Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques

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Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques
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Sommaire

Glissement sans (puis avec) frottements solides d'un point matériel lancé à partir du « sommet » d'une boule[modifier | modifier le wikicode]

Dans tout l'exercice nous nous plaçons dans le cadre de la dynamique newtonienne.

......Un point matériel , de masse , soumis au champ de pesanteur terrestre supposé uniforme, glisse sur la surface d'une boule de rayon et de centre  ;

......nous considérons d'abord l'absence de frottement solide entre le point et la boule puis,

......nous considérons dans un 2nd temps l'existence d'un frottement solide de cœfficients de frottements dynamique et statique communs  ;

......le point est lancé avec une vitesse initiale horizontale d'une position située au «~sommet~» de la boule [1] et

......le point ~M~ estrepéré relativement au repère cartésien associé au référentiel d'étude supposé galiléen dans lequel la boule est fixe, les axes étant respectivement

  • vertical descendant orienté par le vecteur unitaire ,
  • horizontal, support du vecteur vitesse initiale et orienté par le vecteur unitaire choisi dans le sens de ainsi que
  • horizontal, au plan vertical de lancement et orienté par le vecteur unitaire de sens tel que la base cartésienne soit directe ;

......la direction de la normale à la boule au point est repérée par rapport à celle en la position par l'angle .

Établissement de la nature plane du mouvement du point en absence de frottement solide et maintien de contact[modifier | modifier le wikicode]

......Montrer que le mouvement du point en liaison unilatérale sur la boule est plan tant que son contact avec cette dernière est maintenu pour cela il est judicieux de repérer le point sur la boule par ses coordonnées cylindro-polaires d'«~axe » avec pour «~méridien de référence », les coordonnées cylindro-polaires de ainsi que la base cylindro-polaire liée à étant

  • d'une part et
  • d'autre part choisie directe,

......dans le but d'établir, par application de la r.f.d.n. [2] à tant que ce dernier reste en contact avec la boule, que le demi-plan méridien le contenant à l'instant est le méridien de référence à savoir et par suite

......Montrer que la trajectoire de , tant que son contact avec la boule est maintenu, est circulaire de centre et de rayon .

Établissement de l'existence d'une position de rupture de contact du point avec la boule en absence de frottement solide et détermination de l'angle θ1 repérant cette position en fonction de la vitesse initiale de lancement du point[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer, tant que le point reste en contact avec la boule, par application successive au point , de la r.f.d.n. [2] puis du théorème de l'énergie cinétique entre la position initiale et celle à l'instant , l'expression de la réaction de la boule sur le point  ;

......en déduire alors l'existence d'une position de rupture de contact du point avec la boule ainsi que

......en déduire alors la valeur de l'angle repérant cette position en fonction de .

......Pour quelles valeurs de le contact du point avec la boule disparaît-il dès la position initiale [11] ?

Étude du mouvement ultérieur du point après sa rupture de contact avec la boule en absence de frottement solide entre les deux[modifier | modifier le wikicode]

......Nous plaçant dans les conditions de vitesse initiale où le contact du point avec la boule est rompu pour , le point décolle de la boule en la position avec un vecteur vitesse  ;

......préciser la nature du mouvement ultérieur du point il est judicieux de changer d'origine des temps en prenant pour celle-ci l'instant de décollage de de la boule, en particulier expliciter

  • la norme et l'angle d'inclinaison relativement à l'horizontale du vecteur vitesse ,
  • les coordonnées cartésiennes de ,
  • les lois horaires cartésiennes de vitesse et de position du mouvement ultérieur de et
  • l'équation permettant de calculer la portée de l'impact du point avec le sol horizontal sur lequel repose la boule on donnera cette équation sans chercher à la résoudre [25] mais on précisera quelle solution choisir dans la mesure où il y en aurait plusieurs.

Reprise de l'étude en présence de frottements solides du point avec la boule[modifier | modifier le wikicode]

Établissement de la nature plane du mouvement du point en présence de frottements solides et maintien de contact[modifier | modifier le wikicode]

......Reprendre l'étude avec présence d'un frottement solide de cœfficients de frottements dynamique et statique communs quand le point est contact avec la boule pour établir que cette présence de frottements solides ne modifie pas la nature plane du mouvement éventuel [32] de sur la boule et par conséquent la nature circulaire de sa trajectoire éventuelle [32] tant que le contact est maintenu on utilisera le même repérage cylindro-polaire d'«~axe » avec pour «~méridien de référence » du point sur la boule en effectuant une démonstration par récurrence .

Détermination de l'équation caractérisant l'angle θ2 repérant la position de rupture de contact (quand celle-ci existe) du point avec la boule en présence de frottements solides et comparaison avec l'angle θ1 repérant la position de rupture de contact du point avec la boule en absence de frottements solides pour une même vitesse initiale[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer la composante normale de la réaction de la boule sur le point glissant, à l'instant , sur celle-ci en présence de frottements solides de cœfficients de frottements dynamique et statique communs , le vecteur unitaire normal à la boule en étant ici orienté dans le sens centripète [46] en fonction, entre autres de l'angle repérant sur la boule à l'instant et de sa vitesse angulaire au même instant puis

......en déduire, quand il y a mouvement, la composante tangentielle [47] de la réaction [33] de la boule sur le point à l'instant en utilisant la loi empirique de Coulomb [41] du frottement de glissement le vecteur unitaire tangent à la boule en étant orienté dans le sens du mouvement [48] ainsi que

......en déduire, quand il y a mouvement, l'expression du travail de cette force de frottement solide sur la portion de trajectoire de entre sa position initiale et celle à l'instant à savoir l'expression de sous forme intégrale que l'on ne cherchera pas à évaluer mais dont on donnera le signe ;

......en appliquant, au point glissant sur la boule avec frottements solides, le théorème de l'énergie cinétique entre l'instant initial et l'instant , déterminer l'expression du carré de la vitesse angulaire du point en fonction, entre autres, de l'angle , de et de la vitesse initiale puis,

......réécrire l'expression de la composante normale de la réaction de la boule sur le point lors de son glissement sur la boule avec frottements solides en fonction, entre autres, de l'angle , de et de la vitesse initiale  ;

......en déduire, en admettant l'existence d'une position de rupture de contact du point avec la boule en présence de frottements solides [49] dans la mesure où le point ne s'arrête pas en une position d'équilibre, que est d'abscisse angulaire plus grande que celle de correspondant à la position de rupture de contact du point avec la boule en absence de frottements solides pour une même vitesse initiale .

Étude du mouvement ultérieur du point dans l'hypothèse d'une rupture de contact avec la boule en présence de frottements solides entre les deux[modifier | modifier le wikicode]

......À partir de la composante normale de la réaction de la boule sur le point glissant, à l'instant , sur celle-ci en présence de frottements solides, exprimée, entre autres, en fonction de l'angle , de et de la vitesse initiale , vérifier que la condition de vitesse initiale pour que le contact du point avec la boule se limite à la position initiale est la même qu'en absence de frottement solide.

......Nous plaçant dans les conditions de vitesse initiale telles que le point ne s'arrête pas en une position d'équilibre sur la boule et telles que le contact de avec la boule en présence de frottements solides ne se limite pas à la position initiale , il y a rupture de contact en repéré par l'angle dépendant, entre autres, de et du travail de la force de frottement , le point décolle donc de la boule en la position avec un vecteur vitesse  ;

......préciser la nature du mouvement ultérieur du point il est judicieux de changer d'origine des temps en prenant pour celle-ci l'instant de décollage de de la boule, en particulier expliciter les équations qui permettraient de déterminer sans toutefois le faire les grandeurs suivantes que l'on comparera aux mêmes grandeurs obtenues sans frottement solide :

  • la norme