Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Énergie potentielle et énergie mécanique

Quand l'utilisation d'un théorème énergétique s'avérera nécessaire on choisira le théorème de la variation de l'énergie mécanique ou la forme locale associée.

Glissement sans frottement sur une hélice

......Soit un point matériel glissant sans frottement sur une hélice (circulaire) dont les équations cylindro-polaires sont : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho =a\\z=h\,\theta \end{array}}\right\rbrace$, avec $\;{\vec {u}}_{z}\;$ vertical ascendant, et les angles des plans horizontaux $\;z=cste\;$ orientés par $\;{\vec {u}}_{z}$ [cette hélice circulaire est dite « droite (ou dextre) » ].

......À $\;t=0$, le point (en liaison bilatérale) est lâché sans vitesse initiale d'une cote $\;H=2\,\pi \,h\;$ et subit l'action d'un champ de pesanteur $\;{\vec {g}}\;$ uniforme.

......Déterminer la durée $\;\tau \;$ mis par le point pour effectuer un tour en fonction de $\;a$, $\;h\;$ et $\;g=\Vert {\vec {g}}\Vert \;$.

Solution

Schéma d'une hélice (circulaire) droite sur laquelle un point M lâché sans vitesse initiale d'une position A glisse sans frottement sous l'action d'un champ de pesanteur uniforme anti-colinéaire à l'axe du cylindre sur laquelle l'hélice est tracée, avec représentation de la base locale de Frenet liée au point M, le sens du vecteur unitaire tangentiel étant choisi dans le sens du mouvement

......Nous travaillons dans un référentiel galiléen et dans cette série d'exercices il est demandé d'utiliser le théorème de la variation de l'énergie mécanique entre la position initiale $\;A\left(\rho =a\,,\,\theta =2\,\pi \,,\,z=H=2\,\pi \,h\right)\;$ et la position à un instant quelconque positif $\;M\left(\rho =a\,,\,\theta \,,\,z=h\,\theta \right)$ ;

......le bilan des forces appliquées appliquées au point $\;M\;$ est :

• son poids $\;m\,{\vec {g}}\;$ qui est une force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur $\;U_{\text{pes}}(z)=m\;g\;z\;$ en prenant pour référence le niveau $\;z=0\;$ et
• la réaction de l'hélice $\;({\mathcal {H}})\;$ sur $\;M\;$ non conservative, $\;\perp \;$ au vecteur unitaire tangentiel $\;{\vec {\tau }}\;$ compte-tenu de l'absence de frottement, ce qui implique qu'elle ne travaille pas, en effet $\;W_{A\,{\overset {({\mathcal {H}})}{\rightarrow }}\,M}({\vec {R}})=\displaystyle \int _{A\,{\overset {({\mathcal {H}})}{\rightarrow }}\,M}{\vec {R}}\cdot {\overrightarrow {dM}}=0\;$ car $\;{\overrightarrow {dM}}=ds\;{\vec {\tau }}\;$ et $\;{\vec {R}}\perp {\vec {\tau }}$ ;

......l'énergie mécanique $\;E_{m,\,M}(t)\;$ du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ est définie par $\;E_{m,\,M}(t)=K_{M}(t)+U_{{\text{pes}},\,M}(t)\;$ avec $\;K_{M}(t)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)\;$ l'énergie cinétique du point dans le référentiel d'étude au même instant ;

......le vecteur vitesse du point $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ à cet instant et dans le même référentiel valant, en repérage cylindro-polaire, $\;{\vec {V}}_{M}(t)=$ ${\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{\rho ,\,M}(t)={\dot {\rho }}(t)\!\!\!&=0\\V_{\theta ,\,M}(t)=\rho (t)\,{\dot {\theta }}(t)\!\!\!&=a\,{\dot {\theta }}(t)\\V_{z,\,M}(t)={\dot {z}}(t)\!\!\!&=h\,{\dot {\theta }}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ on en déduit $\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)=\left(a^{2}+h^{2}\right){\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$ d'où, en reportant dans l'expression de l'énergie mécanique de $\;M\;$ et en éliminant $\;z(t)\;$ au profit de $\;\theta (t)$, $\;E_{m,\,M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\left(a^{2}+h^{2}\right){\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;h\;\theta (t)$ ; ......le théorème de la variation de l'énergie mécanique du point entre la position initiale $\;A\left(a\,,\,2\;\pi \,,\,H=h\;2\;\pi \right)\;$ avec une vitesse instantanée nulle et une position quelconque $\;M\left(a\,,\,\theta \,,\,z=h\;\theta \right)\;$ avec une vitesse instantanée $\;v_{M}(t)=\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert =-{\sqrt {a^{2}+h^{2}}}\;{\dot {\theta }}(t)\;$ s'écrit $\;E_{m,\,M}-E_{m,\,A}=$ $W_{A\,{\overset {({\mathcal {H}})}{\rightarrow }}\,M}({\vec {R}})\;$ soit finalement $\;\left[{\dfrac {1}{2}}\;m\left(a^{2}+h^{2}\right){\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;h\;\theta (t)\right]-\left[m\;g\;h\;2\;\pi \right]=0\;$ d'où l'intégrale 1^ère du mouvement de $\;M\;$ en $\;\theta (t)\;$ $\;\left(a^{2}+h^{2}\right){\dot {\theta }}^{2}\!(t)=2\;g\;h\left[2\;\pi -\theta (t)\right]$ ; ......de cette intégrale 1^ère nous en tirons l'expression de la vitesse angulaire en fonction, entra autres, de l'abscisse angulaire soit $\;{\dot {\theta }}(t)=-{\sqrt {\dfrac {2\;g\;h}{a^{2}+h^{2}}}}\;{\sqrt {2\;\pi -\theta (t)}}$, équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;\theta (t)\;$ qui s'intègre par séparation des variables soit, sur $\;\left]0\,,\,t\right]$, $\;{\dfrac {d\theta '}{\sqrt {2\;\pi -\theta '}}}=-{\sqrt {\dfrac {2\;g\;h}{a^{2}+h^{2}}}}\;dt'\;$ selon $\;\left[-2\;{\sqrt {2\;\pi -\theta '}}\right]_{2\,\pi }^{\theta }=$ $-\left[{\sqrt {\dfrac {2\;g\;h}{a^{2}+h^{2}}}}\;t'\right]_{0}^{t}\;$ d'où la solution de l'équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;\theta (t)\;$ suivante $\;{\sqrt {2\;\pi -\theta }}={\sqrt {\dfrac {2\;g\;h}{a^{2}+h^{2}}}}\;{\dfrac {t}{2}}\;$ dont on tire la loi horaire d'abscisse angulaire du point $\;M\;$ glissant sans frottement sur l'hélice $\;({\mathcal {H}})\;$ $\;\theta =2\;\pi -{\dfrac {g\;h}{2\left(a^{2}+h^{2}\right)}}\;t^{2}\;$ ainsi que ......la durée $\;\tau \;$ mis par le point pour effectuer un tour sur l'hélice $\;({\mathcal {H}})\;$ c'est-à-dire la valeur de $\;t\;$ correspondant à $\;\theta =0\;$ $\;\tau =2\;{\sqrt {\dfrac {\pi \left(a^{2}+h^{2}\right)}{g\;h}}}$.

......Compléments : utilisant de la loi horaire trouvée écrite sous la forme $\;t=2\;{\sqrt {\dfrac {a^{2}+h^{2}}{2\;g\;h}}}\;{\sqrt {2\;\pi -\theta }}\;$ on peut déterminer la durée $\;\left(\Delta t\right)_{n}\;$ nécessaire pour que le point $\;M\;$ effectue $\;n\;$ tours avec $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace$, il suffit d'y faire $\;\theta =-\left(n-1\right)2\;\pi \;$ soit $\;\left(\Delta t\right)_{n}=2\;{\sqrt {\dfrac {\pi \left(a^{2}+h^{2}\right)}{g\;h}}}\;{\sqrt {n}}=\tau \;{\sqrt {n}}\;$ ou finalement $\;\left(\Delta t\right)_{n}=\left(\Delta t\right)_{1}\;{\sqrt {n}}$ ;

......Compléments : ainsi $\;\left(\Delta t\right)_{4}=2\,\left(\Delta t\right)_{1}$, le point $\;M\;$ met la même durée pour glisser sur le 1^er tour ou sur les 3 suivants,

......Compléments : ainsi $\;\left(\Delta t\right)_{9}=3\,\left(\Delta t\right)_{1}$, le point $\;M\;$ met la même durée pour glisser sur le 1^er tour, sur les 3 suivants ou encore les 5 qui suivent les trois précédents …

 

Glissement avec frottement sur un plan incliné

......Un objet de masse $\;m\;$ est lancé, dans le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ uniforme, avec un vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ incliné vers le haut, selon la ligne de plus grande pente d'un plan incliné faisant un angle non orienté $\;\alpha \;$ avec l'horizontale ;

......le contact de l'objet avec le plan incliné est supposé avec frottement solide de coefficients statique et dynamique confondus, de valeur commune notée $\;f$.

Distance parcourue avant l'arrêt de l'objet

......À cause des frottements solides et de l'absence de force de propulsion, l'objet va s'arrêter ;

......déterminer la distance parcourue par l'objet avant son arrêt.

Solution

......

Schéma d'un solide en liaison unilatérale avec un plan incliné sur lequel le contact est avec frottement solide et représentation des forces appliquées au solide quand ce dernier glisse vers le haut

......L'objet étant en translation est assimilé à son C.D.I. noté $\;M$, son mouvement le long de la ligne de plus grande pente du plan incliné est repéré par son équation horaire scalaire $\;x(t)\;$ où $\;x\;$ est l'abscisse de $\;M\;$ sur l'axe $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$ dont la direction est la ligne de plus grande pente et dont le sens est ascendant, l'origine $\;O\;$ de l'axe étant la position du C.D.I. à l'instant de lancement de l'objet avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}$, l'instant de lancement étant choisi comme origine des temps.

......Les forces extérieures s'exerçant sur l'objet de C.D.I. $\;M\;$ sont

• son poids $\;m\;{\vec {g}}\;$ vertical descendant, force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur $\;U_{\text{pes}}(M)=m\;g\;z\;$ dans laquelle $\;z\;$ est la cote du C.D.I. $\;M\;$ repérée sur l'axe $\;{\overrightarrow {z'z}}\;$ vertical ascendant relativement à l'origine $\;O\;$ laquelle a été choisie comme référence de $\;U_{\text{pes}}(M)$, cette dernière s'exprimant encore en fonction de $\;x$, abscisse du C.D.I. $\;M$, en utilisant $\;\sin(\alpha )={\dfrac {z}{x}}\;$ $\Rightarrow$ $\;z$ $=x\;\sin(\alpha )\;$ soit finalement $\;U_{\text{pes}}(M)=m\;g\;\sin(\alpha )\;x\;$ avec référence en $\;x=0\;$ ainsi que
• la réaction du plan, non conservative, $\;{\vec {R}}={\vec {R}}_{\tau }+R_{n}\;{\vec {n}}\;$ avec $\;{\vec {n}}$, le vecteur unitaire normal au plan de sens opposé à celui de la pénétration de l'objet dans le plan susceptible de se produire $\;{\big [}\Rightarrow R_{n}>0{\big ]}\;$ correspondant encore à $\;{\vec {n}}={\vec {u}}_{y}$ $\;{\big [}{\vec {u}}_{y}$ étant le vecteur unitaire normal au plan incliné choisi dans le sens des altitudes croissantes], le travail de la réaction se limitant à celui de sa composante tangentielle , en effet $\;W_{O\,{\overset {({\mathcal {P}})}{\rightarrow }}\,M}({\vec {R}})=\displaystyle \int _{O\,{\overset {({\mathcal {P}})}{\rightarrow }}\,M}{\vec {R}}\cdot {\overrightarrow {dM}}=\displaystyle \int _{O\,{\overset {({\mathcal {P}})}{\rightarrow }}\,M}{\vec {R}}_{\tau }\cdot {\overrightarrow {dM}}\;{\cancel {+\displaystyle \int _{O\,{\overset {({\mathcal {P}})}{\rightarrow }}\,M}R_{n}\;{\vec {n}}\cdot {\overrightarrow {dM}}}}\;$ car $\;{\overrightarrow {dM}}=ds\;{\vec {\tau }}\;$, $\;{\vec {\tau }}\;$ étant le vecteur unitaire tangentiel choisi dans le sens du mouvement correspondant encore à $\;{\vec {\tau }}={\vec {u}}_{x}\;$ et $\;R_{n}\;{\vec {n}}\perp {\vec {\tau }}$, soit $\;W_{O\,{\overset {({\mathcal {P}})}{\rightarrow }}\,M}({\vec {R}}_{\tau })=$ $\displaystyle \int _{O\,{\overset {({\mathcal {P}})}{\rightarrow }}\,M}R_{\tau ,\,x}\;dx<0\;$ ;

......l'énergie mécanique $\;E_{m,\,M}(t)\;$ du C.D.I. $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ étant définie par $\;E_{m,\,M}(t)=K_{M}(t)+U_{{\text{pes}},\,M}(t)\;$ avec $\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}(t)\;$ l'énergie cinétique du C.D.I. $\;M\;$ dans le référentiel d'étude au même instant, se réécrit selon $\;E_{m,\,M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}(t)+m\;g\;\sin(\alpha )\;x(t)$ ; ......l'utilisation du théorème de la variation de l'énergie mécanique du C.D.I. entre sa position initiale $\;O\;$ avec une vitesse instantanée $\;v_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$ et sa position d'arrêt $\;M_{\text{arrêt}}\left(x_{\text{arrêt}}=d\right)\;$ avec une vitesse instantanée nulle appliqué à l'objet dans le référentiel terrestre supposé galiléen s'écrit $\;E_{m,\,M_{\text{arrêt}}}-E_{m,\,O}=W_{O\,{\overset {({\mathcal {P}})}{\rightarrow }}\,M_{\text{arrêt}}}({\vec {R}}_{\tau })\;$ soit $\;\left[m\;g\;\sin(\alpha )\;d\right]-\left[{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{0}^{\,2}\right]=\displaystyle \int _{0}^{d}R_{\tau ,\,x}\;dx$ ; ......l'utilisation du théorème du mouvement du C.D.I. appliqué à l'objet dans le référentiel terrestre galiléen nous conduit à $\;m\;{\vec {g}}+{\vec {R}}=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ soit, en projection sur l'axe $\;{\overrightarrow {y'y}}$, $\;-m\;g\;\cos(\alpha )+R_{n}=m\;a_{M,\,y}=0\;$ d'où $\;R_{n}=m\;g\;\cos(\alpha )\;$ et, en utilisant la loi de frottement de Coulomb avec glissement $\;\vert R_{\tau ,\,x}\vert =f\;R_{n}\;$ où $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ étant de sens contraire au mouvement de $\;M\;$ $\Rightarrow$ $\;R_{\tau ,\,x}<0\;$ soit finalement $\;R_{\tau ,\,x}=-f\;R_{n}=-f\;m\;g\;\cos(\alpha )\;$ d'où $\;W_{O\,{\overset {({\mathcal {P}})}{\rightarrow }}\,M_{\text{arrêt}}}({\vec {R}}_{\tau })=\displaystyle \int _{0}^{d}R_{\tau ,\,x}\;dx=\displaystyle \int _{0}^{d}-f\;m\;g\;\cos(\alpha )\;dx\;$ soit $\;W_{O\,{\overset {({\mathcal {P}})}{\rightarrow }}\,M_{\text{arrêt}}}({\vec {R}}_{\tau })=-f\;m\;g\;\cos(\alpha )\;d$ ; ......finalement l'application du théorème de la variation de l'énergie mécanique nous conduit à $\;m\;g\;\sin(\alpha )\;d-{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{0}^{\,2}=-f\;m\;g\;\cos(\alpha )\;d\;$ ou, après simplification et regroupement des termes proportionnels à $\;d\;$ dans un même membre, l'expression de la distance nécessaire pour que l'objet s'arrête $\;d={\dfrac {v_{0}^{\,2}}{2\;g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]}}$.

 

Condition d'inclinaison du plan incliné pour que l'objet ne descende pas après son arrêt

......À quelle condition sur $\;\alpha \;$ l'objet restera-t-il immobile sur le plan incliné après son mouvement de montée ?

Solution

............Il convient bien sûr de refaire un schéma de situation en représentant les forces.

......À partir de l'état final de repos précédent, la force tendant à faire redescendre l'objet de C.D.I. $\;M\;$ est la composante de $\;m\;{\vec {g}}\;$ le long du plan incliné, composante qui est dans le sens descendant [de norme égale à $\;m\;g\;\sin(\alpha ){\big ]}\;$ et par suite la force de frottement $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ est maintenant dans le sens ascendant, s'opposant à la composante de $\;m\;{\vec {g}}\;$ le long du plan incliné ;

......s'il n'y a pas glissement c'est que ces deux composantes se compensent soit $\;\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert =m\;g\;\sin(\alpha )\;$ et

......comme il n'y a toujours pas lévitation de l'objet de C.D.I. $\;M\;$ au-dessus du plan incliné, on a encore les deux composantes $\;\perp \;$ au plan incliné qui se compensent c'est-à-dire $\;R_{n}\;{\vec {n}}\;$ [dirigée vers le haut $\;\Rightarrow \;R_{n}>0{\big ]}\;$ et la composante du poids $\;\perp \;$ au plan incliné $\;-m\;g\;\cos(\alpha )\;{\vec {u}}_{y}\;$ [dirigée vers le bas] d'où $\;R_{n}=m\;g\;\cos(\alpha )$ ;

......l'application de la loi de frottement de Coulomb dans le cas de non glissement s'écrivant $\;\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert <f\;R_{n}\;$ devient ici $\;m\;g\;\sin(\alpha )<f\;m\;g\;\cos(\alpha )\;$ soit, après simplification évidente $\;\tan(\alpha )<f\;$ ou,
en introduisant l'angle limite de frottement $\;\varphi =\arctan(f)$,
$\;\alpha <\varphi \;$.

 

Point glissant sans frottement sur une piste rigide terminée par un demi-cercle vertical

Schéma représentant un point M en liaison unilatérale sans frottement dans un champ de pesanteur uniforme sur une piste rigide constituée d'une descente terminée par un demi-cercle vertical, le point M étant lâché sans vitesse d'une hauteur h

......Un point matériel $\;M\;$ de masse $\;m$, en liaison unilatérale sans frottement sur la piste rigide ci-contre, est lâché sans vitesse initiale depuis la position $\;M_{0}\;$ située à une hauteur $\;h\;$ relativement à la partie la plus basse de la piste.

......La piste est constituée d'une descente de forme quelconque se terminant, sans discontinuité de pente, par un demi-cercle vertical de rayon $\;r\;$ et dont l'extrémité supérieure est notée $\;A$.

......Le point matériel est soumis au champ de pesanteur $\;{\vec {g}}\;$ uniforme.

......À quelle condition de hauteur $\;h\;$ le point $\;M\;$ peut-il atteindre l'extrémité $\;A\;$ de la piste ?

......Remarque : On rappelle que la condition nécessaire et suffisante pour que $\;M\;$ quitte la piste est que celle-ci n'exerce plus de réaction sur le point $\;M\;$ à partir d'une position précédant $\;A$, par contraposée la condition nécessaire et suffisante pour que $\;M\;$ reste au contact de la piste jusqu'en $\;A\;$ est qu'il existe une réaction de la piste sur le point $\;M\;$ en toutes les positions possibles jusqu'à $\;A$ [en effet pouvoir définir, en tout position précédant $\;A$, une vitesse instantanée $\;>0\;$ pour le point $\;M\;$ n'est qu'une condition nécessaire mais non suffisante pour que le point puisse atteindre $\;A{\big ]}$.

Solution

Schéma représentant un point M en liaison unilatérale sans frottement dans un champ de pesanteur uniforme sur une piste rigide constituée d'une descente terminée par un demi-cercle vertical, le point M étant lâché sans vitesse d'une hauteur h avec représentation des forces appliquées à M et effet de loupe sur la partie circulaire

......Voir le schéma de situation ci-contre avec représentation des forces appliquées à $\;M$, l'étude étant faite dans le référentiel terrestre liée à la piste, référentiel supposé galiléen.

......Le bilan des forces appliquées à $\;M\;$ est :

• son poids $\;m\,{\vec {g}}\;$ vertical descendant, force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur $\;U_{\text{pes}}(M)=m\;g\;z\;$ où $\;z\;$ est l'altitude du point repérée par rapport à l'origine $\;O\;$ de l'axe vertical ascendant $\;{\overrightarrow {z'z}}\;$, la référence de $\;U_{\text{pes}}(M)\;$ étant en $\;O\;$ ainsi que
• la réaction de la piste $\;{\mathcal {P}}\;$ sur $\;M\;$ non conservative, toujours $\;\perp \;$ au vecteur unitaire tangentiel en la position $\;M\;$ de la piste $\;{\vec {\tau }}\;$ compte-tenu de l'absence de frottement, pouvant s'écrire $\;R=R\;{\vec {n}}\;$ avec $\;{\vec {n}}\;$ vecteur unitaire normal principal en la position $\;M\;$ de la piste et $\;R={\vec {R}}\cdot {\vec {n}}\neq 0\;$ tant que le contact existe $\;{\big (}{\vec {R}}\;$ est donc toujours dirigé vers l'intérieur de la piste tant que le contact existe, en accord avec la nature unilatérale de la liaison de $\;M\;$ avec la piste), la réaction de la piste ne travaillant pas, en effet $\;W_{M_{0}\,{\overset {({\mathcal {P}})}{\rightarrow }}\,M}({\vec {R}})=$ $\displaystyle \int _{M_{0}\,{\overset {({\mathcal {P}})}{\rightarrow }}\,M}{\vec {R}}\cdot {\overrightarrow {dM}}=0\;$ car $\;{\overrightarrow {dM}}=ds\;{\vec {\tau }}\;$ et $\;{\vec {R}}\perp {\vec {\tau }}$.

......La liaison étant unilatérale [c'est-à-dire que le point peut se déplacer dans le demi-espace situé au-dessus de la piste], la C.N.S. du maintien de contact de $\;M\;$ avec la piste est que la composante normale de la réaction $\;R\;$ soit $\;>0$, la détermination de son expression se faisant par utilisation de la r.f.d.n. appliquée à $\;M\;$ et projetée sur $\;{\vec {n}}$ $\;{\bigg [}$montrant aisément que l'éventuelle rupture de contact ne peut pas se produire sur la partie descendante de la piste $\;{\overset {\frown }{(M_{0}B)}}\;$ car la projection du poids sur $\;{\vec {n}}\;$ y étant $\;m\;{\vec {g}}\cdot {\vec {n}}<0\;$ et celle de l'accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)\cdot {\vec {n}}=a_{M,\,n}(t)>0\;$, la composante normale de la réaction $\;R={\vec {R}}\cdot {\vec {n}}=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\cdot {\vec {n}}-m\;{\vec {g}}\cdot {\vec {n}}\;$ est nécessairement $\;>0$, il suffira de vérifier que la rupture de contact ne peut pas se produire sur la partie circulaire de la piste et, pour déterminer la composante normale de la réaction quand $\;M\;$ est sur cette partie circulaire (voir le schéma avec effet de loupe sur la partie circulaire ci-dessus), on le repère par son abscisse angulaire $\;\theta (t)={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {CB}}\,,\,{\overrightarrow {CM}}(t)\right\rbrace }}\;$ puis on projette sur $\;{\vec {n}}=$ $-{\vec {u}}_{\rho }\;$ la r.f.d.n. appliquée à $\;M{\bigg ]}$ ;

......projection de la r.f.d.n. appliquée au point M de la partie circulaire sur le vecteur normal principal de ce dernier : $\;R(t)-m\,g\,\cos \!\left[\theta (t)\right]=m\,a_{M,\,n}(t)=m\,{\dfrac {v_{M}^{\,2}(t)}{r}}\;$ ou encore, la vitesse instantanée $\;v_{M}(t)\;$ étant liée à la vitesse angulaire $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ lors d'un mouvement circulaire de rayon $\;r\;$ par $\;\vert v_{M}(t)\vert =r\,\vert {\dot {\theta }}(t)\vert \;$ ou, le 1^er vecteur unitaire tangentiel $\;{\vec {\tau }}\;$ s'identifiant au 2^ème vecteur de base polaire c'est-à-dire le vecteur unitaire orthoradial $\;{\vec {u}}_{\theta }$, par $\;v_{M}(t)=r\,{\dot {\theta }}(t)\;$ d'où la réécriture de la projection de la r.f.d.n. sur $\;{\vec {n}}$ $\;R-m\,g\,\cos \!\left[\theta (t)\right]=m\,r\,{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$ dont on déduit l'expression de la composante normale de la réaction, pour $\;M\;$ sur la partie circulaire et dans la mesure où le contact n'est pas rompu $\;R(t)=m\left\lbrace g\,\cos \!\left[\theta (t)\right]+{\dfrac {v_{M}^{\,2}(t)}{r}}\right\rbrace =m\left\lbrace g\,\cos \!\left[\theta (t)\right]+r\,{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\right\rbrace \;$ ; ......application du théorème de la variation d'énergie mécanique du point M entre la position initiale et celle sur la partie circulaire de la piste à un instant quelconque : l'énergie mécanique du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel terrestre lié à la piste, référentiel galiléen, étant définie, pour n'importe quelle position de $\;M\;$ sur la piste, par $\;E_{m,\,M}(t)$ $=K_{M}(t)+U_{{\text{pes}},\,M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{M}^{\,2}(t)+m\;g\;z_{M}(t)\;$ se réécrit, avec $\;M\;$ sur la partie circulaire de la piste $\;E_{m,\,M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;r^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;r\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$ ; appliquant le théorème entre $\;M_{0}\,\left[z_{M_{0}}=h\;;\;v_{M_{0}}=0\right]\;$ et $\;M\,\left[z_{M}(t)=r\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;;\;v_{M}(t)=r\;{\dot {\theta }}(t)\right]\;$ on obtient $\;E_{m,\,M}(t)-E_{m,\,M_{0}}=W_{M_{0}\,{\overset {({\mathcal {P}})}{\rightarrow }}\,M}({\vec {R}})\;$ ou, ce dernier travail étant nul, $\;E_{m,\,M}(t)=E_{m,\,M_{0}}\;$ se réécrivant pour $\;M\;$ sur la partie circulaire de la piste $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;r^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;r\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace =m\;g\;h\;$ d'où $\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)={\dfrac {2\;g\;h}{r^{2}}}-{\dfrac {2\;g}{r}}\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace$ ; ......expression de la composante normale de la réaction de la portion circulaire de la piste sur M : le report de l'expression de $\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$ dans celle de $\;R(t)\;$ donne, dans la mesure où le contact n'est pas rompu, $\;R(t)=m\left(g\,\cos \!\left[\theta (t)\right]+{\dfrac {2\;g\;h}{r}}-2\;g\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \right)\;$ soit encore, après simplification et factorisation, $\;R(t)=m\;g\left\lbrace {\dfrac {2\,h}{r}}-2+3\,\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$ sous réserve de maintien de contact.

......C.N.S. de maintien de contact de l'objet sur la piste : cette condition étant $\;R(t)=R\!\left[\theta (t)\right]>0\;\;\forall \;t\;$ ou $\;R(\theta )=m\;g\left[{\dfrac {2\,h}{r}}-2+3\,\cos(\theta )\right]>0\;\;\forall \;\theta \;$ ;

......C.N.S. ~~ de maintien de contact de l'objet sur la piste : cette fonction de $\;\theta \;$ étant $\;\searrow$, ses valeurs seront $\;>0\;$ ssi son minimum l'est soit $\;\min \limits _{\theta \in \left[0\,,\,\pi \right]}R(\theta )=R(\pi )>0\;$ avec $\;R(\pi )=m\;g\left[{\dfrac {2\,h}{r}}-2+3\,\cos(\pi )\right]=m\;g\left[{\dfrac {2\,h}{r}}-5\right]\;$ soit finalement la condition de hauteur $\;h\;$ pour que le point $\;M\;$ atteigne l'extrémité $\;A\;$ de la piste $\;h>{\dfrac {5}{2}}\;r$.

......Remarque : Avec $\;h>{\dfrac {5}{2}}\;r$, le point $\;M\;$ atteignant l'extrémité $\;A\;$ de la piste poursuivra son mouvement de deux façons possibles :

......Remarque : $\;\succ \;$ s'il y a un butoir en $\;A$, le point $\;M\;$ y arrivant avec une vitesse angulaire $\;{\dot {\theta }}(t_{A}^{-})={\sqrt {{\dfrac {2\;g\;h}{r^{2}}}-{\dfrac {2\;g}{r}}\left[1-\cos(\pi )\right]}}={\sqrt {{\dfrac {2\;g\;h}{r^{2}}}-{\dfrac {4\;g}{r}}}}\;$ ou $\;{\dot {\theta }}(t_{A}^{-})=$ ${\dfrac {\sqrt {2\;g\left(h-2\;r\right)}}{r}}>{\dfrac {\sqrt {g\;r}}{r}}\;$ correspondant à une vitesse instantanée $\;v_{M}(t_{A}^{-})=r\;{\dot {\theta }}(t_{A}^{-})={\sqrt {2\;g\left(h-2\;r\right)}}>{\sqrt {g\;r}}>0$, il y a choc, la vitesse instantanée du point $\;M\;$ devenant nulle après le choc, on vérifie alors que la composante normale de la réaction de la piste égale à $\;-m\;g\;$ après le choc n'obéit plus à la condition de maintien de contact sur la piste et le point $\;M\;$ tombe en chute libre verticalement ;

......Remarque : $\;\succ \;$ en absence de butoir en $\;A$, il y a continuité du vecteur vitesse du point $\;M\;$ lors de son arrivée en $\;A$, avec ce dernier égal à $\;{\vec {V}}_{M}(t_{A}^{-})=v_{M}(t_{A}^{-})\;{\vec {\tau }}_{A}\;$ s'écrivant encore $\;{\vec {V}}_{M}(t_{A}^{-})=-v_{M}(t_{A}^{-})\;{\vec {u}}_{x}\;$ avec $\;{\vec {u}}_{x}\;$ le vecteur unitaire de l'axe horizontal tangent à la piste sur sa partie la plus basse et dirigé vers la droite du schéma, le point $\;M\;$ poursuivant son mouvement au-delà de la piste en chute livre de vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{M}(t_{A}^{+})=-v_{M}(t_{A}^{-})\;{\vec {u}}_{x}=-{\sqrt {2\;g\left(h-2\;r\right)}}\;{\vec {u}}_{x}\;$ avec $\;\Vert {\vec {V}}(t_{A}^{+})\Vert =$ ${\sqrt {2\;g\left(h-2\;r\right)}}>{\sqrt {g\;r}}>0\;$ selon un mouvement parabolique, sa position de retombée étant sur la piste …

 

Point mobile sans frottement à l'intérieur d'un tube parabolique

Glissement d'un point M en liaison bilatérale sans frottement dans un tube parabolique, avec les conditions initiales de lancement “M en O de vitesse initiale v(0) = v₀”

......Un point matériel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ est mobile sans frottement à l'intérieur d'un tube ayant la forme d'une demi-parabole dont l'équation dans le plan vertical $\;xOz\;$ est $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x^{2}&=&2\,p\,z\\x&\geqslant &0\end{array}}\right\rbrace \;$ dans laquelle $\;p\;$ est une constante homogène à une longueur ;

......les conditions initiales sont : pour $\;t=0$, $\;x=0$, $\;z=0\;$ et la vitesse instantanée $\;v=v_{0}\;$, (voir figure ci-contre).

Explicitation de diverses longueurs associées à la demi-parabole en fonction de l'angle d'inclinaison de sa tangente avec l'horizontale

......Évaluer, en fonction de l'angle $\;\varphi ={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {\tau }}\right)}}\;$ que le 1^er vecteur de base de Frenet fait avec le vecteur unitaire cartésien $\;{\vec {u}}_{x}$ et pour une position quelconque de $\;M$,

• l'abscisse $\;x$,
• la cote $\;z\;$ et
• le rayon de courbure $\;{\mathcal {R}}\;$ de la trajectoire.

Solution

......L'équation de la demi-parabole peut être réécrite selon $\;z={\dfrac {x^{2}}{2\;p}}\;$ avec $\;x\geqslant 0\;$ et l'angle $\;\varphi ={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {\tau }}\right)}}\;$ que le 1^er vecteur de base de Frenet fait avec le vecteur unitaire cartésien $\;{\vec {u}}_{x}\;$ de l'axe des abscisses être déterminé par $\;\varphi =\arctan \!\left[{\dfrac {dz}{dx}}(x)\right]=\arctan \!\left[{\dfrac {x}{p}}\right]\;$ d'où les expressions en fonction de $\;\varphi \;$

• de l'abscisse $\;x\;$ d'une position quelconque de $\;M\;$ par inversion de l'expression de $\;\varphi =\varphi (x)\;$ soit $\;x=p\;\tan(\varphi )$,
• de la cote $\;z\;$ correspondante par report de $\;x=p\;\tan(\varphi )\;$ dans $\;z={\dfrac {x^{2}}{2\;p}}\;$ soit $\;z={\dfrac {p^{2}\;\tan ^{2}(\varphi )}{2\;p}}\;$ ou encore $\;z={\dfrac {p}{2}}\;\tan ^{2}(\varphi )\;$ et
• du rayon de courbure de la demi-parabole en une position quelconque de $\;M\;$ défini par $\;{\mathcal {R}}={\dfrac {ds}{d\varphi }}(\varphi )\;$ avec $\;s\;$ abscisse curviligne du point sur la demi-parabole avec origine de mesure choisie en $\;O$, la variation élémentaire $\;ds\;$ se déterminant à l'aide du vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe selon $\;{\overrightarrow {dM}}=ds\;{\vec {\tau }}\;$ $\Rightarrow$ $\;\vert ds\vert =\Vert {\overrightarrow {dM}}\Vert ={\sqrt {dx^{2}+dz^{2}}}\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}dx=p\;{\dfrac {d\varphi }{\cos ^{2}(\varphi )}}\\dz=p\;\tan(\varphi )\;{\dfrac {d\varphi }{\cos ^{2}(\varphi )}}\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où $\;\vert ds\vert ={\sqrt {1+\tan ^{2}(\varphi )}}\;p\;{\dfrac {\vert d\varphi \vert }{\cos ^{2}(\varphi )}}=p\;{\dfrac {\vert d\varphi \vert }{\cos ^{3}(\varphi )}}\;$ ou, l'angle $\;\varphi \;$ variant dans le même sens que l'abscisse curviligne $\;s$, l'expression de la variation élémentaire de cette dernière $\;ds=p\;{\dfrac {d\varphi }{\cos ^{3}(\varphi )}}\;$ dont on déduit celle du rayon de courbure $\;{\mathcal {R}}={\dfrac {ds}{d\varphi }}(\varphi )={\dfrac {p}{\cos ^{3}(\varphi )}}$.

 

Évaluation de la vitesse instantanée en fonction de la cote z

......Pour une cote $\;z$, quelle est la vitesse instantanée $\;v\;$ de $\;M\;$ (à expliciter en fonction de $\;z\;$ entre autres) ?

Solution

Glissement d'un point M en liaison bilatérale sans frottement dans un tube parabolique, avec les conditions initiales de lancement “M en O de vitesse initiale v(0) = v₀”, représentation des forces appliquées et base locale de Frenet associée

......Travaillant dans le référentiel lié au tube parabolique supposé galiléen, nous utiliserons, comme il nous est demandé dans cette série d'exercices, le théorème de la variation de l'énergie mécanique entre la position initiale $\;O\;$ avec une vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}=v_{0}\;{\vec {u}}_{x}\;$ et la position à un instant quelconque $\;M\left(x\,,\,z\right)$ avec une vitesse instantanée $\;v\;$ ;

......le bilan des forces appliquées appliquées au point $\;M\;$ est :

• son poids $\;m\,{\vec {g}}\;$ qui est une force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur $\;U_{\text{pes}}(z)=-m\;g\;z\;$ en prenant pour référence le niveau $\;z=0\;$ et
• la réaction du tube $\;({\mathcal {T}})\;$ sur $\;M\;$ non conservative, $\;\perp \;$ au vecteur unitaire tangentiel $\;{\vec {\tau }}\;$ compte-tenu de l'absence de frottement, ce qui implique qu'elle ne travaille pas, en effet $\;W_{O\,{\overset {({\mathcal {T}})}{\rightarrow }}\,M}({\vec {R}})=\displaystyle \int _{O\,{\overset {({\mathcal {T}})}{\rightarrow }}\,M}{\vec {R}}\cdot {\overrightarrow {dM}}=0\;$ car $\;{\overrightarrow {dM}}=ds\;{\vec {\tau }}\;$ et $\;{\vec {R}}\perp {\vec {\tau }}$ ;

......l'énergie mécanique $\;E_{m,\,M}(t)\;$ du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ est définie par $\;E_{m,\,M}(t)=K_{M}(t)+U_{{\text{pes}},\,M}(t)\;$ avec $\;K_{M}(t)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;v^{2}(t)\;$ l'énergie cinétique du point dans le référentiel d'étude au même instant ;

......le théorème de la variation de l'énergie mécanique du point entre la position initiale $\;O\;$ avec une vitesse instantanée $\;v_{0}=$ $\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$ et une position quelconque $\;M\left(x\,,\,z\right)\;$ avec une vitesse instantanée $\;v$ s'écrit $\;E_{m,\,M}-E_{m,\,O}=W_{O\,{\overset {({\mathcal {T}})}{\rightarrow }}\,M}({\vec {R}})\;$ soit finalement $\;\left[{\dfrac {1}{2}}\;m\;v^{2}-m\;g\;z\right]-\left[{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{0}^{2}\right]=0\;$ d'où l'expression de la vitesse instantanée $\;v\;$ du point $\;M\;$ à un instant $\;t\;$ en fonction, entre autres, de la cote $\;z\;$ du point $\;v={\sqrt {v_{0}^{2}+2\;g\;z}}$.

 

Évaluation de la réaction du tube sur le point M

......Quelle est la norme de la réaction $\;{\vec {R}}\;$ exercée par le tube sur $\;M$ ?

......Expliciter son expression en fonction de $\;z$.

......Pour quelle valeur de $\;v_{0}\;$la réaction $\;{\vec {R}}\;$ exercée par le tube sur $\;M\;$ est-elle toujours nulle ?

Solution

......Pour déterminer la norme de la réaction $\;{\vec {R}}\;$ exercée par le tube sur $\;M$, on projette la r.f.d.n. appliquée au point $\;m\,{\vec {g}}+{\vec {R}}(t)=m\,{\vec {a}}_{M}(t)\;$ sur le vecteur unitaire normal principal $\;{\vec {n}}\;$ soit, en posant $\;{\vec {R}}(t)={\overline {R}}(t)\;{\vec {n}}\;$ :

......$\;{\overline {R}}(t)+m\;g\;\cos \!\left[\varphi (t)\right]=m\;a_{M,\,n}(t)\;$ dans laquelle l'accélération normale vaut $\;a_{M,\,n}(t)={\dfrac {v^{2}(t)}{{\mathcal {R}}(t)}}\;$ soit $\;{\overline {R}}(t)=m\left\lbrace {\dfrac {v^{2}(t)}{{\mathcal {R}}(t)}}-g\;\cos \!\left[\varphi (t)\right]\right\rbrace \;$ ou encore $\;{\overline {R}}(t)=m\left\lbrace {\dfrac {v^{2}(t)\,\cos ^{3}\!\left[\varphi (t)\right]}{p}}-g\;\cos \!\left[\varphi (t)\right]\right\rbrace$ ; ......pour expliciter le résultat en fonction de $\;z\;$ on reporte l'expression de $\;v\;$ en fonction de $\;z\;$ et on obtient $\;{\overline {R}}(t)=m\left\lbrace {\dfrac {\left[v_{0}^{2}+2\;g\;z(t)\right]\cos ^{3}\!\left[\varphi (t)\right]}{p}}-g\;\cos \!\left[\varphi (t)\right]\right\rbrace \;$ ou, en factorisant par $\;\cos \!\left[\varphi (t)\right]$, $\;{\overline {R}}(t)=m\;\cos \!\left[\varphi (t)\right]\left\lbrace {\dfrac {\left[v_{0}^{2}+2\;g\;z(t)\right]\cos ^{2}\!\left[\varphi (t)\right]}{p}}-g\right\rbrace \;$ dans laquelle il faut éliminer $\;\cos \!\left[\varphi (t)\right]\;$ au profit de $\;z(t)\;$ entre autres en utilisant $\;z={\dfrac {p}{2}}\tan ^{2}(\varphi )={\dfrac {p}{2}}\left\lbrace \left[1+\tan ^{2}(\varphi )\right]-1\right\rbrace ={\dfrac {p}{2}}\left[{\dfrac {1}{\cos ^{2}(\varphi )}}-1\right]\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {1}{\cos ^{2}(\varphi )}}={\dfrac {2\,z}{p}}+1\;$ ou $\;\cos ^{2}(\varphi )={\dfrac {1}{{\dfrac {2\,z}{p}}+1}}={\dfrac {p}{2\,z+p}}\;$ d'où la réécriture de la composante normale de la réaction du tube $\;{\overline {R}}(t)=m\;\cos \!\left[\varphi (t)\right]\left[{\dfrac {v_{0}^{2}+2\;g\;z(t)}{2\;z(t)+p}}-g\right]\;$ soit encore $\;{\overline {R}}(t)=m\;{\sqrt {\dfrac {p}{2\,z(t)+p}}}\left[{\dfrac {v_{0}^{2}+2\,g\,z(t)}{2\,z(t)+p}}-g\right]\;$ ou, en réduisant au même dénominateur, $\;{\overline {R}}(t)=m\;{\sqrt {\dfrac {p}{2\,z(t)+p}}}\;{\dfrac {v_{0}^{2}+2\;g\;z(t)-2\;g\;z(t)-p\;g}{2\;z(t)+p}}\;$ soit finalement la composante normale de la réaction du tube à l'instant $\;t\;$ $\;{\overline {R}}=m\;{\dfrac {\sqrt {p}}{\left(2\,z+p\right)^{\frac {3}{2}}}}\,\left(v_{0}^{2}-p\,g\right)=m\left({\dfrac {p}{2\,z+p}}\right)^{\!{\frac {3}{2}}}\left({\dfrac {v_{0}^{2}}{p}}-g\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;\Vert {\vec {R}}\Vert =m\left({\dfrac {p}{2\,z+p}}\right)^{\!{\frac {3}{2}}}{\Bigg \vert }{\dfrac {v_{0}^{2}}{p}}-g{\Bigg \vert }$.

......La réaction $\;{\vec {R}}\;$ du tube sur le point $\;M\;$ sera toujours nulle pour $\;v_{0}={\sqrt {g\;p}}$, cette valeur correspondant à la vitesse horizontale initiale que $\;M\;$ doit avoir pour que sa trajectoire parabolique de chute libre ait pour équation cartésienne $\;z={\dfrac {x^{2}}{2\;p}}\;$.

......Complément : on peut alors discuter du signe de $\;{\overline {R}}\;$ en comparant $\;v_{0}\;$ à $\;{\sqrt {g\;p}}\;$ valeur critique pour laquelle la réaction est toujours nulle :

• pour $\;v_{0}<{\sqrt {g\;p}}$, $\;{\overline {R}}\;$ est $\;<0\;$ correspondant au contact de $\;M\;$ sur l'intérieur du tube tendant à repousser $\;M\;$ vers l'extérieur (la réaction est donc dans le sens contraire de $\;{\vec {n}}{\big )}\;$ et,
• pour $\;v_{0}>{\sqrt {g\;p}}$, $\;{\overline {R}}\;$ est $\;>0\;$ correspondant au contact de $\;M\;$ sur l'extérieur du tube tendant à ramener $\;M\;$ vers l'intérieur (la réaction est donc dans le sens de $\;{\vec {n}}{\big )}$.

 

À la fête foraine pour tester la force des joueurs

Schéma d'un jeu à la fête foraine pour comparer sa force en lançant un chariot a priori en liaison bilatérale sans frottement sur un guide ABCD, le joueur n'exerçant une force sur le chariot que sur la partie AB de façon à ce qu'il atteigne D

......Dans un stand de fête foraine, on peut tester sa « force » en lançant un chariot $\;(M)$, initialement au repos en $\;A$, dans le but que ce dernier atteigne en $\;D$ ; pour des raisons de sécurité, le chariot est en liaison bilatérale sur un rail $\;ABCD\;$ situé dans un plan vertical, $\;AC\;$ rectiligne horizontal étant de longueur $\;2\;l\;$ avec $\;B\;$ au milieu de $\;AC\;$ et $\;CD\;$ étant un demi-cercle de rayon $\;r$ ;

......le joueur procède au lancement uniquement sur la partie rectiligne $\;AB\;$ et doit absolument lâcher le chariot en $\;B$ [on suppose que la force $\;{\vec {F}}\;$ que le joueur exerce sur $\;(M)\;$ est horizontale et de norme constante sur tout le trajet $\;AB{\big ]}$ ;

......le chariot est de masse $\;m\;$ et on le considère comme ponctuel ; l’intensité de la pesanteur terrestre étant constante et notée $\;g$, on néglige tout frottement solide entre le chariot et le rail.

Lancement d'un 1^er joueur : force minimale F_min pour que le chariot atteigne D et réaction du guide en D quand F = F_min

......Un premier joueur permet au chariot d’atteindre $\;D$ :

• quelle force minimale $\;F_{\text{min}}\;$ a-t-il exercée sur $\;(M)\;$ ?
• Quelle est alors la réaction $\;{\vec {R}}_{1}\;$ du rail sur le chariot en $\;D$ [on précisera sa direction, son sens et sa norme] dans le cas où $\;F=F_{\text{min}}$ ?

Solution

Schéma d'un jeu à la fête foraine pour comparer sa force en lançant un chariot (M) a priori en liaison bilatérale sans frottement sur un guide ABCD, le joueur n'exerçant une force sur le chariot que sur la partie AB de façon à ce qu'il atteigne D avec représentation des forces exercées sur (M) et de la base locale de Frenet associée au chariot

......Le chariot étant en liaison bilatérale est guidé et la seule condition pour qu'il arrive en $\;D\;$ est que sa vitesse ne s'annule pas avant le point $\;D$ ; les forces s'exerçant sur lui sont :

• son poids $\;m\;{\vec {g}}$, force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur $\;U_{\text{pes}}(M)=m\;g\;z\;$ où $\;z\;$ est l'altitude du chariot $\;(M)$, l'origine $\;O\;$ de l'axe vertical ascendant $\;{\overrightarrow {z'z}}\;$ étant au niveau de la partie la plus basse du guide et étant choisie comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur,
• la réaction $\;{\vec {R}}\;$ du rail $\;({\mathcal {G}})\;$ sur le chariot $\;(M)$, non conservative et ne travaillant pas dans la mesure où elle est toujours $\;\perp \;$ au rail en absence de frottement, c'est-à-dire avec $\;P\;$ position quelconque du guide, $\;W_{A\,{\overset {({\mathcal {G}}}{\rightarrow }}\,P}({\vec {R}})=\displaystyle \int _{A\,{\overset {({\mathcal {G}}}{\rightarrow }}\,P}{\vec {R}}\cdot {\overrightarrow {dM}}=0\;$ car $\;{\overrightarrow {dM}}=$ $ds\;{\vec {\tau }}\;$ et $\;{\vec {R}}\perp {\vec {\tau }}$ ainsi que,
• uniquement sur la partie $\;AB\;$ du guide, la force de lancement $\;{\vec {F}}\;$ horizontale, supposée constante et considérée comme non conservative de travail moteur sur $\;AB$, $\;W_{A\,{\overset {({\mathcal {G}}}{\rightarrow }}\,B}({\vec {F}})=\displaystyle \int _{A\,{\overset {({\mathcal {G}}}{\rightarrow }}\,B}{\vec {F}}\cdot {\overrightarrow {dM}}>0\;$ plus précisément, avec $\;{\vec {F}}=F\;{\vec {u}}_{x}\;$ dans lequel $\;F=cste>0\;$ est la composante de la force sur l'axe horizontal $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$ orienté de $\;A\;$ vers $\;B\;$ et $\;{\overrightarrow {dM}}_{{\text{sur }}AB}=dx\;{\vec {u}}_{x}$, $\;W_{A\,{\overset {({\mathcal {G}}}{\rightarrow }}\,B}({\vec {F}})=\displaystyle \int _{x_{A}}^{x_{B}}F\;dx=F\left(x_{B}-x_{A}\right)=F\;l>0$ ;

......l'énergie mécanique $\;E_{m,\,M}(t)\;$ du chariot $\;(M)\;$ à l'instant $\;t\;$ étant définie par $\;E_{m,\,M}(t)=K_{M}(t)+U_{{\text{pes}},\,M}(t)\;$ avec $\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{M}^{\,2}(t)\;$ l'énergie cinétique du chariot au même instant, $\;v_{M}(t)\;$ y étant la vitesse instantanée soit encore $\;E_{m,\,M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{M}^{\,2}(t)+m\;g\;z(t)\;$ avec $\;z(t)\;$ l'altitude de $\;(M)\;$ à l'instant $\;t$, l'utilisation du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au chariot entre sa position initiale et une position $\;P\;$ quelconque au-delà de $\;B\;$ atteinte à l'instant $\;t\;$ avec une vitesse instantanée $\;v_{M}(t)\;$ et une altitude $\;z(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}r-r\;\cos \!\left[\theta (t)\right]&\!\!{\text{sur }}CD\\0&\!\!{\text{sur }}AC\end{array}}\right\rbrace \;$ nous donne, suivant la position finale considérée :

• position $\;P\;$ sur la partie $\;BC$, $\;E_{m,\,M}(t_{P})\;{\cancel {-E_{m,\,M}(t_{A})}}=W_{A\,{\overset {({\mathcal {G}}}{\rightarrow }}\,B}({\vec {F}})\;$ ou $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{M}^{\,2}(t_{P})=F\;l\;$ soit $\;v_{M}(t_{P})={\sqrt {\dfrac {2\;F\;l}{m}}}\neq 0\;$ et
• position $\;P\;$ sur la partie $\;CD$, $\;E_{m,\,M}(t_{P})\;{\cancel {-E_{m,\,M}(t_{A})}}=W_{A\,{\overset {({\mathcal {G}}}{\rightarrow }}\,B}({\vec {F}})\;$ ou $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{M}^{\,2}(t_{P})+m\;g\;r\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t_{P})\right]\right\rbrace =F\;l\;$ d'où l'expression du carré de la vitesse instantanée en $\;P$, $\;v_{M}^{\,2}(t_{P})={\dfrac {2\;F\;l}{m}}-2\;g\,r\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t_{P})\right]\right\rbrace$, lequel doit être $\;\geqslant 0\;$ pour que cette position soit effectivement atteinte ;

......en conclusion le chariot pourra atteindre la position $\;D\;$ si la fonction $\;f(\theta )={\dfrac {2\;F\;l}{m}}-2\;g\,r\left[1-\cos(\theta )\right]\;$ est $\;\geqslant 0\;\forall \;\theta \in \left[0\,,\,\pi \right]\;$ et ceci est réalisé dans la mesure où son minimum l'est, or $\;f(\theta )\;$ étant une fonction $\;\searrow \;$ de $\;\theta$, la condition se réécrit $\;\min \limits _{\theta \,\in \,\left[0\,,\,\pi \right]}f(\theta )=f(\pi )\geqslant 0\;$ ou $\;f(\pi )={\dfrac {2\;F\;l}{m}}-4\;g\,r\geqslant 0\;$ soit finalement l'expression de la force qu'un joueur doit exercer sur le chariot pour que ce dernier atteigne la position $\;D\;$ $\;F\geqslant m\;g\;{\dfrac {2\;r}{l}}=F_{\text{min}}$.

......Dans le cas où $\;F=F_{\text{min}}$, la vitesse instantanée d’arrivée du chariot en $\;D\;$ vaut $\;v_{M}(t_{D})=0$ ;

......Dans le cas où F = Fmin ~~ appliquant la r.f.d.n. au chariot en la position $\;D\;$ on obtient $\;{\vec {R}}_{1}+m\;{\vec {g}}=m\;{\vec {a}}_{M}(t_{D})\;$ soit, en projetant sur $\;{\vec {n}}(t_{D})=-{\vec {u}}_{z}\;$ noté $\;{\vec {n}}_{D}\;$ sur le schéma, $\;{\overline {R_{1,\,n}}}+m\;g=m\;a_{M,\,n}(t_{D})\;$ avec l'accélération normale du chariot en cette position $\;a_{M,\,n}(t_{D})={\dfrac {v_{M}^{\,2}(t_{D})}{r}}\;$ $\;=0\;$ par nullité de la vitesse instantanée en cette position d'où $\;{\overline {R_{1,\,n}}}=-m\;g<0\;$ c'est-à-dire une réaction du rail qui est centrifuge en $\;D\;$ selon $\;{\vec {R}}_{1}={\overline {R_{1,\,n}}}\;{\vec {n}}_{D}=-m\;g\;{\vec {n}}_{D}=m\;g\;{\vec {u}}_{z}=-m\;{\vec {g}}\;$ ;
le chariot en $\;D\;$ repose que la partie inférieure du rail, si la liaison n'était pas bilatérale le chariot tomberait suivant la verticale.

 

Lancement d'un 2^ème joueur moins fort : position extrême atteinte par le chariot et réaction du guide en cette position

......Un deuxième joueur, « moins fort » que le précédent, exerce une force $\;F_{2}={\dfrac {F_{\text{min}}}{2}}\;$ :

• jusqu'en quelle position $\;M_{f}\;$ le chariot arrivera-t-il $\;{\bigg [}$on précisera $\;\theta _{f}={\widehat {\left({\overrightarrow {OC}}\,,\,{\overrightarrow {OM_{f}}}\right)}}{\bigg ]}$ ?
• Quelle est alors la réaction $\;{\vec {R}}_{2}\;$ du rail sur le chariot en cette position ?

Solution

......Le 2^ème joueur, « moins fort » que le 1^er, exerce une force $\;F_{2}={\dfrac {F_{\text{min}}}{2}}\;$ laquelle, étant $\;<\;$ à $\;F_{\text{min}}$, ne permet pas au chariot d'atteindra la position $\;D$, ce qui signifie que la vitesse instantanée de ce dernier va s'annuler en une position $\;M_{f}\;$ d’abscisse angulaire $\;\theta _{f}={\widehat {\left({\overrightarrow {OC}}\,,\,{\overrightarrow {OM_{f}}}\right)}}\;$ définie par $\;K_{M}(t_{M_{f}})={\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{M}^{\,2}(t_{M_{f}})=0\;$ soit, avec l'expression trouvée à la question précédente par utilisation du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au chariot entre la position initiale et une position quelconque choisie ici en $\;M_{f}$, $\;K_{M}(t_{M_{f}})={\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{M}^{\,2}(t_{M_{f}})={\dfrac {F_{\text{min}}}{2}}\;l-m\;g\;r\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t_{M_{f}})\right]\right\rbrace \;$ soit encore, avec le report de $\;F_{\text{min}}=m\;g\;{\dfrac {2\;r}{l}}$, $\;K_{M}(t_{M_{f}})=$ $m\;g\;r-m\;g\;r\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t_{M_{f}})\right]\right\rbrace =0\;$ ou, après simplification évidente, $\;\cos \!\left[\theta (t_{M_{f}})\right]=0\;$ correspondant à l'abscisse angulaire $\;\theta (t_{M_{f}})={\dfrac {\pi }{2}}\;$ c'est-à-dire à la position $\;M_{f}=E$ (voir schéma de la question précédente).

......Dans le cas où $\;F={\dfrac {F_{\text{min}}}{2}}$, la vitesse instantanée d'arrivée du chariot en $\;M_{f}=E\;$ vaut $\;v_{M}(t_{M_{f}})=0$ ;

......Dans le cas où F = Fmin/2 ~~appliquant la r.f.d.n. au chariot en la position $\;M_{f}=E\;$ on obtient $\;{\vec {R}}_{2}+m\;{\vec {g}}=m\;{\vec {a}}_{M}(t_{M_{f}})\;$ soit, en projetant sur $\;{\vec {n}}(t_{E})=-{\vec {u}}_{x}\;$ noté $\;{\vec {n}}_{E}\;$ sur le schéma de la question précédente, $\;{\overline {R_{2,\,n}}}+0=m\;a_{M,\,n}(t_{M_{f}})\;$ avec l'accélération normale du chariot en cette position $\;a_{M,\,n}(t_{M_{f}})={\dfrac {v_{M}^{\,2}(t_{M_{f}})}{r}}\;$ $\;=0\;$ par nullité de la vitesse instantanée en cette position d'où $\;{\overline {R_{2,\,n}}}=0\;$ c'est-à-dire une réaction du rail qui est nulle en $\;M_{f}=E\;$ selon $\;{\vec {R}}_{2}={\overline {R_{2,\,n}}}\;{\vec {n}}_{E}={\vec {0}}\;$, le chariot $\;(M)\;$ « flotte » dans le guide en $\;M_{f}=E\;$,
le mouvement ultérieur de $\;(M)\;$ débute verticalement dans le sens descendant et se poursuit le long du guide.

 

Chariot temporairement en liaison unilatérale

......Un défaut de sécurité fait qu'à présent le chariot n’est plus en liaison bilatérale mais unilatérale.

Force minimale F'_min pour que le chariot atteigne D, vitesse du chariot en cette position et point de retombée de ce dernier sur le rail

......Quelle force minimale $\;{F'}_{\text{m}}\;$ un joueur doit-il exercer sur $\;(M)\;$ pour que le chariot atteigne $\;D$ ?

......Quelle est alors la vitesse du chariot quand ce dernier atteint $\;D\;$ dans le cas $\;F={F'}_{\text{min}}$ ?

......En quel point du rail le chariot va-t-il retomber ?

Solution

......Pour que le chariot $\;(M)\;$ atteigne la position $\;D\;$ quand il est en liaison unilatérale, il faut que la réaction $\;{\vec {R}}\;$ que le rail exerce sur $\;(M)\;$ soit constamment centripète sur le parcours $\;CD$ ;

......supposons donc que le mouvement circulaire de $\;(M)\;$ sur $\;CD\;$ soit possible (ce qui nécessite la persistance du contact avec le rail), l'expression du carré de la vitesse instantanée $\;v_{M}^{\,2}(t_{P})\;$ du chariot en une position quelconque $\;P\;$ de la partie circulaire $\;CD\;$ ayant été déterminée par utilisation du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au chariot entre sa position initiale et la position $\;P\;$ quelconque dans la 1^ère question de cet exercice , expression restant valable en liaison unilatérale car étant indépendante du sens de la réaction, soit $\;v_{M}^{\,2}(t_{P})={\dfrac {2\;F\;l}{m}}-2\;g\,r\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t_{P})\right]\right\rbrace \;$ mais, a priori, il ne suffit plus que la fonction de $\;\theta (t_{P})\;$ ci-contre soit $\;\geqslant 0$ (tout en restant évidemment nécessaire), car la nouvelle exigence en liaison unilatérale est que la composante normale de la réaction du rail $\;{\overline {R_{n}(t_{P})}}={\vec {R}}(t_{P})\cdot {\vec {n}}(t_{P})\;$ soit $\;\geqslant 0$ ;

......pour déterminer cette dernière on applique la r.f.d.n. au chariot quand ce dernier occupe une position $\;P\;$ quelconque de la partie circulaire $\;CD\;$ soit $\;m\;{\vec {g}}+{\vec {R}}(t_{P})=$ $m\;{\vec {a}}_{M}(t_{P})\;$ que l'on projette sur $\;{\vec {n}}(t_{P})\;$ d'où $\;-m\;g\;\cos \!\left[\theta (t_{p})\right]+{\overline {R_{n}(t_{P})}}=m\;a_{M,\,n}(t_{P})\;$ où $\;a_{M,\,n}(t_{P})={\dfrac {v_{M}^{\,2}(t_{P})}{r}}\;$ est l'accélération normale du chariot, soit $\;{\overline {R_{n}(t_{P})}}=m\left\lbrace {\dfrac {v_{M}^{\,2}(t_{P})}{r}}+g\;\cos \!\left[\theta (t_{p})\right]\right\rbrace$ ; ......on y reporte alors l'expression de $\;v_{M}^{\,2}(t_{P})={\dfrac {2\;F\;l}{m}}-2\;g\,r\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t_{P})\right]\right\rbrace$, ce qui donne $\;{\overline {R_{n}(t_{P})}}=m\left\lbrace {\dfrac {2\;F\;l}{m\;r}}-2\;g\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t_{P})\right]\right\rbrace +g\;\cos \!\left[\theta (t_{p})\right]\right\rbrace$ soit $\;{\overline {R_{n}(t_{P})}}={\dfrac {2\;F\;l}{r}}-2\;m\;g+3\;m\;g\;\cos \!\left[\theta (t_{p})\right]\;$ sous l'hypothèse de maintien de contact avec le rail ; ......en conclusion le chariot en liaison unilatérale pourra atteindre la position $\;D\;$ si la fonction $\;h(\theta )={\dfrac {2\;F\;l}{r}}-2\;m\;g+3\;m\;g\;\cos(\theta )\;$ est $\;\geqslant 0\;\forall \;\theta \in \left[0\,,\,\pi \right]\;$ et ceci est réalisé dans la mesure où son minimum l'est, or $\;h(\theta )\;$ étant une fonction $\;\searrow \;$ de $\;\theta$, la condition se réécrit $\;\min \limits _{\theta \,\in \,\left[0\,,\,\pi \right]}h(\theta )=h(\pi )\geqslant 0\;$ ou $\;h(\pi )={\dfrac {2\;F\;l}{r}}-5\;m\;g\geqslant 0\;$ soit finalement l'expression de la force qu'un joueur doit exercer sur le chariot pour que ce dernier atteigne la position $\;D\;$ en étant en liaison unilatérale $\;F\geqslant m\;g\;{\dfrac {5\;r}{2\;l}}={F'}_{\text{min}}\;$ minimum égal à $\;{\dfrac {5}{4}}\;F_{\text{min}}>F_{\text{min}}$. ......Dans le cas où $\;F={F'}_{\text{min}}$, la vitesse instantanée d’arrivée du chariot en $\;D\;$ vaut $\;v_{M}(t_{D})={\sqrt {{\dfrac {2\;{F'}_{\text{min}}\;l}{m}}-2\;g\,r\left[1-\cos(\pi )\right]}}={\sqrt {5\;g\;r-4\;g\;r}}\;$ soit finalement $\;v_{M}(t_{D}^{-})={\sqrt {g\;r}}$ [en la position $\;D\;$ le vecteur vitesse est horizontal dirigé dans le sens de $\;{\vec {\tau }}_{D}=-{\vec {u}}_{x}{\big ]}$.

......Dans le cas où F = {F'}min ~~À partir de ce point, le chariot a un mouvement de chute libre, son accélération étant $\;{\vec {a}}_{M}={\vec {g}}\;$ et son vecteur vitesse de début de phase $\;{\vec {V}}_{M}(t_{D}^{+})={\vec {V}}(t_{D}^{-})=-{\sqrt {g\;r}}\;{\vec {u}}_{x}\;$ (il est judicieux de faire le changement d'origine des temps en posant $\;t'=t-t_{D}$, le vecteur vitesse de début de phase devenant alors le vecteur vitesse initiale) ;

......Dans le cas où F = {F'}min ~~choisissant un axe horizontal $\;{\overrightarrow {X'X}}\;$ orienté vers la gauche et un axe vertical $\;{\overrightarrow {Z'Z}}\;$ descendant avec $\;D\;$ comme origine du repère,

• le projeté de $\;(M)\;$ sur $\;{\overrightarrow {X'X}}\;$ a un mouvement rectiligne uniforme de vitesse $\;v_{X}={\sqrt {g\;r}}\;$ $\Rightarrow$ $\;X={\sqrt {g\;r}}\;t'\;$ et
• ...~~ celui de $\;(M)\;$ sur $\;{\overrightarrow {Z'Z}}\quad$ un mouvement rectiligne uniformément accéléré sans vitesse initiale soit $\;v_{Z}=g\;t'\;$ $\Rightarrow$ $\;Z={\dfrac {g}{2}}\;{t'}^{2}\;$ ;

......Dans le cas où F = {F'}min ~~on en déduit l'équation cartésienne de la trajectoire du chariot en éliminant le temps $\;t'\;$ entre ces deux lois horaires scalaires de position par $\;t'={\dfrac {X}{\sqrt {g\;r}}}\;$ que l'on reporte dans la 2^ème soit $\;Z={\dfrac {g}{2}}\;{\dfrac {X^{2}}{g\;r}}\;$ ou $\;Z={\dfrac {X^{2}}{2\;r}}\;$ équation cartésienne d'une parabole, le point du rail sur lequel le chariot retombe étant $\;M_{\text{chute}}\;$ de coordonnées cartésiennes $\;Z_{\text{chute}}=2\;r\;$ et $\;X_{\text{chute}}=2\;r$ ; en conclusion $\;M_{\text{chute}}\;$ se trouve sur la partie rectiligne du rail $\;AC\;$ à une distance $\;2\;r\;$ en deçà du point $\;C$.

 

Nouvelle tentative du 2^ème joueur

......Le deuxième joueur refait alors une tentative en exerçant une force $\;F_{2}={\dfrac {F_{\text{min}}}{2}}\;$ ; vérifier qu'il n’y a rien de changé pour lui.

Solution

......Le deuxième joueur refait alors une tentative en exerçant la même force $\;F_{2}={\dfrac {F_{\text{min}}}{2}}\;$ ; avec cette valeur de force, le chariot en liaison bilatérale ayant obtenu une vitesse nulle (caractérisant la fin de mouvement en liaison bilatérale) simultanément à une réaction nulle (laquelle caractérise la fin de tout mouvement en liaison unilatérale), il n'y a donc rien de changé pour le chariot quand il passe d'une liaison bilatérale à une liaison unilatérale.

 

Nouveau lancement du 1^er joueur

......Le premier joueur refait lui aussi un lancement en exerçant une force $\;F_{1}=F_{\text{min}}\;$ ; vérifier que le chariot n'atteint pas $\;D\;$ et

......déterminer en quelle position $\;{M'}_{f}\;$ il y a rupture de contact entre le chariot et le rail $\;{\bigg [}$on précisera $\;{\theta '}_{f}={\widehat {\left({\overrightarrow {OC}}\,,\,{\overrightarrow {O{M'}_{f}}}\right)}}{\bigg ]}$ ?

......Quelle est alors le vecteur vitesse du chariot en cette position [on précisera sa direction, son sens et sa norme] ?

Solution

Schéma d'un jeu à la fête foraine pour comparer sa force en lançant un chariot (M) en liaison unilatérale sans frottement sur un guide ABCD, le joueur exerçant la force minimale sur le chariot pendant le trajet AB dans le but que (M) puisse atteindre D dans l'hypothèse où il serait en liaison bilatérale avec repérage de la position de rupture M'_f de liaison unilatérale ainsi que le vecteur vitesse du chariot à cet instant de rupture

......Le premier joueur refait lui aussi une tentative en exerçant une force $\;F_{1}=F_{\text{min}}\;$ laquelle, étant $\;<\;$ à la valeur de force minimale $\;{F'}_{\text{min}}\;$ pour que le chariot $\;(M)$, en liaison unilatérale, aille jusqu'à l'extrémité supérieure $\;D\;$ de la partie circulaire du rail, ne permet pas à $\;(M)\;$ d'atteindre $\;D$ ;

......avec cette valeur de force, la composante normale de la réaction exercée par le rail sur le chariot en liaison bilatérale avec le guide, avait une valeur positive en $\;C\;$ mais négative en $\;D\;$ en étant une fonction continue de $\;\theta$ (de même expression mathématique que la liaison soit bilatérale ou unilatérale), nous en déduisons, d'après le théorème de Bolzano (cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires ) l'existence d'une position unique de rupture $\;{M'}_{f}\;$ de liaison unilatérale définie par l'angle $\;{\theta '}_{f}=$ ${\widehat {\left({\overrightarrow {OC}}\,,\,{\overrightarrow {O{M'}_{f}}}\right)}}\;$ tel que $\;{\overline {R_{n}(t_{{M'}_{f}})}}=0\;$ avec $\;{\overline {R_{n}(t_{P})}}={\dfrac {2\;F\;l}{r}}-2\;m\;g+3\;m\;g\;\cos \!\left[\theta (t_{p})\right]\;$ sous l'hypothèse de maintien de contact avec le rail soit, en reportant $\;F_{1}=F_{\text{min}}=m\;g\;{\dfrac {2\;r}{l}}$, l'équation $\;{\overline {R_{n}(t_{{M'}_{f}})}}=4\;m\;g-2\;m\;g+3\;m\;g\;\cos \!\left({\theta '}_{f}\right)$ $=0\;$ ou $\;\cos \!\left({\theta '}_{f}\right)=-{\dfrac {2}{3}}\;$ donnant finalement la valeur de l'abscisse angulaire $\;{\theta '}_{f}\;$ de la position de rupture $\;{M'}_{f}\;$ de la liaison unilatérale du chariot avec le rail $\;{\theta '}_{f}=\arccos \!\left(-{\dfrac {2}{3}}\right)\simeq 131,8\;{\text{°}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{M'}_{f}\;$ située entre $\;E\;$ et $\;D$. ......avec cette valeur de force, La vitesse instantanée $\;v_{M}(t_{{M'}_{f}})\;$ du chariot en la position de rupture de liaison unilatérale se déduit de l'expression $\;v_{M}^{\,2}(t_{P})={\dfrac {2\;F\;l}{m}}-2\;g\,r\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t_{P})\right]\right\rbrace \;$ définie en une position quelconque $\;P\;$ de la partie circulaire $\;CD$, expression déterminée dans la 1^ère question de cet exercice avec une liaison bilatérale mais qui reste valable en liaison unilatérale car étant indépendante du sens de la réaction, soit $\;v_{M}^{\,2}(t_{{M'}_{f}})={\dfrac {2\;F_{\text{min}}\;l}{m}}-2\;g\,r\left[1-\cos({\theta '}_{f})\right]=4\;g\;r-2\;g\;r\left[1-{\dfrac {-2}{3}}\right]={\dfrac {2}{3}}\;g\,r\;$ donnant, pour vitesse instantanée du chariot en $\;{M'}_{f}\;$ $\;v_{M}(t_{{M'}_{f}})={\sqrt {{\dfrac {2}{3}}\;g\,r}}\simeq 0,816\;{\sqrt {g\;r}}$ ;

......avec cette valeur de force, le vecteur vitesse du chariot en cette position est tangente à la partie circulaire $\;CD\;$ en $\;{M'}_{f}$, de direction faisant l'angle $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$