Leçons de niveau 14

Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Loi du moment cinétique : Pendule pesant

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Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Loi du moment cinétique : Pendule pesant
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Oscillations d'un pendule dans une voiture qui démarre[modifier | modifier le wikicode]

Schéma descriptif d'un pendule pesant dont l'axe horizontal est lié à une voiture qui démarre avec un vecteur accélération

     Un solide de masse et de C.D.I. [1] peut tourner sans frottements autour d’un axe horizontal [2], fixe dans une voiture, cette dernière définissant le référentiel d'étude du mouvement d'oscillations du solide autour de l'axe [2] « le solide est donc un pendule pesant » et porté par l'axe orientant ce dernier ainsi que les angles algébrisés définis dans le plan de profil du schéma ci-contre ;

     la voiture étant en phase d'accélération sur route horizontale d'un référentiel terrestre supposé galiléen avec un vecteur accélération constant , le pendule pesant dont le repérage spatial est défini par l'angle algébrisé avec la verticale descendante passant par attention sur le schéma est acquière une nouvelle position d'équilibre relatif repérée par et, si on lui impose un petit écart initial avec lâché sans vitesse initiale, il oscille autour de cette nouvelle position d'équilibre avec une période de petites élongations angulaires [3]  ;

     sachant que le pendule pesant est de moment d'inertie par rapport à son axe d'oscillation [2] et notant la distance orthogonale séparant cet axe du C.D.I. [1] du solide déterminer, en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un solide en rotation autour d'un axe mobile dans un référentiel galiléen, l'axe étant en translation dans ce référentiel [4] :

  • l'expression de l'abscisse angulaire de l'équilibre relatif du pendule dans le référentiel ainsi que
  •            celle de la période des petites élongations angulaires [3] du pendule autour de la position d'équilibre précédente.

Mouvements indésirables d'une machine mal équilibrée[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de principe d'une machine tournante mal équilibrée relativement à un axe de rotation horizontal

     Le référentiel terrestre dans lequel se déroule l'expérience étant supposé galiléen, nous lui associons le repère cartésien , la base cartésienne étant directe et le vecteur de base étant vertical ascendant.

     Le champ de pesanteur terrestre est uniforme d'intensité .

     Nous nous proposons d'étudier l'équilibrage d'une machine tournante composée

  • d'un bâti fixe posé sur le sol horizontal fixe, de masse , de largeur et de centre de masse situé au milieu de cette largeur à une hauteur au-dessus du sol, son extrémité supérieure étant située au milieu de la largeur du bâti à une hauteur au-dessus du sol bien que le bâti ait une certaine épaisseur, celle-ci n'intervenant pas dans l'étude de l'équilibrage de la machine tournante, nous supposerons cette dernière entièrement contenue dans le plan vertical voir schéma ci-contre, le sens des angles algébrisés de ce plan étant défini par le vecteur de base horizontal pointant vers le lecteur c.-à-d. dans le sens anti-horaire du plan, le vecteur de base horizontal de ce plan étant égal à c.-à-d. de gauche à droite sur le schéma ci-contre et
  • d'un rotor tournant autour d’un axe horizontal passant par et colinéaire à , de masse , de centre de masse situé à une distance de .

     Un couple d’origine électromagnétique exercé par le bâti sur le rotor maintient une vitesse de rotation uniforme de autour de nous supposerons et prendrons l’origine des temps lorsque l'abscisse angulaire du rotor «» s'annule de telle sorte que «».

     Nous modélisons les efforts que le sol exerce sur le bâti par une force «», où est verticale et horizontale, l'état de surface au « contact sol - bâti » [16] est décrit par un « cœfficient de frottement de glissement statique » [17] et un « cœfficient de frottement dynamique » [18].

Détermination de la vitesse angulaire du rotor à partir de laquelle il y a rupture de contact entre le bâti et le sol[modifier | modifier le wikicode]

     Montrer qu’une vitesse de rotation du rotor trop élevée peut provoquer une rupture du contact entre le sol et le bâti.

     Donner l’expression de la vitesse angulaire à partir de laquelle apparaît ce phénomène.

Détermination expérimentale du cœfficient de frottement de glissement statique entre le sol et le bâti[modifier | modifier le wikicode]

     Pour à il n'y a donc pas rupture de contact entre le bâti et le sol mais nous observons que,

     pour , le bâti glisse sur le sol à partir de l'instant , en déduire l'expression du cœfficient de frottement de glissement statique [17] entre le sol et le bâti.

Détermination du sens de glissement ainsi que de l'expression de la composante tangentielle de la réaction du sol sur le bâti tant que le glissement perdure[modifier | modifier le wikicode]

     Quel est le sens de la vitesse de glissement à un instant postérieur à tant que le glissement perdure ?

     En déduire l’expression de la composante tangentielle de la réaction du sol sur le bâti tant que le glissement se maintient dans ce sens.

Détermination de l'accélération horizontale du bâti lorsque ce dernier glisse sur le sol[modifier | modifier le wikicode]

     Établir, dans la durée de glissement, l’expression de la mesure algébrique de l’accélération horizontale du bâti relativement au sol.

Détermination expérimentale du cœfficient de frottement de glissement dynamique entre le sol et le bâti[modifier | modifier le wikicode]

     Pour , le bâti s'étant mis à glisser sur le sol à partir de l'instant , ce glissement cesse à l'instant , en déduire l'expression du cœfficient de frottement de glissement dynamique entre le sol et le bâti.

Reprise éventuelle du glissement du bâti après l'arrêt de sa 1ère phase de glissement sur le sol[modifier | modifier le wikicode]

     Pour , le bâti s'étant mis à glisser sur le sol à partir de l'instant puis arrêté à l'instant , nous nous proposons d'établir que

     l'absence de glissement se maintient jusqu'à un instant à déterminer à partir duquel le glissement reprend dans un sens à préciser puis que

     le glissement se poursuit jusqu'à un instant à déterminer