Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ magnétostatique uniforme

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Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ magnétostatique uniforme
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Chapitre no 24
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chap. préc. :Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ électrostatique uniforme
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Mécanique 1 (PCSI)/Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ magnétostatique uniforme
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Les notions de ce chapitre sont a priori introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne ou
Les notions de ce chapitre sont exceptionnellement si précisé de la dynamique relativiste,            
l'espace physique est orienté à droite [1] et les bases orthonormées introduites sont toutes directes [2].

Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétostatique uniforme, particule entrant perpendiculairement au champ, mise en équation par application de la r.f.d.n. en repérage de Frenet : mouvement plan, uniforme, circulaire, rayon de la trajectoire et période de rotation[modifier | modifier le wikicode]

Étude faite dans le cadre de la dynamique newtonienne.

Exposé du problème : mouvement d’une particule chargée entrant dans un espace champ magnétostatique uniforme avec une « vitesse initiale perpendiculaire à ce champ »[modifier | modifier le wikicode]

     Une particule chargée , de masse , entre dans un espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ «» en la position choisie comme origine du repérage intrinsèque avec un vecteur vitesse initiale « à » [3] ;

     nous nous proposons de déterminer le mouvement ultérieur de la particule dans le référentiel lié à l’espace champ magnétique supposé galiléen quand elle n’est soumise qu’à la seule force magnétique de Lorentz [4] «» [5], étant le vecteur vitesse de la particule à l'instant dans le référentiel en effet, même dans le cas où l'expérience se passe sur Terre, l'influence du poids de la particule peut toujours être négligée devant celle de la force magnétique de Lorentz [6] y compris quand cette dernière est nulle, donc sans action sur le mouvement de la particule [7], son poids n'ayant dans la pratique aucune influence car de norme excessivement petite ;

     nous choisissons une base cartésienne orthonormée directe [2] associée au référentiel orienté à droite [1] telle que

  • est colinéaire et de même sens que avec ,
  • est colinéaire et de même sens que avec et
  • .

Mise en équation par application de la r.f.d.n. en repérage intrinsèque dans le référentiel d’étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     L’application de la r.f.d.n. [8] dans le référentiel galiléen à la particule chargée soumise à la seule force magnétique de Lorentz [4] «» [5], étant le vecteur vitesse de la particule à l'instant dans le référentiel , soit «», conduit, sachant que le vecteur accélération de la particule à l'instant , , est la dérivée temporelle de son vecteur vitesse au même instant , à l’équation différentielle vectorielle du 1er ordre en

«».

Conséquence de « la vitesse initiale perpendiculaire au champ magnétostatique » : nature plane du mouvement[modifier | modifier le wikicode]

     Sachant que tout produit vectoriel non nul de deux vecteurs est à chacun de ses vecteurs [9], nous en déduisons que est à donc à vecteur unitaire colinéaire à et
     projetant l'équation différentielle sur nous obtenons «» et la C.I. [10] imposant «» soit «» et
          projetant l'équation différentielle ( a ) sur uz nous obtenons «» et la C.I. [10] en imposant «» soit «».

     En conclusion, le mouvement de la particule pénétrant dans l'espace champ magnétostatique uniforme avec un vecteur vitesse à est, dans le cas où la seule force s'exerçant sur est la force magnétique de Lorentz [4], plan, le plan du mouvement étant à passant par la position initiale de la particule.

Conséquence de « la force magnétique de Lorentz, seule force exercée » (ou de la projection de la r.f.d.n. sur le vecteur unitaire tangentiel de Frenet) : nature uniforme du mouvement[modifier | modifier le wikicode]

     La force magnétique de Lorentz [4] ne développant aucune puissance [11] en étant la seule force appliquée à la particule, l’énergie cinétique de cette dernière reste constante par application du théorème de la puissance cinétique [12] et par suite la norme de sa vitesse aussi soit «», la constante se déterminant par C.I. [10] «» d’où «» c.-à-d. un mouvement uniforme de la particule ;

     nous pouvions aussi projeter l'équation différentielle «» sur , le vecteur unitaire tangentiel de la base locale de Frenet [13], [14], en utilisant
     nous pouvions aussi d'une part que étant à [9] donc à sa projection sur est nulle et
     nous pouvions aussi d'autre part que étant sa projection sur définit l'accélération tangentielle de la particule [15] avec la vitesse instantanée de la particule [16],

     ce qui donnait «» et la C.I. [10] dans la mesure où est choisi dans le sens de soit «» ou encore «» en notant la vitesse instantanée [16] initiale de la particule égale à dans la mesure où est choisi dans le sens de c.-à-d. un mouvement uniforme de la particule.

Conséquence de la nature plane et uniforme du mouvement avec projection de la r.f.d.n. sur le vecteur unitaire normal principal de Frenet : nature circulaire du mouvement[modifier | modifier le wikicode]

Description du mouvement d'une particule de charge entrant en dans un espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ avec un vecteur vitesse à

     Le mouvement de la particule étant plan, dans le plan passant par et à avec , c.-à-d. le plan et la particule entrant dans l'espace champ magnétostatique uniforme en avec un vecteur vitesse étant la vitesse instantanée [16] initiale de la particule encore égale à compte-tenu du choix du sens sur la trajectoire, nous obtenons le schéma descriptif ci-contre dans l'hypothèse où est pour savoir de quel côté de la courbe s’amorce nous déterminons la force magnétique de Lorentz [4] «» [5], [17], de direction au plan ou c.-à-d. portée par , et de sens tel que soit direct [2] dans l'espace physique orienté à droite [1] «» [17] de sens contraire à [2], la rotation de la particule se faisant dans le sens du plan le sens de [17] sur nous indique le sens du début de rotation mais le mouvement étant uniforme la rotation se poursuit dans le même sens ;
     pour déterminer la nature de la trajectoire nous utilisons le repérage local de Frenet [13] de base directe «» [2], [18], [19] l'espace physique étant orienté à droite [1] et projetons l'équation différentielle «» sur , le vecteur unitaire normal principal de la base locale de Frenet [13], [18], en utilisant

     d'une part que « étant à et [9], donc à et , est porté par », « son sens se déterminant par direct [2] est celui de » [20] et

     d'autre part que étant sa projection sur définit l'accélération normale de la particule [15] avec la vitesse instantanée de la particule [16] et le rayon de courbure de la trajectoire en la position de la particule à l'instant [21],

     ce qui donne «» avec «» dans laquelle le mouvement se faisant dans le plan passant par et à et le sens étant choisi dans le sens du mouvement soit encore, en notant , «» «» ;

     le mouvement de la particule étant uniforme , le rayon de courbure de la trajectoire à l'instant se réécrit «» c.-à-d. une constante et

     le mouvement de la particule étant plan, la trajectoire suivie par la particule est circulaire la seule courbe plane à rayon de courbure constant étant un cercle,

le rayon du cercle étant «» [22] avec
la norme de la quantité de mouvement initiale de la particule.

Période de rotation[modifier | modifier le wikicode]

     Le mouvement de la particule étant uniforme sur une trajectoire circulaire, nous pouvons définir la vitesse angulaire de rotation comptée positivement dans le même sens que le vecteur unitaire tangentiel de Frenet [13] [14][23] «» ou, en reportant l'expression de établie au paragraphe précédent «» ;

     cette vitesse angulaire «» ne dépendant que des caractéristiques de la particule et de la norme du champ magnétostatique est appelée « pulsation cyclotron de la particule » et notée «» soit

«» la pulsation cyclotron de la particule est donc indépendante des C.I. [10] de celle-ci ;

     la période de rotation de la particule sur sa trajectoire est alors «» indépendante de la vitesse linéaire initiale.

Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétostatique uniforme, particule entrant perpendiculairement au champ, mise en équation par application de la r.f.d.n. en repérage cartésien : mouvement plan, découplage du système d’équations différentielles dans le plan par introduction d’une variable complexes et résolution[modifier | modifier le wikicode]

Étude du mouvement d'une particule chargée avec vitesse initiale au champ magnétostatique uniforme et soumise à la seule force magnétique de Lorentz [4] faite dans le cadre de la dynamique newtonienne toutefois l'utilisation du repérage cartésien n'est intéressante que si la force magnétique de Lorentz [4] n'est pas la seule force appliquée, le traitement ci-dessous étant fait pour exposer la méthode.

Exposé du problème : mouvement d’une particule chargée entrant dans un espace champ magnétostatique uniforme avec une « vitesse initiale perpendiculaire à ce champ »[modifier | modifier le wikicode]

     Voir le paragraphe « exposé du problème : mouvement d'une particule chargée entrant dans un espace champ magnétostatique uniforme avec une vitesse initiale perpendiculaire à ce champ » plus haut dans ce chapitre.

Mise en équation par application de la r.f.d.n. en repérage cartésien dans le référentiel d’étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     Voir le paragraphe « mise en équation par application de la r.f.d.n. en repérage intrinsèque dans le référentiel d'étude galiléen » plus haut dans ce chapitre pour l'établissement de l'équation différentielle vectorielle du 1er ordre en , le vecteur vitesse de la particule de masse dans le référentiel d'étude galiléen,

«» ;

     il reste à projeter chaque membre de l'équation différentielle sur les vecteurs de base cartésienne orthonormée directe [2] associée au référentiel orienté à droite [1] avec

  • colinéaire et de même sens que avec ,
  • colinéaire et de même sens que et en absence de présupposé sur le mouvement :

     les projections du 1er membre de s'obtiennent en utilisant le calcul des composantes d'un produit vectoriel de deux vecteurs exposé dans le paragraphe « définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » soit
, et d'où les projetés suivants «»,

     les proj celles du 2ème membre de étant «» nous en déduisons les trois équations différentielles scalaires du 1er ordre en les composantes cartésiennes du vecteur vitesse de la particule :

«»,
les deux 1ères équations étant couplées [24] et la 3ème indépendante des deux autres.

Intégration de l’équation (3) avec « la vitesse initiale perpendiculaire au champ magnétostatique » : nature plane du mouvement[modifier | modifier le wikicode]

     Résolution de l'équation différentielle  : «» et la C.I. [10] imposant «» soit «» et
     Résolution de l'équation différentielle ( 3 ) : «» et la C.I. [10] en imposant «» soit «».

     Résolution de l'équation différentielle ( 3 ) : En conclusion, le mouvement de la particule pénétrant dans l'espace champ magnétostatique uniforme avec un vecteur vitesse à est, dans le cas où la seule force s'exerçant sur est la force magnétique de Lorentz [4], plan, le plan du mouvement étant .

Rappel de la méthode de découplage du système d'équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants couplées (1) et (2) du 1er ordre des variables Vx(t) et Vy(t)[modifier | modifier le wikicode]

     Les équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1er ordre en et du système normalisé «» étant couplées de la même façon que celle du paragraphe « présentation de l'exemple » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans lequel et dans l'exemple étudié ici , et , nous adoptons
     la méthode de découplage présentée dans le paragraphe « exposé de la méthode de découplage par combinaison linéaire complexe du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1er ordre couplées » du même chap. de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » consistant à former la C.L. [25] «» pour obtenir l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1er ordre en «» «» ou «».

Détermination de l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1er ordre « (1') + i (2') » en variable complexe « [Vx + i Vy](t) »[modifier | modifier le wikicode]

     Partant de la forme normalisée du système d'équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1er ordre en et couplées «» et formant la C.L. [25] «» nous obtenons ou, en mettant le cœfficient de du 2ème membre en facteur dans ce dernier utilisant soit finalement

l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1er ordre en «» homogène
«».

Établissement de la solution complexe « [Vx + i Vy](t) » et déduction des lois horaires scalaires de vitesse sur les axes Ox et Oy[modifier | modifier le wikicode]

     La solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1er ordre en «» homogène «» est donc «» [26] avec constante complexe à déterminer à l'aide des C.I. [10] ou soit finalement la loi horaire de « vitesse complexe »

«» ;

     en prenant la partie réelle de nous en déduisons la loi horaire de vitesse de la particule selon soit «» et
     en prenant la partie imaginaire de  en déduisons la loi horaire de vitesse de la particule selon soit «».

     Remarque : des lois horaires cartésiennes de vitesse de la particule dans le référentiel d'étude , nous en déduisons la nature de l’hodographe de pôle du mouvement de dans ce même référentiel [27] selon la définition [28], [29] soit, dans le cas présent «» [28], [29] l’hodographe de pôle du mouvement de dans le référentiel est un cercle du plan , de centre , de rayon [28], [29], de position initiale [28], [29], le mouvement de y étant uniforme à la vitesse angulaire «» [30], c.-à-d. dans le sens trigonométrique « rétrograde si est » et « direct si est » [31].

Intégration temporelle de « [Vx + i Vy](t) » et déduction des lois horaires scalaires de position sur les axes Ox et Oy[modifier | modifier le wikicode]

     Définissant la « coordonnée complexe » de la particule liée à la « vitesse complexe » par «», nous obtenons cette « coordonnée complexe » par intégration temporelle de «» soit avec à déterminer à l'aide des C.I. [10] ou soit et finalement la loi horaire de « coordonnée complexe »

«» ;

     en prenant la partie réelle de nous en déduisons la loi horaire d'abscisse de la particule [32] ou

«» et

     en prenant la partie imaginaire de  en déduisons la loi horaire d'ordonnée de la particule [32] ou

«».

     Nature de la trajectoire de la particule : les deux lois horaires cartésiennes de position de la particule «» étant aussi les deux équations paramétriques de la trajectoire de dans le plan , nous obtenons l'équation cartésienne de cette dernière en éliminant le paramètre et pour cela nous explicitons les sinus et cosinus de l'argument angulaire à partir de chacune des équations paramétriques «», l'élimination de utilisant «» d'où l'équation cartésienne de la trajectoire de dans le plan

«», équation d'un cercle [33] passant par ,
de centre et de rayon .

     Remarque :Pour , les lois horaires de position de se réécrivant selon « » démontre que le mouvement circulaire se fait autour du centre «» dans le sens à la « vitesse angulaire » [34] c.-à-d. l'opposé de la pulsation cyclotron de la particule [35],

     Remarque : pour , les lois horaires de position de se réécrivant selon « ou encore selon » démontre que le mouvement circulaire se fait autour du centre «» dans le sens à la « vitesse angulaire » [34] c.-à-d. la pulsation cyclotron de la particule [35].

Résumé des principaux résultats[modifier | modifier le wikicode]

Description du mouvement d'une particule de charge entrant en dans un espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ avec un vecteur vitesse à
Description du mouvement d'une particule de charge entrant en dans un espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ avec un vecteur vitesse à

     Ci-contre, à gauche, la description du mouvement suivi par la particule chargée «» pénétrant en dans l'espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ «» avec un vecteur vitesse initiale «» donc à , mouvement de nature plane dans , uniforme de vitesse instantanée [16] «» dans le sens rétrograde, circulaire de rayon « », de centre et de vitesse angulaire «» étant la pulsation cyclotron de la particule [35], la période de rotation étant «» indépendante de la vitesse initiale ;

     ci-contre, à droite, la description du mouvement suivi par la particule chargée «» pénétrant en dans l'espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ «» avec un vecteur vitesse initiale «» donc à , mouvement de nature plane dans , uniforme de vitesse instantanée [16] «» dans le sens direct, circulaire de rayon «», de centre et de vitesse angulaire «» étant la pulsation cyclotron de la particule [35], la période de rotation étant «» indépendante de la vitesse initiale.

Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétostatique uniforme, particule entrant perpendiculairement au champ, détermination de la nature plane du mouvement par projection de la r.f.d.n. sur la direction du champ magnétostatique puis du rayon de courbure en admettant que la trajectoire est circulaire et en utilisant le repérage cylindro-polaire de pôle le centre du cercle[modifier | modifier le wikicode]

     « Admettre le caractère circulaire » de la trajectoire d'une particule chargée dans un espace champ magnétostatique uniforme quand cette dernière pénètre perpendiculairement au champ magnétostatique est explicite dans le programme de physique de P.C.S.I., de plus il est demandé de déterminer le rayon « sans calcul », ce qui, évidemment, est impossible Sans doute faut-il remplacer « sans calcul » par « sans intégration d’équations différentielles »

Exposé du problème : mouvement d’une particule chargée entrant dans un champ magnétostatique uniforme avec une « vitesse initiale perpendiculaire à ce champ »[modifier | modifier le wikicode]

     Voir le paragraphe « exposé du problème : mouvement d'une particule chargée entrant dans un espace champ magnétostatique uniforme avec une vitesse initiale perpendiculaire à ce champ » plus haut dans ce chapitre, avec toutefois une différence l'origine du repérage intrinsèque n'est plus choisie en la position initiale de la particule chargée sera choisie au centre du cercle décrit par cette dernière.

Projection de la r.f.d.n. sur la « direction du champ magnétostatique » et conséquence de « la vitesse initiale perpendiculaire au champ magnétostatique » : nature plane du mouvement[modifier | modifier le wikicode]

     L’application de la r.f.d.n. [8] dans le référentiel galiléen à la particule chargée soumise à la seule force magnétique de Lorentz [4] «» [5], étant le vecteur vitesse de la particule à l'instant dans le référentiel , nous conduisant à l’équation différentielle vectorielle du 1er ordre en «» voir le paragraphe « mise en équation par application de la r.f.d.n. en repérage intrinsèque dans le référentiel d'étude galiléen » plus haut dans ce chapitre, nous projetons les deux membres de cette équation sur vecteur unitaire de la direction de choisi dans le sens de ce dernier et obtenons
     «» soit «», la C.I. [10] «» [36] et

     «» soit «», le plan à étant choisi passant par la position initiale de la particule «».

     En conclusion, le mouvement de la particule pénétrant dans l'espace champ magnétostatique uniforme avec un vecteur vitesse à est, dans le cas où la seule force s'exerçant sur est la force magnétique de Lorentz [4], plan, le plan du mouvement étant à passant par la position initiale de la particule.

Conséquence de « la force magnétique de Lorentz, seule force exercée » : nature uniforme du mouvement[modifier | modifier le wikicode]

     Voir le paragraphe « conséquence de la force magnétique de Lorentz, seule force exercée … : nature uniforme du mouvement » plus haut dans ce chapitre uniquement la 1ère méthode de résolution utilisant la puissance développée par la force magnétique de Lorentz [4], le but poursuivi ici étant d'éviter l'introduction de la base de Frenet [13] hors programme de physique de P.C.S.I. ;

     en conclusion, le mouvement de la particule pénétrant dans l'espace champ magnétostatique uniforme avec un vecteur vitesse à est, dans le cas où la seule force s'exerçant sur est la force magnétique de Lorentz [4], uniforme, la norme du vecteur vitesse du mouvement restant égale à celle du vecteur vitesse initiale soit «».

Détermination du rayon de courbure de la trajectoire de nature (admise) circulaire par projection de la r.f.d.n. sur le vecteur unitaire radial de base cylindro-polaire de pôle « le centre du cercle »[modifier | modifier le wikicode]

     Admettant la nature circulaire du mouvement de la particule chargée dans le plan à passant par la position initiale de la particule, les angles de ce plan étant toujours orientés par le vecteur unitaire choisi dans la direction et le sens de , nous adoptons le repérage polaire de dans ce plan en choisissant le centre du cercle comme pôle du repérage, la base cartésienne du plan étant toujours , les coordonnées polaires de étant «[37] avec le rayon du cercle à déterminer ».

Description du mouvement d'une particule de charge entrant en dans un espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ avec un vecteur vitesse à , la nature circulaire du mouvement étant admise

     Ci-contre la description du mouvement suivi par la particule chargée «» pénétrant en dans l'espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ «» avec un vecteur vitesse initiale «» donc à , mouvement de nature plane dans , uniforme de vitesse instantanée [16] «» dans le sens rétrograde et circulaire admis de centre choisi comme pôle du repérage polaire de dans le plan , ses coordonnées étant abscisse angulaire simplement notée sur le schéma ;

     Ci-contre projetant l'équation différentielle vectorielle du 1er ordre en «» voir le paragraphe « mise en équation par application de la r.f.d.n. en repérage intrinsèque dans le référentiel d'étude galiléen » plus haut dans ce chapitre sur vecteur unitaire radial de la base polaire lié à dans le plan du mouvement de ce dernier [37] nous obtenons,
     Ci-contre sachant que se projette sur en l'« accélération radiale » [38] le 1er terme étant nul car et le 2nd constant car [39] , le mouvement circulaire étant uniforme dans le sens rétrograde et
     Ci-contre sachant que «» projeté sur en «» la vitesse orthoradiale [39] étant constante car chacun des facteurs l'est et , la vitesse angulaire l'étant,
     Ci-contre pour projection radiale de  : «» dont nous tirons la « vitesse angulaire » dans la mesure où est , étant la pulsation cyclotron de la particule [35] la période de rotation étant «» indépendante de la vitesse initiale, puis le rayon de la trajectoire circulaire à l'aide de l'identification de la vitesse orthoradiale [39] avec l'opposé de la norme du vecteur vitesse initiale d'où soit finalement

l'expression du rayon de la trajectoire circulaire suivie par la particule «» pour  ;
Description du mouvement d'une particule de charge entrant en dans un espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ avec un vecteur vitesse à , la nature circulaire du mouvement étant admise

     Ci-contre, la description du mouvement suivi par la particule chargée «» pénétrant en dans l'espace champ magnétostatique uniforme de vecteur champ «» avec un vecteur vitesse initiale «» donc à , mouvement de nature plane dans , uniforme de vitesse instantanée [16] «» dans le sens direct et circulaire admis de centre choisi comme pôle du repérage polaire de dans le plan , ses coordonnées étant abscisse angulaire simplement notée sur le schéma ;

     ci-contre projetant l'équation différentielle vectorielle du 1er ordre en «» voir le paragraphe « mise en équation par application de la r.f.d.n. en repérage intrinsèque dans le référentiel d'étude galiléen » plus haut dans ce chapitre sur vecteur unitaire radial de la base polaire lié à dans le plan du mouvement de ce dernier [37] nous obtenons,
     Ci-contre sachant que se projette sur en l'« accélération radiale » [38] le 1er terme étant nul car et le 2nd constant car [39] , le mouvement circulaire étant uniforme dans le sens direct et
     Ci-contre sachant que «