Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Loi du moment cinétique : Pendule pesant

Oscillations d'un pendule dans une voiture qui démarre

Schéma descriptif d'un pendule pesant dont l'axe horizontal $\;\Delta _{O}\;$ est lié à une voiture qui démarre avec un vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{0}$

     Un solide $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ de masse $\;m\;$ et de C.D.I. $\;G\;$ peut tourner sans frottements autour d’un axe horizontal $\;\left(\Delta _{O}\right)\;$, fixe dans une voiture, cette dernière définissant le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{voit}}\;$ du mouvement d'oscillations du solide autour de l'axe $\;\left(\Delta _{O}\right)\;$ $\;{\big [}\Delta _{O}\;{\cancel {\ni }}\;G\;$ $\Rightarrow$ « le solide est donc un pendule pesant » et $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ porté par l'axe orientant ce dernier ainsi que les angles algébrisés définis dans le plan de profil du schéma ci-contre${\big ]}$ ;

     la voiture étant en phase d'accélération sur route horizontale d'un référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ supposé galiléen avec un vecteur accélération constant $\;{\vec {a}}_{0}$, le pendule pesant $\;{\bigg [}$dont le repérage spatial est défini par l'angle algébrisé $\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Oz}}\,,\,{\overrightarrow {OG}}\right)}}\;$ avec $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ la verticale descendante passant par $\;O$ $\;{\big (}$attention sur le schéma $\;\theta \;$ est $\;<0{\big )}{\bigg ]}\;$ acquière une nouvelle position d'équilibre relatif repérée par $\;\theta _{\text{éq}}\;$ et, si on lui impose un petit écart initial avec lâché sans vitesse initiale, il oscille autour de cette nouvelle position d'équilibre avec une période de petites élongations angulaires $\;T$ ;

     sachant que le pendule pesant est de moment d'inertie $\;J\;$ par rapport à son axe d'oscillation $\;\left(\Delta _{O}\right)\;$ et notant $\;b\;$ la distance orthogonale séparant cet axe du C.D.I. $\;G\;$ du solide $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ déterminer, en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un solide en rotation autour d'un axe mobile dans un référentiel galiléen, l'axe étant en translation dans ce référentiel :

• l'expression de l'abscisse angulaire $\;\theta _{\text{éq}}\;$ de l'équilibre relatif du pendule dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{voit}}\;$ ainsi que
•            celle de la période des petites élongations angulaires $\;T\;$ du pendule autour de la position d'équilibre précédente.

Solution

Bilan des forces extérieures appliquées à un pendule pesant dont l'axe horizontal $\;\Delta _{O}\;$ est lié à une voiture qui démarre avec un vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{0}$

     Les forces extérieures s'exerçant sur le solide $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ de masse $\;m\;$ et de C.D.I. $\;G$, solide pouvant tourner sans frottements autour d’un axe horizontal $\;\left(\Delta _{O}\right)\;$, fixe dans une voiture en phase d'accélération de vecteur accélération constant $\;{\vec {a}}_{0}\;$ sur une route horizontale d'un référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ supposé galiléen, la voiture définissant le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{voit}}\;$ du mouvement d'oscillations du solide autour de l'axe $\;\left(\Delta _{O}\right)\;$ $\;{\big [}\Delta _{O}\;{\cancel {\ni }}\;G\;$ $\Rightarrow$ « le solide est donc un pendule pesant » et $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ porté par l'axe orientant ce dernier ainsi que les angles algébrisés définis dans le plan de profil du schéma ci-contre${\big ]}\;$ sont $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}\;$

• le poids du solide $\;m\;{\vec {g}}\;$ vertical descendant appliqué au C.D.I. $\;G\;$ du solide et
• les réactions de l'axe $\;\left(\Delta _{O}\right)\;$ sur le pendule, réparties sur le pourtour de l'axe et qui, en absence de frottements solides, sont équivalente à une force unique $\;{\vec {R}}\;$ appliquée en $\;O\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe ;

     l'application du « théorème du moment cinétique scalaire appliqué au solide $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en rotation autour de l'axe mobile $\;\left(\Delta _{O}\right)\;$ dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen, l'axe étant en translation rectiligne de vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{0}\;$ constant dans ce référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen » nous conduit à «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{O},\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,\sigma _{\Delta _{O}}\!\left({\mathcal {S}}\right)}{dt}}(t)+\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\Delta _{O}}(t)\right]\cdot {\vec {P}}\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» dans laquelle
les grandeurs cinétiques «$\;\sigma _{\Delta _{O}}\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)\;$ et $\;{\vec {P}}\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)\;$» sont définies dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen
ainsi que la grandeur cinématique «$\;{\vec {V}}_{\Delta _{O}}(t)={\vec {a}}_{0}\;t+{\vec {V}}_{\Delta _{O}}(0)\;$» définissant le vecteur vitesse de translation de $\;\left(\Delta _{O}\right)\;$ ;

     la résultante cinétique $\;{\vec {P}}\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ étant liée au vecteur vitesse du C.D.I. $\;G\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ selon «$\;{\vec {P}}\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)=m\;{\vec {V}}_{{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(G,\,t)\;$», le 2^ème terme du 2^nd membre de la relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ se réécrit «$\;A=\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\Delta _{O}}(t)\right]\cdot m\;{\vec {V}}_{{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(G,\,t)\;$» ou,
     en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire, «$\;A=\left[{\vec {V}}_{\Delta _{O}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(G,\,t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left[{\vec {V}}_{\Delta _{O}}(t)\wedge m\;{\dfrac {d{\overrightarrow {O'G}}}{dt}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» avec $\;O'\;$ l'origine des repérages dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$ $\;{\big (}$choisie coïncidant avec $\;O\in \Delta _{O}\;$ à $\;t=0{\big )}$, ce qui, en tenant compte de «$\;{\dfrac {d\!\left[{\vec {V}}_{\Delta _{O}}\wedge {\overrightarrow {O'G}}\right]}{dt}}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{\Delta _{O}}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {O'G}}(t)+{\vec {V}}_{\Delta _{O}}\wedge {\dfrac {d{\overrightarrow {O'G}}}{dt}}(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {V}}_{\Delta _{O}}\wedge {\dfrac {d{\overrightarrow {O'G}}}{dt}}(t)={\overrightarrow {O'G}}(t)\wedge {\vec {a}}_{0}-{\dfrac {d\!\left[{\overrightarrow {O'G}}\wedge {\vec {V}}_{\Delta _{O}}\right]}{dt}}(t)\;$» permet de réécrire «$\;A=$ $\left[{\vec {V}}_{\Delta _{O}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(G,\,t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=$ $\left[{\overrightarrow {O'G}}(t)\wedge m\;{\vec {a}}_{0}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }-\left\lbrace {\dfrac {d\!\left[m\;{\overrightarrow {O'G}}\wedge {\vec {V}}_{\Delta _{O}}\right]}{dt}}(t)\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» par distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle
     d'où la réécriture de la relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{O},\,{\text{ext}}}(t)-\left[{\overrightarrow {O'G}}(t)\wedge m\;{\vec {a}}_{0}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\dfrac {d\,\sigma _{\Delta _{O}}\!\left({\mathcal {S}}\right)}{dt}}(t)-\left\lbrace {\dfrac {d\!\left[m\;{\overrightarrow {O'G}}\wedge {\vec {V}}_{\Delta _{O}}\right]}{dt}}(t)\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$» ;

     le 1^er terme du 1^er membre de la relation $\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$ s'explicite en «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{O},\,{\text{ext}}}(t)={\mathcal {M}}_{\Delta _{O}}(m\;{\vec {g}},\,t)\;{\cancel {+\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{O}}({\vec {R}},\,t)}}=\left[{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m\;{\vec {g}}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$»,

     le 2^nd terme du 1^er membre de la relation $\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$ s'explicite en «$\;-\left[{\overrightarrow {O'G}}(t)\wedge m\;{\vec {a}}_{0}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\cancel {-\left[{\overrightarrow {O'O}}(t)\wedge m\;{\vec {a}}_{0}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;}}-\left[{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m\;{\vec {a}}_{0}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» $\;{\Big [}$le 1^er terme du 2^ème membre étant nul car $\;{\overrightarrow {O'O}}(t)\;$ et $\;{\vec {a}}_{0}\;$ sont colinéaires puisque $\;O\;$ est fixe dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{voit}}\;$ lequel a un mouvement de translation rectiligne relativement au référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}{\Big ]}$,

     le 1^er terme du 2^ème membre de la relation $\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$ est la dérivée temporelle, calculée dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$, de «$\;\sigma _{\Delta _{O}}\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {S}}}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(M,\,t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d\tau _{M}\;$» dans lequel $\;d\tau _{M}\;$ est le volume de l'expansion tridimensionnelle élémentaire entourant le point générique $\;M\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, $\;\mu (M)\;$ étant la masse volumique du solide au point $\;M\;$ et enfin

     le 2^nd terme du 2^ème membre de la relation $\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$ «$\;-\left\lbrace {\dfrac {d\!\left[m\;{\overrightarrow {O'G}}\wedge {\vec {V}}_{\Delta _{O}}\right]}{dt}}(t)\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» se réécrit sous forme de dérivée temporelle, calculée dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$, de «$\;B=-\left[m\;{\overrightarrow {O'G}}\wedge {\vec {V}}_{\Delta _{O}}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» $\;{\big (}$car $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ est constant${\big )}\;$ ou, en utilisant la propriété liant les vecteurs position du C.D.I. et du point générique $\;m\;{\overrightarrow {O'G}}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {S}}}\mu (M)\;{\overrightarrow {O'M}}(t)\;d\tau _{M}\;$» dans lequel $\;d\tau _{M}\;$ et $\;\mu (M)\;$ ont les mêmes définitions que précédemment, «$\;B=-\left\lbrace \left[\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {S}}}\mu (M)\;{\overrightarrow {O'M}}(t)\;d\tau _{M}\right]\wedge {\vec {V}}_{\Delta _{O}}\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta }=-\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {S}}}\left[\mu (M)\;{\overrightarrow {O'M}}(t)\wedge {\vec {V}}_{\Delta _{O}}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d\tau _{M}\;$»$\;{\big (}{\vec {V}}_{\Delta _{O}}\;$ et $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ étant indépendantes de $\;M\;$ peuvent entrer dans l'intégrale${\big )}\;$ soit encore «$\;B=-\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {S}}}\left\lbrace \mu (M)\,\left[{\overrightarrow {O'O}}(t)+{\overrightarrow {OM}}(t)\right]\wedge {\vec {V}}_{\Delta _{O}}\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d\tau _{M}={\cancel {-\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {S}}}\left[\mu (M)\;{\overrightarrow {O'O}}(t)\wedge {\vec {V}}_{\Delta _{O}}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d\tau _{M}}}\;-\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {S}}}\left[\mu (M)\;{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {V}}_{\Delta _{O}}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d\tau _{M}\;$» $\;{\Big [}$le 1^er terme du 2^ème membre étant nul car $\;{\overrightarrow {O'O}}(t)\;$ et $\;{\vec {V}}_{\Delta _{O}}\;$ sont colinéaires puisque $\;O\;$ est fixe dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{voit}}\;$ lequel a un mouvement de translation rectiligne relativement au référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}{\Big ]}$ ;

     finalement le 2^èms membre de la relation $\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$ est la dérivée temporelle, calculée dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$, de «$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {S}}}\left\lbrace {\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \mu (M)\left[{\vec {V}}_{{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(M,\,t)-{\vec {V}}_{\Delta _{O}}\right]\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d\tau _{M}\;$» ou, en utilisant la loi de composition des vitesses dans le cas d'un changement de référentiels en translation l'un par rapport à l'autre «$\;{\vec {V}}_{{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}(M,\,t)={\vec {V}}_{{\mathcal {R}}_{\text{voit}}}(M,\,t)+{\vec {V}}_{{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}({\mathcal {R}}_{\text{voit}},\,t)\;$ avec $\;{\vec {V}}_{{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}({\mathcal {R}}_{\text{voit}},\,t)={\vec {V}}_{\Delta _{O}}(t)\;$» d'où la réécriture du 2^ème membre de la relation $\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$ comme dérivée temporelle de «$\;\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {S}}}\left[{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{{\mathcal {R}}_{\text{voit}}}(M,\,t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;d\tau _{M}\;$» c'est-à-dire la dérivée temporelle du « moment cinétique scalaire du solide $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le référentiel d'étude lié à la voiture $\;{\mathcal {R}}_{\text{voit}}\;$» «$\;\sigma _{\Delta _{O},\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{voit}}}\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)\;$» soit le 2^ème membre de la relation $\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$ égal à «$\;{\dfrac {d\sigma _{\Delta _{O},\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{voit}}}\!\left({\mathcal {S}}\right)}{dt}}(t)\;$» ;

     en conclusion la relation «$\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{O},\,{\text{ext}}}(t)-\left[{\overrightarrow {O'G}}(t)\wedge m\;{\vec {a}}_{0}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\dfrac {d\,\sigma _{\Delta _{O}}\!\left({\mathcal {S}}\right)}{dt}}(t)-\left\lbrace {\dfrac {d\!\left[m\;{\overrightarrow {O'G}}\wedge {\vec {V}}_{\Delta _{O}}\right]}{dt}}(t)\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» se réécrit «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{O}}(m\;{\vec {g}},\,t)-\left[{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m\;{\vec {a}}_{0}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\dfrac {d\sigma _{\Delta _{O},\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{voit}}}\!\left({\mathcal {S}}\right)}{dt}}(t)\;$» dans lequel
«$\;-\left[{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m\;{\vec {a}}_{0}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» peut s'interpréter comme le moment scalaire «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{O}}(-m\;{\vec {a}}_{0},\,t)\;$» relativement à l'axe $\;\left(\Delta _{O}\right)\;$ d'une
« pseudo-force $\;-m\;{\vec {a}}_{0}\;$ appliquée au C.D.I. $\;G\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$», l'intervention de cette dernière étant liée au « caractère non galiléen de $\;{\mathcal {R}}_{\text{voit}}\;$»,
d'où la réécriture de la relation «$\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$» selon «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{O}}(m\;{\vec {g}},\,t)+{\mathcal {M}}_{\Delta _{O}}(-m\;{\vec {a}}_{0},\,t)={\dfrac {d\sigma _{\Delta _{O},\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{voit}}}\!\left({\mathcal {S}}\right)}{dt}}(t),\;\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$».

     Le 1^er terme du 1^er membre de la relation $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ s'évaluant selon «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{O}}(m\;{\vec {g}},\,t)=-m\;g\;b\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$», «$\;b\;$ étant la distance orthogonale séparant l'axe $\;\left(\Delta _{O}\right)\;$ du C.D.I. $\;G\;$ du solide $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ c'est-à-dire $\;b=OG\;$» $\;{\Big \{}$dans le cas de figure ci-dessus dans lequel $\;\theta (t)\;$ est $\;<0$, $\;m\;{\vec {g}}\;$ tend à faire tourner le solide dans le sens $\;+\;$ $\Rightarrow$ $\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{O}}(m\;{\vec {g}},\,t)\;$ est $\;>0$, le bras de levier de $\;m\;{\vec {g}}\;$ étant égal à $\;b\;{\big \vert }\sin \!\left[\theta (t)\right]{\big \vert }\;$ $\Rightarrow$ $\;\vert {\mathcal {M}}_{\Delta _{O}}(m\;{\vec {g}},\,t)\vert$ $=m\;g\;b\;{\big \vert }\sin \!\left[\theta (t)\right]{\big \vert }\;$ d'où, le moment scalaire étant $\;>0\;$ dans le cas de figure, $\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{O}}(m\;{\vec {g}},\,t)=m\;g\;b\;{\big \vert }\sin \!\left[\theta (t)\right]{\big \vert }\;$ ou, $\;\theta (t)\;$ y étant $\;<0$, «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{O}}(m\;{\vec {g}},\,t)=m\;g\,\left\lbrace -b\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$», ce résultat restant applicable dans le cas où $\;\theta (t)\;$ est $\;>0\;$ le moment scalaire de $\;m\;{\vec {g}}\;$ étant alors $\;<0{\Big \}}$,

     le 2^nd terme du 1^er membre de la relation $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ s'évaluant selon «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{O}}(-m\;{\vec {a}}_{0},\,t)=-m\;a_{0}\;b\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\;$», avec «$\;b=OG\;$» $\;{\Big \{}$dans le cas de figure ci-dessus dans lequel $\;\theta (t)\;$ est $\;<0$, $\;-m\;{\vec {a}}_{0}\;$ tend à faire tourner le solide dans le sens $\;-\;$ $\Rightarrow$ $\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{O}}(-m\;{\vec {a}}_{0},\,t)\;$ est $\;<0$, le bras de levier de $\;-m\;{\vec {a}}_{0}\;$ étant égal à $\;b\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\;$ $\Rightarrow$ $\;\vert {\mathcal {M}}_{\Delta _{O}}(-m\;{\vec {a}}_{0},\,t)\vert =$ $m\;a_{0}\;b\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\;$ d'où, le moment scalaire étant $\;<0\;$ dans le cas de figure, «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta _{O}}(-m\;{\vec {a}}_{0},\,t)=-m\;a_{0}\;b\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\;$», ce résultat restant applicable dans le cas où $\;\theta (t)\;$ est $\;>0\;$ le moment scalaire de $\;-m\;{\vec {a}}_{0}\;$ étant encore $\;<0\;$${\Big \}}\;$ et

     le 2^ème membre de la relation $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ s'évaluant selon «$\;{\dfrac {d\sigma _{\Delta _{O},\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{voit}}}\!\left({\mathcal {S}}\right)}{dt}}(t)=J\;{\ddot {\theta }}(t)\;$», avec «$\;J\;$ le moment d'inertie du solide $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ relativement à l'axe $\;\left(\Delta _{O}\right)\;$ »,

     nous en déduisons l'équation différentielle en $\;\theta (t)\;$ du mouvement du pendule dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{voit}}\;$ non galiléen selon «$\;-m\;g\;b\;\sin \!\left[\theta (t)\right]-m\;a_{0}\;b\;\cos \!\left[\theta (t)\right]=J\;{\ddot {\theta }}(t)\;$».      En faisant $\;{\ddot {\theta }}(t)=0\;\;\forall \;t\;$ dans l'équation différentielle précédente nous obtenons l'abscisse angulaire de la position d'équilibre du pendule $\;\theta _{\text{éq}}\;$ soit «$\;-m\;g\;b\;\sin(\theta _{\text{éq}})-m\;a_{0}\;b\;\cos(\theta _{\text{éq}})=0\;$» ou, après simplification évidente, «$\;g\;\sin(\theta _{\text{éq}})=-a_{0}\;\cos(\theta _{\text{éq}})\;$» $\Rightarrow$ «$\;\tan(\theta _{\text{éq}})=-{\dfrac {a_{0}}{g}}\;$» soit finalement «$\;\theta _{\text{éq}}=-\arctan \!\left({\dfrac {a_{0}}{g}}\right)\;$» valeur négative
                                             $\Downarrow$
en phase d'accélération de la voiture le pendule acquiert une position d'équilibre inclinée vers l'arrière.      Envisageant un petit écart initial du pendule relativement à sa position d'équilibre «$\;\varepsilon _{0}=\theta _{0}-\theta _{\text{éq}}\;$» $\;{\big (}$petit en valeur absolue${\big )}\;$ suivi d'un lâcher sans vitesse initiale, et faisant l'hypothèse que l'écart à l'instant $\;t\;$ «$\;\varepsilon (t)$ $=\theta (t)-\theta _{\text{éq}}\;$» reste petit en valeur absolue $\;{\big (}$hypothèse à vérifier${\big )}$, nous pouvons réécrire l'équation différentielle en $\;\theta (t)\;$ en l'équation en $\;\varepsilon (t)\;$ «$\;-m\;g\;b\;\sin \!\left[\varepsilon (t)+\theta _{\text{éq}}\right]-m\;a_{0}\;b\;\cos \!\left[\varepsilon (t)+\theta _{\text{éq}}\right]=J\;{\ddot {\varepsilon }}(t)\;$» ou, en utilisant les formules trigonométriques d'addition, «$\;-m\;g\;b\,\left\lbrace \sin \!\left[\varepsilon (t)\right]\,\cos(\theta _{\text{éq}})+\cos \!\left[\varepsilon (t)\right]\,\sin(\theta _{\text{éq}})\right\rbrace -m\;a_{0}\;b\,\left\lbrace \cos \!\left[\varepsilon (t)\right]\,\cos(\theta _{\text{éq}})-\sin \!\left[\varepsilon (t)\right]\,\sin(\theta _{\text{éq}})\right\rbrace =J\;{\ddot {\varepsilon }}(t)\;$» soit, en regroupant différemment les termes de la somme du 1^er membre, «$\;\left[-m\;g\;b\;\cos(\theta _{\text{éq}})+m\;a_{0}\;b\;\sin(\theta _{\text{éq}})\right]\,\sin \!\left[\varepsilon (t)\right]+\left[-m\;g\;b\;\sin(\theta _{\text{éq}})-m\;a_{0}\;b\;\cos(\theta _{\text{éq}})\right]\,\cos \!\left[\varepsilon (t)\right]=J\;{\ddot {\varepsilon }}(t)\;$» ou, en utilisant la définition de $\;\theta _{\text{éq}}\;$ $\Rightarrow$ la nullité du cœfficient de $\;\cos \!\left[\varepsilon (t)\right]$, «$\;J\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+m\;b\,\left[g\;\cos(\theta _{\text{éq}})-a_{0}\;\sin(\theta _{\text{éq}})\right]\,\sin \!\left[\varepsilon (t)\right]=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;J\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+m\;b\;\cos(\theta _{\text{éq}})\,\left[g-a_{0}\;\tan(\theta _{\text{éq}})\right]\,\sin \!\left[\varepsilon (t)\right]=0\;$» ou, avec $\;\tan(\theta _{\text{éq}})=-{\dfrac {a_{0}}{g}}\;$ et $\;\cos(\theta _{\text{éq}})>0\;$ s'évaluant par $\;\cos(\theta _{\text{éq}})={\dfrac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\theta _{\text{éq}})}}}={\dfrac {1}{\sqrt {1+{\dfrac {a_{0}^{\,2}}{g^{2}}}}}}={\dfrac {g}{\sqrt {g^{2}+a_{0}^{\,2}}}}$, «$\;J\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+m\;b\;{\dfrac {g}{\sqrt {g^{2}+a_{0}^{\,2}}}}\,\left[g+{\dfrac {a_{0}^{\,2}}{g}}\right]\,\sin \!\left[\varepsilon (t)\right]=0\;$» d'où «$\;J\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+m\;b\;{\sqrt {g^{2}+a_{0}^{\,2}}}\;\sin \!\left[\varepsilon (t)\right]=0\;$» ou, en utilisant le caractère petit de $\;\vert \varepsilon (t)\vert \;$ $\;{\big [}\Rightarrow \varepsilon (t)\;$ est choisi comme infiniment petit d'ordre un${\big ]}\;$ et en faisant un D.L. à l'ordre un de $\;\sin \!\left[\varepsilon (t)\right]\;$ «$\;\sin \!\left[\varepsilon (t)\right]\simeq \varepsilon (t)\;$», l'équation différentielle des petites élongations angulaires du mouvement du pendule en $\;\varepsilon (t)\;$ recherchée «$\;J\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+m\;b\;{\sqrt {g^{2}+a_{0}^{\,2}}}\;\varepsilon (t)=0\;$» ou, sous forme normalisée «$\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {m\;b\;{\sqrt {g^{2}+a_{0}^{\,2}}}}{J}}\;\varepsilon (t)=0\;$»,      c'est-à-dire l’équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre «$\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {m\;b\;{\sqrt {g^{2}+a_{0}^{\,2}}}}{J}}}\;$» $\Rightarrow$ le mouvement des petites élongations angulaires du pendule est sinusoïdal de « pulsation des petites élongations angulaires $\;\omega _{0}\;$» s'écrivant, en utilisant les « C.I. $\;\varepsilon (0)=\varepsilon _{0}\;$ et $\;{\dot {\varepsilon }}(0)=0\;$», «$\;\varepsilon (t)=\varepsilon _{0}\;\cos(\omega _{0}\;t)\;$»,

     cette lois horaire de position angulaire permettant de valider le caractère petit de $\;\vert \varepsilon (t)\vert \;$ compte-tenu de celui de $\;\vert \varepsilon _{0}\vert \;$ car $\;\vert \varepsilon (t)\vert \leqslant \vert \varepsilon _{0}\vert \;\forall \;t\;$ ;

     nous en déduisons la période des petites élongations angulaires du pendule oscillant dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{voit}}\;$ en translation de vecteur accélération horizontal $\;{\vec {a}}_{0}\;$ relativement au référentiel terrestre «$\;T={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {J}{m\;b\;{\sqrt {g^{2}+a_{0}^{\,2}}}}}}\;$».

 

Mouvements indésirables d'une machine mal équilibrée

Schéma de principe d'une machine tournante mal équilibrée relativement à un axe de rotation horizontal

     Le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ dans lequel se déroule l'expérience étant supposé galiléen, nous lui associons le repère cartésien $\;\left\lbrace O\,,\,\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\right\rbrace$, la base cartésienne étant directe et le vecteur de base $\;{\vec {u}}_{z}\;$ étant vertical ascendant.

     Le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}=-g\;{\vec {u}}_{z}\;$ est uniforme d'intensité $\;g$.

     Nous nous proposons d'étudier l'équilibrage d'une machine tournante composée

• d'un bâti fixe $\;\left(MPC\right)\;$ posé sur le sol horizontal fixe, de masse $\;m$, de largeur $\;MP=2\;l\;$ et de centre de masse $\;B\;$ situé au milieu de cette largeur à une hauteur $\;b\;$ au-dessus du sol, son extrémité supérieure étant $\;C\;$ située au milieu de la largeur du bâti à une hauteur $\;h\;$ au-dessus du sol $\;{\big \{}$bien que le bâti ait une certaine épaisseur, celle-ci n'intervenant pas dans l'étude de l'équilibrage de la machine tournante, nous supposerons cette dernière entièrement contenue dans le plan vertical $\;yOz$ $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}$, le sens $\;+\;$ des angles algébrisés de ce plan étant défini par le vecteur de base $\;{\vec {u}}_{x}\;$ horizontal pointant vers le lecteur c'est-à-dire dans le sens anti-horaire du plan, le vecteur de base $\;{\vec {u}}_{y}\;$ horizontal de ce plan étant égal à $\;{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{x}\;$ c'est-à-dire de gauche à droite sur le schéma ci-contre${\big \}}\;$ et
• d'un rotor $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ tournant autour d’un axe horizontal $\;\Delta \;$ passant par $\;C\;$ et colinéaire à $\;{\vec {u}}_{x}$, de masse $\;m$, de centre de masse $\;A\;$ situé à une distance $\;a\;$ de $\;\Delta$.

     Un couple d’origine électromagnétique exercé par le bâti sur le rotor maintient une vitesse de rotation $\;\omega \;$ uniforme de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ autour de $\;\Delta$ $\;{\bigg \{}$nous supposerons $\;\omega >0\;$ et prendrons l’origine des temps lorsque l'abscisse angulaire du rotor «$\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {CB}}\,,\,{\overrightarrow {CA}}\right)}}\;$» s'annule de telle sorte que «$\;\theta (t)=\omega \;t\;$»${\bigg \}}$.

     Nous modélisons les efforts que le sol exerce sur le bâti par une force «$\;{\vec {N}}+{\vec {T}}\;$», où $\;{\vec {N}}\;$ est verticale et $\;{\vec {T}}\;$ horizontale, l'état de surface au « contact sol - bâti » est décrit par un « cœfficient de frottement de glissement statique $\;f_{s}\;$» et un « cœfficient de frottement dynamique $\;f_{d}\;$».

Détermination de la vitesse angulaire du rotor à partir de laquelle il y a rupture de contact entre le bâti et le sol

     Montrer qu’une vitesse de rotation du rotor trop élevée peut provoquer une rupture du contact entre le sol et le bâti.

     Donner l’expression de la vitesse angulaire $\;\omega _{1}\;$ à partir de laquelle apparaît ce phénomène.

Solution

     Les forces extérieures qui s'exercent sur l'ensemble « bâti - rotor » étant

• le poids du bâti «$\;m\;{\vec {g}}=-m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» s'appliquant en «$\;B\,\left\lbrace x_{B}=0\,,\,y_{B}=y_{C}\,,\,z_{B}\right\rbrace \;$»,
• le poids du rotor «$\;m\;{\vec {g}}=-m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» s'appliquant en «$\;A\,\left\lbrace x_{A}=0\,,\,y_{A}=y_{C}+a\;\sin(\theta )\,,\,z_{A}=z_{C}-a\;\cos(\theta )\right\rbrace \;$» et
• la réaction du sol sur le bâti «$\;{\vec {N}}+{\vec {T}}=N_{z}\;{\vec {u}}_{z}+T_{y}\;{\vec {u}}_{y}\;$»,

     l'application du théorème de la résultante cinétique appliqué à cet ensemble dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen nous conduit à «$\;2\;m\;{\vec {g}}+{\vec {N}}+{\vec {T}}={\dfrac {d\left[m\;{\vec {V}}_{B}+m\;{\vec {V}}_{A}\right]}{dt}}(t)\;$» dans lequel «$\;{\vec {V}}_{B}(t)={\vec {0}}\;\;\forall \;t\;$ dans l'hypothèse où le bâti reste en contact avec le sol sans glissement de l'un par rapport à l'autre » et «$\;{\vec {V}}_{A}(t)={\vec {V}}_{C}(t)+\omega \;{\vec {u}}_{x}\wedge {\overrightarrow {CA}}(t)\;\;\forall \;t\;$» avec «$\;{\vec {V}}_{C}(t)={\vec {0}}\;\;\forall \;t\;$ sous la même hypothèse où le bâti reste en contact avec le sol sans glisser de l'un sur l'autre » soit, dans cette hypothèse, «$\;{\vec {V}}_{A}(t)=\omega \;{\vec {u}}_{x}\wedge a\;{\vec {u}}_{r}(t)\;\;\forall \;t\;$ où $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}(t)\,,\,{\vec {u}}_{\theta }(t)\right\rbrace \;$ est la base polaire du plan $\;yOz\;$ liée à $\;A\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {V}}_{A}(t)=a\;\omega \;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;\;\forall \;t\;$» d'où «$\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{A}}{dt}}(t)$ $=-a\;\omega ^{2}\;{\vec {u}}_{r}(t)={\vec {a}}_{A}(t)\;\;\forall \;t\;$» et finalement en absence de rupture de contact entre le bâti et le sol et de glissement de l'un par rapport à l'autre
«$\;2\;m\;{\vec {g}}+{\vec {N}}+{\vec {T}}=-m\;a\;\omega ^{2}\;{\vec {u}}_{r}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$» ;

     projeté sur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ nous obtenons «$\;-2\;m\;g+N_{z}(t)=m\;a\;\omega ^{2}\;\cos(\omega \;t)\;$» $\;\Rightarrow$ «$\;N_{z}(t)=m\,\left[2\;g+a\;\omega ^{2}\;\cos(\omega \;t)\right]\;$» dont il faut valider la positivité en absence de rupture de contact ce qui est réalisé si le minimum de la grandeur temporelle l'est c'est-à-dire «$\;\min _{t\,\in \,\mathbb {R} ^{*}}\left[2\;g+a\;\omega ^{2}\;\cos(\omega \;t)\right]>0\;$» ou «$\;2\;g-a\;\omega ^{2}>0\;$» soit enfin «$\;\omega <{\sqrt {\dfrac {2\;g}{a}}}\;$».

     En conclusion « si $\;\omega \;$ est $\;<\;$ à $\;\omega _{1}={\sqrt {\dfrac {2\;g}{a}}}\;$» il n'y a jamais rupture de contact entre le bâti et le sol mais
     En conclusion « si $\;\omega \;$ est $\;\geqslant \;$ à $\;\omega _{1}={\sqrt {\dfrac {2\;g}{a}}}\;$» il y a rupture de contact entre le bâti et le sol pour les instants $\;t\;$ tels que «$\;N_{z}(t)=m\,\left[2\;g+a\;\omega ^{2}\;\cos(\omega \;t)\right]\;$ est $\;\leqslant 0\;$».

 

Détermination expérimentale du cœfficient de frottement de glissement statique entre le sol et le bâti

     Pour $\;\omega <\;$ à $\;\omega _{1}\;$ il n'y a donc pas rupture de contact entre le bâti et le sol mais nous observons que,

     pour $\;\omega ={\dfrac {\omega _{1}}{\sqrt {2}}}$, le bâti glisse sur le sol à partir de l'instant $\;t_{0}={\dfrac {2\;\pi }{3\;\omega }}$, en déduire l'expression du cœfficient de frottement de glissement statique $\;f_{s}\;$ entre le sol et le bâti.

Solution

     Pour $\;\omega <\omega _{1}={\sqrt {\dfrac {2\;g}{a}}}$, il n'y a pas rupture de contact entre le bâti et le sol, la composante normale de la réaction du sol sur le bâti vaut donc «$\;N_{z}(t)=m\,\left[2\;g+a\;\omega ^{2}\;\cos(\omega \;t)\right]>0\;$» ;

                                               projetant l'équation «$\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;{\text{:}}\;\;2\;m\;{\vec {g}}+{\vec {N}}+{\vec {T}}=-m\;a\;\omega ^{2}\;{\vec {u}}_{r}\;$» sur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ nous obtenons «$\;T_{y}(t)=-m\;a\;\omega ^{2}\;\sin(\omega \;t)\;$ dans la mesure où le bâti ne glisse pas sur le sol » et
                                               sous cette hypothèse nous pouvons appliquer la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement en absence de ce dernier c'est-à-dire «$\;\vert T_{y}(t)\vert <f_{s}\;N_{z}(t)\;$» soit, en absence de glissement du bâti sur le sol «$\;m\;a\;\omega ^{2}\;\vert \sin(\omega \;t)\vert <f_{s}\;m\,\left[2\;g+a\;\omega ^{2}\;\cos(\omega \;t)\right]\;$»
                  ou, après simplification évidente, «$\;a\;\omega ^{2}\;\vert \sin(\omega \;t)\vert <f_{s}\,\left[2\;g+a\;\omega ^{2}\;\cos(\omega \;t)\right]\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$» ;

                                               remarque : pour $\;t\,\in \,\left[0\,,\,{\dfrac {\mathcal {T}}{2}}={\dfrac {\pi }{\omega }}\right]$, le 1^er membre de l'inégalité ci-dessus s'écrit «$\;a\;\omega ^{2}\;\sin(\omega \;t)\;$», intervalle sur lequel « le 2^nd membre de cette inégalité $\;\searrow \;$ de $\;f_{s}\,\left[2\;g+a\;\omega ^{2}\right]\;$ à $\;f_{s}\,\left[2\;g-a\;\omega ^{2}\right]\;$» puis, pour $\;t'\,\in \,\left[{\dfrac {\mathcal {T}}{2}}\,,\,{\mathcal {T}}\right]$, le 1^er membre de l'inégalité ci-dessus égal à «$\;-a\;\omega ^{2}\;\sin(\omega \;t')\;$» reprend les valeurs de l'intervalle précédent «$\;a\;\omega ^{2}\;\sin(\omega \;t)$ en posant $\;t=t'-{\dfrac {\mathcal {T}}{2}}\;$» pendant que le 2^nd membre de cette inégalité «$\;f_{s}\,\left[2\;g+a\;\omega ^{2}\;\cos(\omega \;t')\right]=f_{s}\,\left[2\;g-a\;\omega ^{2}\;\cos(\omega \;t)\right]$ $\;\nearrow \;$ de $\;f_{s}\,\left[2\;g-a\;\omega ^{2}\right]\;$ à $\;f_{s}\,\left[2\;g+a\;\omega ^{2}\right]\;$» et, étant donné que «$\;a\;\omega ^{2}\;\sin(\omega \;t)\;$ quand $\;t\,\in \,\left[0\,,\,{\dfrac {\mathcal {T}}{2}}\right]\;$» prend les mêmes valeurs pour des instants symétriques par rapport à $\;{\dfrac {\mathcal {T}}{4}}$, nous retrouvons la « même condition d'inégalité pour $\;t'\,\in \,\left[{\dfrac {\mathcal {T}}{2}}\,,\,{\mathcal {T}}\right]\;$ que pour $\;t\,\in \,\left[0\,,\,{\dfrac {\mathcal {T}}{2}}\right]\;$» ;
                                               remarque : comme l'inégalité $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ est périodique de période $\;{\mathcal {T}}$, si la condition de non glissement est vérifiée sur l'intervalle $\;\left[0\,,\,{\dfrac {\mathcal {T}}{2}}\right]$, elle l'est pour tout instant $\;t>0\;$ et il suffit de la valider sur $\;\left[0\,,\,{\dfrac {\mathcal {T}}{2}}\right]\;$ pour lequel elle se réécrit «$\;a\;\omega ^{2}\;\sin(\omega \;t)<f_{s}\,\left[2\;g+a\;\omega ^{2}\;\cos(\omega \;t)\right]\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {2}}'\right)\;$ avec $\;t\,\in \,\left[0\,,\,{\dfrac {\mathcal {T}}{2}}={\dfrac {\pi }{\omega }}\right]\;$».

     Ayant constaté que le bâti ne glisse pas sur l'intervalle $\;\left[0\,,\,t_{0}={\dfrac {2\;\pi }{3\;\omega }}\right]\;$ pour le rotor tournant à la vitesse angulaire $\;\omega ={\dfrac {\omega _{1}}{\sqrt {2}}}={\sqrt {\dfrac {g}{a}}}\;$ et qu'il se met à glisser à partir de $\;t_{0}^{+}$, nous en déduisons que l'inégalité $\;\left({\mathfrak {2}}'\right)\;$ cessant d'être validée pour $\;t_{0}={\dfrac {2\;\pi }{3\;\omega }}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;{\sqrt {\dfrac {a}{g}}}\;$ avec chaque membre de l'inégalité fonction continue de $\;t\;$ correspond à l'égalité des deux membres pour $\;t_{0}={\dfrac {2\;\pi }{3\;\omega }}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;{\sqrt {\dfrac {a}{g}}}\;$ soit «$\;a\;\omega ^{2}\;\sin(\omega \;t_{0})=f_{s}\,\left[2\;g+a\;\omega ^{2}\;\cos(\omega \;t_{0})\right]\;$» ou
«$\;a\;{\dfrac {g}{a}}\;\sin \!\left({\dfrac {2\;\pi }{3}}\right)=f_{s}\,\left[2\;g+a\;{\dfrac {g}{a}}\;\cos \!\left({\dfrac {2\;\pi }{3}}\right)\right]\;$»
se réécrivant «$\;g\;{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}=f_{s}\,\left[2\;g+g\;{\dfrac {-1}{2}}\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}=f_{s}\;{\dfrac {3}{2}}\;$»
soit finalement «$\;f_{s}={\dfrac {1}{\sqrt {3}}}\simeq 0,577\simeq 0,58\;$».

 

Détermination du sens de glissement ainsi que de l'expression de la composante tangentielle de la réaction du sol sur le bâti tant que le glissement perdure

     Quel est le sens de la vitesse de glissement à un instant postérieur à $\;t_{0}$ $\;{\big (}$tant que le glissement perdure${\big )}$ ?

     En déduire l’expression de la composante tangentielle de la réaction du sol sur le bâti $\;{\vec {T}}\;$ tant que le glissement se maintient dans ce sens.

Solution

     Sur l'intervalle $\;\left[0\,,\,t_{0}={\dfrac {2\;\pi }{3\;\omega }}\right]\;$ avec le rotor tournant à la vitesse angulaire $\;\omega ={\dfrac {\omega _{1}}{\sqrt {2}}}={\sqrt {\dfrac {g}{a}}}$, la « composante tangentielle de la réaction du sol sur le bâti égale à $\;T_{y}(t)=-m\;a\;\omega ^{2}\;\sin(\omega \;t)\;$ étant $\;<0\;$», le bâti a tendance à glisser dans le sens contraire de $\;{\vec {T}}\;$ c'est-à-dire dans le sens de $\;{\vec {u}}_{y}\;$ d'où, en admettant la continuité du sens de $\;{\vec {T}}\;$ lors de l'apparition du glissement, nous en déduisons que « le bâti glisse dans le sens de $\;{\vec {u}}_{y}\;$ à partir de l'instant $\;t_{0}\;$» $\;{\big (}$jusqu'à ce que la vitesse de glissement du bâti sur le sol redevienne nulle${\big )}$ ;

     comme la composante normale de la réaction du sol sur le bâti reste égale à «$\;N_{z}(t)=m\,\left[2\;g+a\;\omega ^{2}\;\cos(\omega \;t)\right]>0\;$»,
     comme la composante tangentielle de la réaction du sol sur le bâti s'évalue en utilisant la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement en présence de ce dernier c'est-à-dire «$\;\vert T_{y}(t)\vert =f_{d}\;N_{z}(t)\;$» ou, tant que le glissement se fait vers la droite «$\;T_{y}(t)=-f_{d}\;N_{z}(t)=-f_{d}\;m\,\left[2\;g+a\;\omega ^{2}\;\cos(\omega \;t)\right]\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {2}}''\right)\;$».

 

Détermination de l'accélération horizontale du bâti lorsque ce dernier glisse sur le sol

     Établir, dans la durée de glissement, l’expression de la mesure algébrique de l’accélération horizontale $\;{\ddot {y}}_{\text{bâti}}\;$ du bâti relativement au sol.

Solution

     Le bâti glissant le long de $\;{\overrightarrow {Oy}}$, «$\;{\vec {V}}_{B}(t)={\vec {V}}_{C}(t)={\dot {y}}_{B}(t)\;{\vec {u}}_{y}={\dot {y}}_{C}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{B}}{dt}}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{C}}{dt}}(t)={\ddot {y}}_{B}(t)\;{\vec {u}}_{y}={\ddot {y}}_{C}(t)\;{\vec {u}}_{y}={\ddot {y}}_{\text{bâti}}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$» soit encore, avec «$\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{A}}{dt}}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{C}}{dt}}(t)-a\;\omega ^{2}\;{\vec {u}}_{r}(t)\;$» nous en déduisons «$\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{A}}{dt}}(t)={\ddot {y}}_{\text{bâti}}(t)\;{\vec {u}}_{y}-a\;\omega ^{2}\;{\vec {u}}_{r}(t)\;$» et par suite, la réécriture de la projection sur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ du théorème de la résultante cinétique appliqué à l'ensemble « bâti - rotor » dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen «$\;2\;m\;{\vec {g}}+{\vec {N}}+{\vec {T}}={\dfrac {d\left[m\;{\vec {V}}_{B}+m\;{\vec {V}}_{A}\right]}{dt}}(t)\;$» selon «$\;T_{y}(t)=2\;m\;{\ddot {y}}_{\text{bâti}}(t)-m\;a\;\omega ^{2}\;\sin(\omega \;t)\;$» ou, en y reportant la relation «$\;\left({\mathfrak {2}}''\right)\;{\text{:}}\;\;T_{y}(t)=-f_{d}\;m\,\left[2\;g+a\;\omega ^{2}\;\cos(\omega \;t)\right]\;$» puis en simplifiant par $\;m$, «$\;-f_{d}\,\left[2\;g+a\;\omega ^{2}\;\cos(\omega \;t)\right]=2\;{\ddot {y}}_{\text{bâti}}(t)-a\;\omega ^{2}\;\sin(\omega \;t)\;$» soit finalement, l'accélération horizontale du bâti relativement au sol tant que le 1^er glisse sur le 2^nd, «$\;{\ddot {y}}_{\text{bâti}}(t)=-f_{d}\;g+{\dfrac {a\;\omega ^{2}}{2}}\,\left[\sin(\omega \;t)-f_{d}\;\cos(\omega \,t)\right]\;$».

 

Détermination expérimentale du cœfficient de frottement de glissement dynamique entre le sol et le bâti

     Pour $\;\omega ={\dfrac {\omega _{1}}{\sqrt {2}}}$, le bâti s'étant mis à glisser sur le sol à partir de l'instant $\;t_{0}={\dfrac {2\;\pi }{3\;\omega }}$, ce glissement cesse à l'instant $\;t_{1}={\dfrac {\pi }{\omega }}$, en déduire l'expression du cœfficient de frottement de glissement dynamique $\;f_{d}\;$ entre le sol et le bâti.

Solution

     À partir de $\;t_{0}={\dfrac {2\;\pi }{3\;\omega }}\;$ avec $\;\omega ={\dfrac {\omega _{1}}{\sqrt {2}}}={\sqrt {\dfrac {g}{a}}}\;$ et tant que le bâti glisse sur le sol, l'accélération horizontale du bâti valant «$\;{\ddot {y}}_{\text{bâti}}(t)=-f_{d}\;g+{\dfrac {a\;\omega ^{2}}{2}}\,\left[\sin(\omega \;t)-f_{d}\;\cos(\omega \,t)\right]\;$» nous en déduisons, en intégrant entre $\;t_{0}\;$ et $\;t$, la vitesse horizontale du bâti «$\;{\dot {y}}_{\text{bâti}}(t){\cancel {-\;{\dot {y}}_{\text{bâti}}(t_{0})}}=-f_{d}\;g\,\left(t-t_{0}\right)+{\dfrac {a\;\omega }{2}}\,\left[-\cos(\omega \;t)-f_{d}\;\sin(\omega \,t)\right]_{t_{0}}^{t}\;$» ou, avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\cos(\omega \;t_{0})=\cos \!\left({\dfrac {2\;\pi }{3}}\right)={\dfrac {-1}{2}}\\\sin(\omega \;t_{0})=\sin \!\left({\dfrac {2\;\pi }{3}}\right)={\dfrac {\sqrt {3}}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$ et $\;a\;\omega =a\;{\sqrt {\dfrac {g}{a}}}={\sqrt {a\;g}}$, «$\;{\dot {y}}_{\text{bâti}}(t)$ $=-f_{d}\;g\,\left(t-{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;{\sqrt {\dfrac {a}{g}}}\right)+{\dfrac {\sqrt {a\;g}}{2}}\,\left[{\dfrac {-1}{2}}-\cos(\omega \;t)+f_{d}\;{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}-f_{d}\;\sin(\omega \,t)\right]\;$» soit finalement «$\;{\dot {y}}_{\text{bâti}}(t)={\dfrac {\sqrt {a\;g}}{4}}\,\left[-1-2\;\cos(\omega \;t)\right]-f_{d}\,\left[g\;t-{\dfrac {2\;\pi \;{\sqrt {a\;g}}}{3}}-{\dfrac {\sqrt {3\;a\;g}}{4}}+{\dfrac {\sqrt {a\;g}}{2}}\;\sin(\omega \;t)\right]\;$»
expression applicable tant que la vitesse horizontale du bâti reste strictement positive ;      cette dernière s'annulant pour $\;t_{1}={\dfrac {\pi }{\omega }}=\pi \;{\sqrt {\dfrac {a}{g}}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;0={\dot {y}}_{\text{bâti}}(t_{1})={\dfrac {\sqrt {a\;g}}{4}}\,\left[-1-2\;\cos(\omega \;t_{1})\right]-f_{d}\,\left[g\;t_{1}-{\dfrac {2\;\pi \;{\sqrt {a\;g}}}{3}}-{\dfrac {\sqrt {3\;a\;g}}{4}}+{\dfrac {\sqrt {a\;g}}{2}}\;\sin(\omega \;t_{1})\right]\;$» ou, avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\cos(\omega \;t_{1})=\cos(\pi )=-1\\\sin(\omega \;t_{1})=\sin(\pi )=0\end{array}}\right\rbrace \;$ nous en déduisons l'équation «$\;0={\dfrac {\sqrt {a\;g}}{4}}\,\left[-1-2\;(-1)\right]-f_{d}\,\left[g\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {a}{g}}}-{\dfrac {2\;\pi \;{\sqrt {a\;g}}}{3}}-{\dfrac {\sqrt {3\;a\;g}}{4}}{\cancel {+\;{\dfrac {\sqrt {a\;g}}{2}}\;0}}\right]\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;0={\dfrac {\sqrt {a\;g}}{4}}-f_{d}\;{\sqrt {a\;g}}\,\left[\pi -{\dfrac {2\;\pi }{3}}-{\dfrac {\sqrt {3}}{4}}\right]\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;0={\dfrac {1}{4}}-f_{d}\,\left[{\dfrac {\pi }{3}}-{\dfrac {\sqrt {3}}{4}}\right]\;$» soit finalement «$\;0=$ $3-f_{d}\,\left[4\;\pi -3\;{\sqrt {3}}\right]\;$» dont nous déduisons la valeur du cœfficient de frottement de glissement dynamique $\;f_{d}\;$ entre le sol et le bâti «$\;f_{d}={\dfrac {3}{4\;\pi -3\;{\sqrt {3}}}}\simeq 0,407\simeq 0,41\;$»
effectivement $\;<\;$ à $\;f_{s}\simeq 0,577\simeq 0,58$.

 

Reprise éventuelle du glissement du bâti après l'arrêt de sa 1^re phase de glissement sur le sol

     Pour $\;\omega ={\dfrac {\omega _{1}}{\sqrt {2}}}$, le bâti s'étant mis à glisser sur le sol à partir de l'instant $\;t_{0}={\dfrac {2\;\pi }{3\;\omega }}\;$ puis arrêté à l'instant $\;t_{1}={\dfrac {\pi }{\omega }}$, nous nous proposons d'établir que

     $\succ \;$l'absence de glissement se maintient jusqu'à un instant $\;t_{2}$ $\;{\big (}$à déterminer${\big )}\;$ à partir duquel le glissement reprend dans un sens à préciser puis que

     $\succ \;$le glissement se poursuit jusqu'à un instant $\;t_{3}$ $\;{\big (}$à déterminer${\big )}\;\ldots$

Solution

     Sur l'intervalle $\;\left[t_{0}={\dfrac {2\;\pi }{3\;\omega }}\,,\,t_{1}={\dfrac {\pi }{\omega }}\right]\;$ avec le rotor tournant à la vitesse angulaire $\;\omega ={\dfrac {\omega _{1}}{\sqrt {2}}}={\sqrt {\dfrac {g}{a}}}$, la « composante tangentielle de la réaction du sol sur le bâti égale à $\;T_{y}(t)=-f_{d}\;N_{z}(t)\;$ étant $\;<0\;$», le bâti glisse dans le sens contraire de $\;{\vec {T}}\;$ c'est-à-dire dans le sens de $\;{\vec {u}}_{y}$ $\;{\big (}$toutefois s'il est possible d'admettre la continuité du sens de $\;{\vec {T}}\;$ lors de l'apparition du glissement, la propriété s'avère fausse lors de l'arrêt du glissement et du fait que le glissement se faisait dans le sens de $\;{\vec {u}}_{y}\;$ nous ne pouvons pas induire que « le bâti aura tendance à glisser dans le sens de $\;{\vec {u}}_{y}\;$ à partir de l'instant $\;t_{1}\;$», cela sera d'ailleurs faux${\big )}$ ;
                                               Sur l'intervalle la « composante normale de la réaction du sol sur le bâti étant égale à $\;N_{z}(t)=m\,\left[2\;g+a\;\omega ^{2}\;\cos(\omega \;t)\right]>0\;$ qu'il y ait glissement ou non » et «$\;f_{d}\;$ $<\;$ à $\;f_{s}\;$» $\Rightarrow$ l'applicabilité de la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement en absence de ce dernier «$\;\vert T_{y}(t)\vert <f_{s}\;N_{z}(t)\;$» aux instants $\;t_{1}^{+}$, d'où pas de reprise de glissement du bâti immédiatement à partir de $\;t_{1}$.

     À partir de $\;t_{1}={\dfrac {\pi }{\omega }}\;$ avec le rotor tournant à la vitesse angulaire $\;\omega ={\dfrac {\omega _{1}}{\sqrt {2}}}={\sqrt {\dfrac {g}{a}}}$, le bâti ne glissant pas, l'équation «$\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;{\text{:}}\;\;2\;m\;{\vec {g}}+{\vec {N}}+{\vec {T}}=-m\;a\;\omega ^{2}\;{\vec {u}}_{r}\;$» est applicable et sa projection sur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ nous donne «$\;T_{y}(t)=$ $-m\;a\;\omega ^{2}\;\sin(\omega \;t)\;$ tant que le bâti ne glisse pas sur le sol » ; or, sur l'intervalle $\;\left]t_{1}={\dfrac {\pi }{\omega }}={\dfrac {\mathcal {T}}{2}}\,,\,{\mathcal {T}}={\dfrac {2\;\pi }{\omega }}\right[$, $\;\sin(\omega \;t)\;$ étant $\;<0$, nous en déduisons «$\;T_{y}(t)=-m\;a\;\omega ^{2}\;\sin(\omega \;t)>0\;$» et par suite que « le bâti a une tendance à glisser dans le sens de $-{\vec {u}}_{y}\;$» sans glisser effectivement jusqu'à ce que
                      À partir de la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement en absence de ce dernier «$\;\vert T_{y}(t)\vert <f_{s}\;N_{z}(t)\;$» ne s'applique plus c'est-à-dire jusqu'à l'instant $\;t_{2}\,\in \,\left]t_{1}={\dfrac {\mathcal {T}}{2}}\,,\,{\mathcal {T}}\right[\;$ tel que «$\;\vert T_{y}(t_{2})\vert$ $=-m\;a\;\omega ^{2}\;\sin(\omega \;t_{2})\;$ devienne égale à $\;f_{s}\;N_{z}(t_{2})=f_{s}\;m\,\left[2\;g+a\;\omega ^{2}\;\cos(\omega \;t_{2})\right]\;$» soit «$\;-a\;\omega ^{2}\;\sin(\omega \;t_{2})=f_{s}\,\left[2\;g+a\;\omega ^{2}\;\cos(\omega \;t_{2})\right]\;$» ou «$\;-a\;{\dfrac {g}{a}}\;\sin(\omega \;t_{2})=f_{s}\,\left[2\;g+a\;{\dfrac {g}{a}}\;\cos(\omega \;t_{2})\right]\;$» se réécrivant «$\;-g\;\sin(\omega \;t_{2})=f_{s}\;g\,\left[2+\cos(\omega \;t_{2})\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\sin(\omega \;t_{2})+f_{s}\;\cos(\omega \;t_{2})=-2\;f_{s}\;$» ou, avec «$\;f_{s}={\dfrac {1}{\sqrt {3}}}\;$», «$\;\sin(\omega \;t_{2})+{\dfrac {1}{\sqrt {3}}}\;\cos(\omega \;t_{2})=-{\dfrac {2}{\sqrt {3}}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}\;\sin(\omega \;t_{2})+{\dfrac {1}{2}}\;\cos(\omega \;t_{2})=-1\;$» et finalement, avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}=\cos \!\left({\dfrac {\pi }{6}}\right)\\{\dfrac {1}{2}}=\sin \!\left({\dfrac {\pi }{6}}\right)\end{array}}\right\rbrace$, «$\;\sin \!\left(\omega \;t_{2}+{\dfrac {\pi }{6}}\right)=-1\;$» $\Rightarrow$ «$\;\omega \;t_{2}+{\dfrac {\pi }{6}}\equiv {\dfrac {3\;\pi }{2}}\!\!{\pmod {2\;\pi }}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;t_{2}\equiv {\dfrac {4\;\pi }{3\;\omega }}\!\!{\pmod {\dfrac {2\;\pi }{\omega }}}\;$» soit, en ne conservant que la valeur de $\;t_{2}\;$ de l'intervalle $\;\left]t_{1}={\dfrac {\mathcal {T}}{2}}\,,\,{\mathcal {T}}\right[$, la « reprise du glissement du bâti sur le sol à partir de l'instant $\;t_{2}={\dfrac {4\;\pi }{3\;\omega }}={\dfrac {2\;{\mathcal {T}}}{3}}\;$».

     À partir de $\;t_{2}={\dfrac {4\;\pi }{3\;\omega }}\;$ avec le rotor tournant à la vitesse angulaire $\;\omega ={\dfrac {\omega _{1}}{\sqrt {2}}}={\sqrt {\dfrac {g}{a}}}$, la « composante tangentielle de la réaction du sol sur le bâti égale à $\;T_{y}(t)=-m\;a\;\omega ^{2}\;\sin(\omega \;t)\;$ étant $\;>0\;$», le bâti a tendance à glisser dans le sens contraire de $\;{\vec {T}}\;$ c'est-à-dire dans le sens de $\;-{\vec {u}}_{y}\;$ d'où, en admettant la continuité du sens de $\;{\vec {T}}\;$ lors de l'apparition du glissement, nous en déduisons que « le bâti glisse dans le sens de $\;-{\vec {u}}_{y}\;$ à partir de l'instant $\;t_{2}\;$» $\;{\big (}$jusqu'à ce que la vitesse de glissement du bâti sur le sol redevienne nulle${\big )}$ ;

     comme la composante normale de la réaction du sol sur le bâti reste égale à «$\;N_{z}(t)=m\,\left[2\;g+a\;\omega ^{2}\;\cos(\omega \;t)\right]>0\;$»,
     comme la composante tangentielle de la réaction du sol sur le bâti s'évalue en utilisant la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement en présence de ce dernier c'est-à-dire «$\;\vert T_{y}(t)\vert =f_{d}\;N_{z}(t)\;$» ou, tant que le glissement se fait vers la gauche «$\;T_{y}(t)=f_{d}\;N_{z}(t)=f_{d}\;m\,\left[2\;g+a\;\omega ^{2}\;\cos(\omega \;t)\right]\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {2}}'''\right)\;$».      Le bâti glissant le long de $\;{\overrightarrow {Oy}}$, «$\;{\vec {V}}_{B}(t)={\vec {V}}_{C}(t)={\dot {y}}_{B}(t)\;{\vec {u}}_{y}={\dot {y}}_{C}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{B}}{dt}}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{C}}{dt}}(t)={\ddot {y}}_{B}(t)\;{\vec {u}}_{y}={\ddot {y}}_{C}(t)\;{\vec {u}}_{y}={\ddot {y}}_{\text{bâti}}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$» soit encore, avec «$\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{A}}{dt}}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{C}}{dt}}(t)-a\;\omega ^{2}\;{\vec {u}}_{r}(t)\;$» nous en déduisons «$\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{A}}{dt}}(t)={\ddot {y}}_{\text{bâti}}(t)\;{\vec {u}}_{y}-a\;\omega ^{2}\;{\vec {u}}_{r}(t)\;$» et par suite, la réécriture de la projection sur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ du théorème de la résultante cinétique appliqué à l'ensemble « bâti - rotor » dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen «$\;2\;m\;{\vec {g}}+{\vec {N}}+{\vec {T}}={\dfrac {d\left[m\;{\vec {V}}_{B}+m\;{\vec {V}}_{A}\right]}{dt}}(t)\;$» selon «$\;T_{y}(t)=2\;m\;{\ddot {y}}_{\text{bâti}}(t)-m\;a\;\omega ^{2}\;\sin(\omega \;t)\;$» ou, en y reportant la relation «$\;\left({\mathfrak {2}}'''\right)\;{\text{:}}\;\;T_{y}(t)=f_{d}\;m\,\left[2\;g+a\;\omega ^{2}\;\cos(\omega \;t)\right]\;$» puis en simplifiant par $\;m$, «$\;f_{d}\,\left[2\;g+a\;\omega ^{2}\;\cos(\omega \;t)\right]=2\;{\ddot {y}}_{\text{bâti}}(t)-a\;\omega ^{2}\;\sin(\omega \;t)\;$» soit finalement, l'accélération horizontale du bâti relativement au sol tant que le 1^er glisse sur le 2^nd, «$\;{\ddot {y}}_{\text{bâti}}(t)=f_{d}\;g+{\dfrac {a\;\omega ^{2}}{2}}\,\left[\sin(\omega \;t)+f_{d}\;\cos(\omega \,t)\right]\;$».      À partir de $\;t_{2}={\dfrac {4\;\pi }{3\;\omega }}\;$ avec $\;\omega ={\dfrac {\omega _{1}}{\sqrt {2}}}={\sqrt {\dfrac {g}{a}}}\;$ et tant que le bâti glisse sur le sol, l'accélération horizontale du bâti valant «$\;{\ddot {y}}_{\text{bâti}}(t)=f_{d}\;g+{\dfrac {a\;\omega ^{2}}{2}}\,\left[\sin(\omega \;t)+f_{d}\;\cos(\omega \,t)\right]\;$» nous en déduisons, en intégrant entre $\;t_{2}\;$ et $\;t$, la vitesse horizontale du bâti «$\;{\dot {y}}_{\text{bâti}}(t){\cancel {-\;{\dot {y}}_{\text{bâti}}(t_{2})}}=f_{d}\;g\,\left(t-t_{2}\right)+{\dfrac {a\;\omega }{2}}\,\left[-\cos(\omega \;t)+f_{d}\;\sin(\omega \,t)\right]_{t_{0}}^{t}\;$» ou, avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\cos(\omega \;t_{2})=\cos \!\left({\dfrac {4\;\pi }{3}}\right)={\dfrac {-1}{2}}\\\sin(\omega \;t_{2})=\sin \!\left({\dfrac {4\;\pi }{3}}\right)={\dfrac {-{\sqrt {3}}}{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$ et $\;a\;\omega =a\;{\sqrt {\dfrac {g}{a}}}={\sqrt {a\;g}}$, «$\;{\dot {y}}_{\text{bâti}}(t)=$ $f_{d}\;g\,\left(t-{\dfrac {4\;\pi }{3}}\;{\sqrt {\dfrac {a}{g}}}\right)+{\dfrac {\sqrt {a\;g}}{2}}\,\left[{\dfrac {-1}{2}}-\cos(\omega \;t)-f_{d}\;{\dfrac {-{\sqrt {3}}}{2}}+f_{d}\;\sin(\omega \,t)\right]\;$» soit finalement «$\;{\dot {y}}_{\text{bâti}}(t)={\dfrac {\sqrt {a\;g}}{4}}\,\left[-1-2\;\cos(\omega \;t)\right]+f_{d}\,\left[g\;t-{\dfrac {4\;\pi \;{\sqrt {a\;g}}}{3}}+{\dfrac {\sqrt {3\;a\;g}}{4}}+{\dfrac {\sqrt {a\;g}}{2}}\;\sin(\omega \;t)\right]\;$»
expression applicable tant que la vitesse horizontale du bâti reste strictement négative ;

     cette dernière s'annulant éventuellement pour l'instant $\;t_{3}$ $\;{\big (}$à déterminer${\big )}\;$ $\Rightarrow$ «$\;0={\dot {y}}_{\text{bâti}}(t_{3})={\dfrac {\sqrt {a\;g}}{4}}\,\left[-1-2\;\cos(\omega \;t_{3})\right]+f_{d}\,\left[g\;t_{3}-{\dfrac {4\;\pi \;{\sqrt {a\;g}}}{3}}+{\dfrac {\sqrt {3\;a\;g}}{4}}+{\dfrac {\sqrt {a\;g}}{2}}\;\sin(\omega \;t_{3})\right]\;$» ou, avec «$\;f_{d}=$ ${\dfrac {3}{4\;\pi -3\;{\sqrt {3}}}}\;$», nous en déduisons l'équation «$\;0={\dfrac {\sqrt {a\;g}}{4}}\,\left[-1-2\;\cos(\omega \;t_{3})\right]+{\dfrac {3}{4\;\pi -3\;{\sqrt {3}}}}\,\left[g\;t_{3}-{\dfrac {16\;\pi \;{\sqrt {a\;g}}-3\;{\sqrt {3\;a\;g}}}{12}}+{\dfrac {\sqrt {a\;g}}{2}}\;\sin(\omega \;t_{3})\right]\;$» soit, en « multipliant les deux membres par $\;{\dfrac {4}{\sqrt {a\;g}}}\;$» et en utilisant «$\;g\;t_{3}={\dfrac {g}{\omega }}\;\omega \;t_{3}={\sqrt {a\;g}}\;\omega \;t_{3}\;$», «$\;0=\left[-1-2\;\cos(\omega \;t_{3})\right]+{\dfrac {3}{4\;\pi -3\;{\sqrt {3}}}}\,\left[4\;\omega \;t_{3}-{\dfrac {16\;\pi -3\;{\sqrt {3}}}{3}}+2\;\sin(\omega \;t_{3})\right]\;$» soit encore, en « multipliant les deux membres par $\;\left(4\;\pi -3\;{\sqrt {3}}\right)\;$», «$\;0=$ $-4\;\pi +3\;{\sqrt {3}}+\left(-8\;\pi +6\;{\sqrt {3}}\right)\;\cos(\omega \;t_{3})+12\;\omega \;t_{3}-16\;\pi +3\;{\sqrt {3}}+6\;\sin(\omega \;t_{3})\;$» soit «$\;0=-20\;\pi +6\;{\sqrt {3}}+12\;\omega \;t_{3}-\left(8\;\pi -6\;{\sqrt {3}}\right)\;\cos(\omega \;t_{3})+6\;\sin(\omega \;t_{3})\;$» et finalement,

Résolution graphique de l'équation transcendante $\;\left({\mathfrak {3}}'\right)\;$ $\;\;0,7540\;\omega \;t_{3}-3,295=\cos \!\left(\omega \;t_{3}+0,3866\right)\;$

«$\;\omega \;t_{3}\;$ est solution de l'intervalle $\;\left]{\dfrac {4\;\pi }{3}}\,,\,2\;\pi \right[\;$ de l'équation transcendante $\;\left({\mathfrak {3}}\right)\;$
$\;-10\;\pi +3\;{\sqrt {3}}+6\;\omega \;t_{3}=+\left(4\;\pi -3\;{\sqrt {3}}\right)\;\cos(\omega \;t_{3})-3\;\sin(\omega \;t_{3})\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {3}}\right)\;$» ou numériquement
«$\;-26,22+6\;\omega \;t_{3}=7,370\;\cos(\omega \;t_{3})-3\;\sin(\omega \;t_{3})\;$ $\Leftrightarrow$ $\;-3,295+0,7540\;\omega \;t_{3}=0,9262\;\cos(\omega \;t_{3})-0,3770\;\sin(\omega \;t_{3})\;$» ou
« en définissant $\;\alpha \;$ par $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\cos(\alpha )\simeq 0,9262\\\sin(\alpha )\simeq 0,3770\end{array}}\right\rbrace \Rightarrow \alpha \simeq 0,3866\;rad\simeq {\dfrac {\pi }{8}}\;rad\;$»,
«$\;\omega \;t_{3}\;$ est solution de l'intervalle $\;\left]{\dfrac {4\;\pi }{3}}\,,\,2\;\pi \right[\;$ de l'équation transcendante $\;\left({\mathfrak {3}}'\right)\;{\text{:}}\;\;0,7540\;\omega \;t_{3}-3,295=\cos \!\left(\omega \;t_{3}+{\dfrac {\pi }{8}}\right)\;$» ;      pour résoudre graphiquement l'équation transcendante $\;\left({\mathfrak {3}}'\right)$, nous superposons sur un même diagramme pour les « valeurs $\;x\,\in \,\left[{\dfrac {4\;\pi }{3}}\,,\,2\;\pi \right]\;$», le graphe de «$\;y(x)=0,7540\;x-3,295\;$ en noir » et celui de «$\;z(x)=\cos \!\left(x+0,3866\right)\;$ en rouge », la solution de l'équation étant l'abscisse du point d'intersection des deux graphes soit $\;x\simeq 5,66$, valeur que nous pouvons affiner par dichotomie en «$\;x\simeq 5,659\;$» d'où l'instant $\;t_{3}\;$ de 2^ème arrêt de glissement du bâti sur le sol «$\;t_{3}\simeq {\dfrac {5,659}{\omega }}\simeq {\dfrac {1,801\;\pi }{\omega }}\simeq 0,9\;{\mathcal {T}}={\dfrac {9}{10}}\;{\mathcal {T}}\;$».

     À partir de $\;t_{3}\simeq {\dfrac {1,801\;\pi }{\omega }}\simeq {\dfrac {9}{10}}\;{\mathcal {T}}\;$ avec le rotor tournant à la vitesse angulaire $\;\omega ={\dfrac {\omega _{1}}{\sqrt {2}}}={\sqrt {\dfrac {g}{a}}}$, le bâti ne glissant plus, l'équation «$\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;{\text{:}}$ $2\;m\;{\vec {g}}+{\vec {N}}+{\vec {T}}=-m\;a\;\omega ^{2}\;{\vec {u}}_{r}\;$» est applicable et sa projection sur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ nous donne «$\;T_{y}(t)=-m\;a\;\omega ^{2}\;\sin(\omega \;t)\;$ tant que le bâti ne glisse pas sur le sol » ; or, sur l'intervalle $\;\left]t_{3}\simeq {\dfrac {1,801\;\pi }{\omega }}\simeq {\dfrac {9}{10}}\;{\mathcal {T}}\,,\,{\mathcal {T}}={\dfrac {2\;\pi }{\omega }}\right[$, $\;\sin(\omega \;t)\;$ étant $\;<0$, nous en déduisons «$\;T_{y}(t)=-m\;a\;\omega ^{2}\;\sin(\omega \;t)>0\;$» et par suite que « le bâti a une tendance à glisser dans le sens de $-{\vec {u}}_{y}\;$» sans glisser effectivement jusqu'à ce que
                                                  À partir de la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement en absence de ce dernier «$\;\vert T_{y}(t)\vert <f_{s}\;N_{z}(t)\;$» ne s'applique plus c'est-à-dire jusqu'à un éventuel instant $\;t_{4}\leqslant {\mathcal {T}}\;$ tel que «$\;\vert T_{y}(t_{4})\vert =-m\;a\;\omega ^{2}\;\sin(\omega \;t_{4})\;$ devienne égale à $\;f_{s}\;N_{z}(t_{4})=f_{s}\;m\,\left[2\;g+a\;\omega ^{2}\;\cos(\omega \;t_{4})\right]\;$» soit «$\;-a\;\omega ^{2}\;\sin(\omega \;t_{4})=f_{s}\,\left[2\;g+a\;\omega ^{2}\;\cos(\omega \;t_{4})\right]\;$» ou, avec «$\;\omega ={\sqrt {\dfrac {g}{a}}}\;$», «$\;-a\;{\dfrac {g}{a}}\;\sin(\omega \;t_{4})=$ $f_{s}\,\left[2\;g+a\;{\dfrac {g}{a}}\;\cos(\omega \;t_{4})\right]\;$» se réécrivant «$\;-g\;\sin(\omega \;t_{4})=f_{s}\;g\,\left[2+\cos(\omega \;t_{4})\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\sin(\omega \;t_{4})+f_{s}\;\cos(\omega \;t_{4})=-2\;f_{s}\;$» ou, avec «$\;f_{s}={\dfrac {1}{\sqrt {3}}}\;$», l'équation «$\;\sin(\omega \;t_{4})+{\dfrac {1}{\sqrt {3}}}\;\cos(\omega \;t_{4})=-{\dfrac {2}{\sqrt {3}}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}\;\sin(\omega \;t_{4})+{\dfrac {1}{2}}\;\cos(\omega \;t_{4})=-1\;$» soit encore, avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}=\cos \!\left({\dfrac {\pi }{6}}\right)\\{\dfrac {1}{2}}=\sin \!\left({\dfrac {\pi }{6}}\right)\end{array}}\right\rbrace$, l'équation «$\;\sin \!\left(\omega \;t_{4}+{\dfrac {\pi }{6}}\right)=-1\;$» $\Rightarrow$ «$\;\omega \;t_{4}+{\dfrac {\pi }{6}}\equiv {\dfrac {3\;\pi }{2}}\!\!{\pmod {2\;\pi }}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;t_{4}\equiv {\dfrac {4\;\pi }{3\;\omega }}\!\!{\pmod {\dfrac {2\;\pi }{\omega }}}\;$» ne donnant finalement aucune solution dans l'intervalle $\;\left]t_{3}\simeq {\dfrac {9}{10}}\;{\mathcal {T}}\,,\,{\mathcal {T}}\right[\;$ d'où, le « non glissement du bâti sur le sol se poursuit jusqu'à l'instant $\;{\mathcal {T}}={\dfrac {2\;\pi }{\omega }}\;$» à partit duquel nous retrouvons dans les conditions de l'instant $\;t=0$ $\;{\big (}$à l'exception de la position du bâti, laquelle n'a aucune importance sur la détermination des effets indésirables de la machine tournante${\big )}$.

 

Détermination des conditions de non basculement de la machine tournante dans le cas où son rotor tourne à une vitesse angulaire suffisamment faible pour que le bâti ne glisse pas sur le sol

     La vitesse angulaire de rotation du rotor étant $\;\omega \ll {\sqrt {\dfrac {g}{a}}}$, vérifiez que le bâti ne peut pas glisser sur le sol puis,

     montrer que, malgré cela, la machine tournante peut avoir tendance à basculer dans des conditions que l’on précisera.

Solution

     Dans le cas où la vitesse angulaire de rotation du rotor $\;\omega \;$ est $\;\ll {\sqrt {\dfrac {g}{a}}}$, d'une part il ne peut y avoir rupture de contact entre le bâti et le sol, $\;\omega \;$ étant effectivement $\;<\;$ à $\;\omega _{1}={\sqrt {\dfrac {2\;g}{a}}}$, d'autre part, dans l'hypothèse où le bâti ne glisse pas sur le sol, l'application de la relation $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;{\text{:}}\;\;2\;m\;{\vec {g}}+{\vec {N}}+{\vec {T}}=-m\;a\;\omega ^{2}\;{\vec {u}}_{r}\;$ donnant toujours en la projetant sur $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{z}\;{\text{:}}\;N_{z}(t)=m\,\left[2\;g+a\;\omega ^{2}\;\cos(\omega \;t)\right]\\{\vec {u}}_{y}\;{\text{:}}\;T_{y}(t)=-m\;a\;\omega ^{2}\;\sin(\omega \;t)\end{array}}\right\rbrace \;$ et $\;a\;\omega ^{2}\;$ étant $\;\ll g<2\;g$, la « loi empirique de Coulomb du frottement de glissement en absence de ce dernier c'est-à-dire “$\;\vert T_{y}(t)\vert <f_{s}\;N_{z}(t)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;m\;a\;\omega ^{2}\;\vert \sin(\omega \;t)\vert <f_{s}\;m\,\left[2\;g+a\;\omega ^{2}\;\cos(\omega \;t)\right]\;$” est validée $\;\forall \;t\;$» C.Q.F.V..

     Supposons que l’action du sol sur le bâti s’applique en un point «$\;I\;$ d’abscisse $\;x_{B}+u\;$ avec $\;u\,\in \,\left[-{\mathit {l}}\,,\,+{\mathit {l}}\,\right]\;$» et appliquons, à l’ensemble « bâti - rotor », le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe fixe $\;\left(Cx\right)\;$ du référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen dans l’hypothèse où la machine tournante ne bascule pas «$\;{\mathcal {M}}_{Cx,\,{\text{ext}}}={\dfrac {d\!\left[\sigma _{Cx,\,{\text{bâti}}}+\sigma _{Cx,\,{\text{rotor}}}\right]}{dt}}(t)\;$» avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\sigma _{Cx,\,{\text{bâti}}}(t)=0\\\sigma _{Cx,\,{\text{rotor}}}(t)=J_{Cx,\,{\text{rotor}}}\;\omega \end{array}}\right\rbrace$ $\;{\big (}$l'ensemble « bâti - rotor » ne basculant pas et $\;J_{Cx,\,{\text{rotor}}}\;$ étant le moment d'inertie du rotor relativement à son axe de rotation${\big )}\;$ dont nous déduisons $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dot {\sigma }}_{Cx,\,{\text{bâti}}}(t)=0\\{\dot {\sigma }}_{Cx,\,{\text{rotor}}}(t)=0\end{array}}\right\rbrace$ $\;{\big (}$le mouvement de rotation du rotor étant uniforme${\big )}\;$ ainsi que «$\;{\mathcal {M}}_{Cx,\,{\text{ext}}}=$ ${\mathcal {M}}_{Cx}\!\left[m_{\text{bâti}}\;{\vec {g}}\right]+{\mathcal {M}}_{Cx}\!\left[{\vec {N}}+{\vec {T}}\right]+{\mathcal {M}}_{Cx}\!\left[m_{\text{rotor}}\;{\vec {g}}\right]=N_{z}(t)\;u+T_{y}(t)\;h-m\;g\;a\;\sin(\omega \;t)\;$» $\;{\Big \{}m_{\text{bâti}}\;{\vec {g}}\;$ s'appliquant en $\;B\;$ a un bras de levier nul, $\;N_{z}(t)\;$ étant $\;>0\;$ tend à faire tourner l'ensemble dans le sens $\;+\;$ pour $\;u>0$ $\;{\big [}$et dans le sens contraire pour $\;u<0{\big ]}$, $\;T_{y}(t)\;$ dans le cas où elle est $\;>0\;$ tend à faire tourner l'ensemble dans le sens $\;+\;$ $\;{\big [}$et dans le sens contraire si $\;T_{y}(t)\;$ est $\;<0{\big ]}$ avec un bras de levier égal à $\;h$, enfin $\;m_{\text{rotor}}\;{\vec {g}}\;$ s'appliquant en $\;A\;$ tend à faire tourner l'ensemble dans le sens $\;-\;$ si $\;A\;$ est à droite de $\;CB$ $\;{\big [}$et dans le sens $\;+\;$ si $\;A\;$ est à gauche de $\;CB{\big ]}$ avec un bras de levier égal à $\;a\;\vert \sin(\omega \;t)\vert \;$ s'écrivant $\;a\;\sin(\omega \;t)\;$ si $\;A\;$ est à droite de $\;CB$ $\;{\big [}$et $\;-a\;\sin(\omega \;t)\;$ si $\;A\;$ est à gauche de $\;CB{\big ]}{\Big \}}\;$ soit dans l'hypothèse où il n'y a pas basculement «$\;N_{z}(t)\;u+T_{y}(t)\;h-m\;g\;a\;\sin(\omega \;t)=0\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {4}}\right)\;$ avec $\;u\,\in \,\left[-{\mathit {l}}\,,\,+{\mathit {l}}\,\right]\;$» ;

     comme la composante normale de la réaction du sol sur le bâti reste égale à «$\;N_{z}(t)=m\,\left[2\;g+a\;\omega ^{2}\;\cos(\omega \;t)\right]>0\;$» et que
     comme la composante tangentielle de la réaction du sol sur le bâti en absence de glissement de ce dernier sur le sol résulte de la projection de la relation $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ sur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ «$\;T_{y}(t)=-m\;a\;\omega ^{2}\;\sin(\omega \;t)\;$»,

     nous pouvons réécrire la relation $\;\left({\mathfrak {4}}\right)\;$ selon «$\;m\,\left[2\;g+a\;\omega ^{2}\;\cos(\omega \;t)\right]\,u-m\;a\;\omega ^{2}\;\sin(\omega \;t)\;h-m\;g\;a\;\sin(\omega \;t)=0\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {4}}'\right)\;$» dont nous tirons «$\;u={\dfrac {a\,\left(g+h\;\omega ^{2}\right)\,\sin(\omega \;t)}{2\;g+a\;\omega ^{2}\;\cos(\omega \;t)}}\simeq {\dfrac {a\,\left(g+h\;\omega ^{2}\right)\,\sin(\omega \;t)}{2\;g}}\;$» $\;{\big \{}a\;\omega ^{2}\;$ étant $\;\ll \;$ devant $\;g{\big \}}\;$ soit «$\;u\simeq {\dfrac {a}{2}}\,\left(1+{\dfrac {h\;\omega ^{2}}{g}}\right)\,\sin(\omega \;t)\;$» et, dans la mesure où «$\;a\;$ est $\not \ll \;h\;$», «$\;{\dfrac {h\;\omega ^{2}}{g}}={\dfrac {h}{a}}\;{\dfrac {a\;\omega ^{2}}{g}}\;$ est $\;\ll 1\;$» comme le produit d'un facteur fini $\;{\dfrac {h}{a}}\;$ et d'un autre infiniment petit $\;{\dfrac {a\;\omega ^{2}}{g}}\;$ d'où «$\;u\simeq {\dfrac {a}{2}}\;\sin(\omega \;t)\;$» ;      enfin, comme la variable $\;u\;$ doit $\;\in \,\left[-{\mathit {l}}\,,\,+{\mathit {l}}\,\right]$, la relation $\;u\simeq {\dfrac {a}{2}}\;\sin(\omega \;t)\;$ sera réalisée « si $\;{\dfrac {a}{2}}\;$ est $\;<\;$ à $\;{\mathit {l}}\;$» c'est-à-dire « si $\;a\;$ est $\;<\;$ à $\;2\;{\mathit {l}}\;$» d'où « avec $\;a<2\;l\;$ il y a non basculement de la machine tournante » alors que
« si $\;a\;$ est $\;>\;$ à $\;2\;l\;$ le basculement devient possible $\;{\big (}$mais non assuré${\big )}\;$».

 

Étude des petites oscillations d'un pendule pesant élastique

Schéma descriptif de l'équilibre d'un pendule pesant $\;\left(AOB\right)\;$ pouvant osciller autour de l'axe $\;\Delta \;$ passant par $\;O\;$ et $\;\perp \;$ à $\;\left(AOB\right)\;$ en étant retenu en $\;A\;$ par l'action d'un ressort vertical

     Un solide «$\;({\mathcal {S}})\;$» est constitué de deux tiges homogènes rigidement liées l'une à l'autre, $\;AO\;$ et $\;OB$, faisant entre elles un angle droit, chaque tige étant de masse $\;m\;$ et de longueur $\;2\;a$ ;

     l'extrémité commune $\;O\;$ des deux tiges du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ étant un point fixe du référentiel terrestre d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen, $\;({\mathcal {S}})\;$ peut tourner autour de l'axe horizontal $\;\Delta \;$ passant par $\;O\;$ et orienté par $\;{\vec {u}}_{x}$ $\;{\big \{}\perp \;$ au plan contenant $\;({\mathcal {S}})\;$ et pointant vers le lecteur, $\;{\vec {u}}_{x}\;$ orientant les angles algébrisés de ce plan dans le sens antihoraire${\big \}}$, la liaison en $\;O\;$ agissant sur $\;({\mathcal {S}})\;$ étant une liaison pivot parfaite.

     Un ressort de masse négligeable, de constante de raideur $\;k\;$ et de longueur à vide $\;{\mathit {l}}_{0}$, est accroché à $\;({\mathcal {S}})\;$ en $\;A$, l'autre extrémité du ressort $\;C\;$ étant maintenue fixe et telle que la verticale passant par $\;C\;$ est séparée d'une distance horizontale de $\;2\;a\;$ du point $\;O\;$ de $\;({\mathcal {S}})$ ;

     lorsque l'ensemble est en équilibre dans le champ de pesanteur $\;{\vec {g}}\;$ vertical et uniforme, $\;AO\;$ est horizontale et $\;OB\;$ verticale, la longueur du ressort à l'équilibre étant $\;{\mathit {l}}_{\text{éq}}>{\mathit {l}}_{0}$ $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}$ ;

     nous nous proposons ci-après d'étudier les petites oscillations de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ autour de $\;\Delta \;$ et pour cela nous associons au référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ le repère cartésien $\;\left\lbrace 0\,,\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\right\rbrace \;$ dans lequel la base cartésienne est directe, $\;{\vec {u}}_{z}\;$ étant vertical descendant et $\;{\vec {u}}_{y}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{x}\;$ horizontal orienté de $\;O\;$ vers $\;A_{\text{éq}}$.

     Nous rappelons l'expression du moment d'inertie d'une tige $\;({\mathcal {T}})$, de masse $\;m$, de longueur $\;{\mathit {l}}$, par rapport à un axe $\;\Delta \perp \;$ à $\;({\mathcal {T}})\;$ passant par une de ses extrémités «$\;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {T}}\right)={\dfrac {1}{3}}\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}\;$».

Étude de l'équilibre du pendule pesant élastique

     Déduire, de la C.N. d'équilibre du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ autour de l'axe de rotation $\;\Delta$, l'« allongement $\;\Delta {\mathit {l}}_{\text{éq}}={\mathit {l}}_{\text{éq}}-{\mathit {l}}_{0}\;$ du ressort à l'équilibre ».

Solution

Schéma descriptif de l'équilibre d'un pendule pesant $\;\left(AOB\right)\;$ pouvant osciller autour de l'axe $\;\Delta \;$ passant par $\;O\;$ et $\;\perp \;$ à $\;\left(AOB\right)\;$ en étant retenu en $\;A\;$ par l'action d'un ressort vertical avec représentation des forces extérieures appliquées

     Les forces extérieures appliquées au solide $\;({\mathcal {S}})\;$ en liaison pivot parfaite avec l'axe horizontal $\;\Delta \;$ passant par $\;O$, point fixe du référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$, et $\;\perp \;$ au plan contenant $\;({\mathcal {S}})\;$ sont, dans le cas de l'équilibre de ce dernier :

• le poids $\;m_{AO}\;{\vec {g}}=m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$ appliqué au milieu $\;I_{A_{\text{éq}}O}\;$ de $\;A_{\text{éq}}O\;$ de coordonnées $\;\left(x_{I_{A_{\text{éq}}O}}=0\,,\,y_{I_{A_{\text{éq}}O}}=a\,,\,z_{I_{A_{\text{éq}}O}}=0\right)$,
• le poids $\;m_{OB}\;{\vec {g}}=m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$ appliqué au milieu $\;I_{OB_{\text{éq}}}\;$ de $\;OB_{\text{éq}}\;$ de coordonnées $\;\left(x_{I_{OB_{\text{éq}}}}=0\,,\,y_{I_{OB_{\text{éq}}}}=0\,,\,z_{I_{OB_{\text{éq}}}}=a\right)$,
• la force de tension du ressort $\;{\vec {T}}_{\text{éq}}=-k\;\Delta {\mathit {l}}_{\text{éq}}\;{\vec {u}}_{z}\;$ appliquée en $\;A_{\text{éq}}\;$ de coordonnées $\;\left(x_{A_{\text{éq}}}=0\,,\,y_{A_{\text{éq}}}=2\;a\,,\,z_{A_{\text{éq}}}=0\right)\;$ avec $\;\Delta {\mathit {l}}_{\text{éq}}={\mathit {l}}_{\text{éq}}-{\mathit {l}}_{0}\;$ l'allongement du ressort à l'équilibre et
• la réaction de l'axe $\;{\vec {R}}_{\text{éq}}={\overline {R}}_{\text{éq}}\;{\vec {u}}_{z}$ $\;{\big \{}$a priori de direction quelconque mais ici verticale comme toutes les autres forces extérieures${\big \}}\;$ appliquée en $\;O\;$ de coordonnées $\;\left(x_{O}=0\,,\,y_{O}=0\,,\,z_{O}=0\right)$ ainsi qu'un couple de moment vectoriel $\;{\vec {\Gamma }}\,\perp \;$ à $\;\Delta$ $\;{\big (}$non représenté${\big )}\;$ ;

     pour déterminer la C.N. d'équilibre du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ en rotation autour de l'axe de rotation $\;\Delta \;$ dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen, nous écrivons que « le moment résultant dynamique scalaire appliqué à $\;({\mathcal {S}})\;$ relativement à $\;\Delta \;$ est nul » dans lequel «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}={\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left(m_{AO}\;{\vec {g}}\right)+{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left(m_{OB}\;{\vec {g}}\right)+{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left({\vec {T}}_{\text{éq}}\right)+{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left({\vec {R}}_{\text{éq}}\right)+\Gamma _{x}=$ $m\;g\;a\;{\cancel {+\;m\;g\;0}}-k\;\Delta {\mathit {l}}_{\text{éq}}\;2\;a\;{\cancel {+\;{\overline {R}}_{\text{éq}}\;0\,+\,0}}=0\;$» $\;{\big \{}m_{AO}\;{\vec {g}}\;$ tendant à faire tourner le solide dans le sens $\;+\;$ avec un bras de levier égal à $\;a$, $\;m_{OB}\;{\vec {g}}\;$ ayant un bras de levier nul ainsi que $\;{\vec {R}}_{\text{éq}}$, $\;{\vec {T}}_{\text{éq}}=-k\;\Delta {\mathit {l}}_{\text{éq}}\;{\vec {u}}_{z}\;$ tendant à faire tourner $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le sens $\;-\;$ avec un bras de levier égal à $\;2\;a\;$ et enfin $\;{\vec {\Gamma }}\;$ étant $\;\perp \;$ à $\;\Delta$, $\;\Gamma _{x}=0{\big \}}\;$ soit, après simplification évidente, l'expression de l'allongement $\;\Delta {\mathit {l}}_{\text{éq}}={\mathit {l}}_{\text{éq}}-{\mathit {l}}_{0}\;$ du ressort à l'équilibre «$\;\Delta {\mathit {l}}_{\text{éq}}={\dfrac {m\;g}{2\;k}}\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$».

 

Schéma descriptif d'une position quelconque hors équilibre d'un pendule pesant $\;\left(AOB\right)\;$ pouvant osciller autour de l'axe $\;\Delta \;$ passant par $\;O\;$ et $\;\perp \;$ à $\;\left(AOB\right)\;$ en étant retenu en $\;A\;$ par l'action d'un ressort, l'écart angulaire de la position d'équilibre pour laquelle le ressort est vertical restant faible

Étude des petites oscillations du pendule pesant élastique

     Déterminer, au préalable, le moment d'inertie $\;J_{\Delta }\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe de rotation $\;\Delta$.

     On se propose d'étudier les petites oscillations de $\;({\mathcal {S}})\;$ autour de sa position d'équilibre, l'« angle $\;\theta (t)={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {OA}}_{\text{éq}}\,,\,{\overrightarrow {OA}}(t)\right\rbrace }}\;$ repérant la position de $\;({\mathcal {S}})\;$ à un instant $\;t\;$ quelconque restant de valeur absolue petite », on peut considérer que la force exercée par le ressort sur le solide $\;({\mathcal {S}})\;$ reste verticale pendant tout le mouvement.

     En appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au solide $\;({\mathcal {S}})\;$ relativement à l'axe $\;\Delta \;$ déterminer l'équation différentielle en $\;\theta (t)\;$ du mouvement rotatoire du pendule « pesant élastique » $\;{\Big \{}$nommé ainsi parce qu'il s'agit d'un pendule oscillant sous l'action de son poids $\;{\big (}$donc pouvant être qualifié de « pesant »${\big )}\;$ et de celle d'un ressort $\;{\big (}$suggérant le qualificatif « élastique »${\big )}{\Big \}}\;$ puis

     en déduire que le mouvement de rotation du pendule « pesant élastique » autour de $\;\Delta \;$ est sinusoïdal et
     préciser l'expression de la période $\;{\mathcal {T}}\;$ des petites oscillations de $\;({\mathcal {S}})\;$ autour de $\;\Delta \;$ en fonction de $\;m$, $\;g$, $\;k\;$ et $\;a$.

     calculer la période $\;{\mathcal {T}}\;$ sachant que $\;m=100\;g$, $\;a=10\;cm$, $\;k=12\;N\cdot m^{-1}\;$ et $\;g=9,8\;m\cdot s^{-2}$.

Solution

     Moment d'inertie du solide${\underline {\;\left({\mathcal {S}}\right)\;}}$relativement à${\underline {\;\Delta }}$ : le moment d'inertie de l'ensemble de deux solides par rapport à un même axe étant la somme des moments d'inertie de chaque solide pris individuellement nous en déduisons «$\;J_{\Delta }=J_{\Delta }(OA)+J_{\Delta }(OB)=2\times {\dfrac {1}{3}}\;m\,\left(2\;a\right)^{2}\;$» soit finalement «$\;J_{\Delta }={\dfrac {8}{3}}\;m\;a^{2}\;$».

          Moment d'inertie du solide relativement à l'axe : Additif : détermination du moment d'inertie d'une tige homogène relativement à un axe${\underline {\;\perp \;}}$passant par une de ses extrémités : soit une tige $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ homogène, de masse linéique $\;\lambda _{0}$, de longueur $\;{\mathit {l}}\;$ et de masse $\;m$, le moment d'inertie $\;J\;$ de $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ relativement à un axe $\;\left(\Delta \right)\;\perp \;$ passant par une de ses extrémités choisie comme origine $\;O\;$ de repérage des points de la tige étant définie par «$\;J_{\Delta }=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\lambda _{0}\;\vert x_{M}\vert ^{2}\;dx_{M}\;$» avec $\;x_{M}={\overline {OM}}\;$ orienté vers l'autre extrémité, soit «$\;J_{\Delta }=\lambda _{0}\;\displaystyle \int _{0}^{+{\mathit {l}}}x_{M}^{\,2}\;dx_{M}=\lambda _{0}\,\left[{\dfrac {x_{M}^{\,3}}{3}}\right]_{0}^{+{\mathit {l}}}$ $=\lambda _{0}\;{\dfrac {{\mathit {l}}^{\,3}}{3}}\;$» dans laquelle nous pouvons reconnaître la masse de la tige $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ «$\;m=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\lambda _{0}\;dx_{M}\;$» égale à «$\;m=\lambda _{0}\;{\mathit {l}}\;$» d'où «$\;J_{\Delta }={\dfrac {m\;{\mathit {l}}^{\,2}}{3}}\;$» C.Q.F.V..

Schéma descriptif d'une position quelconque hors équilibre d'un pendule pesant $\;\left(AOB\right)\;$ pouvant osciller autour de l'axe $\;\Delta \;$ passant par $\;O\;$ et $\;\perp \;$ à $\;\left(AOB\right)\;$ en étant retenu en $\;A\;$ par l'action d'un ressort, l'écart angulaire de la position d'équilibre pour laquelle le ressort est vertical restant faible et représentation des forces extérieures appliquées

     Les forces extérieures appliquées au solide $\;({\mathcal {S}})\;$ en liaison pivot parfaite avec l'axe horizontal $\;\Delta \;$ passant par $\;O$, point fixe du référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$, et $\;\perp \;$ au plan contenant $\;({\mathcal {S}})\;$ sont, dans le cas hors équilibre de ce dernier représenté ci-contre :

• le poids $\;m_{AO}\;{\vec {g}}=m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$ appliqué au milieu $\;I_{AO}\;$ de $\;AO\;$ de coordonnées $\;\left\lbrace x_{I_{AO}}=0\,,\,y_{I_{AO}}=a\;\cos(\theta ),\,z_{I_{AO}}=a\;\sin(\theta )\right\rbrace$,
• le poids $\;m_{OB}\;{\vec {g}}=m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$ appliqué au milieu $\;I_{OB}\;$ de $\;OB\;$ de coordonnées $\;\left\lbrace x_{I_{OB}}=0\,,\,y_{I_{OB}}=-a\;\sin(\theta )\,,\,z_{I_{OB}}=a\;\cos(\theta )\right\rbrace$,
• la force de tension du ressort $\;{\vec {T}}=-k\,\left(\Delta {\mathit {l}}\,\right)\,{\vec {u}}_{C\,\rightarrow \,A}\;$ appliquée en $\;A\;$ de coordonnées $\;\left\lbrace x_{A}=0\,,\,y_{A}=2\;a\;\cos(\theta )\,,\,z_{A}=2a\;\sin(\theta )\right\rbrace \;$ avec «$\;{\vec {u}}_{C\,\rightarrow \,A}={\dfrac {\overrightarrow {CA}}{CA}}=$ ${\dfrac {\left[{\mathit {l}}_{\text{éq}}+2\;a\;\sin(\theta )\right]\,{\vec {u}}_{z}-2\;a\,\left[1-\cos(\theta )\right]\,{\vec {u}}_{y}}{\sqrt {\left[{\mathit {l}}_{\text{éq}}+2\;a\;\sin(\theta )\right]^{2}+4\;a^{2}\,\left[1-\cos(\theta )\right]^{2}}}}\;$ le vecteur unitaire orientant l'axe du ressort de $\;C\;$ vers $\;A\;$» ainsi que «$\;\Delta {\mathit {l}}={\mathit {l}}-{\mathit {l}}_{0}=CA-{\mathit {l}}_{0}\;$ l'allongement du ressort à l'instant $\;t\;$ se réécrivant $\;\Delta {\mathit {l}}={\sqrt {\left[{\mathit {l}}_{\text{éq}}+2\;a\;\sin(\theta )\right]^{2}+4\;a^{2}\,\left[1-\cos(\theta )\right]^{2}}}-{\mathit {l}}_{0}\;$» et
• la réaction de l'axe $\;{\vec {R}}={\overline {R}}_{y}\;{\vec {u}}_{y}+{\overline {R}}_{z}\;{\vec {u}}_{z}$ $\;{\big \{}$a priori de direction quelconque mais ici dans le plan $\;yOz\;$ comme toutes les autres forces extérieures${\big \}}\;$ appliquée en $\;O\;$ de coordonnées $\;\left(x_{O}=0\,,\,y_{O}=0\,,\,z_{O}=0\right)$ ainsi qu'un couple de moment vectoriel $\;{\vec {\Gamma }}\,\perp \;$ à $\;\Delta$ $\;{\big (}$non représenté${\big )}\;$ ;

     pour déterminer l'équation différentielle en $\;\theta (t)\;$ du mouvement du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ en rotation autour de l'axe $\;\Delta \;$ dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen, nous appliquons le théorème du moment cinétique scalaire à $\;({\mathcal {S}})\;$ relativement à $\;\Delta \;$ avec «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)={\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left(m_{AO}\;{\vec {g}},\,t\right)+{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left(m_{OB}\;{\vec {g}},\,t\right)+{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {T}}(t)\right]+{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {R}}(t)\right]+\Gamma _{x}(t)=$ $m\;g\;a\;\cos(\theta )-m\;g\;a\;\sin(\theta )-k\,\left(\Delta {\mathit {l}}\,\right)\;{\dfrac {\left[{\mathit {l}}_{\text{éq}}+2\;a\;\sin(\theta )\right]\,2\;a\;\cos(\theta )+2\;a\,\left[1-\cos(\theta )\right]\,2\;a\;\sin(\theta )}{\sqrt {\left[{\mathit {l}}_{\text{éq}}+2\;a\;\sin(\theta )\right]^{2}+4\;a^{2}\,\left[1-\cos(\theta )\right]^{2}}}}\;{\cancel {+\;R(t)\;0\,+\,0}}\;$» $\;{\Bigg \{}m_{AO}\;{\vec {g}}\;$ tendant à faire tourner le solide dans le sens $\;+\;$ avec un bras de levier $\;{\big (}$pour $\;\vert \theta \vert \;$ aigu${\big )}\;$ égal à $\;a\;\cos(\theta )$, $\;m_{OB}\;{\vec {g}}\;$ tendant à faire tourner $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le sens $\;-\;$ pour $\;\theta >0$ $\;{\big (}$et dans le sens $\;+\;$ pour $\;\theta <0{\big )}\;$ avec un bras de levier $\;a\;\vert \sin(\theta )\vert$ $\;{\big [}$se réécrivant «$\;a\;\sin(\theta )\;$ pour $\;\theta >0\;$» et «$\;-a\;\sin(\theta )\;$ pour $\;\theta <0\;$»${\big ]}$, «$\;{\vec {T}}(t)\;$ se décomposant en $\;{\vec {T}}_{z}(t)+{\vec {T}}_{y}(t)\;$», $\;{\vec {T}}_{z}(t)=-{\dfrac {k\,\left(\Delta {\mathit {l}}\,\right)\,\left[{\mathit {l}}_{\text{éq}}+2\;a\;\sin(\theta )\right]\,{\vec {u}}_{z}}{\sqrt {\left[{\mathit {l}}_{\text{éq}}+2\;a\;\sin(\theta )\right]^{2}+4\;a^{2}\,\left[1-\cos(\theta )\right]^{2}}}}\;$ tendant à faire tourner $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le sens $\;-\;$ avec un bras de levier $\;{\big (}$pour $\;\vert \theta \vert \;$ aigu${\big )}\;$ égal à $\;2\;a\;\cos(\theta )$, $\;{\vec {T}}_{y}(t)={\dfrac {k\,\left(\Delta {\mathit {l}}\,\right)\,2\;a\,\left[1-\cos(\theta )\right]\,{\vec {u}}_{y}}{\sqrt {\left[{\mathit {l}}_{\text{éq}}+2\;a\;\sin(\theta )\right]^{2}+4\;a^{2}\,\left[1-\cos(\theta )\right]^{2}}}}\;$ tendant à faire tourner $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le sens $\;-\;$ pour $\;\theta >0$ $\;{\big (}$et dans le sens $\;+\;$ pour $\;\theta <0{\big )}\;$ avec un bras de levier $\;2\;a\;\vert \sin(\theta )\vert$ $\;{\big [}$se réécrivant «$\;2\;a\;\sin(\theta )\;$ pour $\;\theta >0\;$» et «$\;-2\;a\;\sin(\theta )\;$ pour $\;\theta <0\;$»${\big ]}$, $\;{\vec {R}}(t)\;$ ayant un bras de levier nul et enfin $\;{\vec {\Gamma }}(t)\;$ étant $\;\perp \;$ à $\;\Delta$, $\;\Gamma _{x}(t)=0{\Bigg \}}\;$ soit «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)=$ $J_{\Delta }\;{\ddot {\theta }}(t)\;$» ou, avec $\;J_{\Delta }={\dfrac {8}{3}}\;m\;a^{2}$, l'expression de l'équation différentielle en $\;\theta (t)\;$ du mouvement rotatoire du solide $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ après division des deux membres par $\;m\;a^{2}$, «$\;{\dfrac {g}{a}}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]-{\dfrac {g}{a}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]-{\dfrac {k}{m}}\,\left\lbrace {\sqrt {\left\lbrace {\dfrac {{\mathit {l}}_{\text{éq}}}{a}}+2\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace ^{2}+4\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace ^{2}}}-{\dfrac {{\mathit {l}}_{0}}{a}}\right\rbrace \;{\dfrac {\left\lbrace {\dfrac {{\mathit {l}}_{\text{éq}}}{a}}+2\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \,2\;\cos \!\left[\theta (t)\right]+4\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \,\sin \!\left[\theta (t)\right]}{\sqrt {\left\lbrace {\dfrac {{\mathit {l}}_{\text{éq}}}{a}}+2\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace ^{2}+4\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace ^{2}}}}={\dfrac {8}{3}}\;{\ddot {\theta }}(t)\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$» ;      tenant compte de «$\;\vert \theta (t)\vert \ll 1\;$» ainsi que, dans une autre unité, «$\;\vert {\ddot {\theta }}(t)\vert \ll 1\;$» et considérant $\;\theta (t)\;$ et $\;{\ddot {\theta }}(t)\;$ comme des infiniment petits d'ordre un,
     faisons un « D.L. de l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ à l'ordre un en $\;\theta (t)\;$ et sa dérivée temporelle seconde $\;{\ddot {\theta }}(t)\;$»
           faisons un « D.L. en utilisant que le D.L. à l'ordre un de $\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$ est «$\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\simeq \theta (t)\;$» et de $\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\;$ «$\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\simeq 1\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {g}{a}}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]-{\dfrac {g}{a}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\simeq {\dfrac {g}{a}}-{\dfrac {g}{a}}\;\theta (t)\;$ à l'ordre un en $\;\theta (t)\;$»,
           faisons un « D.L. en utilisant que «$\;1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\simeq 0\;$ à l'ordre un en $\;\theta (t)\;$» peut être éliminé $\;{\big (}$ainsi que ses puissances${\big )}\;$ dans le D.L. à l'ordre un de somme d'où
           faisons un « D.L. en utilisant que «$\;{\sqrt {\left\lbrace {\dfrac {{\mathit {l}}_{\text{éq}}}{a}}+2\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace ^{2}+4\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace ^{2}}}\simeq {\sqrt {\left\lbrace {\dfrac {{\mathit {l}}_{\text{éq}}}{a}}+2\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace ^{2}}}={\Bigg \vert }{\dfrac {{\mathit {l}}_{\text{éq}}}{a}}+2\;\sin \!\left[\theta (t)\right]{\Bigg \vert }\simeq {\dfrac {{\mathit {l}}_{\text{éq}}}{a}}+2\;\theta (t)\;$ à l'ordre un en $\;\theta (t)\;$»,
           faisons un « D.L. en utilisant que «$\;2\,\left\lbrace {\dfrac {{\mathit {l}}_{\text{éq}}}{a}}+2\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \,\cos \!\left[\theta (t)\right]+4\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \,\sin \!\left[\theta (t)\right]\simeq 2\,\left\lbrace {\dfrac {{\mathit {l}}_{\text{éq}}}{a}}+2\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \,\cos \!\left[\theta (t)\right]\simeq 2\,\left\lbrace {\dfrac {{\mathit {l}}_{\text{éq}}}{a}}+2\;\theta (t)\right\rbrace \,1=2\,\left[{\dfrac {{\mathit {l}}_{\text{éq}}}{a}}+2\;\theta (t)\right]\;$ à l'ordre un en $\;\theta (t)\;$»,
           faisons un « D.L. en utilisant que dont nous déduisons «$\;{\dfrac {\left\lbrace {\dfrac {{\mathit {l}}_{\text{éq}}}{a}}+2\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \,2\;\cos \!\left[\theta (t)\right]+4\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \,\sin \!\left[\theta (t)\right]}{\sqrt {\left\lbrace {\dfrac {{\mathit {l}}_{\text{éq}}}{a}}+2\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace ^{2}+4\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace ^{2}}}}\simeq {\dfrac {2\,\left[{\dfrac {{\mathit {l}}_{\text{éq}}}{a}}+2\;\theta (t)\right]}{{\dfrac {{\mathit {l}}_{\text{éq}}}{a}}+2\;\theta (t)}}=2\;$ à l'ordre un en $\;\theta (t)\;$» et enfin
           faisons un « D.L. en utilisant que «$\;{\sqrt {\left\lbrace {\dfrac {{\mathit {l}}_{\text{éq}}}{a}}+2\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace ^{2}+4\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace ^{2}}}-{\dfrac {{\mathit {l}}_{0}}{a}}\simeq {\sqrt {\left\lbrace {\dfrac {{\mathit {l}}_{\text{éq}}}{a}}+2\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace ^{2}}}-{\dfrac {{\mathit {l}}_{0}}{a}}={\Bigg \vert }{\dfrac {{\mathit {l}}_{\text{éq}}}{a}}+2\;\sin \!\left[\theta (t)\right]{\Bigg \vert }-{\dfrac {{\mathit {l}}_{0}}{a}}\simeq {\dfrac {\Delta {\mathit {l}}_{\text{éq}}}{a}}+2\;\theta (t)\;$ à l'ordre un en $\;\theta (t)\;$»
           faisons un « D.L. en utilisant d'où l'expression de l'approximation à l'ordre un de l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ «$\;{\dfrac {g}{a}}-{\dfrac {g}{a}}\;\theta (t)-{\dfrac {k}{m}}\,\left[{\dfrac {\Delta {\mathit {l}}_{\text{éq}}}{a}}+2\;\theta (t)\right]\,2={\dfrac {8}{3}}\;{\ddot {\theta }}(t)\;$» ou, en regroupant les termes,
           faisons un « D.L. en utilisant «$\;{\dfrac {8}{3}}\;{\ddot {\theta }}(t)+\left[{\dfrac {g}{a}}+{\dfrac {4\;k}{m}}\right]\,\theta (t)={\dfrac {g}{a}}-{\dfrac {2\;k\,\left(\Delta {\mathit {l}}_{\text{éq}}\right)}{m\;a}}\;$» et, en utilisant la relation «$\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;{\text{:}}\;\Delta {\mathit {l}}_{\text{éq}}={\dfrac {m\;g}{2\;k}}\;$», «$\;{\dfrac {8}{3}}\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {m\;g+4\;k\;a}{m\;a}}\;\theta (t)=0\;$» soit, en normalisant, «$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {3}{8}}\;{\dfrac {m\;g+4\;k\;a}{m\;a}}\;\theta (t)=0\;$»

           faisons un « D.L. en utilisant c'est-à-dire l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti prouvant que le mouvement de rotation du pendule « pesant élastique » autour de $\;\Delta \;$ est sinusoïdal de pulsation des petites élongations angulaires «$\;\omega ={\sqrt {{\dfrac {3}{8}}\;{\dfrac {m\;g+4\;k\;a}{m\;a}}}}\;$» et de période des petites oscillations «$\;{\mathcal {T}}={\dfrac {2\;\pi }{\omega }}=2\;\pi \;{\sqrt {{\dfrac {8}{3}}\;{\dfrac {m\;a}{m\;g+4\;k\;a}}}}\;$».

     A.N. : avec $\;m=100\;g$, $\;a=10\;cm$, $\;k=12\;N\cdot m^{-1}\;$ et $\;g=9,8\;m\cdot s^{-2}$, l'allongement du ressort à l'équilibre vaut «$\;\Delta {\mathit {l}}_{\text{éq}}=\;{\dfrac {m\;g}{2\;k}}\simeq {\dfrac {0,100\times 9,8}{2\times 12}}\simeq 40,8\;10^{-3}\;m\simeq 4,1\;cm\;$» $\;{\big (}$non demandé${\big )}\;$ et la période des petites oscillations «$\;{\mathcal {T}}=2\;\pi \;{\sqrt {{\dfrac {8}{3}}\;{\dfrac {m\;a}{m\;g+4\;k\;a}}}}\simeq 2\times \pi \times {\sqrt {{\dfrac {8}{3}}\;{\dfrac {0,100\times 0,10}{0,100\times 9,8+4\times 12\times 0,10}}}}\simeq 427\;10^{-3}\;s\simeq 0,43\;s\;$».