Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques

Leçons de niveau 14
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Point se déplaçant sans frottement sur un plan horizontal tiré par un fil idéal vers un trou du plan[modifier | modifier le wikicode]

Dans tout l'exercice nous nous plaçons dans le cadre de la dynamique newtonienne.
Schéma descriptif représentant un point glissant sans frottement sur un plan horizontal percé en , le point étant tiré vers le trou par un fil idéal [1] à l'extrémité duquel s'exerce une force telle que la longueur du fil tendu sur le plan horizontal soit une fonction affine du temps

     Sur un plan horizontal, percé d'un trou , un point de masse se déplace sans frottements en étant lié à un fil idéal [1] passant par le trou.

     On exerce sur l'extrémité de la portion de fil verticale une force de traction de direction verticale et de sens descendant telle que la longueur de la portion horizontale tendue du fil soit dans laquelle est la longueur initiale de la portion horizontale tendue du fil et la vitesse de descente de l'extrémité de la portion de fil verticale sur laquelle on exerce la force de traction  ;

     on suppose que le mouvement de démarre avec une vitesse angulaire initiale on utilisera le repérage polaire de dans le plan relativement au vecteur position initiale choisi comme vecteur directeur de l'axe polaire , l'angle polaire de étant et son rayon polaire , la vitesse angulaire initiale étant définie selon .

Détermination du mouvement du point M dans le plan horizontal[modifier | modifier le wikicode]

Détermination d'une intégrale 1ère du mouvement de M sur le plan horizontal[modifier | modifier le wikicode]

     Par application de la r.f.d.n. [2] au point matériel dans le référentiel lié au plan horizontal supposé galiléen, déterminer une intégrale 1ère de son mouvement et

     en déduire la loi horaire de vitesse angulaire suivie par le point en fonction de , , et .

Détermination de la loi horaire d'angle polaire suivie par le point M sur le plan horizontal[modifier | modifier le wikicode]

     En intégrant la loi horaire de vitesse angulaire suivie par le point , en déduire celle d'abscisse angulaire en fonction de , , et .

Détermination de l'équation polaire de la trajectoire du point sur le plan horizontal[modifier | modifier le wikicode]

     En éliminant entre la loi horaire d'abscisse angulaire et celle du rayon polaire du point , en déduire l'équation polaire de la trajectoire de sur le plan horizontal
     En éliminant entre la loi horaire d'abscisse angulaire et celle du rayon polaire du point , en déduire l'équation polaire «» en fonction de , , et  ;

     En éliminant entre la loi horaire d'abscisse angulaire et celle du rayon polaire du point , en déduire l'équation polaire préciser la nature de la trajectoire de .

Détermination, par deux façons différentes, du travail de la force de traction exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre de la portion verticale du fil idéal en fonction de la longueur l1 de la portion horizontale du fil[modifier | modifier le wikicode]

1ère méthode par calcul direct[modifier | modifier le wikicode]

     Déterminer la force de tension du fil s'exerçant sur le point en lui appliquant la r.f.d.n. [2] en fonction de , , , et le 1er vecteur de base polaire lié au point [3] puis

     en déduire la force de traction exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre de la portion verticale du fil idéal [1] on orientera cette portion par un vecteur unitaire vertical descendant [10] en poursuivant par

     en déduire l'évaluation de son travail élémentaire en fonction de , , , et le déplacement élémentaire de l'extrémité libre de la portion verticale du fil [11] et enfin

     en déduire l'expression de son travail entre la position initiale et celle correspondant à une longueur de portion horizontale du fil en fonction de , , et .

2ème méthode par utilisation du théorème de l'énergie cinétique[modifier | modifier le wikicode]

     Comme dans la « méthode précédente » on détermine la force de tension du fil s'exerçant sur le point
     Comme dans la « méthode précédente » on détermine la force de tension du fil en lui appliquant la r.f.d.n. [2] en fonction de , , , et
          Comme dans la « méthode précédente » on détermine la force de tension du fil en lui appliquant la r.f.d.n. en fonction de le 1er vecteur de base polaire lié au point [3] puis

     Comme dans la « méthode précédente » on en déduit la force de traction exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre de la portion verticale du fil idéal [1]
     Comme dans la « méthode précédente » on en déduit la force de traction en orientant cette portion par le vecteur unitaire vertical descendant [10] ;

     remarquant que les travaux élémentaires ou non de la force de tension du fil s'exerçant sur le point et
     remarquant que les travaux élémentaires ou non de la force de traction exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre de la portion verticale du fil idéal [1]
     remarquant que les travaux élémentaires ou non sont égaux à justifier, on peut calculer le travail de cette dernière force par l'intermédiaire de celui de la 1ère force ;

     remarquant déterminer le travail de la force de tension du fil s'exerçant sur le point entre la position initiale et celle correspondant à une longueur de portion horizontale du fil
     remarquant déterminer le travail de la force de tension du fil par application du théorème de l'énergie cinétique au point entre ces états extrêmes [20] et

     remarquant vérifier, compte-tenu de l'identification de ce travail avec celui de la force de traction exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre de la portion verticale du fil idéal [1],
     remarquant vérifier que l'on obtient le même résultat qu'avec la 1ère méthode.

Glissement sans (puis avec) frottements solides d'un point matériel lancé à partir du « sommet » d'une boule[modifier | modifier le wikicode]

Dans tout l'exercice nous nous plaçons dans le cadre de la dynamique newtonienne.

     Un point matériel , de masse , soumis au champ de pesanteur terrestre supposé uniforme, glisse sur la surface d'une boule de rayon et de centre  ;

     nous considérons d'abord l'absence de frottement solide entre le point et la boule puis,

     nous considérons dans un 2nd temps l'existence d'un frottement solide de cœfficients de frottements dynamique et statique communs [25] ;

     le point est lancé avec une vitesse initiale horizontale d'une position située au « sommet » de la boule [26] et

     le point est repéré relativement au repère cartésien associé au référentiel d'étude supposé galiléen dans lequel la boule est fixe,
        le point est repéré relativement au repère cartésien les axes étant respectivement « vertical descendant orienté par le vecteur unitaire »,
        le point est repéré relativement au repère cartésien les axes étant respectivement « horizontal, support du vecteur vitesse initiale et orienté par le vecteur unitaire
        le point est repéré relativement au repère cartésien les axes étant respectivement « horizontal, support du vecteur vitesse initiale et orienté par choisi dans le sens de » et
        le point est repéré relativement au repère cartésien les axes étant respectivement « horizontal, au plan vertical de lancement et orienté par le vecteur unitaire de sens tel que
        le point est repéré relativement au repère cartésien les axes étant respectivement « horizontal, au plan vertical de lancement et la base cartésienne est directe » [27] ;

     la direction de la normale à la boule au point est repérée par rapport à celle en la position par l'angle «».

Établissement de la nature plane du mouvement du point en absence de frottement solide et maintien de contact[modifier | modifier le wikicode]

     Montrer que le mouvement du point en liaison unilatérale sur la boule est plan tant que son contact avec cette dernière est maintenu
     Montrer que le mouvement du point en liaison unilatérale sur la boule est planpour cela en repérant le point sur la boule par ses coordonnées cylindro-polaires d'« axe »
      Montrer que le mouvement du point en liaison unilatérale sur la boule est plan pour cela avec pour « méridien de référence », les coordonnées cylindro-polaires de [3]
     Montrer que le mouvement du point en liaison unilatérale sur la boule est plan pour cela avec pour « méridien de référence », ainsi que
      Montrer que le mouvement du point en liaison unilatérale sur la boule est plan pour cela avec pour « méridien de référence », la base cylindro-polaire directe [27] liée à [3]
     Montrer que le mouvement du point en liaison unilatérale sur la boule est plan pour cela avec pour « méridien de référence », ,

      Montrer que le mouvement du point en liaison unilatérale sur la boule est plan pour cela il est judicieux d'appliquer la r.f.d.n. [2] à restant en contact avec la boule,
      Montrer que le mouvement du point en liaison unilatérale sur la boule est plan pour cela pour établir que le demi-plan méridien contenant à l'instant est le méridien de référence à savoir
      Montrer que le mouvement du point en liaison unilatérale sur la boule est plan pour cela pour établir «» et par suite

     montrer que la trajectoire de , tant que son contact avec la boule est maintenu, est circulaire de centre et de rayon .

Établissement de l'existence d'une position de rupture de contact du point avec la boule en absence de frottement solide et détermination de l'angle θ1 repérant cette position en fonction de la vitesse initiale de lancement du point[modifier | modifier le wikicode]

     Déterminer, tant que reste en contact avec la boule, par application successive, au point , de la r.f.d.n. [2] puis
     Déterminer, tant que reste en contact avec la boule, par application successive, au point , du théorème de l'énergie cinétique entre la position initiale et celle à l'instant [20],
     Déterminer, l'expression de la réaction de la boule sur le point  ;

     en déduire alors l'existence d'une position de rupture de contact du point avec la boule ainsi que

     en déduire alors la valeur de l'angle repérant cette position en fonction de .

     Pour quelles valeurs de le contact du point avec la boule disparaît-il dès la position initiale [35] ?

Étude du mouvement ultérieur du point après sa rupture de contact avec la boule en absence de frottement solide entre les deux[modifier | modifier le wikicode]

     Nous plaçant dans les conditions de vitesse initiale où le contact du point avec la boule est rompu pour , nous pouvons affirmer que
     Nous plaçant dans les conditions de vitesse initiale le point décolle de la boule en la position avec un vecteur vitesse  ;

     Nous plaçant dans les conditions de vitesse initiale préciser la nature du mouvement ultérieur du point
     Nous plaçant dans les conditions de vitesse initiale préciser il est judicieux de changer d'origine des temps en prenant pour celle-ci l'instant de décollage de de la boule [59], en particulier
     Nous plaçant dans les conditions de vitesse initiale expliciter la norme et l'angle d'inclinaison relativement à l'horizontale du vecteur vitesse ,
     Nous plaçant dans les conditions de vitesse initiale expliciter les coordonnées cartésiennes de ,
     Nous plaçant dans les conditions de vitesse initiale expliciter les lois horaires cartésiennes de vitesse et de position du mouvement ultérieur de et
     Nous plaçant dans les conditions de vitesse initiale expliciter l'équation permettant de calculer la portée de l'impact du point avec le sol horizontal sur lequel repose la boule on donnera cette équation sans chercher à la résoudre [60] mais on précisera quelle solution choisir dans la mesure où il y en aurait plusieurs.