Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques

Point se déplaçant sans frottement sur un plan horizontal tiré par un fil idéal vers un trou du plan

Dans tout l'exercice nous nous plaçons dans le cadre de la dynamique newtonienne.

Schéma descriptif représentant un point M glissant sans frottement sur un plan horizontal percé en O, le point étant tiré vers le trou par un fil idéal à l'extrémité duquel s'exerce une force telle que la longueur du fil tendu sur le plan horizontal soit une fonction affine du temps

......Sur un plan horizontal, percé d'un trou $\;O$, un point matériel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ se déplace sans frottements en étant lié à un fil idéal passant par le trou.

......On exerce sur l'extrémité de la portion de fil verticale une force de traction $\;{\vec {T}}(t)\;$ de direction verticale et de sens descendant telle que la longueur de la portion horizontale tendue du fil soit $\;\Vert {\overrightarrow {OM}}(t)\Vert =l(t)=a-b\;t\;$ dans laquelle $\;a>0\;$ est la longueur initiale de la portion horizontale tendue du fil et $\;b>0\;$ la vitesse de descente de l'extrémité de la portion de fil verticale sur laquelle on exerce la force de traction $\;{\vec {T}}(t)$ ;

......on suppose que le mouvement du point $\;M\;$ démarre avec une vitesse angulaire initiale $\;\omega _{0}$ $\;{\bigg [}$on utilisera le repérage polaire du point $\;M\;$ dans le plan relativement au vecteur position initiale $\;{\overrightarrow {OM_{0}}}\;$ choisi comme vecteur directeur de l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}$, l'angle polaire de $\;M\;$ étant $\;\theta (t)={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {OM_{0}}}\,,\,{\overrightarrow {OM}}(t)\right\rbrace }}\;$ et son rayon polaire $\;\Vert {\overrightarrow {OM}}(t)\Vert =l(t)$, la vitesse angulaire initiale étant définie selon $\;\omega _{0}={\dot {\theta }}(0){\bigg ]}$.

Détermination du mouvement du point M dans le plan horizontal

Détermination d'une intégrale 1^re du mouvement de M sur le plan horizontal

......Par application de la r.f.d.n. au point matériel $\;M\;$ dans le référentiel lié au plan horizontal supposé galiléen, déterminer une intégrale 1^re de son mouvement et

......en déduire la loi horaire de vitesse angulaire suivie par le point $\;\omega ={\dot {\theta }}(t)\;$ en fonction de $\;\omega _{0}$, $\;a$, $\;b\;$ et $\;t$.

Solution

Schéma descriptif représentant un point M glissant sans frottement sur un plan horizontal percé en O, le point étant tiré vers le trou par un fil idéal à l'extrémité duquel s'exerce une force telle que la longueur du fil tendu sur le plan horizontal soit une fonction affine du temps, ajout des forces intervenant ainsi que des vecteurs de base utilisés

......Le référentiel lié au plan horizontal étant galiléen, le point matériel $\;M\;$ est soumis à

• son poids $\;m\;{\vec {g}}=m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$ avec $\;{\vec {u}}_{z}\;$ vecteur unitaire vertical descendant,
• la réaction du plan sur le point $\;{\big [}\perp \;$ au plan par absence de frottement] $\;{\vec {R}}=-R\;{\vec {u}}_{z}\;$ avec $\;R=\Vert {\vec {R}}\Vert \;$ et
• la force de tension du fil idéal exercée sur le point $\;{\overrightarrow {\mathcal {T}}}\!(t)=-{\mathcal {T}}\!(t)\;{\vec {u}}_{l}\;$ avec $\;{\vec {u}}_{l}\;$ le 1^er vecteur de la base polaire liée à $\;M\;$ et $\;{\mathcal {T}}\!(t)=$ $\Vert {\overrightarrow {\mathcal {T}}}\!(t)\Vert \;$ la tension du fil à l'instant $\;t$ ;

......on applique alors la r.f.d.n. à $\;M\;$ ce qui donne $\;m\;{\vec {g}}+{\overrightarrow {\mathcal {T}}}(t)+{\vec {R}}=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ soit en projetant sur $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ le 2^ème vecteur de la base polaire liée à $\;M\;$ on trouve $\;0=m\;a_{M,\,\theta }(t)\;$ ou encore $\;a_{M,\,\theta }(t)=0$ ;

......utilisant la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale soit ici $\;a_{M,\,\theta }(t)={\dfrac {1}{l(t)}}\;{\dfrac {d\!\left[l^{2}\;{\dot {\theta }}\right]}{dt}}(t)$, on en déduit $\;{\dfrac {d\!\left[l^{2}\;{\dot {\theta }}\right]}{dt}}(t)=0\;$ et en intégrant on obtient l'intégrale 1^re du mouvement cherchée $\;\left[l^{2}\;{\dot {\theta }}\right]\!(t)=cste$, valeur de constante que l'on détermine avec les C.I. $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}l(0)=a\\{\dot {\theta }}(0)=\omega _{0}\end{array}}\right\rbrace \;$ soit $\;cste=a^{2}\;\omega _{0}\;$ d'où la réécriture de l'intégrale 1^re du mouvement de $\;M\;$ selon $\;l^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)=a^{2}\;\omega _{0}$ ; ......reportant l’expression de $\;l(t)=a-b\;t$ [c'est-à-dire la loi horaire de rayon polaire du point] dans l'intégrale 1^re ci-dessus on en déduit la loi horaire de vitesse angulaire du point $\;{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {a^{2}\;\omega _{0}}{\left(a-b\;t\right)^{2}}}$.

 

Détermination de la loi horaire d'angle polaire suivie par le point M sur le plan horizontal

......En intégrant la loi horaire de vitesse angulaire suivie par le point $\;\omega ={\dot {\theta }}(t)$, en déduire celle d'abscisse angulaire $\;\theta =\theta (t)\;$ en fonction de $\;\omega _{0}$, $\;a$, $\;b\;$ et $\;t$.

Solution

......Une nouvelle intégration (simple prise de primitive) donne l’abscisse angulaire horaire $\;\theta (t)={\dfrac {1}{b}}\;{\dfrac {a^{2}\;\omega _{0}}{\left(a-b\;t\right)}}+cste\;$, valeur de constante que l'on détermine par C.I. $\;\theta (0)$ $=0\;$ d’où $\;0={\dfrac {a\;\omega _{0}}{b}}+cste\;$ $\Rightarrow$ $\;cste=-{\dfrac {a\;\omega _{0}}{b}}\;$ et par suite $\;\theta (t)={\dfrac {1}{b}}\;{\dfrac {a^{2}\;\omega _{0}}{\left(a-b\;t\right)}}-{\dfrac {a\;\omega _{0}}{b}}={\dfrac {a\;\omega _{0}}{b}}\left({\dfrac {a}{a-b\;t}}-1\right)={\dfrac {a\;\omega _{0}}{b}}\;{\dfrac {b\;t}{a-b\;t}}\;$ soit finalement la loi horaire d'abscisse angulaire du mouvement du point $\;M\;$ $\;\theta (t)={\dfrac {a\;\omega _{0}\;t}{a-b\;t}}$.

 

Détermination de l'équation polaire de la trajectoire du point sur le plan horizontal

......En éliminant $\;t\;$ entre la loi horaire d'abscisse angulaire $\;\theta =\theta (t)\;$ et celle du rayon polaire $\;l=l(t)\;$ du point en déduire l'équation polaire de la trajectoire du point sur le plan horizontal $\;l=l(\theta )\;$ en fonction de $\;\omega _{0}$, $\;a$, $\;b\;$ et $\;\theta$ ;

......préciser sa nature.

Solution

......En éliminant $\;t\;$ entre la loi horaire d'abscisse angulaire $\;\theta ={\dfrac {a\;\omega _{0}\;t}{a-b\;t}}\;$ et celle du rayon polaire $\;l=a-b\;t\;$ du point, on obtient $\;t={\dfrac {a-l}{b}}\;$ que l'on reporte dans l'autre loi $\;\theta ={\dfrac {a\;\omega _{0}}{l}}\;{\dfrac {a-l}{b}}\;$ soit l'équation polaire de la trajectoire suivante $\;\theta ={\dfrac {a\;\omega _{0}}{b}}\left({\dfrac {a}{l}}-1\right)\;$ ou, de façon à inverser l'équation, $\;{\dfrac {a}{l}}=1+{\dfrac {b}{a\;\omega _{0}}}\;\theta \;$ soit finalement la réécriture de l'équation polaire de la trajectoire selon $\;l={\dfrac {a}{1+{\dfrac {b\;\theta }{a\;\omega _{0}}}}}$, équation d'une spirale hyperbolique .

 

Détermination, par deux façons différentes, du travail de la force de traction exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre de la portion verticale du fil idéal en fonction de la longueur l₁ de la portion horizontale du fil

1^re méthode par calcul direct

......Déterminer la force de tension du fil $\;{\overrightarrow {\mathcal {T}}}\!(t)\;$ s'exerçant sur le point $\;M\;$ en lui appliquant la r.f.d.n. en fonction de $\;m$, $\;\omega _{0}$, $\;a$, $\;l(t)\;$ et le 1^er vecteur de base polaire $\;{\vec {u}}_{l}\;$ lié au point puis

......en déduire la force de traction $\;{\vec {T}}(t)\;$ exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre de la portion verticale du fil idéal [on orientera cette portion par un vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{z}\;$ vertical descendant ] en poursuivant par

......en déduire l'évaluation de son travail élémentaire $\;\delta W({\vec {T}})\;$ en fonction de $\;m$, $\;\omega _{0}$, $\;a$, $\;l\;$ et le déplacement élémentaire de l'extrémité libre $\;N\;$ de la portion verticale du fil $\;dz_{N}=-dl>0\;$ et enfin

......en déduire l'expression de son travail entre la position initiale et celle correspondant à une longueur $\;l_{1}\;$ de portion horizontale du fil en fonction de $\;m$, $\;\omega _{0}$, $\;a\;$ et $\;l_{1}$.

Solution

......Par projection de la r.f.d.n. appliquée à $\;M\;$ sur le 1^er vecteur de base polaire $\;{\vec {u}}_{l}\;$ lié au point, on obtient $\;-{\mathcal {T}}\!(t)=m\;a_{M,\,l}(t)\;$ avec $\;a_{M,\,l}(t)={\cancel {{\ddot {l}}(t)}}\;-l(t)\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$ soit, $\;{\mathcal {T}}\!(t)=m\;l(t)\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)=m\left(a-b\;t\right){\dfrac {a^{4}\;\omega _{0}^{2}}{\left(a-b\;t\right)^{4}}}=m\;{\dfrac {a^{4}\;\omega _{0}^{2}}{\left(a-b\;t\right)^{3}}}\;$ d'où l'expression de la force de tension du fil s'exerçant sur le point $\;M\;$ en fonction de $\;l(t)\;$ entre autres $\;{\overrightarrow {\mathcal {T}}}\!(t)=-m\;{\dfrac {a^{4}\;\omega _{0}^{2}}{\left[l(t)\right]^{3}}}\;{\vec {u}}_{l}$ ; ......sachant que la tension d'un fil idéal est uniforme le long du fil, on en déduit que la force de tension que l'extrémité libre $\;N\;$ de la portion verticale du fil exerce sur l'opérateur est également de norme égale à la tension du fil $\;{\mathcal {T}}\;$ et par principe des actions réciproques la force de traction $\;{\vec {T}}(t)\;$ exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre $\;N\;$ de la portion verticale du fil s'écrit $\;{\vec {T}}(t)={\mathcal {T}}\!(t)\;{\vec {u}}_{z}=m\;{\dfrac {a^{4}\;\omega _{0}^{2}}{\left[l(t)\right]^{3}}}\;{\vec {u}}_{z}\;$ dans laquelle le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{z}\;$ est vertical descendant ; ......$\;\succ \;$ son travail élémentaire $\;\delta W({\vec {T}})\;$ étant défini par $\;\delta W({\vec {T}})={\vec {T}}(t)\cdot {\overrightarrow {dN}}\;$ avec $\;N\;$ l'extrémité libre de la portion verticale du fil à l'instant $\;t\;$ et $\;{\overrightarrow {dN}}\;$ son vecteur déplacement élémentaire égal à $\;{\overrightarrow {dN}}=dz_{N}\;{\vec {u}}_{z}=-dl\;{\vec {u}}_{z}\;$ d'où le travail élémentaire de la force de traction $\;{\vec {T}}(t)\;$ exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre $\;N\;$ de la portion verticale du fil $\;\delta W({\vec {T}})=-m\;{\dfrac {a^{4}\;\omega _{0}^{2}}{l^{3}}}\;dl$ ; ......$\;\succ \;$ on en déduit le travail de la force de traction $\;{\vec {T}}(t)\;$ exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre $\;N\;$ de la portion verticale du fil entre l'instant initial et l'instant $\;t_{1}\;$ correspondant à une portion horizontale de fil tendu de longueur $\;l_{1}\;$ soit $\;W_{l(0)\,\rightarrow \,l(t_{1})}({\vec {T}})=\displaystyle \int _{a}^{l_{1}}m\;a^{4}\;\omega _{0}^{2}\;{\dfrac {-dl}{l^{3}}}=m\;a^{4}\;\omega _{0}^{2}\left[{\dfrac {1}{2\;l^{2}}}\right]_{a}^{l_{1}}\;$ soit $\;W_{l(0)\,\rightarrow \,l(t_{1})}({\vec {T}})={\dfrac {m\;a^{4}\;\omega _{0}^{2}}{2}}\left({\dfrac {1}{l_{1}^{2}}}-{\dfrac {1}{a^{2}}}\right)\;$ et finalement le travail de la force de traction $\;{\vec {T}}(t)\;$ exercée par l'opérateur entre l'instant initial et l'instant $\;t_{1}\;$ tel que $\;l(t_{1})=l_{1}\;$ vaut $\;W_{l(0)\,\rightarrow \,l(t_{1})}({\vec {T}})={\dfrac {m\;a^{2}\;\omega _{0}^{2}}{2}}\left({\dfrac {a^{2}}{l_{1}^{2}}}-1\right)>0$.

 

2^ème méthode par utilisation du théorème de l'énergie cinétique

......Comme dans la méthode précédente on commence par déterminer la force de tension du fil $\;{\overrightarrow {\mathcal {T}}}\!(t)\;$ s'exerçant sur le point $\;M\;$ en lui appliquant la r.f.d.n. en fonction de $\;m$, $\;\omega _{0}$, $\;a$, $\;l(t)\;$ et le 1^er vecteur de base polaire $\;{\vec {u}}_{l}\;$ lié au point puis

......Comme dans la méthode précédente on en déduit la force de traction $\;{\vec {T}}(t)\;$ exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre de la portion verticale du fil idéal [en orientant cette portion par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{z}\;$ vertical descendant ] en remarquant que

......Comme dans la méthode précédente les travaux (élémentaires ou non) de la force de tension du fil $\;{\overrightarrow {\mathcal {T}}}\!(t)\;$ s'exerçant sur le point $\;M\;$ et de la force de traction $\;{\vec {T}}(t)\;$ exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre de la portion verticale du fil idéal étant égaux, le travail de cette dernière force peut être calculé par l'intermédiaire de la 1^re force ;

......déterminer le travail de la force de tension du fil $\;{\overrightarrow {\mathcal {T}}}\!(t)\;$ s'exerçant sur le point $\;M\;$ entre la position initiale et celle correspondant à une longueur $\;l_{1}\;$ de portion horizontale du fil par application du théorème de l'énergie cinétique au point $\;M\;$ entre ces états extrêmes et

......vérifier, compte-tenu de l'identification de ce travail avec celui de la force de traction $\;{\vec {T}}(t)\;$ exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre de la portion verticale du fil idéal, que l'on obtient le même résultat qu'avec la 1^re méthode.

Solution

......L'expression de la force de tension du fil s'exerçant sur le point $\;M\;$ en fonction de $\;l(t)\;$ entre autres a été déterminée dans le paragraphe précédent et a donné $\;{\overrightarrow {\mathcal {T}}}\!(t)=-m\;{\dfrac {a^{4}\;\omega _{0}^{2}}{\left[l(t)\right]^{3}}}\;{\vec {u}}_{l}$ ; ......de même l'expression de la force de traction $\;{\vec {T}}(t)\;$ exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre $\;N\;$ de la portion verticale du fil idéal également déterminée dans le paragraphe précédent a permis de trouver $\;{\vec {T}}(t)={\mathcal {T}}\!(t)\;{\vec {u}}_{z}=m\;{\dfrac {a^{4}\;\omega _{0}^{2}}{\left[l(t)\right]^{3}}}\;{\vec {u}}_{z}\;$ dans laquelle le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{z}\;$ est vertical descendant ;

......les travaux (élémentaires ou non) de la force de tension du fil $\;{\overrightarrow {\mathcal {T}}}\!(t)\;$ s'exerçant sur le point $\;M\;$ et de la force de traction $\;{\vec {T}}(t)\;$ exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre $\;N\;$ de la portion verticale du fil idéal étant égaux, pour déterminer le travail de cette dernière force il suffit d'évaluer celui de la 1^re force, la justification de l'égalité des travaux résultant de $\;W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\vec {T}})=\displaystyle \int _{t=0}^{t=t_{1}}{\vec {T}}\cdot {\overrightarrow {dN}}=\displaystyle \int _{t=0}^{t=t_{1}}m\;{\dfrac {a^{4}\;\omega _{0}^{2}}{\left[l(t)\right]^{3}}}\;dz_{N}=\displaystyle \int _{t=0}^{t=t_{1}}m\;{\dfrac {a^{4}\;\omega _{0}^{2}}{\left[l(t)\right]^{3}}}\;(-dl)\;$ $=\displaystyle \int _{t=0}^{t=t_{1}}-m\;{\dfrac {a^{4}\;\omega _{0}^{2}}{\left[l(t)\right]^{3}}}\;dl=\displaystyle \int _{t=0}^{t=t_{1}}{\overrightarrow {\mathcal {T}}}\cdot {\overrightarrow {dM}}=W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\overrightarrow {\mathcal {T}}})$ ;

......l'évaluation de $\;W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\overrightarrow {\mathcal {T}}})\;$ peut s'obtenir par application du théorème de l'énergie cinétique au point $\;M\;$ entre l'état initial [de vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{\!M}(0)=$ $-b\;{\vec {u}}_{l}+a\;\omega _{0}\;{\vec {u}}_{\theta }\;$] et l'état final où la longueur de portion horizontale du fil vaut $\;l_{1}$ $\;{\bigg [}$de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\!M}(t_{1})=-b\;{\vec {u}}_{l}+l_{1}\;{\dot {\theta }}(t_{1})\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ $=-b\;{\vec {u}}_{l}+{\dfrac {a^{2}\;\omega _{0}}{l_{1}}}\;{\vec {u}}_{\theta }\;$${\bigg ]}$, cela donne, en remarquant que seule $\;{\overrightarrow {\mathcal {T}}}\!(t)\;$ travaille car le poids $\;m\;{\vec {g}}\;$ de $\;M\;$ et la réaction $\;{\vec {R}}\;$ du plan sur $\;M\;$ se déplaçant perpendiculairement à leur support, leur travail respectif est nul, $\;W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\overrightarrow {\mathcal {T}}})\;{\cancel {+\;W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}(m\;{\vec {g}})}}{\cancel {+\;W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\vec {R}})}}\;={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t_{1})-{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(0)={\dfrac {1}{2}}\;m\left[\left(-b\right)^{2}+\left({\dfrac {a^{2}\;\omega _{0}}{l_{1}}}\right)^{2}\right]-{\dfrac {1}{2}}\;m\left[\left(-b\right)^{2}+\left(a\;\omega _{0}\right)^{2}\right]\;$ soit, après simplification évidente, l'expression du travail de la force de tension du fil $\;{\overrightarrow {\mathcal {T}}}\!(t)\;$ s'exerçant sur le point $\;M\;$ entre les positions initiale et finale correspondant à $\;l(t_{1})=l_{1}\;$ $\;W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\overrightarrow {\mathcal {T}}})={\dfrac {m\;a^{2}\;\omega _{0}^{2}}{2}}\left({\dfrac {a^{2}}{l_{1}^{2}}}-1\right)>0$ ; ......finalement, compte-tenu de $\;W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\vec {T}})=W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\overrightarrow {\mathcal {T}}})\;$ on en déduit l'expression de la force de traction $\;{\vec {T}}(t)\;$ exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre $\;N\;$ de la portion verticale du fil idéal entre les positions initiale et finale correspondant à $\;l(t_{1})=l_{1}\;$ $\;W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\vec {T}})={\dfrac {m\;a^{2}\;\omega _{0}^{2}}{2}}\left({\dfrac {a^{2}}{l_{1}^{2}}}-1\right)>0\;$
c'est-à-dire la même expression que celle trouvée par la 1^re méthode de détermination directe.

 

Glissement sans (puis avec) frottements solides d'un point matériel lancé à partir du « sommet » d'une boule

Dans tout l'exercice nous nous plaçons dans le cadre de la dynamique newtonienne.

......Un point matériel $\;M$, de masse $\;m$, soumis au champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ supposé uniforme, glisse sur la surface d'une boule de rayon $\;a\;$ et de centre $\;O$ ;

......nous considérons d'abord l'absence de frottement solide entre le point et la boule puis,

......nous considérons dans un 2^nd temps l'existence d'un frottement solide de cœfficients de frottements dynamique et statique communs $\;f$ ;

......le point $\;M\;$ est lancé avec une vitesse initiale horizontale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ d'une position $\;M_{0}\;$ située au « sommet » de la boule et

......le point ~M~ estrepéré relativement au repère cartésien $\;\left\lbrace M_{0}\,,\,{\overrightarrow {M_{0}x}}\,,\,{\overrightarrow {M_{0}y}}\,,\,{\overrightarrow {M_{0}z}}\right\rbrace \;$ associé au référentiel d'étude supposé galiléen dans lequel la boule est fixe, les axes étant respectivement

• $\;{\overrightarrow {M_{0}z}}\;$ vertical descendant orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{z}$,
• $\;{\overrightarrow {M_{0}x}}\;$ horizontal, support du vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ et orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{x}\;$ choisi dans le sens de $\;{\vec {V}}_{0}\;$ ainsi que
• $\;{\overrightarrow {M_{0}y}}\;$ horizontal, $\;\perp \;$ au plan vertical de lancement et orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{y}\;$ de sens tel que la base cartésienne $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ soit directe ;

......la direction de la normale à la boule au point $\;M\;$ est repérée par rapport à celle en la position $\;M_{0}\;$ par l'angle $\;{\widehat {M_{0}OM}}=\theta \in \left[0\,,\,\pi \right]$.

Établissement de la nature plane du mouvement du point en absence de frottement solide et maintien de contact

......Montrer que le mouvement du point $\;M\;$ en liaison unilatérale sur la boule est plan tant que son contact avec cette dernière est maintenu $\;{\bigg [}$pour cela il est judicieux de repérer le point $\;M\;$ sur la boule par ses coordonnées cylindro-polaires d'« axe $\;{\overrightarrow {M_{0}z}}\;$» avec pour « méridien de référence $\;xM_{0}z\;$», les coordonnées cylindro-polaires de $\;M\;$ ainsi que la base cylindro-polaire liée à $\;M\;$ étant

• d'une part $\;\left\lbrace \rho =a\;\sin(\theta )\,,\,\varphi \,,\,z=a\;\cos(\theta )\right\rbrace \;$ et
• d'autre part $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }=\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{x}+\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{\varphi }=\cos \!\left(\varphi +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{x}+\sin \!\left(\varphi +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ choisie directe,

......dans le but d'établir, par application de la r.f.d.n. à $\;M\;$ tant que ce dernier reste en contact avec la boule, que le demi-plan méridien le contenant à l'instant $\;t\;$ est le méridien de référence à savoir $\;\varphi (t)=0\;\ldots {\bigg ]}$ et par suite

......Montrer que la trajectoire de $\;M$, tant que son contact avec la boule est maintenu, est circulaire de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a$.

Solution

Schéma d'un point M lancé horizontalement du sommet M₀ d'une boule de centre O, avec représentation des forces appliquées à M à l'instant t et utilisation de la base cylindro-polaire liée à M d'axe (M₀O) et de méridien de référence (xM₀z) contenant le vecteur vitesse initiale du point pour établir la nature plane de son mouvement sur la boule en cas de maintien du contact entre les deux

......Voir ci-contre la base locale cylindro-polaire $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }=\cos(\varphi )\;{\vec {u}}_{x}+\sin(\varphi )\;{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{\varphi }=\cos \!\left(\varphi +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{x}+\sin \!\left(\varphi +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ d’axe $\;{\overrightarrow {M_{0}z}}\;$ liée à $\;M\;$ de coordonnées $\;\left\lbrace \rho =a\;\sin(\theta )\,,\,\varphi \,,\,z=a\;\cos(\theta )\right\rbrace \;$ avec $\;\theta ={\widehat {M_{0}OM}}\;$ (non représenté ci-contre) ;

......les seules forces s'exerçant sur le point $\;M\;$ quand il est au contact de la boule à l'instant $\;t\;$ sont :

• son poids $\;m\;{\vec {g}}\;$ vertical descendant soit $\;m\;{\vec {g}}=m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$ et
• la réaction de la boule $\;{\vec {R}}(t)\;$ normale à celle-ci en absence de frottements solides et de sens opposé à la pénétration possible du point $\;M\;$ soit $\;{\vec {R}}(t)=R_{x\,y}(t)\;{\vec {u}}_{\rho }+R_{z}(t)\;{\vec {u}}_{z}=R(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\vec {u}}_{\rho }-R(t)\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\;{\vec {u}}_{z}\;$ dans lequel $\;R(t)=\Vert {\vec {R}}(t)\Vert$ ;

......appliquant la r.f.d.n. à $\;M\;$ dans le référentiel terrestre lié à la boule, référentiel supposé galiléen $\;{\mathcal {R}}$, quand le contact entre le point et la boule est maintenu et la projetant sur $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ nous obtenons $\;0+0=m\;a_{\varphi }(t)\;$ d'où $\;a_{\varphi }(t)=0$ ;

......or, dans la mesure où $\;\rho (t)\;$ est $\;\neq 0\;$, l'accélération orthoradiale s'écrit aussi $\;a_{\varphi }(t)={\dfrac {1}{\rho (t)}}\;{\dfrac {d\left[\rho ^{2}\;{\dot {\varphi }}\right]}{dt}}(t)\;$ (c'est-à-dire sa forme semi-intégrée ) d’où $\;a_{\varphi }(t)={\dfrac {1}{\rho (t)}}\;{\dfrac {d\left[\rho ^{2}\;{\dot {\varphi }}\right]}{dt}}(t)=0\;$ s'intégrant en $\;\rho ^{2}(t)\;{\dot {\varphi }}(t)=cste\;$ laquelle se détermine par C.I. $\;V_{\varphi }(0^{+})=0\;$ avec $\;V_{\varphi }(t)=\rho (t)\;{\dot {\varphi }}(t)\;$ d'où $\;V_{\varphi }(0^{+})=\rho (0^{+})\;{\dot {\varphi }}(0^{+})=0\;$ $\Rightarrow$ $\;\rho ^{2}(0^{+})\;{\dot {\varphi }}(0^{+})=\rho (0^{+})\left[\rho (0^{+})\;{\dot {\varphi }}(0^{+})\right]$ $=0=cste\;$ et par suite $\;\rho ^{2}(t)\;{\dot {\varphi }}(t)=0\;\;\forall \;t>0\;$ dont on déduit, pour $\;\rho (t)\neq 0\;$, $\;{\dot {\varphi }}(t)=0\;\;\forall \;t>0$ ;

......une 2^ème intégration donne $\;\varphi (t)=cste'\;\;\forall \;t>0\;$ ou, le vecteur position étant toujours continu , $\;\varphi (t)=cste'\;\;\forall \;t\geqslant 0$, la valeur de $\;cste'\;$ se déterminant par C.I. $\;\varphi (0)=0\;$ d'où $\;cste'=0\;$ et par suite $\;\varphi (t)=0\;\;\forall \;t\geqslant 0\;$ correspondant au fait que le mouvement de $\;M\;$ se fait, dans la mesure où le contact entre le point et la boule est maintenu, dans le plan $\;xM_{0}z\;$ ou,
la trajectoire de $\;M\;$ étant l’intersection de ce plan et de la surface de la boule,
le mouvement de $\;M\;$ est circulaire de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a\;$ tant que le contact entre le point et la boule est maintenu.

 

Établissement de l'existence d'une position de rupture de contact du point avec la boule en absence de frottement solide et détermination de l'angle θ₁ repérant cette position en fonction de la vitesse initiale de lancement du point

......Déterminer, tant que le point $\;M\;$ reste en contact avec la boule, par application successive au point $\;M$, de la r.f.d.n. puis du théorème de l'énergie cinétique entre la position initiale et celle à l'instant $\;t$, l'expression de la réaction $\;{\vec {R}}\;$ de la boule sur le point $\;M$ ;

......en déduire alors l'existence d'une position de rupture de contact $\;M_{1}\;$ du point $\;M\;$ avec la boule ainsi que

......en déduire alors la valeur de l'angle repérant cette position $\;\theta _{1}={\widehat {M_{0}OM_{1}}}\;$ en fonction de $\;v_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert$.

......Pour quelles valeurs de $\;v_{0}\;$ le contact du point $\;M\;$ avec la boule disparaît-il dès la position initiale $\;M_{0}\;$ ?

Solution

Schéma d'un point M lancé horizontalement du sommet M₀ d'une boule de centre O, avec représentation des forces appliquées à M à l'instant t et utilisation de la base de Frenet liée à M pour déterminer la position de rupture de contact entre le point et la boule

......On travaille par la suite en repérage de Frenet (voir schéma ci-contre) [on aurait pu aussi travailler en polaire d'axe polaire $\;{\overrightarrow {M_{0}z}}\;$ avec $\;{\vec {u}}_{r}=-{\vec {n}}\;$ et $\;{\vec {u}}_{\theta }={\vec {\tau }}{\big ]}\;$ et, dans le but de déterminer la norme de la réaction $\;R(t)=\Vert {\vec {R}}(t)\Vert \;$ de la boule sur $\;M\;$ on projette la r.f.d.n. sur $\;{\vec {n}}\;$ soit $\;-R(t)+m\;g\;cos\!\left[\theta (t)\right]=m\;a_{n,\,M}(t)\;$ dans laquelle $\;a_{n,\,M}(t)\;$ est l'accélération normale du point $\;M\;$ égale à $\;a_{n,\,M}(t)={\dfrac {v_{M}^{2}(t)}{a}}\;$ où $\;v_{M}(t)\;$ est la vitesse instantanée du point dans son mouvement circulaire de rayon $\;a\;$ d'où finalement $\;R(t)=m\left\lbrace g\;cos\!\left[\theta (t)\right]-{\dfrac {v_{M}^{2}(t)}{a}}\right\rbrace \;$,
le point $\;M\;$ restant sur la surface de la boule tant que $\;R(t)\;$ est$\;>0$ ; ......on détermine le carré de la vitesse instantanée $\;v_{M}^{2}(t)\;$ du point $\;M\;$ à l'instant $\;t$, dans l’hypothèse de contact maintenu, par théorème de l’énergie cinétique entre $\;M_{0}\;$ et $\;M\;$ à l'instant $\;t$ : $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{M}^{2}(t)-{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{0}^{2}=W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}\!\left[m\;{\vec {g}}\right]\;{\cancel {+W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]}}$, le déplacement de $\;M\;$ étant toujours $\;\perp \;$ à $\;{\vec {R}}(t)$, avec le travail du poids $\;W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}\!\left[m\;{\vec {g}}\right]=\displaystyle \int _{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}m\;g\;{\vec {u}}_{z}\cdot {\overrightarrow {dM'}}=$ $\displaystyle \int _{\theta '\,=\,0}^{\theta '\,=\,\theta (t)}m\;g\;{\vec {u}}_{z}\cdot \left[a\;d\theta '\;{\vec {\tau }}'\right]\;$ ou, avec $\;{\vec {u}}_{z}=\sin(\theta )\;{\vec {\tau }}+\cos(\theta )\;{\vec {n}}$, $\;W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}\!\left[m\;{\vec {g}}\right]=\displaystyle \int _{\theta '\,=\,0}^{\theta '\,=\,\theta (t)}m\;g\;\sin(\theta ')\;a\;d\theta '=$ $\left[-m\;g\;a\;\cos(\theta ')\right]_{0}^{\theta (t)}\;$ soit enfin $\;W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}\!\left[m\;{\vec {g}}\right]=m\;g\;a\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$ et, par report dans l'application du théorème de l'énergie cinétique, $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{M}^{2}(t)-{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{0}^{2}=$ $m\;g\;a\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$ donnant, après simplification évidente, $\;v_{M}^{2}(t)=v_{0}^{2}+2\;g\;a\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$ ; ......reportant cette expression dans celle de $\;R(t)\;$ précédemment établie, on obtient $\;R(t)=m\left\lbrace g\;cos\!\left[\theta (t)\right]-{\dfrac {v_{0}^{2}+2\;g\;a\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace }{a}}\right\rbrace \;$ soit encore, après simplification, $\;R(t)=m\left\lbrace 3\;g\;cos\!\left[\theta (t)\right]-2\;g-{\dfrac {v_{0}^{2}}{a}}\right\rbrace \;$ avec $\;{\vec {R}}(t)=-R(t)\;{\vec {n}}$.

......Le contact du point $\;M\;$ sur la boule en la position initiale $\;M_{0}\;$ se traduisant par $\;R(\theta =0)>0\;$ se réécrit $\;R(\theta =0)=m\left[3\;g\;cos(0)-2\;g-{\dfrac {v_{0}^{2}}{a}}\right]=$ $m\left[g-{\dfrac {v_{0}^{2}}{a}}\right]>0\;$ ce qui nécessite $\;v_{0}<{\sqrt {g\;a}}$ ;

......aussi, dans la mesure où nous avons supposé le contact entre $\;M\;$ et la boule maintenu à l'instant $\;t$, la condition initiale de vitesse doit satisfaire $\;v_{0}<{\sqrt {g\;a}}\;$ ce qui implique que $\;R(\theta )\;$ est $\;>0\;$ pour $\;\theta =0\;$ et, comme $\;R(\theta )=m\left[3\;g\;cos(\theta )-2\;g-{\dfrac {v_{0}^{2}}{a}}\right]\;$ est une fonction strictement $\;\searrow \;$ de $\;\theta \;$ dont la valeur minimale sur l'intervalle de variation de $\;\theta \;$ à savoir $\;\left[0\,,\,\pi \right]\;$ est $\;R(\pi )=m\left[3\;g\;cos(\pi )-2\;g-{\dfrac {v_{0}^{2}}{a}}\right]=-m\left[5\;g+{\dfrac {v_{0}^{2}}{a}}\right]<0$, nous en déduisons, d'après le théorème de Bolzano (cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires ) l'existence d'une position unique de rupture $\;M_{1}\;$ définie par l'angle $\;\theta _{1}={\widehat {M_{0}OM_{1}}}\;$ tel que $\;R(\theta _{1})=0\;$ soit $\;m\left[3\;g\;cos(\theta _{1})-2\;g-{\dfrac {v_{0}^{2}}{a}}\right]=0\;$ dont nous déduisons la valeur de l'angle de rupture $\;\theta _{1}=\arccos \!\left[{\dfrac {2}{3}}+{\dfrac {v_{0}^{2}}{3\;g\;a}}\right]\leqslant \arccos \left({\dfrac {2}{3}}\right)\simeq 48,2\;{\text{°}}\;$.

......Le contact de $\;M\;$ avec la boule disparaît dès $\;M_{0}\;$ si $\;v_{0}\geqslant {\sqrt {g\;a}}\;$ .

 

Étude du mouvement ultérieur du point après sa rupture de contact avec la boule en absence de frottement solide entre les deux

......Nous plaçant dans les conditions de vitesse initiale où le contact du point $\;M\;$ avec la boule est rompu pour $\;\theta _{1}(v_{0})\neq 0$, le point $\;M\;$ décolle de la boule en la position $\;M_{1}\;$ avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{1}$ ;

......préciser la nature du mouvement ultérieur du point [il est judicieux de changer d'origine des temps en prenant pour celle-ci l'instant de décollage de $\;M\;$ de la boule], en particulier expliciter

• la norme $\;v_{1}\;$ et l'angle d'inclinaison $\;\alpha _{1}\;$ relativement à l'horizontale du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{1}$,
• les coordonnées cartésiennes $\;\left(x_{1}\,,\,y_{1}\,,\,z_{1}\right)\;$ de $\;M_{1}$,
• les lois horaires cartésiennes de vitesse et de position du mouvement ultérieur de $\;M\;$ et
• l'équation permettant de calculer la portée $\;x_{B}\;$ de l'impact $\;B\;$ du point $\;M\;$ avec le sol horizontal sur lequel repose la boule [on donnera cette équation sans chercher à la résoudre mais on précisera quelle solution choisir dans la mesure où il y en aurait plusieurs].

Solution

Schéma d'un point M lancé horizontalement du sommet M₀ d'une boule de centre O, avec rupture de contact en M₁ repéré par θ₁ et tracé de la trajectoire de chute libre après rupture

......Si $\;v_{0}<{\sqrt {g\;a}}$, le point $\;M\;$ quitte la surface de la boule en $\;M_{l}\left\lbrace x_{1}=a\;\sin(\theta _{1})\;,\;y_{1}=0\;,\;z_{1}=a\left[1-\cos(\theta _{1})\right]\right\rbrace \;$ dans lequel $\;\theta _{1}$ $=\arccos \!\left[{\dfrac {2}{3}}+{\dfrac {v_{0}^{2}}{3\;g\;a}}\right]\;$ et une vitesse de norme égale à $\;v_{1}={\sqrt {v_{0}^{2}+2\;g\;a\left[1-\cos(\theta _{1})\right]}}=$ ${\sqrt {v_{0}^{2}+2\;g\;a\left[1-{\dfrac {2}{3}}-{\dfrac {v_{0}^{2}}{3\;g\;a}}\right]}}\;$ soit $\;v_{1}={\sqrt {\dfrac {v_{0}^{2}+2\;g\;a}{3}}}\;$ et de direction inclinée de $\;\alpha _{1}=\theta _{1}\;$ vers le bas sur l’horizontale $\;{\Bigg [}$voir schéma ci-contre avec $\;v_{0}={\sqrt {\dfrac {g\;a}{2}}}\;$ conduisant à $\;\alpha _{1}=\theta _{1}=\arccos \left({\dfrac {2}{3}}+{\dfrac {1}{6}}\right)=\arccos \left({\dfrac {5}{6}}\right)\simeq 33,6\;{\text{°}}\;$ et à $\;v_{1}=$ ${\sqrt {\dfrac {0,5\;g\;a+2\;g\;a}{3}}}={\sqrt {\dfrac {5\;g\;a}{6}}}{\Bigg ]}$ ;

......le mouvement ultérieur de $\;M\;$ étant un mouvement de chute libre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme, on en déduit ses lois horaires de vitesse et de position en choisissant comme nouvelle origine des temps l'instant $\;t_{1}\;$ où $\;M\;$ décolle de la surface de la boule c'est-à-dire $\;t'=t-t_{1}$ d'où :

• lois horaires de vitesse ${\vec {V}}_{M}(t')\left\lbrace V_{x}(t')=v_{1}\;\cos(\alpha _{1})\;,\;V_{y}(t')=0\;,\;V_{z}(t')=g\;t'+v_{1}\;\sin(\alpha _{1})\right\rbrace \;$ et
• lois horaires de position ${\overrightarrow {M_{1}M}}(t')\left\lbrace x(t')=v_{1}\;\cos(\alpha _{1})\;t'+x_{1},\;y(t')=0\;,\;z(t')={\dfrac {1}{2}}\;g\;{t'}^{2}+v_{1}\;\sin(\alpha _{1})\;t'+z_{1}\right\rbrace$ lesquelles sont aussi les équations paramétriques cartésiennes de la trajectoire de $\;M\;$ correspondant à la portion de parabole du demi-plan méridien tangent au demi-cercle méridien de la surface de la boule en $\;M_{1}$.

Schéma d'un point M lâché sans vitesse initiale du sommet M₀ d'une boule de centre O, avec rupture de contact en M₁ repéré par θ₁ et tracé de la trajectoire de chute libre après rupture

Schéma d'un point M lancé horizontalement du sommet M₀ d'une boule de centre O, avec une vitesse initiale minimale pour que la rupture de contact se fasse dès le sommet M₀ et tracé de la trajectoire de chute libre après rupture

......Le point $\;M\;$ heurtant le sol horizontal sur lequel repose la boule en la position $\;B\;$ d'abscisse $\;x_{B}\;$, solution de $\;z(x)=2\;a\;$ dans laquelle $\;z=z(x)\;$ est l'équation cartésienne de la trajectoire de $\;M\;$ dans le demi-plan méridien, équation obtenue en éliminant $\;t'\;$ entre $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x(t')=v_{1}\;\cos(\alpha _{1})\;t'+x_{1}\\z(t')={\dfrac {1}{2}}\;g\;{t'}^{2}+v_{1}\;\sin(\alpha _{1})\;t'+z_{1}\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}t'={\dfrac {x-x_{1}}{v_{1}\;\cos(\alpha _{1})}}\\z={\dfrac {1}{2}}\;g\left[{\dfrac {x-x_{1}}{v_{1}\;\cos(\alpha _{1})}}\right]^{2}+v_{1}\;\sin(\alpha _{1})\;{\dfrac {x-x_{1}}{v_{1}\;\cos(\alpha _{1})}}+z_{1}\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où $\;z={\dfrac {g}{2\;v_{1}^{2}\;\cos ^{2}(\alpha _{1})}}\left[x-x_{1}\right]^{2}+\tan(\alpha _{1})\left[x-x_{1}\right]+z_{1}$, équation cartésienne se réécrivant en remarquant que $\;v_{1}^{2}\;\cos ^{2}(\alpha _{1})$ $={\dfrac {v_{0}^{2}+2\;g\;a}{3}}\left[{\dfrac {2}{3}}+{\dfrac {v_{0}^{2}}{3\;g\;a}}\right]^{2}={\dfrac {\left[v_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{3}}{27\;g^{2}\;a^{2}}}\;$ et $\;\tan(\alpha _{1})={\sqrt {\left[1+\tan ^{2}(\alpha _{1})\right]-1}}={\sqrt {{\dfrac {1}{\cos ^{2}(\alpha _{1})}}-1}}$ $={\sqrt {{\dfrac {1}{\left[{\dfrac {2}{3}}+{\dfrac {v_{0}^{2}}{3\;g\;a}}\right]^{2}}}-1}}={\sqrt {{\dfrac {9\;g^{2}\;a^{2}}{\left[v_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{2}}}-1}}={\dfrac {\sqrt {9\;g^{2}\;a^{2}-\left[v_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{2}}}{v_{0}^{2}+2\;g\;a}}={\dfrac {\sqrt {\left(g\;a-v_{0}^{2}\right)\left(v_{0}^{2}+5\;g\;a\right)}}{v_{0}^{2}+2\;g\;a}}\;$ d'où finalement l'équation cartésienne suivante $\;z={\dfrac {27\;g^{3}\;a^{2}}{2\left[v_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{3}}}\left[x-x_{1}\right]^{2}+{\dfrac {\sqrt {\left(g\;a-v_{0}^{2}\right)\left(v_{0}^{2}+5\;g\;a\right)}}{v_{0}^{2}+2\;g\;a}}\left[x-x_{1}\right]+z_{1}$, ......dont on tire l'équation algébrique définissant la portée $\;x_{B}$, équation du 2^ème degré en $\;x_{B}\;$ ou en $\;x_{B}-x_{1}$ $\;{\dfrac {27\;g^{3}\;a^{2}}{2\left[v_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{3}}}\left[x_{B}-x_{1}\right]^{2}+{\dfrac {\sqrt {\left(g\;a-v_{0}^{2}\right)\left(v_{0}^{2}+5\;g\;a\right)}}{v_{0}^{2}+2\;g\;a}}\left[x_{B}-x_{1}\right]-\left[2\;a-z_{1}\right]=0$ ;

......le discriminant de cette équation du 2^ème degré $\;\Delta =\left[{\dfrac {\sqrt {\left(g\;a-v_{0}^{2}\right)\left(v_{0}^{2}+5\;g\;a\right)}}{v_{0}^{2}+2\;g\;a}}\right]^{2}+4\;{\dfrac {27\;g^{3}\;a^{2}}{2\left[v_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{3}}}\left[2\;a-z_{1}\right]\;$ étant clairement $\;>0\;$ compte-tenu de la positivité de $\;2\;a-z_{1}$, l'équation a donc deux solutions réelles distinctes de signe contraire, leur produit égal à $\;{\dfrac {-\left[2\;a-z_{1}\right]}{\dfrac {27\;g^{3}\;a^{2}}{2\left[v_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{3}}}}\;$ étant en effet $\;<0$, on retient donc la solution $\;>0\;\ldots$

Schéma d'un point M lancé horizontalement du sommet M₀ d'une boule de centre O, avec trois vitesses initiales différentes donnant trois positions différentes de rupture de contact M₁ repéré par θ₁ et tracé des trois trajectoires de chute libre après rupture

......Exposé (non demandé) de la résolution : on peut tout d'abord réécrire le discrimant à l'aide de l'explicitation de $\;2\;a-z_{1}=$ $2\;a-a\left[1-\cos(\theta _{1})\right]=a\left[1+\cos(\theta _{1})\right]=$ $a\left[1+\left({\dfrac {2}{3}}+{\dfrac {v_{0}^{2}}{3\;g\;a}}\right)\right]=a\;{\dfrac {5\;g\;a+v_{0}^{2}}{3\;g\;a}}\;$ d'où la réécriture du discriminant selon $\;\Delta ={\dfrac {\left(g\;a-v_{0}^{2}\right)\left(v_{0}^{2}+5\;g\;a\right)}{\left[v_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{2}}}+{\dfrac {54\;g^{3}\;a^{2}}{\left[v_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{3}}}\left[2\;a-z_{1}\right]={\dfrac {\left(g\;a-v_{0}^{2}\right)\left(v_{0}^{2}+5\;g\;a\right)}{\left[v_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{2}}}+{\dfrac {18\;g^{2}\;a^{2}\left(5\;g\;a+v_{0}^{2}\right)}{\left[v_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{3}}}=$ $\left(v_{0}^{2}+5\;g\;a\right){\dfrac {\left(g\;a-v_{0}^{2}\right)\left(v_{0}^{2}+2\;g\;a\right)+18\;g^{2}\;a^{2}}{\left[v_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{3}}}\;$ et par suite $\;x_{B}-x_{1}={\dfrac {{\sqrt {\Delta }}-{\dfrac {\sqrt {\left(g\;a-v_{0}^{2}\right)\left(v_{0}^{2}+5\;g\;a\right)}}{v_{0}^{2}+2\;g\;a}}}{2\;{\dfrac {27\;g^{3}\;a^{2}}{2\left[v_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{3}}}}}\;$ ou $\;x_{B}-x_{1}=\left[{\sqrt {\dfrac {v_{0}^{2}+5\;g\;a}{v_{0}^{2}+2\;g\;a}}}\;{\dfrac {\sqrt {\left(g\;a-v_{0}^{2}\right)\left(v_{0}^{2}+2\;g\;a\right)+18\;g^{2}\;a^{2}}}{v_{0}^{2}+2\;g\;a}}-{\dfrac {\sqrt {\left(g\;a-v_{0}^{2}\right)\left(v_{0}^{2}+5\;g\;a\right)}}{v_{0}^{2}+2\;g\;a}}\right]{\dfrac {\left[v_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{3}}{27\;g^{3}\;a^{2}}}\;$ soit finalement $\;x_{B}-x_{1}=\left[{\sqrt {\dfrac {v_{0}^{2}+5\;g\;a}{v_{0}^{2}+2\;g\;a}}}\;{\sqrt {\left(g\;a-v_{0}^{2}\right)\left(v_{0}^{2}+2\;g\;a\right)+18\;g^{2}\;a^{2}}}-{\sqrt {\left(g\;a-v_{0}^{2}\right)\left(v_{0}^{2}+5\;g\;a\right)}}\right]{\dfrac {\left[v_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{2}}{27\;g^{3}\;a^{2}}}$ ;

......Exposé (non demandé) de la résolution : on vérifie la portée sur les trajectoires du point $\;M\;$ après rupture de contact avec la surface de la boule représentées dans trois cas de vitesses initiales différentes :

• d'abord $\;v_{0}={\sqrt {\dfrac {g\;a}{2}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\theta _{1}=\arccos \left({\dfrac {5}{6}}\right)\simeq 33,6\;{\text{°}}\;$ et $\;v_{1}={\sqrt {\dfrac {5\;g\;a}{6}}}\;$ correspondant au 1^er schéma où la trajectoire après rupture est représentée en magenta, on trouve $\;x_{B}-x_{1}=\left[{\sqrt {\dfrac {11}{5}}}\;{\sqrt {{\dfrac {5}{4}}\;g^{2}\;a^{2}+18\;g^{2}\;a^{2}}}-{\sqrt {{\dfrac {11}{4}}\;g^{2}\;a^{2}}}\right]{\dfrac {\left[{\dfrac {5}{2}}\;g\;a\right]^{2}}{27\;g^{3}\;a^{2}}}=\left[{\sqrt {\dfrac {11}{5}}}\;{\sqrt {\dfrac {77}{4}}}-{\sqrt {\dfrac {11}{4}}}\right]{\dfrac {25\;a}{108}}={\dfrac {25\;{\sqrt {11}}\;a}{216}}\left[{\sqrt {\dfrac {77}{5}}}-1\right]\simeq 1,123\;a\;$ d'où, avec $\;x_{1}=$ $a\;\sin(\theta _{1})\simeq a\;\sin(33,6\,{\text{°}})\simeq 0,553$, la portée cherchée $\;x_{B}\simeq 1,676\;a$,
• ensuite $\;v_{0}=0\;$ $\Rightarrow$ $\;\theta _{1}=\arccos \left({\dfrac {2}{3}}\right)\simeq 48,2\;{\text{°}}\;$ et $\;v_{1}={\sqrt {\dfrac {2\;g\;a}{3}}}\;$ correspondant au 2^ème schéma où la trajectoire après rupture est représentée en marron, on trouve $\;x_{B}-x_{1}=\left[{\sqrt {\dfrac {5}{2}}}\;{\sqrt {20\;g^{2}\;a^{2}}}-{\sqrt {5\;g^{2}\;a^{2}}}\right]{\dfrac {\left[2\;g\;a\right]^{2}}{27\;g^{3}\;a^{2}}}=\left[{\sqrt {\dfrac {5}{2}}}\;{\sqrt {20}}-{\sqrt {5}}\right]{\dfrac {4\;a}{27}}={\dfrac {4\;{\sqrt {5}}\;a}{27}}\left[{\sqrt {10}}-1\right]\simeq 0,716\;a\;$ d'où, avec $\;x_{1}=a\;\sin(\theta _{1})\simeq$ $a\;\sin(48,2\,{\text{°}})\simeq 0,745$, la portée cherchée $\;x_{B}\simeq 1,462\;a$,
• suivi de $\;v_{0}={\sqrt {g\;a}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\theta _{1}=0\;$ et $\;v_{1}={\sqrt {g\;a}}\;$ correspondant au 3^ème schéma où la trajectoire après rupture est représentée en rouge, on trouve $\;x_{B}-x_{1}=$ $\left[{\sqrt {2}}\;{\sqrt {18\;g^{2}\;a^{2}}}-0\right]{\dfrac {\left[3\;g\;a\right]^{2}}{27\;g^{3}\;a^{2}}}=2\;a\;$ d'où, avec $\;x_{1}=a\;\sin(\theta _{1})=0$, la portée cherchée $\;x_{B}=2\;a$ ;

......Exposé (non demandé) de la résolution : sur le 4^ème schéma sont superposés les trois tracés précédents ce qui permet de comparer les portées entre elles.

 

Reprise de l'étude en présence de frottements solides du point avec la boule

Établissement de la nature plane du mouvement du point en présence de frottements solides et maintien de contact

......Reprendre l'étude avec présence d'un frottement solide de cœfficients de frottements dynamique et statique communs $\;f\;$ quand le point $\;M\;$ est contact avec la boule pour établir que cette présence de frottements solides ne modifie pas la nature plane du mouvement éventuel de $\;M\;$ sur la boule et par conséquent la nature circulaire de sa trajectoire éventuelle tant que le contact est maintenu [on utilisera le même repérage cylindro-polaire d'« axe $\;{\overrightarrow {M_{0}z}}\;$» avec pour « méridien de référence $\;xM_{0}z\;$» du point $\;M\;$ sur la boule en effectuant une démonstration par récurrence $\;\ldots {\big ]}$.

Solution

......Le point $\;M\;$ lancé du « sommet $\;M_{0}\;$ de la boule » avec un vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ horizontal dans le sens de $\;{\overrightarrow {M_{0}x}}$, est soumis, dans la mesure où le contact entre le point et la boule n'est pas rompu dès cet instant initial, à deux forces :

• le poids du point $\;m\;{\vec {g}}\;$ vertical descendant soit $\;m\;{\vec {g}}=m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$ et
• la réaction de la boule sur le point $\;{\vec {R}}(0)\;$ laquelle a deux composantes en présence de frottements solides
  ......$\;\succ \;$une composante normale à la boule en $\;M_{0}\;$ et de sens opposé à la pénétration possible du point $\;M\;$ soit $\;{\vec {R}}_{n}(0)=-R_{n}(0)\;{\vec {u}}_{z}\;$ dans lequel $\;R_{n}(0)=$ $\Vert {\vec {R}}_{n}(0)\Vert \;$ et
  ......$\;\succ \;$une composante tangentielle à la boule en $\;M_{0}\;$ de même direction et de sens contraire à $\;{\vec {V}}_{0}\;$ soit $\;{\vec {R}}_{\tau }(0)=-R_{\tau }(0)\;{\vec {u}}_{x}\;$ dans lequel $\;R_{\tau }(0)=\Vert {\vec {R}}_{\tau }(0)\Vert =$ $f\;R_{n}(0)$ ;

......l'application de la r.f.d.n. au point $\;M\;$ à l'instant initial dans le référentiel terrestre galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ lié à la boule, nous conduit au vecteur accélération initiale de $\;M\;$ soit $\;{\vec {a}}_{M}(0)=$ $g\;{\vec {u}}_{z}-{\dfrac {R_{n}(0)}{m}}\;{\vec {u}}_{z}-f\;{\dfrac {R_{n}(0)}{m}}\;{\vec {u}}_{x}\;$ contenu dans le demi plan méridien $\;xM_{0}z\;$ de référence et dont la composante tangentielle $\;-f\;{\dfrac {R_{n}(0)}{m}}\;{\vec {u}}_{x}\;$ est dirigée vers l'axe $\;{\overrightarrow {M_{0}z}}\;$ ou, en confondant ce vecteur accélération instantanée avec le vecteur accélération moyenne sur l'intervalle $\;\left[0\,,\,t_{1}=\delta t\right]\;$ c'est-à-dire $\;{\vec {a}}_{M}(0)\simeq {\dfrac {{\vec {V}}_{M}(\delta t)-{\vec {V}}_{0}}{\delta t}}\;$ dont on déduit $\;{\vec {V}}_{M}(\delta t)\simeq$ ${\vec {V}}_{0}+{\vec {a}}_{M}(0)\;\delta t\;$ contenu dans le demi plan méridien de référence comme C.L. de deux vecteurs $\;{\vec {V}}_{0}\;$ et $\;{\vec {a}}_{M}(0)\;$ de ce demi-plan [de plus comme $\;\delta t\;$ est une durée très petite et $\;\Vert {\vec {a}}_{M}(0)\Vert \;$ finie, le sens de $\;{\vec {V}}_{M}(\delta t)\;$ s'éloigne de l'axe $\;{\overrightarrow {M_{0}z}}\;$ comme celui de $\;{\vec {V}}_{0}\;$ et sa norme est légèrement plus faible à celle de $\;{\vec {V}}_{0}{\big ]}$.

......Faisons l'hypothèse de récurrence «$\;{\vec {V}}_{M}(t_{n}=n\;\delta t)\;$ contenu dans le demi plan méridien de référence s'éloignant, au sens large, de l'axe $\;{\overrightarrow {M_{0}z}}\;$ » et déduisons en que «$\;{\vec {V}}_{M}(t_{n+1}=t_{n}+\delta t)\;$ est contenu dans le demi plan méridien de référence s'éloignant, au sens large, de l'axe $\;{\overrightarrow {M_{0}z}}\;$ », en effet, à l'instant $\;t_{n}$, le point $\;M\;$ est toujours soumis à deux forces :

• le poids du point $\;m\;{\vec {g}}\;$ vertical descendant soit $\;m\;{\vec {g}}=m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$ et
• la réaction de la boule sur le point $\;{\vec {R}}(t_{n})\;$ laquelle a deux composantes en présence de frottements solides
  ......$\;\succ \;$une composante normale à la boule en $\;M$, de sens opposé à la pénétration possible du point, $\;{\vec {R}}_{n}(t_{n})=R_{n}(t_{n})\;\sin \!\left[\theta (t_{n})\right]\;{\vec {u}}_{\rho }(t_{n})-R_{n}(t_{n})\;\cos \!\left[\theta (t_{n})\right]\;{\vec {u}}_{z}\;$ dans lequel $\;R_{n}(t_{n})=\Vert {\vec {R}}_{n}(t_{n})\Vert \neq 0\;$ (car nous supposons le maintien du contact entre le point et la boule) et
  ......$\;\succ \;$une composante tangentielle de même direction et de sens contraire à $\;{\vec {V}}_{M}(t_{n})\;$ si $\;{\vec {V}}_{M}(t_{n})\neq {\vec {0}}\;$ [le cas où $\;{\vec {V}}_{M}(t_{n})={\vec {0}}\;$ sera traité à part], $\;{\vec {R}}_{\tau }(t_{n})=$ $-R_{\tau }(t_{n})\;\cos \!\left[\theta (t_{n})\right]\;{\vec {u}}_{\rho }(t_{n})-R_{\tau }(t_{n})\;\sin \!\left[\theta (t_{n})\right]\;{\vec {u}}_{z}\;$ dans lequel $\;R_{\tau }(t_{n})=\Vert {\vec {R}}_{\tau }(t_{n})\Vert =f\;R_{n}(t_{n})$ ;

......l'application de la r.f.d.n. au point $\;M\;$ à l'instant $\;t_{n}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ lié à la boule et si $\;{\vec {V}}_{M}(t_{n})\neq {\vec {0}}$, nous conduit au vecteur accélération de $\;M\;$ à l'instant $\;t_{n}\;$ soit $\;{\vec {a}}_{M}(t_{n})=g\;{\vec {u}}_{z}+{\dfrac {R_{n}(t_{n})}{m}}\;\sin \!\left[\theta (t_{n})\right]\;{\vec {u}}_{\rho }(t_{n})-{\dfrac {R_{n}(t_{n})}{m}}\;\cos \!\left[\theta (t_{n})\right]\;{\vec {u}}_{z}-f\;{\dfrac {R_{n}(t_{n})}{m}}\;\cos \!\left[\theta (t_{n})\right]\;{\vec {u}}_{\rho }(t_{n})-f\;{\dfrac {R_{n}(t_{n})}{m}}\;\sin \!\left[\theta (t_{n})\right]\;{\vec {u}}_{z}\;$ contenu dans le demi plan méridien $\;xM_{0}z\;$ de référence $\;{\Bigg \{}$ce qui permet de réécrire ce vecteur accélération à l'aide des vecteurs de base polaire de ce demi plan méridien de référence d'axe polaire $\;{\overrightarrow {M_{0}z}}\;$ selon $\;{\vec {a}}_{M}(t_{n})=-g\;\cos \!\left[\theta (t_{n})\right]{\vec {u}}_{r}(t_{n})+g\;\sin \!\left[\theta (t_{n})\right]{\vec {u}}_{\theta }(t_{n})+{\dfrac {R_{n}(t_{n})}{m}}\;{\vec {u}}_{r}(t_{n})-f\;{\dfrac {R_{n}(t_{n})}{m}}\;{\vec {u}}_{\theta }(t_{n})\;$ ${\Bigg \}}\;$ ou, en confondant ce vecteur accélération à l'instant $\;t_{n}\;$ avec le vecteur accélération moyenne sur l'intervalle $\;\left[t_{n}\,,\,t_{n}+\delta t\right]\;$ c'est-à-dire $\;{\vec {a}}_{M}(t_{n})$ $\simeq {\dfrac {{\vec {V}}_{M}(t_{n}+\delta t)-{\vec {V}}_{M}(t_{n})}{\delta t}}\;$ dont on déduit $\;{\vec {V}}_{M}(t_{n}+\delta t)\simeq {\vec {V}}_{M}(t_{n})+{\vec {a}}_{M}(t_{n})\;\delta t\;$ contenu dans le demi plan méridien de référence comme C.L. de deux vecteurs $\;{\vec {V}}_{M}(t_{n})\;$ et $\;{\vec {a}}_{M}(t_{n})\;$ de ce demi-plan [d'une part, $\;\delta t\;$ étant une durée très petite et $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t_{n})\Vert \;$ de valeur finie (éventuellement petite) non nulle, $\;{\vec {V}}_{M}(t_{n}+\delta t)\;$ ne peut pas être de sens inversé relativement à $\;{\vec {V}}_{M}(t_{n})$, d'autre part, suivant la valeur de l'accélération tangentielle $\;{\vec {a}}_{M}(t_{n})\cdot {\vec {u}}_{\theta }(t_{n})\;$, $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t_{n}+\delta t)\Vert \;$ peut être $\;<$, $\;=\;$ ou $\;>\;$ à $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t_{n})\Vert {\big ]}$ ;

......cas où $\;{\vec {V}}_{M}(t_{n})={\vec {0}}\;$, faisant l'hypothèse que la position à cet instant $\;t_{n}\;$ correspond à un équilibre, la somme des forces appliquées au point $\;M\;$ à cet instant doit y être nulle d'où $\;-m\;g\;\cos \!\left[\theta (t_{n})\right]{\vec {u}}_{r}(t_{n})+m\;g\;\sin \!\left[\theta (t_{n})\right]{\vec {u}}_{\theta }(t_{n})+R_{n}(t_{n})\;{\vec {u}}_{r}(t_{n})-R_{\tau }(t_{n})\;{\vec {u}}_{\theta }(t_{n})$ $={\vec {0}}\;$ dont on tire $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}R_{n}(t_{n})=m\;g\;\cos \!\left[\theta (t_{n})\right]\\R_{\tau }(t_{n})=m\;g\;\sin \!\left[\theta (t_{n})\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {R_{\tau }(t_{n})}{R_{n}(t_{n})}}=\tan \!\left[\theta (t_{n})\right]\;$ qui doit être $\;<\;$à $\;f\;$ selon la loi de Coulomb de frottement sans glissement ;

......cas où VM(tn) = 0~ref~, ~ remarque : comme à l'instant $\;t_{n-1}\;$ précédent $\;{\vec {V}}_{M}(t_{n-1})\neq {\vec {0}}\;$ (mais de petite norme) on a $\;R_{\tau }(t_{n-1})=f\;R_{n}(t_{n-1})\;$ avec $\;R_{n}(t_{n-1})$ $=m\;g\;\cos \!\left[\theta (t_{n-1})\right]-m\;{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t_{n-1})}{a}}\;$ et $\;R_{\tau }(t_{n-1})>m\;g\;\sin \!\left[\theta (t_{n-1})\right]\;$ pour que $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t_{n-1})\Vert \neq 0\;$ puisse $\;\searrow \;$ jusqu'à $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t_{n})\Vert =0$, ainsi l'angle $\;\theta (t_{n-1})$, le cœfficient de frottement solide $\;f\;$ et $\;{\vec {V}}_{M}(t_{n-1})\;$ sont liés par $\;f\left\lbrace m\;g\;\cos \!\left[\theta (t_{n-1})\right]-m\;{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t_{n-1})}{a}}\right\rbrace >m\;g\;\sin \!\left[\theta (t_{n-1})\right]\;$ dont on déduit aisément $\;\tan \!\left[\theta (t_{n-1})\right]<f\left\lbrace 1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t_{n-1})}{g\;a\;\cos \!\left[\theta (t_{n-1})\right]}}\right\rbrace$, cette relation devant devenir $\;\tan \!\left[\theta (t_{n})\right]<f\;$ pour que $\;{\vec {V}}_{M}(t_{n})\;$ puisse être nul.

......La propriété $\;{\mathcal {P}}(t_{n}=n\;\delta t)\;$ affirmant que « le vecteur vitesse de $\;M\;$ est dans le demi plan méridien de référence en s'éloignant, au sens large, de l'axe $\;{\overrightarrow {M_{0}z}}\;$ » est

• vérifiée pour $\;n=0\;$ et
• telle que $\;{\mathcal {P}}(t_{n}=n\;\delta t)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\mathcal {P}}(t_{n+1}=[n+1]\;\delta t)$,

......elle est donc vérifiée pour toute valeur de $\;n\;$ et donc pour tout instant.

 

Détermination de l'équation caractérisant l'angle θ₂ repérant la position de rupture de contact (quand celle-ci existe) du point avec la boule en présence de frottements solides et comparaison avec l'angle θ₁ repérant la position de rupture de contact du point avec la boule en absence de frottements solides pour une même vitesse initiale

......Déterminer la composante normale $\;R_{n}(t)\;$ de la réaction $\;{\vec {R}}(t)\;$ de la boule sur le point $\;M\;$ glissant, à l'instant $\;t$, sur celle-ci en présence de frottements solides de cœfficients de frottements dynamique et statique communs $\;f$, [le vecteur unitaire $\;{\vec {n}}\;$ normal à la boule en $\;M\;$ étant ici orienté dans le sens centripète ] en fonction, entre autres de l'angle $\;\theta (t)={\widehat {M_{0}OM}}\;$ repérant $\;M\;$ sur la boule à l'instant $\;t\;$ et de sa vitesse angulaire $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ au même instant puis

......en déduire, quand il y a mouvement, la composante tangentielle