;\Delta _{C}\;$ avec le moment d'inertie de la tige par rapport à $\;\Delta _{C}\;$ selon « $\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}+{\text{ailettes}}\right)=J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right){\cancel {+\;2\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{ailette}}\right)}}\simeq J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)\;$ » d'où la réécriture de l'équation différentielle normalisée du pendule de torsion amorti « $\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {H}{J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)}}\;{\dot {\theta }}(t)+{\dfrac {2\;C}{J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)}}\;\theta (t)={\dfrac {2\;C}{J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)}}\;\theta _{1}\;$ ».

Réduction canonique : la réduction canonique de ce pendule de torsion amorti nous conduit à définir^[50] :

la pulsation propre du pendule « $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {2\;C}{J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)}}}\;$ » $\;{\bigg \{}$ dont on déduit « $\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)\;\omega _{0}={\dfrac {2\;C}{\omega _{0}}}\;$ » ${\bigg \}}$ ,
le cœfficient d'amortissement du pendule « $\;\sigma \;$ » tel que « $\;{\dfrac {H}{J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)}}=2\;\sigma \;\omega _{0}\;$ » soit « $\;\sigma ={\dfrac {H}{2\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)\;\omega _{0}}}={\dfrac {H\;\omega _{0}}{4\;C}}={\dfrac {H}{2\;{\sqrt {2\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)\;C}}}}\;$ » ou
le facteur de qualité du pendule « $\;Q={\dfrac {1}{2\;\sigma }}={\dfrac {J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)\;\omega _{0}}{H}}={\dfrac {2\;C}{H\;\omega _{0}}}={\dfrac {\sqrt {2\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)\;C}}{H}}\;$ » d'où

Réduction canonique : la réécriture de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti sous forme canonique

«

\;{\ddot {\theta }}(t)+2\;\sigma \;\omega _{0}\;{\dot {\theta }}(t)+\omega _{0}^{2}\;\theta (t)=\omega _{0}^{2}\;\theta _{1}\;

»
ou «

\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {\omega _{0}}{Q}}\;{\dot {\theta }}(t)+\omega _{0}^{2}\;\theta (t)=\omega _{0}^{2}\;\theta _{1}\;

».

Résolution de l'équation différentielle : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre à excitation constante, sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit « $\;\theta (t)=$ $\theta _{\mathit {f}}+\theta _{\mathit {l}}(t)\;$ »^[32],

la solution forcée est la même que celle du pendule de torsion non amorti à savoir « $\;\theta _{\mathit {f}}=\theta _{1}\;$ »^[51] et
la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique « $\;s^{2}+2\;\sigma \;\omega _{0}\;s+\omega _{0}^{2}=0\;$ »^[52], cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de $\;\sigma \;$ ^[53]
la solution libre $\;\succ \;$ pour $\;\sigma <1\;$ ^[54] la solution libre est pseudo-périodique de « pseudo-pulsation $\;\omega =\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}\;$ » correspondant à une « pseudo-période $\;{\mathcal {T}}={\dfrac {2\;\pi }{\omega }}=$ ${\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}}={\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\;$ » $\;>{\mathcal {T}}_{0}$ $\;{\bigg [}$ dans lequel $\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {J_{\Delta _{C}\!\left({\text{tige}}\right)}}{2\;C}}}\;$ » est la période propre du pendule de torsion non amorti ${\bigg ]}$ , $\;{\big (}$ la pseudo-période $\;{\mathcal {T}}\;$ s'écartant d’autant plus de la période propre $\;{\mathcal {T}}_{0}\;$ que le cœfficient d’amortissement $\;\sigma \;$ se rapproche de $\;1{\big )}$ , la forme de la solution libre étant « $\;\theta _{\mathit {l}}(t)=A\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t+\varphi \right)\;$ », $\;A\;$ et $\;\varphi \;$ étant deux constantes réelles arbitraires,
la solution libre $\;\succ \;$ pour $\;\sigma =1\;$ ^[55] la solution libre est apériodique critique de forme « $\;\theta _{\mathit {l}}(t)=\left(A+B\;t\right)\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\;$ », $\;A\;$ et $\;B\;$ étant deux constantes réelles arbitraires et
la solution libre $\;\succ \;$ pour $\;\sigma >1\;$ ^[56] la solution libre est apériodique de forme « $\;\theta _{\mathit {l}}(t)=A_{+}\,\exp \!\left[-\omega _{0}\left(\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,t\right]+A_{-}\,\exp \!\left[-\omega _{0}\left(\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,t\right]\;$ », $\;A_{+}\;$ et $\;A_{-}\;$ étant deux constantes réelles arbitraires ;

     Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire du pendule de torsion amorti prend donc, suivant le type de régime libre $\;{\big (}$ ou la valeur de $\;\sigma {\big )}$ , la forme suivante :
     Résolution de l'équation différentielle : $\;\succ \;$ pour $\;\sigma <1$ $\;{\big (}$ régime pseudo-périodique ${\big )}\;$ « $\;\theta (t)=\theta _{1}+A\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t+\varphi \right)\;$ », $\;A\;$ et $\;\varphi \;$ se déterminant à l'aide des C.I^[21]., la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un amortissement exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre $\;\theta _{\text{éq}}=\theta _{1}$ , amortissement exponentiel de constante de temps $\;\tau _{\text{amortis}}={\dfrac {1}{\sigma \;\omega _{0}}}={\dfrac {2\;J_{\Delta _{C}}}{H}}$ , la pseudo-période $\;{\mathcal {T}}={\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\;$ des pseudo-oscillations ${\bigg [}$ avec $\;{\mathcal {T}}_{0}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {J_{\Delta _{C}\!\left({\text{tige}}\right)}}{2\;C}}}\;$ période propre du pendule de torsion non amorti ${\bigg ]}\;$ étant d'autant plus grande que $\;\sigma \;$ est proche de sa valeur critique $\;\sigma _{c}=1$ $\;{\Big (}$ avec $\;\lim \limits _{\sigma \,\rightarrow \,1}{\mathcal {T}}=+\infty {\Big )}$ ,
     Résolution de l'équation différentielle : $\;\succ \;$ pour $\;\sigma =1$ $\;{\big (}$ régime apériodique critique ${\big )}\;$ « $\;\theta (t)=\theta _{1}+\left(A+B\;t\right)\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\;$ », $\;A\;$ et $\;B\;$ se déterminant à l'aide des C.I^[21]., la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un un retour direct à la valeur d'équilibre $\;\theta _{\text{éq}}=\theta _{1}$ $\;{\big [}$ retour direct dans la mesure où la C.I^[21]. de vitesse est $\;{\dot {\theta }}(0)=0{\big ]}\;$ et
     Résolution de l'équation différentielle : $\;\succ \;$ pour $\;\sigma >1$ $\;{\big (}$ régime apériodique ${\big )}\;$ « $\;\theta (t)=\theta _{1}+A_{+}\,\exp \!\left[-\omega _{0}\left(\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,t\right]+A_{-}\,\exp \!\left[-\omega _{0}\left(\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,t\right]\;$ », $\;A_{+}\;$ et $\;A_{-}\;$ se déterminant à l'aide des C.I^[21]., la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti dans son régime apériodique critique traduisant un un retour direct à la valeur d'équilibre $\;\theta _{\text{éq}}=\theta _{1}$ $\;{\big [}$ retour direct dans la mesure où la C.I^[21]. de vitesse est $\;{\dot {\theta }}(0)=0{\big ]}$ , ce retour se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que $\;\sigma \;$ est grand.

     Diagrammes temporelles de position angulaire : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur (d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0 » du chap. $28$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en remplaçant
     Diagrammes temporelles de position angulaire : $\;u_{C}(t)\;$ par $\;\theta (t)$ ,
     Diagrammes temporelles de position angulaire : $\;u_{C}(0^{-})=0\;$ par $\;\theta (0^{-})=\theta _{0}>\theta _{1}\;$ et
     Diagrammes temporelles de position angulaire : $\;u_{C}(\infty )=E=1\;V\;$ par $\;\theta (\infty )=\theta _{1}$ .

Notes et références

↑ Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale $\;{\big (}$ différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion ${\big )}$ .
↑ C'est-à-dire que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.
↑ Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale $\;{\big (}$ en valeur absolue ${\big )}\;$ dans le sens « $\;-\;$ » moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».
↑ Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation $\;{\big (}$ c'est-à-dire le fil de torsion ${\big )}$ ;
pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur $\;{\big (}$ l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière ${\big )}$ ;
pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur « $\;2\;$ » devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion $\;\ldots$
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 ^5,3 ^5,4 ^5,5 ^5,6 et ^5,7
L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence $\;{\big (}$ $\;{\big (}$ en fait l'extrémité fixe ${\big )}$ ${\big )}$ , il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue $\;{\big (}$ $\;{\big (}$ donc l'extrémité mobile ${\big )}\;$ ${\big )}\;$ par rapport à cette extrémité de référence, le sens « $\;+\;$ $\;+\;$ » de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi
- de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile $\;{\big \{}$ exemple du schéma du paragraphe « notion de fil de torsion » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » ${\big \}}\;$ ou
- de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe $\;{\big \{}$ exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » ${\big \}}$ .
↑ Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion $\;{\vec {\Gamma }}_{\text{tors}}\;$ », c'est évidemment à rectifier $\;\ldots$
↑ Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment « $\;{\vec {\Gamma }}_{\text{tors}}\;$ ».
↑ ^8,0 ^8,1 ^8,2 et ^8,3 Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche $\;{\big (}$ c'est-à-dire dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire ${\big )}\;$ quand il subit une translation dans le sens $\;+\;$ de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et
elle est « gauche » si le point tourne sur la droite $\;{\big (}$ c'est-à-dire dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire ${\big )}\;$ quand il subit une translation dans le sens $\;+\;$ de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée
$\;{\big [}$ revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule » du chap. $24$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ${\big ]}$ .
↑ ^9,0 ^9,1 ^9,2 et ^9,3 Plus exactement dans le sens « $\;-\;$ » si l'angle de torsion est « $\;>0\;$ » $\;{\big [}$ le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à $\;{\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}{\big ]}\;$ et
Plus exactementdans le sens « $\;+\;$ » si l'angle de torsion est « $\;<0\;$ » $\;{\big [}$ le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que $\;{\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}{\big ]}$ .
↑ On rappelle que le « $\;rad\;$ » n'étant pas une unité physique $\;{\big (}$ c'est-à-dire une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres ${\big )}\;$ mais une unité mathématique $\;{\big (}$ c'est-à-dire une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible ${\big )}\;$ il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques $\;\ldots$
↑ Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806) officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.
↑ ^12,0 ^12,1 ^12,2 ^12,3 ^12,4 ^12,5 et ^12,6
Le module de Coulomb est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par « $\;G={\dfrac {E}{2\left(1+\nu \right)}}\;$ $\;G={\dfrac {E}{2\left(1+\nu \right)}}\;$ » avec « $\;E\;$ $\;E\;$ module de Young du matériau $\;{\big (}$ $\;{\big (}$ ou module d’élasticité longitudinale ou encore module de traction ${\big )}\;$ ${\big )}\;$ » et « $\;\nu \;$ $\;\nu \;$ cœfficient de Poisson » ;
le module de Young d'un matériau est défini par « $\;E={\dfrac {\sigma }{\varepsilon }}\;$ $\;E={\dfrac {\sigma }{\varepsilon }}\;$ » où « $\;\sigma ={\dfrac {F}{S}}\;$ $\;\sigma ={\dfrac {F}{S}}\;$ est la contrainte imposée en $\;Pa$ $\;Pa$ , $\;F\;$ $\;F\;$ étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire $\;S\;$ $\;S\;$ » et « $\;\varepsilon ={\dfrac {\Delta {\mathit {l}}}{\mathit {l}}}\;$ $\;\varepsilon ={\dfrac {\Delta {\mathit {l}}}{\mathit {l}}}\;$ l'allongement relatif sans unité », le module de Young $\;E\;$ $\;E\;$ s'exprime donc en $\;Pa$ $\;Pa$ ; quelques exemples :
- l'acier $\;E_{\text{acier}}=210\;GPa=2,1\;Mbar$ ,
- le tungstène $\;E_{W}=357\;GPa=3,57\;Mbar\;$ et
- le caoutchouc $\;E_{\text{caoutchouc}}=1,5\;GPa=15\;kbar$ ;
le cœfficient de Poisson d’un matériau est défini par « $\;\nu ={\dfrac {\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}}}={\dfrac {\dfrac {d_{0}-d}{d_{0}}}{\dfrac {{\mathit {l}}-{\mathit {l}}_{0}}{{\mathit {l}}_{0}}}}\;$ $\;\nu ={\dfrac {\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}}}={\dfrac {\dfrac {d_{0}-d}{d_{0}}}{\dfrac {{\mathit {l}}-{\mathit {l}}_{0}}{{\mathit {l}}_{0}}}}\;$ » de valeur toujours « $\;\lesssim \;$ $\;\lesssim \;$ à $\;0,5\;$ $\;0,5\;$ » et souvent « $\;\simeq 0,3\;$ $\;\simeq 0,3\;$ » $\;{\big \{}$ $\;{\big \{}$ remarque : on a pu fabriquer des matériaux de cœfficient de Poisson « $\;\simeq 0\;$ $\;\simeq 0\;$ » correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de cœfficient de Poisson « $\;<0\;$ $\;<0\;$ » $\;{\big (}$ $\;{\big (}$ les matériaux étant alors qualifiés d'« auxétiques », la limite inférieure des cœfficients de Poisson de tels matériaux étant de nos jours « $\;-1\;$ $\;-1\;$ » ${\big )}\;$ ${\big )}\;$ correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial $\;{\big (}$ $\;{\big (}$ étonnant non ! ${\big )}{\big \}}$ ${\big )}{\big \}}$ ; quelques exemples :
- l'acier $\;\nu _{\text{acier}}=0,30$ ,
- le tungstène $\;\nu _{W}=0,19\;$ et
- le caoutchouc $\;\nu _{\text{caoutchouc}}=0,50$ ;
des valeurs du module de Young $\;E\;$ $\;E\;$ et du cœfficient de Poisson $\;\nu \;$ $\;\nu \;$ des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du module de Coulomb pour ces exemples :
- l'acier $\;G_{\text{acier}}={\dfrac {E_{\text{acier}}}{2\left(1+\nu _{\text{acier}}\right)}}={\dfrac {210\;GPa}{2\times \left(1+0,30\right)}}\simeq 81\;GPa$ ,
- le tungstène $\;G_{W}={\dfrac {E_{W}}{2\left(1+\nu _{W}\right)}}={\dfrac {357\;GPa}{2\times \left(1+0,19\right)}}\simeq 150\;GPa$ $\;{\big (}$ correspondant à l'un des plus grands modules de Coulomb ${\big )}\;$ et
- le caoutchouc $\;G_{\text{caoutchouc}}={\dfrac {E_{\text{caoutchouc}}}{2\left(1+\nu _{\text{caoutchouc}}\right)}}={\dfrac {1,5\;GPa}{2\times \left(1+0,50\right)}}\simeq 0,5\;GPa$ $\;{\big (}$ correspondant à l'un des plus faibles modules de Coulomb ${\big )}$ ;
Thomas Young (1773 - 1829) est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du module d'Young en sciences des matériaux et son expérience des fentes d'Young en optique ;
Siméon Denis Poisson (1781 - 1840) est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique $\;{\big (}$ $\;{\big (}$ dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme ${\big )}$ ${\big )}$ .
↑ On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté $\;{\big (}$ ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente ${\big )}$ .
↑ ^14,0 et ^14,1 L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur $\;{\big \{}$ on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » plus haut dans le chapitre car « $\;{\overrightarrow {A_{0}B_{0}}}\;$ » est lié à l'extrémité $\;O_{\text{sup}}\;$ du fil supérieur et « $\;{\overrightarrow {AB}}\;$ » à l’extrémité mobile $\;C\;$ et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur ${\big \}}$ .
↑ ^15,0 et ^15,1 Voir le paragraphe « exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie » du chap. $3$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » $\;{\big [}$ on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie $\;{\big (}$ ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être ${\big )}{\big ]}\;\ldots$
↑ ^16,0 et ^16,1 Centre D'Inertie.
↑ L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du pendule de torsion.
↑ ^18,0 et ^18,1 Voir le paragraphe « exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie » du chap. $3$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » $\;{\big [}$ on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie $\;{\big (}$ ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être ${\big )}{\big ]}\;\ldots$
↑ ^19,0 et ^19,1 Voir le paragraphe « complément : théorème de Huygens » du chap. $3$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ;
Christian Huygens (1629 – 1695) [ou Huyghens] est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.
↑ ^20,0 et ^20,1 Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble (disjoint) de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.
↑ ^21,00 ^21,01 ^21,02 ^21,03 ^21,04 ^21,05 ^21,06 ^21,07 ^21,08 ^21,09 ^21,10 et ^21,11 Condition(s) Initiale(s).
↑ Nous supposerons que $\;\theta _{0}\;$ est $\;<\;$ à $\;2\;\theta _{1}\;$ de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit $\;t$ ;
Nous supposerons si $\;\theta _{0}\;$ était $\;>\;$ à $\;2\;\theta _{1}$ , le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^re fois à l'instant $\;t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\;$ tel que $\;\theta (t_{\text{inv. tors. sup., 1}})=2\;\theta _{1}\;$ en $\;\searrow$ , instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant $\;t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\;$ tel que $\;\theta (t_{\text{inv. tors. sup., 2}})=2\;\theta _{1}\;$ en $\;\nearrow \;$ à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre $\;\ldots$
Nous supposerons si θ₀ était supérieur à 2 θ₁, nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique $\;{\big (}$ ce qui est bien ce que nous avons considéré ${\big )}$ .
↑ Voir le paragraphe « présentation du pendule de torsion (non amorti) » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^24,0 ^24,1 ^24,2 et ^24,3 Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « ¹⁴ » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^25,0 ^25,1 et ^25,2 C'est-à-dire le poids de la tige appliqué en $\;C$ , celui de chaque masselotte lequel est $\;\parallel \;$ à l'axe $\;\Delta _{C}\;$ et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en $\;C$ $\;{\big [}$ voir le paragraphe « définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ${\big ]}$ .
↑ ^26,0 et ^26,1 Initialement quand « $\;\theta _{1}<\theta _{0}<2\;\theta _{1}\;$ », le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant « $\;-C\left[\theta _{0}-2\;\theta _{1}\right]>0\;$ » et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant « $\;-C\;\theta _{0}<0\;$ » de valeur absolue $\;C\;\theta _{0}\;$ plus grande que le précédent car $\;C\;\theta _{0}-\left\lbrace -C\left[\theta _{0}-2\;\theta _{1}\right]\right\rbrace =2\;C\left[\theta _{0}-\theta _{1}\right]>0\;$ on en déduit une rotation initiale dans le sens « $\;-\;$ » ;
si initialement on imposait « $\;\theta _{0}>2\;\theta _{1}\;$ », le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant « $\;-C\left[\theta _{0}-2\;\theta _{1}\right]<0\;$ » et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant « $\;-C\;\theta _{0}<0\;$ », la valeur absolue du 2^ème $\;C\;\theta _{0}\;$ étant plus grande que celle du 1^er $\;C\left[\theta _{0}-2\;\theta _{1}\right]\;$ car $\;C\;\theta _{0}-C\left[\theta _{0}-2\;\theta _{1}\right]=2\;C\;\theta _{1}>0$ , on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens « $\;-\;$ » ;
nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de $\;\theta _{0}\;$ relativement à $\;2\;\theta _{1}$ $\;{\big [}$ en fait il ne dépend que du placement de $\;\theta _{0}\;$ par rapport à $\;\theta _{1}\;$ et comme $\;\theta _{0}\;$ est $\;>\;$ à $\;\theta _{1}\;$ le sens initial de rotation est le sens « $\;-\;$ », il serait le sens « $\;+\;$ » si on choisissait $\;\theta _{0}<\;$ à $\;\theta _{1}{\big ]}$ .
↑ Voir le paragraphe « définition non énergétique d'un oscillateur harmonique » du chap. $28$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « solution forcée d'une équation différentielle linéaire du 2^ème ordre (à cœfficients réels constants) sans terme du 1^er ordre à excitation constante » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^29,0 ^29,1 et ^29,2 Voir le paragraphe « mise en équation (sous forme canonique) » du chap. $1$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », $\;k\;$ devant être substitué par $\;2\;C$ .
↑ Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ La solution libre pourrait encore être écrite selon « $\;\theta _{\mathit {l}}(t)=A'\;\cos \!\left(\omega _{0}\;t+\varphi \right)\;$ » mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.
↑ ^32,0 et ^32,1 Voir le paragraphe « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ En effet la vitesse angulaire à l'instant $\;t\;$ se calcule selon $\;{\dot {\theta }}(t)=-A\;\omega _{0}\;\sin \!\left(\omega _{0}\;t\right)+B\;\omega _{0}\;\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)$ .
↑ ^34,0 ^34,1 et ^34,2 La solution transitoire « $\;\theta (t)=\theta _{1}+\left(\theta _{0}-\theta _{1}\right)\;\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$ » $\;{\big \{}$ ou « $\;\alpha (t)=\alpha _{0}\;\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$ » ${\big \}}\;$ ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » $\;{\big (}$ en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire « $\;\theta _{\text{éq}}=\theta _{1}\;$ » $\;{\big \{}$ ou « $\;\alpha _{\text{éq}}=0\;$ » ${\big \}}\;$ sans que celle-ci ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps infini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité ${\big )}\;$ mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ;
toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique $\;\ldots$
↑ ^35,0 ^35,1 et ^35,2 Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ;
Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806) officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.
↑ Ainsi, avec un module d'élasticité transversale $\;{\big (}$ ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ${\big )}\;$ du matériau très faible $\;{\big \{}$ par exemple en choisissant du caoutchouc ${\big \}}\;$ la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du pendule de torsion très grande $\;{\big [}$ soit $\;{\mathcal {T}}_{0}\rightarrow \infty \;$ quand $\;G\rightarrow 0$ , ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c'est-à-dire à un pendule de torsion inopérant $\;{\big \{}$ un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un pendule de torsion ${\big \}}{\big ]}$ ;
Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806) officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.
↑ Voir le paragraphe « définition d'isochronisme d'un oscillateur » dans le chap. $12$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ ^38,0 et ^38,1 En effet $\;\alpha (t)=A\;\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)+B\;\sin \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$ dans laquelle $\;A\;$ se détermine par $\;\alpha (0)=\alpha _{0}\;$ soit $\;A=\alpha _{0}\;$ et
avec $\;{\dot {\alpha }}(t)=-A\;\omega _{0}\;\sin \!\left(\omega _{0}\;t\right)+B\;\omega _{0}\;\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$ $\;B\;$ se détermine par $\;{\dot {\alpha }}(0)=0\;$ soit $\;B\;\omega _{0}=0\;$ ou $\;B=0$ .
↑ Méthode d’enregistrement également utilisable pour un pendule de torsion non amorti.
↑ Voir le paragraphe « notion d'alimentation stabilisée (A.S.) » du chap. $22$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.
↑ À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées $\;\ldots$
↑ Voir le paragraphe « forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses (de translation) » du chap $6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point $\;M_{i}\;$ situé à la distance orthogonale $\;r_{i}\;$ de l'axe $\;\Delta _{C}\;$ de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}\!\left(M_{i}\right)=-h\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)=-h\;r_{i}\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta _{i}}(t)\;$ avec $\;h\;$ constante positive $\;{\big (}$ exprimée en $\;kg\cdot s^{-1}{\big )}\;$ caractéristique de la viscosité dynamique du fluide $\;{\big \{}\eta _{\text{flu}}\nearrow \;$ de l'air vers la glycérine ${\big \}}\;$ ainsi que de la densité de ce dernier $\;{\big \{}$ par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère $\;{\big (}$ où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée ${\big )}\;$ que dans l'atmosphère proche du sol ${\big \}}\;$ et $\;{\vec {u}}_{\theta _{i}}(t)\;$ le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point $\;M_{i}\;$ d'axe $\;\Delta _{C}\;$ orienté par le 3^ème vecteur $\;{\vec {u}}_{\Delta _{C}}\;$ de la base.
   La définition de la viscosité dynamique d'un fluide $\;\eta _{\text{flu}}\;$ n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^re notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux $\;{\big (}$ c'est-à-dire qu'il « collera » au plan ${\big )}$ ;
   si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur $\;e\;$ non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure $\;{\big (}$ cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile ${\big )}$ , la vitesse en son sein varie suivant l'altitude $\;z\;$ car la couche inférieure à l'altitude $\;z_{i}=0\;$ tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude $\;z_{s}=e>0\;$ a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude $\;z\in \left]0\,,\,e\right[\;$ va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude $\;z^{+}\;$ qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude $\;z^{-}\;$ qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la contrainte de cisaillement $\;{\big [}$ c'est-à-dire la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard ${\big ]}\;$ que l'on notera $\;\tau _{\text{cis}}={\bigg \Vert }{\dfrac {d{\vec {f}}_{z\,\leftarrow \,z^{+}}}{d\Sigma }}{\bigg \Vert }={\bigg \Vert }{\dfrac {d{\vec {f}}_{z\,\leftarrow \,z^{-}}}{d\Sigma }}{\bigg \Vert }\;$ s'exprimant en $\;Pa$ , $\;d\Sigma \;$ étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique $\;\eta _{\text{flu}}\;$ du fluide par $\;\tau _{\text{cis}}=\eta _{\text{flu}}\;{\bigg \Vert }{\dfrac {d{\vec {V}}_{{\text{couche}}_{z}}}{dz}}{\bigg \Vert }\;$ avec $\;{\vec {V}}_{{\text{couche}}_{z}}\;$ le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude $\;z$ , ceci impliquant que la viscosité dynamique $\;\eta _{\text{flu}}\;$ du fluide s'exprime en $\;Pa\cdot s\;$ ${\big [}$ encore appelé « poiseuille » de symbole $\;Pl$ , ce nom ayant été donné en hommage à Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869) physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux écoulements laminaires des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques ${\big ]}$ ;
   c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite $\;{\big (}$ c'est-à-dire les molécules les plus éloignées des parois de la conduite ${\big )}\;$ ont la vitesse maximale $\;\ldots$
   on définit aussi une autre viscosité appelée viscosité cinématique notée $\;\nu _{\text{flu}}\;$ qui dépend de la viscosité dynamique $\;\eta _{\text{flu}}\;$ du fluide ainsi que de sa masse volumique $\;\rho _{\text{flu}}\;$ selon $\;\nu _{\text{flu}}={\dfrac {\eta _{\text{flu}}}{\rho _{\text{flu}}}}\;$ s'exprimant donc en $\;m^{2}\cdot s^{-1}\;$ ${\big [}$ mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole $\;St\;$ égal à $\;1\,St=$ $10^{-4}\,m^{2}\cdot s^{-1}{\big ]}$ ; George Gabriel Stokes (1819 - 1903) est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre $\;{\big (}$ il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie ${\big )}\;$ et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.
↑ Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces $\;{\big [}$ voir aussi le paragraphe « définition d'un torseur couple » du chap. $1$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » ${\big ]}$ .
↑ En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés $\;{\big (}$ ce qui est le cas ici ${\big )}$ , résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples $\;{\big [}$ voir aussi le paragraphe « somme de deux couples » du chap. $1$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » ${\big ]}$ .
↑ Les deux forces de frottement fluide $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,1})\;$ et $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,2})\;$ opposées tendent à faire tourner le couple $\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2}\right\rbrace \;$ dans le même sens ;
notant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,1})={\overline {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,1})\;{\vec {u}}_{\theta _{(1)}}\\{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,2})={\overline {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,2})\;{\vec {u}}_{\theta _{(2)}}\end{array}}\right\rbrace$ , de $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,2})=-{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,1})\\{\vec {u}}_{\theta _{(2)}}=-{\vec {u}}_{\theta _{(1)}}\end{array}}\right\rbrace \;$ on en déduit $\;{\overline {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,2})={\overline {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,1})\;$ valeur commune qui est $\;<0\;$ si le mouvement à l'instant $\;t\;$ se fait dans le sens $\;+\;$ et $\;>0\;$ s'il se fait dans le sens $\;-$ ;
le bras de levier de $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,1})\;$ étant $\;d\left(\Delta _{C}\,,\,M_{i,\,1}\right)\;$ et celui de $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,2})$ , $\;d\left(\Delta _{C}\,,\,M_{i,\,2}\right)\;$ avec $\;d\left(\Delta _{C}\,,\,M_{i,\,2}\right)=d\left(\Delta _{C}\,,\,M_{i,\,1}\right)={\dfrac {\left(M_{i,\,1}M_{i,\,2}\right)}{2}}\;$ on en déduit $\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta _{C}}\!\left[{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,1})\right]+{\mathcal {M}}_{\!\Delta _{C}}\!\left[{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,2})\right]={\overline {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,1})\;d\left(\Delta _{C}\,,\,M_{i,\,1}\right)+{\overline {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,2})\;d\left(\Delta _{C}\,,\,M_{i,\,2}\right)={\overline {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,1})\;\left(M_{i,\,1}M_{i,\,2}\right)$ .
↑ Les paramètres étant définis au paragraphe « mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) » plus haut dans ce chapitre.
↑ C'est-à-dire le poids de la tige appliqué en $\;C$ , celui de chaque ailette lequel est $\;\parallel \;$ à l'axe $\;\Delta _{C}\;$ et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en $\;C$ $\;{\big [}$ voir le paragraphe « définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ${\big ]}$ .
↑ Voir le paragraphe « définition non énergétique d'un oscillateur harmonique » du chap. $28$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant » du chap. $28$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur $\;k\;$ du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils $\;2\;C$ , la masse $\;m\;$ du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie $\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)\;$ de la tige par rapport à l'axe $\;\Delta _{C}\;$ et l'allongement total du ressort $\;x'\;$ par l'abscisse angulaire $\;\theta \;$ de la tige.
↑ Voir le paragraphe « solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas σ < 1 (faible amortissement) » du chap. $28$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension $\;u_{C}(t)\;$ devant être remplacée par l'élongation angulaire $\;\theta (t)$ .
↑ Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas σ = 1 (amortissement critique) » du chap. $28$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension $\;u_{C}(t)\;$ devant être remplacée par l'élongation angulaire $\;\theta (t)$ .
↑ Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas σ > 1 (fort amortissement) » du chap. $28$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension $\;u_{C}(t)\;$ devant être remplacée par l'élongation angulaire $\;\theta (t)$ .

Mécanique 2 (PCSI)

Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe

Loi du moment cinétique : Pendule pesant

[torsion-1] Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale $\;{\big (}$ différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion ${\big )}$ .

[longitudinal-2] C'est-à-dire que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.

[évolution_de_la_torsion-3] Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale $\;{\big (}$ en valeur absolue ${\big )}\;$ dans le sens « $\;-\;$ » moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».

[choix_de_solide-4] Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation $\;{\big (}$ c'est-à-dire le fil de torsion ${\big )}$ ;
pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur $\;{\big (}$ l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière ${\big )}$ ;
pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur « $\;2\;$ » devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion $\;\ldots$

[angle_de_torsion_d'un_fil-5] 5,0 ^5,1 ^5,2 ^5,3 ^5,4 ^5,5 ^5,6 et ^5,7 L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence $\;{\big (}$ en fait l'extrémité fixe ${\big )}$ , il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue $\;{\big (}$ donc l'extrémité mobile ${\big )}\;$ par rapport à cette extrémité de référence, le sens « $\;+\;$ » de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi
de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile $\;{\big \{}$ exemple du schéma du paragraphe « notion de fil de torsion » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » ${\big \}}\;$ ou

de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe $\;{\big \{}$ exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » ${\big \}}$ .

[6] 'extrémité fixe vers l'extrémité mobile $\;{\big \{}$ exemple du schéma du paragraphe « notion de fil de torsion » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » ${\big \}}\;$ ou

[7] 'extrémité mobile vers l'extrémité fixe $\;{\big \{}$ exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » ${\big \}}$ .

[distinction_couple_moment-6] Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion $\;{\vec {\Gamma }}_{\text{tors}}\;$ », c'est évidemment à rectifier $\;\ldots$

[7] Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment « $\;{\vec {\Gamma }}_{\text{tors}}\;$ ».

[hélice_droite_ou_gauche-8] 8,0 ^8,1 ^8,2 et ^8,3 Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche $\;{\big (}$ c'est-à-dire dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire ${\big )}\;$ quand il subit une translation dans le sens $\;+\;$ de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et
elle est « gauche » si le point tourne sur la droite $\;{\big (}$ c'est-à-dire dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire ${\big )}\;$ quand il subit une translation dans le sens $\;+\;$ de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée
$\;{\big [}$ revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule » du chap. $24$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ${\big ]}$ .

[condition_du_sens_moins-9] 9,0 ^9,1 ^9,2 et ^9,3 Plus exactement dans le sens « $\;-\;$ » si l'angle de torsion est « $\;>0\;$ » $\;{\big [}$ le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à $\;{\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}{\big ]}\;$ et
Plus exactementdans le sens « $\;+\;$ » si l'angle de torsion est « $\;<0\;$ » $\;{\big [}$ le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que $\;{\vec {u}}_{CO_{\text{sup}}}{\big ]}$ .

[rad_unité_non_physique-10] On rappelle que le « $\;rad\;$ » n'étant pas une unité physique $\;{\big (}$ c'est-à-dire une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres ${\big )}\;$ mais une unité mathématique $\;{\big (}$ c'est-à-dire une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible ${\big )}\;$ il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques $\;\ldots$

[Coulomb-11] Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806) officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.

[module_d'élasticité_transversale-12] 12,0 ^12,1 ^12,2 ^12,3 ^12,4 ^12,5 et ^12,6 Le module de Coulomb est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par « $\;G={\dfrac {E}{2\left(1+\nu \right)}}\;$ » avec « $\;E\;$ module de Young du matériau $\;{\big (}$ ou module d’élasticité longitudinale ou encore module de traction ${\big )}\;$ » et « $\;\nu \;$ cœfficient de Poisson » ;
le module de Young d'un matériau est défini par « $\;E={\dfrac {\sigma }{\varepsilon }}\;$ » où « $\;\sigma ={\dfrac {F}{S}}\;$ est la contrainte imposée en $\;Pa$ , $\;F\;$ étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire $\;S\;$ » et « $\;\varepsilon ={\dfrac {\Delta {\mathit {l}}}{\mathit {l}}}\;$ l'allongement relatif sans unité », le module de Young $\;E\;$ s'exprime donc en $\;Pa$ ; quelques exemples :
l'acier $\;E_{\text{acier}}=210\;GPa=2,1\;Mbar$ ,

le tungstène $\;E_{W}=357\;GPa=3,57\;Mbar\;$ et

le caoutchouc $\;E_{\text{caoutchouc}}=1,5\;GPa=15\;kbar$ ;
le cœfficient de Poisson d’un matériau est défini par « $\;\nu ={\dfrac {\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}}}={\dfrac {\dfrac {d_{0}-d}{d_{0}}}{\dfrac {{\mathit {l}}-{\mathit {l}}_{0}}{{\mathit {l}}_{0}}}}\;$ » de valeur toujours « $\;\lesssim \;$ à $\;0,5\;$ » et souvent « $\;\simeq 0,3\;$ » $\;{\big \{}$ remarque : on a pu fabriquer des matériaux de cœfficient de Poisson « $\;\simeq 0\;$ » correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de cœfficient de Poisson « $\;<0\;$ » $\;{\big (}$ les matériaux étant alors qualifiés d'« auxétiques », la limite inférieure des cœfficients de Poisson de tels matériaux étant de nos jours « $\;-1\;$ » ${\big )}\;$ correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial $\;{\big (}$ étonnant non ! ${\big )}{\big \}}$ ; quelques exemples :
l'acier $\;\nu _{\text{acier}}=0,30$ ,

le tungstène $\;\nu _{W}=0,19\;$ et

le caoutchouc $\;\nu _{\text{caoutchouc}}=0,50$ ;
des valeurs du module de Young $\;E\;$ et du cœfficient de Poisson $\;\nu \;$ des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du module de Coulomb pour ces exemples :
l'acier $\;G_{\text{acier}}={\dfrac {E_{\text{acier}}}{2\left(1+\nu _{\text{acier}}\right)}}={\dfrac {210\;GPa}{2\times \left(1+0,30\right)}}\simeq 81\;GPa$ ,

le tungstène $\;G_{W}={\dfrac {E_{W}}{2\left(1+\nu _{W}\right)}}={\dfrac {357\;GPa}{2\times \left(1+0,19\right)}}\simeq 150\;GPa$ $\;{\big (}$ correspondant à l'un des plus grands modules de Coulomb ${\big )}\;$ et

le caoutchouc $\;G_{\text{caoutchouc}}={\dfrac {E_{\text{caoutchouc}}}{2\left(1+\nu _{\text{caoutchouc}}\right)}}={\dfrac {1,5\;GPa}{2\times \left(1+0,50\right)}}\simeq 0,5\;GPa$ $\;{\big (}$ correspondant à l'un des plus faibles modules de Coulomb ${\big )}$ ;
Thomas Young (1773 - 1829) est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du module d'Young en sciences des matériaux et son expérience des fentes d'Young en optique ;
Siméon Denis Poisson (1781 - 1840) est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique $\;{\big (}$ dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme ${\big )}$ .

[15] 'acier $\;E_{\text{acier}}=210\;GPa=2,1\;Mbar$ ,

[16] tungstène $\;E_{W}=357\;GPa=3,57\;Mbar\;$ et

[17] utchouc $\;E_{\text{caoutchouc}}=1,5\;GPa=15\;kbar$ ;

[18] 'acier $\;\nu _{\text{acier}}=0,30$ ,

[19] tungstène $\;\nu _{W}=0,19\;$ et

[20] utchouc $\;\nu _{\text{caoutchouc}}=0,50$ ;

[21] 'acier $\;G_{\text{acier}}={\dfrac {E_{\text{acier}}}{2\left(1+\nu _{\text{acier}}\right)}}={\dfrac {210\;GPa}{2\times \left(1+0,30\right)}}\simeq 81\;GPa$ ,

[22] tungstène $\;G_{W}={\dfrac {E_{W}}{2\left(1+\nu _{W}\right)}}={\dfrac {357\;GPa}{2\times \left(1+0,19\right)}}\simeq 150\;GPa$ $\;{\big (}$ correspondant à l'un des plus grands modules de Coulomb ${\big )}\;$ et

[23] utchouc $\;G_{\text{caoutchouc}}={\dfrac {E_{\text{caoutchouc}}}{2\left(1+\nu _{\text{caoutchouc}}\right)}}={\dfrac {1,5\;GPa}{2\times \left(1+0,50\right)}}\simeq 0,5\;GPa$ $\;{\big (}$ correspondant à l'un des plus faibles modules de Coulomb ${\big )}$ ;

[distinction_entre_point_d'attache_des_fils_sur_la_tige_et_constante_de_torsion_des_fils-13] On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté $\;{\big (}$ ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente ${\big )}$ .

[angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14] 14,0 et ^14,1 L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur $\;{\big \{}$ on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » plus haut dans le chapitre car « $\;{\overrightarrow {A_{0}B_{0}}}\;$ » est lié à l'extrémité $\;O_{\text{sup}}\;$ du fil supérieur et « $\;{\overrightarrow {AB}}\;$ » à l’extrémité mobile $\;C\;$ et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur ${\big \}}$ .

[moment_d'inertie_d'une_tige_homogène_par_rapport_à_une_médiatrice-15] 15,0 et ^15,1 Voir le paragraphe « exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie » du chap. $3$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » $\;{\big [}$ on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie $\;{\big (}$ ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être ${\big )}{\big ]}\;\ldots$

[C.D.I.-16] 16,0 et ^16,1 Centre D'Inertie.

[axe_de_révolution_de_la_masselotte-17] L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du pendule de torsion.

[moment_d'inertie_d'un_cylindre_homogène_par_rapport_à_un_axe_passant_par_G_et_perpendiculaire_à_son_axe_de_révolution-18] 18,0 et ^18,1 Voir le paragraphe « exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie » du chap. $3$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » $\;{\big [}$ on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie $\;{\big (}$ ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être ${\big )}{\big ]}\;\ldots$

[théorème_de_Huygens-19] 19,0 et ^19,1 Voir le paragraphe « complément : théorème de Huygens » du chap. $3$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ;
Christian Huygens (1629 – 1695) [ou Huyghens] est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.

[grandeur_additive-20] 20,0 et ^20,1 Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble (disjoint) de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.

[C.I.-21] 21,00 ^21,01 ^21,02 ^21,03 ^21,04 ^21,05 ^21,06 ^21,07 ^21,08 ^21,09 ^21,10 et ^21,11 Condition(s) Initiale(s).

[précision_sur_la_C.I.-22] Nous supposerons que $\;\theta _{0}\;$ est $\;<\;$ à $\;2\;\theta _{1}\;$ de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit $\;t$ ;
Nous supposerons si $\;\theta _{0}\;$ était $\;>\;$ à $\;2\;\theta _{1}$ , le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1^re fois à l'instant $\;t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\;$ tel que $\;\theta (t_{\text{inv. tors. sup., 1}})=2\;\theta _{1}\;$ en $\;\searrow$ , instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant $\;t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\;$ tel que $\;\theta (t_{\text{inv. tors. sup., 2}})=2\;\theta _{1}\;$ en $\;\nearrow \;$ à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre $\;\ldots$
Nous supposerons si θ₀ était supérieur à 2 θ₁, nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2^ème hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique $\;{\big (}$ ce qui est bien ce que nous avons considéré ${\big )}$ .

[justification_de_la_position_d'équilibre-23] Voir le paragraphe « présentation du pendule de torsion (non amorti) » plus haut dans ce chapitre.

[justification_de_l'angle_de_torsion-24] 24,0 ^24,1 ^24,2 et ^24,3 Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « ¹⁴ » plus haut dans ce chapitre.

[justification_de_la_nullité_des_moments_scalaires_des_autres_actions_extérieures-25] 25,0 ^25,1 et ^25,2 C'est-à-dire le poids de la tige appliqué en $\;C$ , celui de chaque masselotte lequel est $\;\parallel \;$ à l'axe $\;\Delta _{C}\;$ et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en $\;C$ $\;{\big [}$ voir le paragraphe « définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ${\big ]}$ .

[comparaison_des_moments_scalaires_initiaux_des_couples_de_torsion-26] 26,0 et ^26,1 Initialement quand « $\;\theta _{1}<\theta _{0}<2\;\theta _{1}\;$ », le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant « $\;-C\left[\theta _{0}-2\;\theta _{1}\right]>0\;$ » et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant « $\;-C\;\theta _{0}<0\;$ » de valeur absolue $\;C\;\theta _{0}\;$ plus grande que le précédent car $\;C\;\theta _{0}-\left\lbrace -C\left[\theta _{0}-2\;\theta _{1}\right]\right\rbrace =2\;C\left[\theta _{0}-\theta _{1}\right]>0\;$ on en déduit une rotation initiale dans le sens « $\;-\;$ » ;
si initialement on imposait « $\;\theta _{0}>2\;\theta _{1}\;$ », le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant « $\;-C\left[\theta _{0}-2\;\theta _{1}\right]<0\;$ » et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant « $\;-C\;\theta _{0}<0\;$ », la valeur absolue du 2^ème $\;C\;\theta _{0}\;$ étant plus grande que celle du 1^er $\;C\left[\theta _{0}-2\;\theta _{1}\right]\;$ car $\;C\;\theta _{0}-C\left[\theta _{0}-2\;\theta _{1}\right]=2\;C\;\theta _{1}>0$ , on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens « $\;-\;$ » ;
nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de $\;\theta _{0}\;$ relativement à $\;2\;\theta _{1}$ $\;{\big [}$ en fait il ne dépend que du placement de $\;\theta _{0}\;$ par rapport à $\;\theta _{1}\;$ et comme $\;\theta _{0}\;$ est $\;>\;$ à $\;\theta _{1}\;$ le sens initial de rotation est le sens « $\;-\;$ », il serait le sens « $\;+\;$ » si on choisissait $\;\theta _{0}<\;$ à $\;\theta _{1}{\big ]}$ .

[1ère_définition_d'un_oscillateur_harmonique_non_amorti-27] Voir le paragraphe « définition non énergétique d'un oscillateur harmonique » du chap. $28$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[solution_forcée_d'un_oscillateur_harmonique_non_amorti_à_excitation_constante-28] Voir le paragraphe « solution forcée d'une équation différentielle linéaire du 2^ème ordre (à cœfficients réels constants) sans terme du 1^er ordre à excitation constante » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[pulsation_propre-29] 29,0 ^29,1 et ^29,2 Voir le paragraphe « mise en équation (sous forme canonique) » du chap. $1$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », $\;k\;$ devant être substitué par $\;2\;C$ .

[solution_libre_d'un_oscillateur_harmonique_non_amorti-30] Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[solution_libre_d'un_oscillateur_harmonique_non_amorti,_autre_forme-31] La solution libre pourrait encore être écrite selon « $\;\theta _{\mathit {l}}(t)=A'\;\cos \!\left(\omega _{0}\;t+\varphi \right)\;$ » mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.

[solution_transitoire_d'un_oscillateur_harmonique_non_amorti_à_excitation-32] 32,0 et ^32,1 Voir le paragraphe « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[vitesse_angulaire-33] En effet la vitesse angulaire à l'instant $\;t\;$ se calcule selon $\;{\dot {\theta }}(t)=-A\;\omega _{0}\;\sin \!\left(\omega _{0}\;t\right)+B\;\omega _{0}\;\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)$ .

[correction_nécessaire_de_la_loi_horaire_de_position-34] 34,0 ^34,1 et ^34,2 La solution transitoire « $\;\theta (t)=\theta _{1}+\left(\theta _{0}-\theta _{1}\right)\;\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$ » $\;{\big \{}$ ou « $\;\alpha (t)=\alpha _{0}\;\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$ » ${\big \}}\;$ ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » $\;{\big (}$ en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire « $\;\theta _{\text{éq}}=\theta _{1}\;$ » $\;{\big \{}$ ou « $\;\alpha _{\text{éq}}=0\;$ » ${\big \}}\;$ sans que celle-ci ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps infini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité ${\big )}\;$ mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ;
toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique $\;\ldots$

[module_de_Coulomb-35] 35,0 ^35,1 et ^35,2 Ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ;
Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806) officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.

[cas_d'un_module_de_Coulomb_tendant_vers_0-36] Ainsi, avec un module d'élasticité transversale $\;{\big (}$ ou module de cisaillement ou encore module de Coulomb ${\big )}\;$ du matériau très faible $\;{\big \{}$ par exemple en choisissant du caoutchouc ${\big \}}\;$ la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du pendule de torsion très grande $\;{\big [}$ soit $\;{\mathcal {T}}_{0}\rightarrow \infty \;$ quand $\;G\rightarrow 0$ , ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c'est-à-dire à un pendule de torsion inopérant $\;{\big \{}$ un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un pendule de torsion ${\big \}}{\big ]}$ ;
Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806) officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.

[isochronisme_d'un_oscillateur-37] Voir le paragraphe « définition d'isochronisme d'un oscillateur » dans le chap. $12$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[justification_de_loi_horaire_d'abscisse_angulaire_du_pendule-38] 38,0 et ^38,1 En effet $\;\alpha (t)=A\;\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)+B\;\sin \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$ dans laquelle $\;A\;$ se détermine par $\;\alpha (0)=\alpha _{0}\;$ soit $\;A=\alpha _{0}\;$ et
avec $\;{\dot {\alpha }}(t)=-A\;\omega _{0}\;\sin \!\left(\omega _{0}\;t\right)+B\;\omega _{0}\;\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)\;$ $\;B\;$ se détermine par $\;{\dot {\alpha }}(0)=0\;$ soit $\;B\;\omega _{0}=0\;$ ou $\;B=0$ .

[39] Méthode d’enregistrement également utilisable pour un pendule de torsion non amorti.

[alimentation_stabilisée-40] Voir le paragraphe « notion d'alimentation stabilisée (A.S.) » du chap. $22$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[limitation_du_courant_délivré_par_l'A.S.-41] Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l’A.S. pour éviter l’électrolyse de la solution.

[42] À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées $\;\ldots$

[condition_des_faibles_vitesses-43] Voir le paragraphe « forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses (de translation) » du chap $6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point $\;M_{i}\;$ situé à la distance orthogonale $\;r_{i}\;$ de l'axe $\;\Delta _{C}\;$ de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}\!\left(M_{i}\right)=-h\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)=-h\;r_{i}\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta _{i}}(t)\;$ avec $\;h\;$ constante positive $\;{\big (}$ exprimée en $\;kg\cdot s^{-1}{\big )}\;$ caractéristique de la viscosité dynamique du fluide $\;{\big \{}\eta _{\text{flu}}\nearrow \;$ de l'air vers la glycérine ${\big \}}\;$ ainsi que de la densité de ce dernier $\;{\big \{}$ par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère $\;{\big (}$ où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée ${\big )}\;$ que dans l'atmosphère proche du sol ${\big \}}\;$ et $\;{\vec {u}}_{\theta _{i}}(t)\;$ le 2^ème vecteur de base cylindro-polaire lié au point $\;M_{i}\;$ d'axe $\;\Delta _{C}\;$ orienté par le 3^ème vecteur $\;{\vec {u}}_{\Delta _{C}}\;$ de la base.
La définition de la viscosité dynamique d'un fluide $\;\eta _{\text{flu}}\;$ n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^re notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux $\;{\big (}$ c'est-à-dire qu'il « collera » au plan ${\big )}$ ;
si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur $\;e\;$ non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure $\;{\big (}$ cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile ${\big )}$ , la vitesse en son sein varie suivant l'altitude $\;z\;$ car la couche inférieure à l'altitude $\;z_{i}=0\;$ tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude $\;z_{s}=e>0\;$ a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude $\;z\in \left]0\,,\,e\right[\;$ va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude $\;z^{+}\;$ qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude $\;z^{-}\;$ qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la contrainte de cisaillement $\;{\big [}$ c'est-à-dire la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard ${\big ]}\;$ que l'on notera $\;\tau _{\text{cis}}={\bigg \Vert }{\dfrac {d{\vec {f}}_{z\,\leftarrow \,z^{+}}}{d\Sigma }}{\bigg \Vert }={\bigg \Vert }{\dfrac {d{\vec {f}}_{z\,\leftarrow \,z^{-}}}{d\Sigma }}{\bigg \Vert }\;$ s'exprimant en $\;Pa$ , $\;d\Sigma \;$ étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique $\;\eta _{\text{flu}}\;$ du fluide par $\;\tau _{\text{cis}}=\eta _{\text{flu}}\;{\bigg \Vert }{\dfrac {d{\vec {V}}_{{\text{couche}}_{z}}}{dz}}{\bigg \Vert }\;$ avec $\;{\vec {V}}_{{\text{couche}}_{z}}\;$ le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude $\;z$ , ceci impliquant que la viscosité dynamique $\;\eta _{\text{flu}}\;$ du fluide s'exprime en $\;Pa\cdot s\;$ ${\big [}$ encore appelé « poiseuille » de symbole $\;Pl$ , ce nom ayant été donné en hommage à Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869) physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux écoulements laminaires des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques ${\big ]}$ ;
c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite $\;{\big (}$ c'est-à-dire les molécules les plus éloignées des parois de la conduite ${\big )}\;$ ont la vitesse maximale $\;\ldots$
on définit aussi une autre viscosité appelée viscosité cinématique notée $\;\nu _{\text{flu}}\;$ qui dépend de la viscosité dynamique $\;\eta _{\text{flu}}\;$ du fluide ainsi que de sa masse volumique $\;\rho _{\text{flu}}\;$ selon $\;\nu _{\text{flu}}={\dfrac {\eta _{\text{flu}}}{\rho _{\text{flu}}}}\;$ s'exprimant donc en $\;m^{2}\cdot s^{-1}\;$ ${\big [}$ mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole $\;St\;$ égal à $\;1\,St=$ $10^{-4}\,m^{2}\cdot s^{-1}{\big ]}$ ; George Gabriel Stokes (1819 - 1903) est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre $\;{\big (}$ il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie ${\big )}\;$ et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.

[couple-44] Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces $\;{\big [}$ voir aussi le paragraphe « définition d'un torseur couple » du chap. $1$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » ${\big ]}$ .

[somme_de_couple-45] En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés $\;{\big (}$ ce qui est le cas ici ${\big )}$ , résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples $\;{\big [}$ voir aussi le paragraphe « somme de deux couples » du chap. $1$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » ${\big ]}$ .

[justification_du_moment_scalaire_d'un_couple_de_deux_forces-46] Les deux forces de frottement fluide $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,1})\;$ et $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,2})\;$ opposées tendent à faire tourner le couple $\;\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2}\right\rbrace \;$ dans le même sens ;
notant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,1})={\overline {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,1})\;{\vec {u}}_{\theta _{(1)}}\\{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,2})={\overline {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,2})\;{\vec {u}}_{\theta _{(2)}}\end{array}}\right\rbrace$ , de $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,2})=-{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,1})\\{\vec {u}}_{\theta _{(2)}}=-{\vec {u}}_{\theta _{(1)}}\end{array}}\right\rbrace \;$ on en déduit $\;{\overline {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,2})={\overline {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,1})\;$ valeur commune qui est $\;<0\;$ si le mouvement à l'instant $\;t\;$ se fait dans le sens $\;+\;$ et $\;>0\;$ s'il se fait dans le sens $\;-$ ;
le bras de levier de $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,1})\;$ étant $\;d\left(\Delta _{C}\,,\,M_{i,\,1}\right)\;$ et celui de $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,2})$ , $\;d\left(\Delta _{C}\,,\,M_{i,\,2}\right)\;$ avec $\;d\left(\Delta _{C}\,,\,M_{i,\,2}\right)=d\left(\Delta _{C}\,,\,M_{i,\,1}\right)={\dfrac {\left(M_{i,\,1}M_{i,\,2}\right)}{2}}\;$ on en déduit $\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta _{C}}\!\left[{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,1})\right]+{\mathcal {M}}_{\!\Delta _{C}}\!\left[{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,2})\right]={\overline {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,1})\;d\left(\Delta _{C}\,,\,M_{i,\,1}\right)+{\overline {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,2})\;d\left(\Delta _{C}\,,\,M_{i,\,2}\right)={\overline {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(M_{i,\,1})\;\left(M_{i,\,1}M_{i,\,2}\right)$ .

[référence_paramètres-47] Les paramètres étant définis au paragraphe « mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) » plus haut dans ce chapitre.

[justification_de_la_nullité_des_moments_scalaires_des_autres_actions_extérieures_-_bis-48] C'est-à-dire le poids de la tige appliqué en $\;C$ , celui de chaque ailette lequel est $\;\parallel \;$ à l'axe $\;\Delta _{C}\;$ et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en $\;C$ $\;{\big [}$ voir le paragraphe « définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ${\big ]}$ .

[oscillateur_harmonique_amorti-49] Voir le paragraphe « définition non énergétique d'un oscillateur harmonique » du chap. $28$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[réduction_canonique_d'un_oscillateur_harmonique_amorti-50] Voir le paragraphe « analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant » du chap. $28$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la constante de raideur $\;k\;$ du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils $\;2\;C$ , la masse $\;m\;$ du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie $\;J_{\Delta _{C}}\!\left({\text{tige}}\right)\;$ de la tige par rapport à l'axe $\;\Delta _{C}\;$ et l'allongement total du ressort $\;x'\;$ par l'abscisse angulaire $\;\theta \;$ de la tige.

[solution_forcée_d'un_oscillateur_harmonique_amorti_à_excitation_constante-51] Voir le paragraphe « solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[équation_caractéristique-52] Voir le paragraphe « recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[résolution_de_l'équation_caractéristique-53] Voir le paragraphe « résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre homogène avec terme du 1^er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[solution_libre_pseudo-périodique-54] Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas σ < 1 (faible amortissement) » du chap. $28$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension $\;u_{C}(t)\;$ devant être remplacée par l'élongation angulaire $\;\theta (t)$ .

[solution_libre_apériodique_critique-55] Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas σ = 1 (amortissement critique) » du chap. $28$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension $\;u_{C}(t)\;$ devant être remplacée par l'élongation angulaire $\;\theta (t)$ .

[solution_libre_apériodique-56] Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas σ > 1 (fort amortissement) » du chap. $28$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la tension $\;u_{C}(t)\;$ devant être remplacée par l'élongation angulaire $\;\theta (t)$ .

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