En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Énergie potentielle et énergie mécanique
Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Énergie potentielle et énergie mécanique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Quand l'utilisation d'un théorème énergétique s'avérera nécessaire on choisira le théorème de la variation de l'énergie mécanique ou la forme locale associée.
......Soit un point matériel glissant sans frottement sur une hélice (circulaire) dont les équations cylindro-polaires sont :
,
avec
vertical ascendant, et les angles des plans horizontaux
orientés par
[cette hélice circulaire [1] est dite « droite (ou dextre) » [2]].
......À
, le point (en liaison bilatérale) est lâché sans vitesse initiale d'une cote
et subit l'action d'un champ de pesanteur
uniforme.
......Déterminer la durée
mis par le point pour effectuer un tour en fonction de
,
et
[3].
Solution
Schéma d'une hélice (circulaire)
[1] droite
[2] sur laquelle un point M lâché sans vitesse initiale d'une position A glisse sans frottement sous l'action d'un champ de pesanteur uniforme anti-colinéaire
[4] à l'axe du cylindre sur laquelle l'hélice est tracée, avec représentation de la base locale de Frenet
[5], [6] liée au point M, le sens du vecteur unitaire tangentiel
[7] étant choisi dans le sens du mouvement
......Nous travaillons dans un référentiel galiléen et dans cette série d'exercices il est demandé d'utiliser le théorème de la variation de l'énergie mécanique entre la position initiale
et la position à un instant quelconque positif
;
......le bilan des forces appliquées appliquées au point
est :
- son poids
qui est une force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur
en prenant pour référence le niveau
et
- la réaction de l'hélice
sur
non conservative,
au vecteur unitaire tangentiel
[7] compte-tenu de l'absence de frottement, ce qui implique qu'elle ne travaille pas, en effet
[8] car
[9] et
;
......l'énergie mécanique
du point
à l'instant
est définie par
avec
l'énergie cinétique du point dans le référentiel d'étude au même instant ;
......le vecteur vitesse du point

à cet instant et dans le même référentiel valant, en repérage cylindro-polaire,

on en déduit

d'où, en reportant dans l'expression de l'énergie mécanique de

et en éliminant

au profit de

,
;
......le théorème de la variation de l'énergie mécanique du point entre la position initiale

avec une vitesse instantanée
[10] nulle et une position quelconque

avec une vitesse instantanée
[10]
[11] s'écrit

soit finalement
[12] d'où l'intégrale
1re du mouvement de

en
[13]
;
......de cette intégrale
1re nous en tirons l'expression de la vitesse angulaire en fonction, entra autres, de l'abscisse angulaire soit

, équation différentielle non linéaire du
1er ordre en

qui s'intègre par séparation des variables
[14] soit, sur
![{\displaystyle \;\left]0\,,\,t\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bfccc8b1de061ba4a0114af081630a50cb60f7a)
,
[15] selon
[16] d'où la solution de l'équation différentielle non linéaire du
1er ordre en

suivante

dont on tire la loi horaire d'abscisse angulaire du point

glissant sans frottement sur l'hélice
[17]
ainsi que
......la durée

mis par le point pour effectuer un tour sur l'hélice

c'est-à-dire la valeur de

correspondant à
.
......Compléments : utilisant de la loi horaire trouvée écrite sous la forme
on peut déterminer la durée
nécessaire pour que le point
effectue
tours avec
, il suffit d'y faire
soit
ou finalement
;
......Compléments : ainsi
, le point
met la même durée pour glisser sur le 1er tour ou sur les 3 suivants,
......Compléments : ainsi
, le point
met la même durée pour glisser sur le 1er tour, sur les 3 suivants ou encore les 5 qui suivent les trois précédents …
......Un objet de masse
est lancé, dans le champ de pesanteur terrestre
uniforme, avec un vecteur vitesse initiale
incliné vers le haut, selon la ligne de plus grande pente d'un plan incliné faisant un angle non orienté
avec l'horizontale ;
......le contact de l'objet avec le plan incliné est supposé avec frottement solide de coefficients statique et dynamique confondus, de valeur commune notée
.
......À cause des frottements solides et de l'absence de force de propulsion, l'objet va s'arrêter ;
......déterminer la distance parcourue par l'objet avant son arrêt.
Solution
......
Schéma d'un solide en liaison unilatérale avec un plan incliné sur lequel le contact est avec frottement solide et représentation des forces appliquées au solide quand ce dernier glisse vers le haut
......L'objet étant en translation est assimilé à son C.D.I. [18] noté
, son mouvement le long de la ligne de plus grande pente du plan incliné est repéré par son équation horaire scalaire
où
est l'abscisse de
sur l'axe
dont la direction est la ligne de plus grande pente et dont le sens est ascendant, l'origine
de l'axe étant la position du C.D.I. [18] à l'instant de lancement de l'objet avec un vecteur vitesse
, l'instant de lancement étant choisi comme origine des temps.
......Les forces extérieures s'exerçant sur l'objet de C.D.I. [18]
sont
- son poids
vertical descendant, force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur
dans laquelle
est la cote du C.D.I. [18]
repérée sur l'axe
vertical ascendant relativement à l'origine
laquelle a été choisie comme référence de
, cette dernière s'exprimant encore en fonction de
, abscisse du C.D.I. [18]
, en utilisant
soit finalement
avec référence en
ainsi que
- la réaction du plan, non conservative,
avec
, le vecteur unitaire normal au plan de sens opposé à celui de la pénétration de l'objet dans le plan susceptible de se produire
correspondant encore à
étant le vecteur unitaire normal au plan incliné choisi dans le sens des altitudes croissantes], le travail de la réaction se limitant à celui de sa composante tangentielle [19], en effet
[8], [20] car
[9],
étant le vecteur unitaire tangentiel choisi dans le sens du mouvement correspondant encore à
et
, soit
[21] ;
......l'énergie mécanique

du C.D.I.
[18] 
à l'instant

étant définie par

avec

l'énergie cinétique du C.D.I.
[18] 
dans le référentiel d'étude au même instant, se réécrit selon
;
......l'utilisation du théorème de la variation de l'énergie mécanique du C.D.I.
[18] entre sa position initiale

avec une vitesse instantanée
[10] 
et sa position d'arrêt

avec une vitesse instantanée
[10] nulle appliqué à l'objet dans le référentiel terrestre supposé galiléen s'écrit

soit
;
......l'utilisation du théorème du mouvement du C.D.I.
[18] appliqué à l'objet dans le référentiel terrestre galiléen nous conduit à

soit, en projection sur l'axe

,
[22] d'où

et, en utilisant la loi de frottement de Coulomb
[23] avec glissement

où

étant de sens contraire au mouvement de

soit finalement

d'où

soit
;
......finalement l'application du théorème de la variation de l'énergie mécanique nous conduit à

ou, après simplification et regroupement des termes proportionnels à

dans un même membre, l'expression de la distance nécessaire pour que l'objet s'arrête
.
Condition d'inclinaison du plan incliné pour que l'objet ne descende pas après son arrêt[modifier | modifier le wikicode]
......À quelle condition sur
l'objet restera-t-il immobile sur le plan incliné après son mouvement de montée ?
Point glissant sans frottement sur une piste rigide terminée par un demi-cercle vertical[modifier | modifier le wikicode]
Schéma représentant un point M en liaison unilatérale sans frottement dans un champ de pesanteur uniforme sur une piste rigide constituée d'une descente terminée par un demi-cercle vertical, le point M étant lâché sans vitesse d'une hauteur h
......Un point matériel
de masse
, en liaison unilatérale sans frottement sur la piste rigide ci-contre, est lâché sans vitesse initiale depuis la position
située à une hauteur
relativement à la partie la plus basse de la piste.
......La piste est constituée d'une descente de forme quelconque se terminant, sans discontinuité de pente, par un demi-cercle vertical de rayon
et dont l'extrémité supérieure est notée
.
......Le point matériel est soumis au champ de pesanteur
uniforme.
......À quelle condition de hauteur
le point
peut-il atteindre l'extrémité
de la piste ?
......Remarque : On rappelle que la condition nécessaire et suffisante pour que
quitte la piste est que celle-ci n'exerce plus de réaction sur le point
à partir d'une position précédant
, par contraposée la condition nécessaire et suffisante pour que
reste au contact de la piste jusqu'en
est qu'il existe une réaction de la piste sur le point
en toutes les positions possibles jusqu'à
[en effet pouvoir définir, en tout position précédant
, une vitesse instantanée
[24] pour le point
n'est qu'une condition nécessaire mais non suffisante pour que le point puisse atteindre
.
Solution
Schéma représentant un point M en liaison unilatérale sans frottement dans un champ de pesanteur uniforme sur une piste rigide constituée d'une descente terminée par un demi-cercle vertical, le point M étant lâché sans vitesse d'une hauteur h avec représentation des forces appliquées à M et effet de loupe sur la partie circulaire
......Voir le schéma de situation ci-contre avec représentation des forces appliquées à
, l'étude étant faite dans le référentiel terrestre liée à la piste, référentiel supposé galiléen.
......Le bilan des forces appliquées à
est :
- son poids
vertical descendant, force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur
où
est l'altitude du point repérée par rapport à l'origine
de l'axe vertical ascendant
[25], la référence de
étant en
ainsi que
- la réaction de la piste
sur
non conservative, toujours
au vecteur unitaire tangentiel en la position
de la piste
[7] compte-tenu de l'absence de frottement, pouvant s'écrire
avec
vecteur unitaire normal principal en la position
de la piste [6] et
tant que le contact existe
est donc toujours dirigé vers l'intérieur de la piste tant que le contact existe, en accord avec la nature unilatérale de la liaison de
avec la piste), la réaction de la piste ne travaillant pas, en effet
[8] car
[9] et
.
......La liaison étant unilatérale [c'est-à-dire que le point peut se déplacer dans le demi-espace situé au-dessus de la piste], la C.N.S. [26] du maintien de contact de
avec la piste est que la composante normale de la réaction
soit
, la détermination de son expression se faisant par utilisation de la r.f.d.n. [27] appliquée à
et projetée sur
montrant aisément que l'éventuelle rupture de contact ne peut pas se produire sur la partie descendante de la piste
car la projection du poids sur
y étant
et celle de l'accélération
[28], la composante normale de la réaction
est nécessairement
, il suffira de vérifier que la rupture de contact ne peut pas se produire sur la partie circulaire de la piste et, pour déterminer la composante normale de la réaction quand
est sur cette partie circulaire (voir le schéma avec effet de loupe sur la partie circulaire ci-dessus), on le repère par son abscisse angulaire
puis on projette sur
[29] la r.f.d.n. [27] appliquée à
;
......projection de la r.f.d.n. [27] appliquée au point M de la partie circulaire sur le vecteur normal principal de ce dernier :
[28] ou encore, la vitesse instantanée
[10] 
étant liée à la vitesse angulaire

lors d'un mouvement circulaire de rayon

par

ou, le
1er vecteur unitaire tangentiel
[7] s'identifiant au 2
ème vecteur de base polaire c'est-à-dire le vecteur unitaire orthoradial

, par

d'où la réécriture de la projection de la r.f.d.n.
[27] sur
![{\displaystyle \;R-m\,g\,\cos \!\left[\theta (t)\right]=m\,r\,{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3683c5ee2623a52f6d9d6720e9d772ecffb42477)
dont on déduit l'expression de la composante normale de la réaction,
pour
sur la partie circulaire et dans la mesure où le contact n'est pas rompu
[30] ;
......application du théorème de la variation d'énergie mécanique du point M entre la position initiale et celle sur la partie circulaire de la piste à un instant quelconque : l'énergie mécanique du point

à l'instant

dans le référentiel terrestre lié à la piste, référentiel galiléen, étant définie, pour n'importe quelle position de

sur la piste, par

se réécrit, avec

sur la partie circulaire de la piste
[31] ; appliquant le théorème entre
![{\displaystyle \;M_{0}\,\left[z_{M_{0}}=h\;;\;v_{M_{0}}=0\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7700db740f331efe8014460669f676f757f4fbb1)
et
![{\displaystyle \;M\,\left[z_{M}(t)=r\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;;\;v_{M}(t)=r\;{\dot {\theta }}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a21dd221be9e0cfa4702d36b42743174d4723c)
on obtient

ou, ce dernier travail étant nul,
[12] se réécrivant pour

sur la partie circulaire de la piste
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;m\;r^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;r\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace =m\;g\;h\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eb8528bb99f2c3a9056830ff084d659e8693c94)
d'où
;
......expression de la composante normale de la réaction de la portion circulaire de la piste sur M : le report de l'expression de

dans celle de

donne, dans la mesure où le contact n'est pas rompu,
![{\displaystyle \;R(t)=m\left(g\,\cos \!\left[\theta (t)\right]+{\dfrac {2\;g\;h}{r}}-2\;g\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c80c522e5b5e38e057720fb4c8ef0a488b12ec95)
soit encore, après simplification et factorisation,
sous réserve de maintien de contact.
......C.N.S. [26] de maintien de contact de l'objet sur la piste : cette condition étant
[32] ou
[32] ;
......C.N.S. ~~ de maintien de contact de l'objet sur la piste : cette fonction de

étant

, ses valeurs seront

ssi son minimum l'est soit
![{\displaystyle \;\min \limits _{\theta \in \left[0\,,\,\pi \right]}R(\theta )=R(\pi )>0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c0b32eba6a1161fe478536b8b599b47aabace51)
avec
![{\displaystyle \;R(\pi )=m\;g\left[{\dfrac {2\,h}{r}}-2+3\,\cos(\pi )\right]=m\;g\left[{\dfrac {2\,h}{r}}-5\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f7a45ebb45ce5aff1d7dc2e456a0885e332e21a)
soit finalement la condition de hauteur

pour que le point

atteigne l'extrémité

de la piste
.
......Remarque : Avec
, le point
atteignant l'extrémité
de la piste poursuivra son mouvement de deux façons possibles :
......Remarque :
s'il y a un butoir en
, le point
y arrivant avec une vitesse angulaire
ou
correspondant à une vitesse instantanée [10]
, il y a choc, la vitesse instantanée [10] du point
devenant nulle après le choc, on vérifie alors que la composante normale de la réaction de la piste égale à
après le choc [33] n'obéit plus à la condition de maintien de contact sur la piste et le point
tombe en chute libre verticalement ;
......Remarque :
en absence de butoir en
, il y a continuité du vecteur vitesse du point
lors de son arrivée en
, avec ce dernier égal à
s'écrivant encore
avec
le vecteur unitaire de l'axe horizontal tangent à la piste sur sa partie la plus basse et dirigé vers la droite du schéma, le point
poursuivant son mouvement au-delà de la piste en chute livre de vecteur vitesse initiale
avec
selon un mouvement parabolique, sa position de retombée étant sur la piste …
Point mobile sans frottement à l'intérieur d'un tube parabolique[modifier | modifier le wikicode]
Glissement d'un point M en liaison bilatérale sans frottement dans un tube parabolique, avec les conditions initiales de lancement “M en O de vitesse initiale v(0) = v
0”
......Un point matériel
de masse
est mobile sans frottement à l'intérieur d'un tube ayant la forme d'une demi-parabole dont l'équation dans le plan vertical
est
dans laquelle
est une constante homogène à une longueur ;
......les conditions initiales sont : pour
,
,
et la vitesse instantanée [10], [34]
[35], (voir figure ci-contre).
Explicitation de diverses longueurs associées à la demi-parabole en fonction de l'angle d'inclinaison de sa tangente avec l'horizontale[modifier | modifier le wikicode]
......Évaluer, en fonction de l'angle
que le 1er vecteur de base de Frenet [5], [34] fait avec le vecteur unitaire cartésien
et pour une position quelconque de
,
- l'abscisse
,
- la cote
et
- le rayon de courbure
[36] de la trajectoire.
Évaluation de la vitesse instantanée en fonction de la cote z[modifier | modifier le wikicode]
......Pour une cote
, quelle est la vitesse instantanée
[10], [34] de
(à expliciter en fonction de
entre autres) ?
Solution
Glissement d'un point M en liaison bilatérale sans frottement dans un tube parabolique, avec les conditions initiales de lancement “M en O de vitesse initiale v(0) = v
0”, représentation des forces appliquées et base locale de Frenet
[5] associée
[7], [6]
......Travaillant dans le référentiel lié au tube parabolique supposé galiléen, nous utiliserons, comme il nous est demandé dans cette série d'exercices, le théorème de la variation de l'énergie mécanique entre la position initiale
avec une vitesse initiale
et la position à un instant quelconque
avec une vitesse instantanée
[10] ;
......le bilan des forces appliquées appliquées au point
est :
- son poids
qui est une force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur
[37] en prenant pour référence le niveau
et
- la réaction du tube
sur
non conservative,
au vecteur unitaire tangentiel
[7] compte-tenu de l'absence de frottement, ce qui implique qu'elle ne travaille pas, en effet
[8] car
[9] et
;
......l'énergie mécanique
du point
à l'instant
est définie par
avec
l'énergie cinétique du point dans le référentiel d'étude au même instant ;
......le théorème de la variation de l'énergie mécanique du point entre la position initiale

avec une vitesse instantanée
[10]

et une position quelconque

avec une vitesse instantanée
[10] 
s'écrit

soit finalement
[12] d'où l'expression de la vitesse instantanée
[10] 
du point

à un instant

en fonction, entre autres, de la cote

du point
.
......Quelle est la norme de la réaction
exercée par le tube sur
?
......Expliciter son expression en fonction de
.
......Pour quelle valeur de
la réaction
exercée par le tube sur
est-elle toujours nulle ?
Solution
......Pour déterminer la norme de la réaction
exercée par le tube sur
, on projette la r.f.d.n. [27] appliquée au point
sur le vecteur unitaire normal principal
[6] soit, en posant
[38] :
......
[39] dans laquelle l'accélération normale vaut
[28] soit
![{\displaystyle \;{\overline {R}}(t)=m\left\lbrace {\dfrac {v^{2}(t)}{{\mathcal {R}}(t)}}-g\;\cos \!\left[\varphi (t)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e40babab69f5cc01f6a9b4302e8f3c407d6058cf)
ou encore
;
......pour expliciter le résultat en fonction de

on reporte l'expression de

en fonction de

et on obtient
![{\displaystyle \;{\overline {R}}(t)=m\left\lbrace {\dfrac {\left[v_{0}^{2}+2\;g\;z(t)\right]\cos ^{3}\!\left[\varphi (t)\right]}{p}}-g\;\cos \!\left[\varphi (t)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dabd9f3d3f0f5d09f3c98bf75f26234c7fdcc00b)
ou, en factorisant par
![{\displaystyle \;\cos \!\left[\varphi (t)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/969b45e10eecec97ff5200814790e8429cd34569)
,
![{\displaystyle \;{\overline {R}}(t)=m\;\cos \!\left[\varphi (t)\right]\left\lbrace {\dfrac {\left[v_{0}^{2}+2\;g\;z(t)\right]\cos ^{2}\!\left[\varphi (t)\right]}{p}}-g\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7db28d796199d4d483d6b704db6a90ceb1b8d77d)
dans laquelle il faut éliminer
![{\displaystyle \;\cos \!\left[\varphi (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d8c1bcd39a6d13473979396ea0928070265f885)
au profit de

entre autres en utilisant

ou

d'où la réécriture de la composante normale de la réaction du tube
![{\displaystyle \;{\overline {R}}(t)=m\;\cos \!\left[\varphi (t)\right]\left[{\dfrac {v_{0}^{2}+2\;g\;z(t)}{2\;z(t)+p}}-g\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00af3ed570f77db9d4f33e3274c447cc2c3ed3fa)
soit encore
![{\displaystyle \;{\overline {R}}(t)=m\;{\sqrt {\dfrac {p}{2\,z(t)+p}}}\left[{\dfrac {v_{0}^{2}+2\,g\,z(t)}{2\,z(t)+p}}-g\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501124e0a1cf98cd3f6f7f68b973c45794792c49)
ou, en réduisant au même dénominateur,

soit finalement la composante normale de la réaction du tube à l'instant
[40]
.
......La réaction
du tube sur le point
sera toujours nulle pour
, cette valeur correspondant à la vitesse horizontale initiale que
doit avoir pour que sa trajectoire parabolique de chute libre ait pour équation cartésienne
[41].
......Complément : on peut alors discuter du signe de
en comparant
à
valeur critique pour laquelle la réaction est toujours nulle :
- pour
,
est
correspondant au contact de
sur l'intérieur du tube tendant à repousser
vers l'extérieur (la réaction est donc dans le sens contraire de
et,
- pour
,
est
correspondant au contact de
sur l'extérieur du tube tendant à ramener
vers l'intérieur (la réaction est donc dans le sens de
.
Schéma d'un jeu à la fête foraine pour comparer sa force en lançant un chariot a priori en liaison bilatérale sans frottement sur un guide ABCD, le joueur n'exerçant une force sur le chariot que sur la partie AB de façon à ce qu'il atteigne D
......Dans un stand de fête foraine, on peut tester sa « force » en lançant un chariot
, initialement au repos en
, dans le but que ce dernier atteigne en
; pour des raisons de sécurité, le chariot est en liaison bilatérale sur un rail
situé dans un plan vertical,
rectiligne horizontal étant de longueur
avec
au milieu de
et
étant un demi-cercle de rayon
;
......le joueur procède au lancement uniquement sur la partie rectiligne
et doit absolument lâcher le chariot en
[on suppose que la force
que le joueur exerce sur
est horizontale et de norme constante sur tout le trajet
;
......le chariot est de masse
et on le considère comme ponctuel ; l’intensité de la pesanteur terrestre étant constante et notée
, on néglige tout frottement solide entre le chariot et le rail.
Lancement d'un 1er joueur : force minimale Fmin pour que le chariot atteigne D et réaction du guide en D quand F = Fmin[modifier | modifier le wikicode]
......Un premier joueur permet au chariot d’atteindre
:
- quelle force minimale
[42] a-t-il exercée sur
[43] ?
- Quelle est alors la réaction
du rail sur le chariot en
[on précisera sa direction, son sens et sa norme] dans le cas où
?
Solution
Schéma d'un jeu à la fête foraine pour comparer sa force en lançant un chariot (M) a priori en liaison bilatérale sans frottement sur un guide ABCD, le joueur n'exerçant une force sur le chariot que sur la partie AB de façon à ce qu'il atteigne D avec représentation des forces exercées sur (M) et de la base locale de Frenet
[5] associée au chariot
[7], [6]
......Le chariot étant en liaison bilatérale est guidé et la seule condition pour qu'il arrive en
est que sa vitesse ne s'annule pas avant le point
; les forces s'exerçant sur lui sont :
- son poids
, force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur
où
est l'altitude du chariot
, l'origine
de l'axe vertical ascendant
étant au niveau de la partie la plus basse du guide et étant choisie comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur,
- la réaction
du rail
sur le chariot
, non conservative et ne travaillant pas dans la mesure où elle est toujours
au rail en absence de frottement, c'est-à-dire avec
position quelconque du guide,
[8] car
[9] et
ainsi que,
- uniquement sur la partie
du guide, la force de lancement
horizontale, supposée constante et considérée comme non conservative [44] de travail moteur sur
,
[8] plus précisément, avec
dans lequel
est la composante de la force sur l'axe horizontal
orienté de
vers
et
,
;
......l'énergie mécanique
du chariot
à l'instant
[45] étant définie par
avec
l'énergie cinétique du chariot au même instant,
y étant la vitesse instantanée [10] soit encore
avec
l'altitude de
à l'instant
, l'utilisation du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au chariot entre sa position initiale et une position
quelconque au-delà de
atteinte à l'instant
avec une vitesse instantanée
et une altitude
nous donne, suivant la position finale considérée :
- position
sur la partie
,
[46] ou
soit
et
- position
sur la partie
,
[46] ou
d'où l'expression du carré de la vitesse instantanée [10] en
,
, lequel doit être
pour que cette position soit effectivement atteinte ;
......en conclusion le chariot pourra atteindre la position

si la fonction
![{\displaystyle \;f(\theta )={\dfrac {2\;F\;l}{m}}-2\;g\,r\left[1-\cos(\theta )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a29323a51c7361d0acd03399db09b8a0cf9155e0)
est
![{\displaystyle \;\geqslant 0\;\forall \;\theta \in \left[0\,,\,\pi \right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bb4a1e5975eb4553faf333dbf0bc083f5dcf5fb)
et ceci est réalisé dans la mesure où son minimum l'est, or

étant une fonction

de

, la condition se réécrit
![{\displaystyle \;\min \limits _{\theta \,\in \,\left[0\,,\,\pi \right]}f(\theta )=f(\pi )\geqslant 0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e15ca2caefd940fe201e8c62b2c3bc2c0353eaff)
ou

soit finalement l'expression de la force
[42] qu'un joueur doit exercer sur le chariot pour que ce dernier atteigne la position
.
......Dans le cas où
, la vitesse instantanée [10] d’arrivée du chariot en
vaut
;
......Dans le cas où F = Fmin ~~ appliquant la r.f.d.n.
[27] au chariot en la position

on obtient

soit, en projetant sur

noté

sur le schéma,

avec l'accélération normale du chariot en cette position
[28] 
par nullité de la vitesse instantanée
[10] en cette position d'où

c'est-à-dire une réaction du rail qui est centrifuge en

selon
[47] ;
le chariot en
repose que la partie inférieure du rail, si la liaison n'était pas bilatérale le chariot tomberait suivant la verticale.
Lancement d'un 2ème joueur moins fort : position extrême atteinte par le chariot et réaction du guide en cette position[modifier | modifier le wikicode]
......Un deuxième joueur, « moins fort » que le précédent, exerce une force
[42] :
- jusqu'en quelle position
le chariot arrivera-t-il
on précisera
?
- Quelle est alors la réaction
du rail sur le chariot en cette position ?
Solution
......Le 2
ème joueur, « moins fort » que le
1er, exerce une force
[42] laquelle, étant

à

, ne permet pas au chariot d'atteindra la position

, ce qui signifie que la vitesse instantanée
[10] de ce dernier va s'annuler en une position

d’abscisse angulaire

définie par

soit, avec l'expression trouvée à la question précédente par utilisation du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au chariot entre la position initiale et une position quelconque choisie ici en

,
![{\displaystyle \;K_{M}(t_{M_{f}})={\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{M}^{\,2}(t_{M_{f}})={\dfrac {F_{\text{min}}}{2}}\;l-m\;g\;r\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t_{M_{f}})\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36c749261d722597e22f24d73fa8b17dc6319d8c)
soit encore, avec le report de

,
![{\displaystyle m\;g\;r-m\;g\;r\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t_{M_{f}})\right]\right\rbrace =0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7f35933f37c4d31b4db5f5fa2b44b840b768b9a)
ou, après simplification évidente,
![{\displaystyle \;\cos \!\left[\theta (t_{M_{f}})\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e78f6e8ddd83d5346ca37451ea08bcd7d0beedf0)
correspondant à l'abscisse angulaire
c'est-à-dire à la position
(voir schéma de la question précédente).
......Dans le cas où
, la vitesse instantanée [10] d'arrivée du chariot en
vaut
;
......Dans le cas où F = Fmin/2 ~~appliquant la r.f.d.n.
[27] au chariot en la position

on obtient

soit, en projetant sur

noté

sur le schéma de la question précédente,

avec l'accélération normale du chariot en cette position
[28] 
par nullité de la vitesse instantanée
[10] en cette position d'où

c'est-à-dire une réaction du rail qui est nulle en

selon
[48], le chariot
« flotte » dans le guide en
[49],
le mouvement ultérieur de
débute verticalement dans le sens descendant et se poursuit le long du guide.
......Un défaut de sécurité fait qu'à présent le chariot n’est plus en liaison bilatérale mais unilatérale.
Force minimale F'min pour que le chariot atteigne D, vitesse du chariot en cette position et point de retombée de ce dernier sur le rail[modifier | modifier le wikicode]
......Quelle force minimale
[42] un joueur doit-il exercer sur
[43] pour que le chariot atteigne
?
......Quelle est alors la vitesse du chariot quand ce dernier atteint
dans le cas
?
......En quel point du rail le chariot va-t-il retomber ?
Solution
......Pour que le chariot
atteigne la position
quand il est en liaison unilatérale, il faut que la réaction
que le rail exerce sur
soit constamment centripète sur le parcours
;
......supposons donc que le mouvement circulaire de
sur
soit possible (ce qui nécessite la persistance du contact avec le rail), l'expression du carré de la vitesse instantanée [10]
du chariot en une position quelconque
de la partie circulaire
ayant été déterminée par utilisation du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au chariot entre sa position initiale et la position
quelconque dans la 1re question de cet exercice [50], expression restant valable en liaison unilatérale car étant indépendante du sens de la réaction, soit
mais, a priori, il ne suffit plus que la fonction de
ci-contre soit
(tout en restant évidemment nécessaire), car la nouvelle exigence en liaison unilatérale est que la composante normale de la réaction du rail
soit
;
......pour déterminer cette dernière on applique la r.f.d.n.
[27] au chariot quand ce dernier occupe une position

quelconque de la partie circulaire

soit

que l'on projette sur

d'où
![{\displaystyle \;-m\;g\;\cos \!\left[\theta (t_{p})\right]+{\overline {R_{n}(t_{P})}}=m\;a_{M,\,n}(t_{P})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c5c24831b899b5fdfe56ca690f02bb2af444120)
où
[28] est l'accélération normale du chariot, soit
;
......on y reporte alors l'expression de
![{\displaystyle \;v_{M}^{\,2}(t_{P})={\dfrac {2\;F\;l}{m}}-2\;g\,r\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t_{P})\right]\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69da9d65fe97320b88cb2b08b279679a2c556dd0)
, ce qui donne
![{\displaystyle \;{\overline {R_{n}(t_{P})}}=m\left\lbrace {\dfrac {2\;F\;l}{m\;r}}-2\;g\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t_{P})\right]\right\rbrace +g\;\cos \!\left[\theta (t_{p})\right]\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08b005ecd644ade339e4cdab8e00c6ea32f7c484)
soit
sous l'hypothèse de maintien de contact avec le rail ;
......en conclusion le chariot en liaison unilatérale pourra atteindre la position

si la fonction

est
![{\displaystyle \;\geqslant 0\;\forall \;\theta \in \left[0\,,\,\pi \right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bb4a1e5975eb4553faf333dbf0bc083f5dcf5fb)
et ceci est réalisé dans la mesure où son minimum l'est, or

étant une fonction

de

, la condition se réécrit
![{\displaystyle \;\min \limits _{\theta \,\in \,\left[0\,,\,\pi \right]}h(\theta )=h(\pi )\geqslant 0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c18ed9ed66d5efa5879ca2476eb6c87cf9c036a5)
ou

soit finalement l'expression de la force
[42] qu'un joueur doit exercer sur le chariot pour que ce dernier atteigne la position

en étant en liaison unilatérale
minimum égal à
.
......Dans le cas où

, la vitesse instantanée
[10] d’arrivée du chariot en

vaut
![{\displaystyle \;v_{M}(t_{D})={\sqrt {{\dfrac {2\;{F'}_{\text{min}}\;l}{m}}-2\;g\,r\left[1-\cos(\pi )\right]}}={\sqrt {5\;g\;r-4\;g\;r}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9317854c194e7546dc3fa547f25a69873bb5fbb0)
soit finalement
[en la position
le vecteur vitesse est horizontal dirigé dans le sens de
.
......Dans le cas où F = {F'}min ~~À partir de ce point, le chariot a un mouvement de chute libre, son accélération étant
[51] et son vecteur vitesse de début de phase
[52] (il est judicieux de faire le changement d'origine des temps en posant
, le vecteur vitesse de début de phase devenant alors le vecteur vitesse initiale) ;
......Dans le cas où F = {F'}min ~~choisissant un axe horizontal
orienté vers la gauche et un axe vertical
descendant avec
comme origine du repère,
- le projeté de
sur
a un mouvement rectiligne uniforme de vitesse
[53] et
- ...~~ celui de
sur
un mouvement rectiligne uniformément accéléré sans vitesse initiale [54] soit
[53] ;
......Dans le cas où F = {F'}min ~~on en déduit l'équation cartésienne de la trajectoire du chariot en éliminant le temps

entre ces deux lois horaires scalaires de position par

que l'on reporte dans la 2
ème soit

ou

équation cartésienne d'une parabole, le point du rail sur lequel le chariot retombe étant

de coordonnées cartésiennes

et

;
en conclusion
se trouve sur la partie rectiligne du rail
à une distance
en deçà du point
.
......Le deuxième joueur refait alors une tentative en exerçant une force
[42] ; vérifier qu'il n’y a rien de changé pour lui.
Solution
......Le deuxième joueur refait alors une tentative en exerçant la même force
[42] ; avec cette valeur de force, le chariot en liaison bilatérale ayant obtenu une vitesse nulle (caractérisant la fin de mouvement en liaison bilatérale) simultanément à une réaction nulle (laquelle caractérise la fin de tout mouvement en liaison unilatérale), il n'y a donc rien de changé pour le chariot quand il passe d'une liaison bilatérale à une liaison unilatérale.
......Le premier joueur refait lui aussi un lancement en exerçant une force
[42] ; vérifier que le chariot n'atteint pas
et
......déterminer en quelle position
il y a rupture de contact entre le chariot et le rail
on précisera
?
......Quelle est alors le vecteur vitesse du chariot en cette position [on précisera sa direction, son sens et sa norme] ?
Solution
Schéma d'un jeu à la fête foraine pour comparer sa force en lançant un chariot (M) en liaison unilatérale sans frottement sur un guide ABCD, le joueur exerçant la force minimale sur le chariot pendant le trajet AB dans le but que (M) puisse atteindre D dans l'hypothèse où il serait en liaison bilatérale avec repérage de la position de rupture M'
f de liaison unilatérale ainsi que le vecteur vitesse du chariot à cet instant de rupture
......Le premier joueur refait lui aussi une tentative en exerçant une force
[42] laquelle, étant
à la valeur de force minimale
pour que le chariot
, en liaison unilatérale, aille jusqu'à l'extrémité supérieure
de la partie circulaire du rail, ne permet pas à
d'atteindre
;
......avec cette valeur de force, la composante normale de la réaction exercée par le rail sur le chariot en liaison bilatérale avec le guide, avait une valeur positive en

mais négative en
[50] en étant une fonction continue de

(de même expression mathématique que la liaison soit bilatérale ou unilatérale), nous en déduisons, d'après le théorème de Bolzano
[55] (cas particulier du
théorème des valeurs intermédiaires [56]) l'existence d'une position unique de rupture

de liaison unilatérale définie par l'angle

tel que

avec
![{\displaystyle \;{\overline {R_{n}(t_{P})}}={\dfrac {2\;F\;l}{r}}-2\;m\;g+3\;m\;g\;\cos \!\left[\theta (t_{p})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc1aa6ae45df5da6d46eff777c6e4ee3557d7bbc)
sous l'hypothèse de maintien de contact avec le rail
[57] soit, en reportant

, l'équation

ou

donnant finalement la valeur de l'abscisse angulaire

de la position de rupture

de la liaison unilatérale du chariot avec le rail
située entre
et
.
......avec cette valeur de force, La vitesse instantanée
[10] 
du chariot en la position de rupture de liaison unilatérale se déduit de l'expression
![{\displaystyle \;v_{M}^{\,2}(t_{P})={\dfrac {2\;F\;l}{m}}-2\;g\,r\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t_{P})\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e9a6d02de3ceab8fd4e3624b07efc654e51256d)
définie en une position quelconque

de la partie circulaire

, expression déterminée dans la
1re question de cet exercice avec une liaison bilatérale
[50] mais qui reste valable en liaison unilatérale car étant indépendante du sens de la réaction, soit
![{\displaystyle \;v_{M}^{\,2}(t_{{M'}_{f}})={\dfrac {2\;F_{\text{min}}\;l}{m}}-2\;g\,r\left[1-\cos({\theta '}_{f})\right]=4\;g\;r-2\;g\;r\left[1-{\dfrac {-2}{3}}\right]={\dfrac {2}{3}}\;g\,r\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ff63e0218adad69632a93fe72306e64f2c11363)
donnant, pour vitesse instantanée
[10] du chariot en
;
......avec cette valeur de force, le vecteur vitesse du chariot en cette position est tangente à la partie circulaire
en
, de direction faisant l'angle