En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques
Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Point se déplaçant sans frottement sur un plan horizontal tiré par un fil idéal vers un trou du plan[modifier | modifier le wikicode]
Dans tout l'exercice nous nous plaçons dans le cadre de la dynamique newtonienne.
Schéma descriptif représentant un point M glissant sans frottement sur un plan horizontal percé en O, le point étant tiré vers le trou par un fil idéal à l'extrémité duquel s'exerce une force telle que la longueur du fil tendu sur le plan horizontal soit une fonction affine du temps
......Sur un plan horizontal, percé d'un trou
, un point matériel
de masse
se déplace sans frottements en étant lié à un fil idéal [1] passant par le trou.
......On exerce sur l'extrémité de la portion de fil verticale une force de traction
de direction verticale et de sens descendant telle que la longueur de la portion horizontale tendue du fil soit
dans laquelle
est la longueur initiale de la portion horizontale tendue du fil et
la vitesse de descente de l'extrémité de la portion de fil verticale sur laquelle on exerce la force de traction
;
......on suppose que le mouvement du point
démarre avec une vitesse angulaire initiale
on utilisera le repérage polaire du point
dans le plan relativement au vecteur position initiale
choisi comme vecteur directeur de l'axe polaire
, l'angle polaire de
étant
et son rayon polaire
, la vitesse angulaire initiale étant définie selon
.
Détermination du mouvement du point M dans le plan horizontal[modifier | modifier le wikicode]
Détermination d'une intégrale 1re du mouvement de M sur le plan horizontal[modifier | modifier le wikicode]
......Par application de la r.f.d.n. [2] au point matériel
dans le référentiel lié au plan horizontal supposé galiléen, déterminer une intégrale 1re de son mouvement et
......en déduire la loi horaire de vitesse angulaire suivie par le point
en fonction de
,
,
et
.
Solution
Schéma descriptif représentant un point M glissant sans frottement sur un plan horizontal percé en O, le point étant tiré vers le trou par un fil idéal à l'extrémité duquel s'exerce une force telle que la longueur du fil tendu sur le plan horizontal soit une fonction affine du temps, ajout des forces intervenant ainsi que des vecteurs de base utilisés
......Le référentiel lié au plan horizontal étant galiléen, le point matériel
est soumis à
- son poids
avec
vecteur unitaire vertical descendant,
- la réaction du plan sur le point
au plan par absence de frottement]
avec
et
- la force de tension du fil idéal exercée sur le point
avec
le 1er vecteur de la base polaire liée à
et
la tension du fil à l'instant
;
......on applique alors la r.f.d.n. [2] à
ce qui donne
soit en projetant sur
le 2ème vecteur de la base polaire liée à
on trouve
ou encore
;
......utilisant la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale
[3] soit ici
![{\displaystyle \;a_{M,\,\theta }(t)={\dfrac {1}{l(t)}}\;{\dfrac {d\!\left[l^{2}\;{\dot {\theta }}\right]}{dt}}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fe0140b0048d7ca89eb6e189e477953f0dd5857)
, on en déduit
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\!\left[l^{2}\;{\dot {\theta }}\right]}{dt}}(t)=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/350e5dbeee5dbdc525a43a72818ab984073dde4d)
et en intégrant on obtient l'intégrale
1re du mouvement cherchée
![{\displaystyle \;\left[l^{2}\;{\dot {\theta }}\right]\!(t)=cste}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b13ec2b781262883c316d54e2f90e39043502d)
, valeur de constante que l'on détermine avec les C.I.
[4] 
soit

d'où la réécriture de l'intégrale
1re du mouvement de

selon
;
......reportant l’expression de

[c'est-à-dire la loi horaire de rayon polaire du point] dans l'intégrale
1re ci-dessus on en déduit la loi horaire de vitesse angulaire du point
.
Détermination de la loi horaire d'angle polaire suivie par le point M sur le plan horizontal[modifier | modifier le wikicode]
......En intégrant la loi horaire de vitesse angulaire suivie par le point
, en déduire celle d'abscisse angulaire
en fonction de
,
,
et
.
Détermination de l'équation polaire de la trajectoire du point sur le plan horizontal[modifier | modifier le wikicode]
......En éliminant
entre la loi horaire d'abscisse angulaire
et celle du rayon polaire
du point en déduire l'équation polaire de la trajectoire du point sur le plan horizontal
en fonction de
,
,
et
;
......préciser sa nature.
Solution
......En éliminant

entre la loi horaire d'abscisse angulaire

et celle du rayon polaire

du point, on obtient

que l'on reporte dans l'autre loi

soit l'équation polaire de la trajectoire suivante

ou, de façon à inverser l'équation,

soit finalement la réécriture de l'équation polaire de la trajectoire selon
, équation d'une spirale hyperbolique [6].
Détermination, par deux façons différentes, du travail de la force de traction exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre de la portion verticale du fil idéal en fonction de la longueur l1 de la portion horizontale du fil[modifier | modifier le wikicode]
......Déterminer la force de tension du fil
s'exerçant sur le point
en lui appliquant la r.f.d.n. [2] en fonction de
,
,
,
et le 1er vecteur de base polaire
lié au point puis
......en déduire la force de traction
exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre de la portion verticale du fil idéal [on orientera cette portion par un vecteur unitaire
vertical descendant [7]] en poursuivant par
......en déduire l'évaluation de son travail élémentaire
en fonction de
,
,
,
et le déplacement élémentaire de l'extrémité libre
de la portion verticale du fil
[8] et enfin
......en déduire l'expression de son travail entre la position initiale et celle correspondant à une longueur
de portion horizontale du fil en fonction de
,
,
et
.
Solution
......Par projection de la r.f.d.n.
[2] appliquée à

sur le
1er vecteur de base polaire

lié au point, on obtient

avec
[9] soit,

d'où l'expression de la force de tension du fil s'exerçant sur le point

en fonction de

entre autres
;
......sachant que la tension d'un fil idéal
[1] est uniforme le long du fil, on en déduit que la force de tension que l'extrémité libre

de la portion verticale du fil exerce sur l'opérateur est également de norme égale à la tension du fil

et par principe des actions réciproques la force de traction

exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre

de la portion verticale du fil s'écrit
dans laquelle le vecteur unitaire
est vertical descendant ;
......
son travail élémentaire

étant défini par

avec

l'extrémité libre de la portion verticale du fil à l'instant

et

son vecteur déplacement élémentaire égal à
[8] d'où le travail élémentaire de la force de traction

exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre

de la portion verticale du fil
;
......
on en déduit le travail de la force de traction

exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre

de la portion verticale du fil entre l'instant initial et l'instant

correspondant à une portion horizontale de fil tendu de longueur

soit
[10] soit

et finalement le travail de la force de traction

exercée par l'opérateur entre l'instant initial et l'instant

tel que

vaut
.
2ème méthode par utilisation du théorème de l'énergie cinétique[modifier | modifier le wikicode]
......Comme dans la méthode précédente on commence par déterminer la force de tension du fil
s'exerçant sur le point
en lui appliquant la r.f.d.n. [2] en fonction de
,
,
,
et le 1er vecteur de base polaire
lié au point puis
......Comme dans la méthode précédente on en déduit la force de traction
exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre de la portion verticale du fil idéal [en orientant cette portion par le vecteur unitaire
vertical descendant [7]] en remarquant que
......Comme dans la méthode précédente les travaux (élémentaires ou non) de la force de tension du fil
s'exerçant sur le point
et de la force de traction
exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre de la portion verticale du fil idéal étant égaux, le travail de cette dernière force peut être calculé par l'intermédiaire de la 1re force ;
......déterminer le travail de la force de tension du fil
s'exerçant sur le point
entre la position initiale et celle correspondant à une longueur
de portion horizontale du fil par application du théorème de l'énergie cinétique au point
entre ces états extrêmes et
......vérifier, compte-tenu de l'identification de ce travail avec celui de la force de traction
exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre de la portion verticale du fil idéal, que l'on obtient le même résultat qu'avec la 1re méthode.
Solution
......L'expression de la force de tension du fil s'exerçant sur le point

en fonction de

entre autres a été déterminée dans le paragraphe précédent et a donné
;
......de même l'expression de la force de traction

exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre

de la portion verticale du fil idéal également déterminée dans le paragraphe précédent a permis de trouver
dans laquelle le vecteur unitaire
est vertical descendant ;
......les travaux (élémentaires ou non) de la force de tension du fil
s'exerçant sur le point
et de la force de traction
exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre
de la portion verticale du fil idéal étant égaux, pour déterminer le travail de cette dernière force il suffit d'évaluer celui de la 1re force, la justification de l'égalité des travaux résultant de
[8]
;
......l'évaluation de

peut s'obtenir par application du théorème de l'énergie cinétique au point

entre l'état initial [de vecteur vitesse initiale
[11]] et l'état final où la longueur de portion horizontale du fil vaut

de vecteur vitesse
[11]
[12]![{\displaystyle {\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6515d4ab3aeccb7f846142fd40a7d0f7d1129e6e)
, cela donne, en remarquant que seule

travaille car le poids

de

et la réaction

du plan sur

se déplaçant perpendiculairement à leur support, leur travail respectif est nul,
![{\displaystyle \;W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\overrightarrow {\mathcal {T}}})\;{\cancel {+\;W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}(m\;{\vec {g}})}}{\cancel {+\;W_{t=0\,\rightarrow \,t=t_{1}}({\vec {R}})}}\;={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t_{1})-{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(0)={\dfrac {1}{2}}\;m\left[\left(-b\right)^{2}+\left({\dfrac {a^{2}\;\omega _{0}}{l_{1}}}\right)^{2}\right]-{\dfrac {1}{2}}\;m\left[\left(-b\right)^{2}+\left(a\;\omega _{0}\right)^{2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f81c87915f54fb32d706104f44ab17b96b902d95)
soit, après simplification évidente, l'expression du travail de la force de tension du fil

s'exerçant sur le point

entre les positions initiale et finale correspondant à
;
......finalement, compte-tenu de

on en déduit l'expression de la force de traction

exercée par l'opérateur sur l'extrémité libre

de la portion verticale du fil idéal entre les positions initiale et finale correspondant à
c'est-à-dire la même expression que celle trouvée par la 1re méthode de détermination directe.
Glissement sans (puis avec) frottements solides d'un point matériel lancé à partir du « sommet » d'une boule[modifier | modifier le wikicode]
Dans tout l'exercice nous nous plaçons dans le cadre de la dynamique newtonienne.
......Un point matériel
, de masse
, soumis au champ de pesanteur terrestre
supposé uniforme, glisse sur la surface d'une boule de rayon
et de centre
;
......nous considérons d'abord l'absence de frottement solide entre le point et la boule puis,
......nous considérons dans un 2nd temps l'existence d'un frottement solide de cœfficients de frottements dynamique et statique communs
;
......le point
est lancé avec une vitesse initiale horizontale
d'une position
située au « sommet » de la boule [13] et
......le point ~M~ estrepéré relativement au repère cartésien
associé au référentiel d'étude supposé galiléen dans lequel la boule est fixe, les axes étant respectivement
vertical descendant orienté par le vecteur unitaire
,
horizontal, support du vecteur vitesse initiale
et orienté par le vecteur unitaire
choisi dans le sens de
ainsi que
horizontal,
au plan vertical de lancement et orienté par le vecteur unitaire
de sens tel que la base cartésienne
soit directe ;
......la direction de la normale à la boule au point
est repérée par rapport à celle en la position
par l'angle
.
Établissement de la nature plane du mouvement du point en absence de frottement solide et maintien de contact[modifier | modifier le wikicode]
......Montrer que le mouvement du point
en liaison unilatérale sur la boule est plan tant que son contact avec cette dernière est maintenu
pour cela il est judicieux de repérer le point
sur la boule par ses coordonnées cylindro-polaires d'« axe
» avec pour « méridien de référence
», les coordonnées cylindro-polaires de
ainsi que la base cylindro-polaire liée à
étant
- d'une part
et
- d'autre part
choisie directe,
......dans le but d'établir, par application de la r.f.d.n. [2] à
tant que ce dernier reste en contact avec la boule, que le demi-plan méridien le contenant à l'instant
est le méridien de référence à savoir
et par suite
......Montrer que la trajectoire de
, tant que son contact avec la boule est maintenu, est circulaire de centre
et de rayon
.
Solution
Schéma d'un point M lancé horizontalement du sommet M
0 d'une boule de centre O, avec représentation des forces appliquées à M à l'instant t
[14] et utilisation de la base cylindro-polaire liée à M d'axe (M
0O) et de méridien de référence (xM
0z) contenant le vecteur vitesse initiale du point
[15] pour établir la nature plane de son mouvement sur la boule en cas de maintien du contact entre les deux
......Voir ci-contre la base locale cylindro-polaire
d’axe
liée à
de coordonnées
avec
(non représenté ci-contre) ;
......les seules forces s'exerçant sur le point
quand il est au contact de la boule à l'instant
sont :
- son poids
vertical descendant soit
et
- la réaction de la boule
normale à celle-ci en absence de frottements solides et de sens opposé à la pénétration possible du point
soit
dans lequel
;
......appliquant la r.f.d.n. [2] à
dans le référentiel terrestre lié à la boule, référentiel supposé galiléen
, quand le contact entre le point et la boule est maintenu et la projetant sur
nous obtenons
d'où
;
......or, dans la mesure où
est
[16], l'accélération orthoradiale s'écrit aussi
(c'est-à-dire sa forme semi-intégrée [17]) d’où
s'intégrant en
laquelle se détermine par C.I. [4]
[18] avec
d'où
et par suite
dont on déduit, pour
[19],
;
......une 2
ème intégration donne

ou, le vecteur position étant toujours continu
[20],

, la valeur de

se déterminant par C.I.
[4] 
d'où

et par suite

correspondant au fait que
le mouvement de
se fait, dans la mesure où le contact entre le point et la boule est maintenu, dans le plan
ou,
la trajectoire de
étant l’intersection de ce plan et de la surface de la boule,
le mouvement de
est circulaire de centre
et de rayon
tant que le contact entre le point et la boule est maintenu.
Établissement de l'existence d'une position de rupture de contact du point avec la boule en absence de frottement solide et détermination de l'angle θ1 repérant cette position en fonction de la vitesse initiale de lancement du point[modifier | modifier le wikicode]
......Déterminer, tant que le point
reste en contact avec la boule, par application successive au point
, de la r.f.d.n. [2] puis du théorème de l'énergie cinétique entre la position initiale et celle à l'instant
, l'expression de la réaction
de la boule sur le point
;
......en déduire alors l'existence d'une position de rupture de contact
du point
avec la boule ainsi que
......en déduire alors la valeur de l'angle repérant cette position
en fonction de
.
......Pour quelles valeurs de
le contact du point
avec la boule disparaît-il dès la position initiale
[21] ?
Solution
Schéma d'un point M lancé horizontalement du sommet M
0 d'une boule de centre O, avec représentation des forces appliquées à M à l'instant t et utilisation de la base de Frenet
[22] liée à M pour déterminer la position de rupture de contact entre le point et la boule
[23]
......On travaille par la suite en repérage de Frenet
[22] (voir schéma ci-contre) [on aurait pu aussi travailler en polaire d'axe polaire

avec

et
![{\displaystyle \;{\vec {u}}_{\theta }={\vec {\tau }}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f6e396704a84e87b76af8fed9146935ed6ff352)
et, dans le but de déterminer la norme de la réaction

de la boule sur

on projette la r.f.d.n.
[2] sur

soit
![{\displaystyle \;-R(t)+m\;g\;cos\!\left[\theta (t)\right]=m\;a_{n,\,M}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fd36f8d52d024749f9dff54a2fd16bba69755db)
dans laquelle

est l'accélération normale du point

égale à
[24] où

est la vitesse instantanée du point
[25] dans son mouvement circulaire de rayon

d'où finalement
[26],
le point
restant sur la surface de la boule tant que
est
;
......on détermine le carré de la vitesse instantanée

du point

à l'instant

, dans l’hypothèse de contact maintenu, par théorème de l’énergie cinétique entre

et

à l'instant

:
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{M}^{2}(t)-{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{0}^{2}=W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}\!\left[m\;{\vec {g}}\right]\;{\cancel {+W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}\!\left[{\vec {R}}(t)\right]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c3f7bc6819bd4f90fb6cbdde9bd0835bfda40b4)
, le déplacement de

étant toujours

à

, avec le travail du poids
[27] ou, avec

,
![{\displaystyle \left[-m\;g\;a\;\cos(\theta ')\right]_{0}^{\theta (t)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50c7b2b8c6baf364abbae990518b41e09ef32a89)
soit enfin
![{\displaystyle \;W_{M_{0}{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}M}\!\left[m\;{\vec {g}}\right]=m\;g\;a\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2026d4bf26462954c55de0df26db277f0ce5d933)
et, par report dans l'application du théorème de l'énergie cinétique,
![{\displaystyle m\;g\;a\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e690ecb33c60fb22a193de10566dfa7f4151ffab)
donnant, après simplification évidente,
[28] ;
......reportant cette expression dans celle de

précédemment établie, on obtient
![{\displaystyle \;R(t)=m\left\lbrace g\;cos\!\left[\theta (t)\right]-{\dfrac {v_{0}^{2}+2\;g\;a\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace }{a}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0dad14c280699ba835b354a42e2cdb461abfa94)
soit encore, après simplification,
[29] avec
.
......Le contact du point
sur la boule en la position initiale
se traduisant par
se réécrit
ce qui nécessite
;
......aussi, dans la mesure où nous avons supposé le contact entre

et la boule maintenu à l'instant

, la condition initiale de vitesse doit satisfaire

ce qui implique que

est

pour

et, comme
![{\displaystyle \;R(\theta )=m\left[3\;g\;cos(\theta )-2\;g-{\dfrac {v_{0}^{2}}{a}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9adaa095a016f357ea7ad951d217661f2c36654)
est une fonction strictement

de

dont la valeur minimale sur l'intervalle de variation de

à savoir
![{\displaystyle \;\left[0\,,\,\pi \right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/334d3a81376cb0dc605a7240cee3e00d39aa22b6)
est
![{\displaystyle \;R(\pi )=m\left[3\;g\;cos(\pi )-2\;g-{\dfrac {v_{0}^{2}}{a}}\right]=-m\left[5\;g+{\dfrac {v_{0}^{2}}{a}}\right]<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a71598fcd860fc8e0fba1e1686974187fbf333d3)
, nous en déduisons, d'après le théorème de Bolzano
[30] (cas particulier du
théorème des valeurs intermédiaires [31]) l'existence d'une position unique de rupture

définie par l'angle

tel que

soit
![{\displaystyle \;m\left[3\;g\;cos(\theta _{1})-2\;g-{\dfrac {v_{0}^{2}}{a}}\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/628643f91446721c16a34fd003f7b05abfecc4cb)
dont nous déduisons la valeur de l'angle de rupture
[32].
......Le contact de
avec la boule disparaît dès
si
[33], [34].
Étude du mouvement ultérieur du point après sa rupture de contact avec la boule en absence de frottement solide entre les deux[modifier | modifier le wikicode]
......Nous plaçant dans les conditions de vitesse initiale où le contact du point
avec la boule est rompu pour
, le point
décolle de la boule en la position
avec un vecteur vitesse
;
......préciser la nature du mouvement ultérieur du point [il est judicieux de changer d'origine des temps en prenant pour celle-ci l'instant de décollage de
de la boule], en particulier expliciter
- la norme
et l'angle d'inclinaison
relativement à l'horizontale du vecteur vitesse
,
- les coordonnées cartésiennes
de
,
- les lois horaires cartésiennes de vitesse et de position du mouvement ultérieur de
et
- l'équation permettant de calculer la portée
de l'impact
du point
avec le sol horizontal sur lequel repose la boule [on donnera cette équation sans chercher à la résoudre [35] mais on précisera quelle solution choisir dans la mesure où il y en aurait plusieurs].
Solution
Schéma d'un point M lancé horizontalement du sommet M
0 d'une boule de centre O, avec rupture de contact en M
1 repéré par θ
1 [23] et tracé de la trajectoire de chute libre après rupture
......Si
, le point
quitte la surface de la boule en
dans lequel
et une vitesse de norme égale à
soit
et de direction inclinée de
[23] vers le bas sur l’horizontale [36]
voir schéma ci-contre avec
conduisant à
et à
;
......le mouvement ultérieur de
étant un mouvement de chute libre [37] dans le champ de pesanteur terrestre uniforme, on en déduit ses lois horaires de vitesse et de position en choisissant comme nouvelle origine des temps l'instant
où
décolle de la surface de la boule c'est-à-dire
d'où :
- lois horaires de vitesse
et
- lois horaires de position
lesquelles sont aussi les équations paramétriques cartésiennes de la trajectoire de
correspondant à la portion de parabole du demi-plan méridien tangent au demi-cercle méridien de la surface de la boule en
.
Schéma d'un point M lâché sans vitesse initiale du sommet M
0 d'une boule de centre O, avec rupture de contact en M
1 repéré par θ
1 et tracé de la trajectoire de chute libre après rupture
Schéma d'un point M lancé horizontalement du sommet M
0 d'une boule de centre O, avec une vitesse initiale minimale pour que la rupture de contact se fasse dès le sommet M
0 et tracé de la trajectoire de chute libre après rupture
......Le point

heurtant le sol horizontal sur lequel repose la boule en la position
[38] d'abscisse
[39], solution de

dans laquelle

est l'équation cartésienne de la trajectoire de

dans le demi-plan méridien, équation obtenue en éliminant

entre
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}t'={\dfrac {x-x_{1}}{v_{1}\;\cos(\alpha _{1})}}\\z={\dfrac {1}{2}}\;g\left[{\dfrac {x-x_{1}}{v_{1}\;\cos(\alpha _{1})}}\right]^{2}+v_{1}\;\sin(\alpha _{1})\;{\dfrac {x-x_{1}}{v_{1}\;\cos(\alpha _{1})}}+z_{1}\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d45997b71f83f63ff490bc9625e1cbf4e41cbfd0)
d'où
![{\displaystyle \;z={\dfrac {g}{2\;v_{1}^{2}\;\cos ^{2}(\alpha _{1})}}\left[x-x_{1}\right]^{2}+\tan(\alpha _{1})\left[x-x_{1}\right]+z_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0761b51df21110ad62e852ff71f80e0bc739f1ed)
, équation cartésienne se réécrivant en remarquant que
![{\displaystyle ={\dfrac {v_{0}^{2}+2\;g\;a}{3}}\left[{\dfrac {2}{3}}+{\dfrac {v_{0}^{2}}{3\;g\;a}}\right]^{2}={\dfrac {\left[v_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{3}}{27\;g^{2}\;a^{2}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7efe3d5c571dda55790564f3dec6ea1e7ee04f29)
et
![{\displaystyle ={\sqrt {{\dfrac {1}{\left[{\dfrac {2}{3}}+{\dfrac {v_{0}^{2}}{3\;g\;a}}\right]^{2}}}-1}}={\sqrt {{\dfrac {9\;g^{2}\;a^{2}}{\left[v_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{2}}}-1}}={\dfrac {\sqrt {9\;g^{2}\;a^{2}-\left[v_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{2}}}{v_{0}^{2}+2\;g\;a}}={\dfrac {\sqrt {\left(g\;a-v_{0}^{2}\right)\left(v_{0}^{2}+5\;g\;a\right)}}{v_{0}^{2}+2\;g\;a}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/589a0cbd089caa94bf17bc70f80ac661341327c9)
d'où finalement l'équation cartésienne suivante
,
......dont on tire l'équation algébrique définissant la portée

, équation du 2
ème degré en

ou en
;
......le discriminant de cette équation du 2ème degré
étant clairement
compte-tenu de la positivité de
, l'équation a donc deux solutions réelles distinctes de signe contraire, leur produit égal à
étant en effet
, on retient donc la solution
Schéma d'un point M lancé horizontalement du sommet M
0 d'une boule de centre O, avec trois vitesses initiales différentes donnant trois positions différentes de rupture de contact M
1 repéré par θ
1 et tracé des trois trajectoires de chute libre après rupture
......Exposé (non demandé) de la résolution : on peut tout d'abord réécrire le discrimant à l'aide de l'explicitation de
![{\displaystyle a\left[1+\left({\dfrac {2}{3}}+{\dfrac {v_{0}^{2}}{3\;g\;a}}\right)\right]=a\;{\dfrac {5\;g\;a+v_{0}^{2}}{3\;g\;a}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fc4f8093a6318ef1d6db18e2720291e61b59b18)
d'où la réécriture du discriminant selon
![{\displaystyle \left(v_{0}^{2}+5\;g\;a\right){\dfrac {\left(g\;a-v_{0}^{2}\right)\left(v_{0}^{2}+2\;g\;a\right)+18\;g^{2}\;a^{2}}{\left[v_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{3}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11e473aa39ccb81d9553d1b5d0a2dd4f78452e79)
et par suite
[40] ou
![{\displaystyle \;x_{B}-x_{1}=\left[{\sqrt {\dfrac {v_{0}^{2}+5\;g\;a}{v_{0}^{2}+2\;g\;a}}}\;{\dfrac {\sqrt {\left(g\;a-v_{0}^{2}\right)\left(v_{0}^{2}+2\;g\;a\right)+18\;g^{2}\;a^{2}}}{v_{0}^{2}+2\;g\;a}}-{\dfrac {\sqrt {\left(g\;a-v_{0}^{2}\right)\left(v_{0}^{2}+5\;g\;a\right)}}{v_{0}^{2}+2\;g\;a}}\right]{\dfrac {\left[v_{0}^{2}+2\;g\;a\right]^{3}}{27\;g^{3}\;a^{2}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0d33a7be7f30eaba75ad9ea1795085704c16dd4)
soit finalement
;
......Exposé (non demandé) de la résolution : on vérifie la portée sur les trajectoires du point
après rupture de contact avec la surface de la boule représentées dans trois cas de vitesses initiales différentes :
- d'abord
et
correspondant au 1er schéma où la trajectoire après rupture est représentée en magenta, on trouve
d'où, avec
, la portée cherchée
,
- ensuite
et
correspondant au 2ème schéma où la trajectoire après rupture est représentée en marron, on trouve
d'où, avec
, la portée cherchée
,
- suivi de
[41]
et
correspondant au 3ème schéma où la trajectoire après rupture est représentée en rouge, on trouve
d'où, avec
, la portée cherchée
;
......Exposé (non demandé) de la résolution : sur le 4ème schéma sont superposés les trois tracés précédents ce qui permet de comparer les portées entre elles.
Reprise de l'étude en présence de frottements solides du point avec la boule[modifier | modifier le wikicode]
Établissement de la nature plane du mouvement du point en présence de frottements solides et maintien de contact[modifier | modifier le wikicode]
......Reprendre l'étude avec présence d'un frottement solide de cœfficients de frottements dynamique et statique communs
quand le point
est contact avec la boule pour établir que cette présence de frottements solides ne modifie pas la nature plane du mouvement éventuel [42] de
sur la boule et par conséquent la nature circulaire de sa trajectoire éventuelle [42] tant que le contact est maintenu [on utilisera le même repérage cylindro-polaire d'« axe
» avec pour « méridien de référence
» du point
sur la boule en effectuant une démonstration par récurrence
.
Solution
......Le point
lancé du « sommet
de la boule » avec un vecteur vitesse initiale
horizontal dans le sens de
, est soumis, dans la mesure où le contact entre le point et la boule n'est pas rompu dès cet instant initial, à deux forces :
- le poids du point
vertical descendant soit
et
- la réaction de la boule sur le point
laquelle a deux composantes en présence de frottements solides
......
une composante normale à la boule en
et de sens opposé à la pénétration possible du point
soit
dans lequel
et
......
une composante tangentielle [43] à la boule en
de même direction et de sens contraire à
soit
dans lequel
;
......l'application de la r.f.d.n. [2] au point
à l'instant initial dans le référentiel terrestre galiléen
lié à la boule, nous conduit au vecteur accélération initiale de
soit
contenu dans le demi plan méridien
de référence et dont la composante tangentielle
est dirigée vers l'axe
ou, en confondant ce vecteur accélération instantanée avec le vecteur accélération moyenne sur l'intervalle
c'est-à-dire
dont on déduit
contenu dans le demi plan méridien de référence comme C.L. [44] de deux vecteurs
et
de ce demi-plan [de plus comme
est une durée très petite et
finie, le sens de
s'éloigne de l'axe
comme celui de
et sa norme est légèrement plus faible à celle de
.
......Faisons l'hypothèse de récurrence «
contenu dans le demi plan méridien de référence [45], [46] s'éloignant, au sens large, de l'axe
[47] » et déduisons en que «
est contenu dans le demi plan méridien de référence [45], [46] s'éloignant, au sens large, de l'axe
[47] », en effet, à l'instant
, le point
est toujours soumis à deux forces :
- le poids du point
vertical descendant soit
et
- la réaction de la boule sur le point
laquelle a deux composantes en présence de frottements solides
......
une composante normale à la boule en
, de sens opposé à la pénétration possible du point,
dans lequel
(car nous supposons le maintien du contact entre le point et la boule) et
......
une composante tangentielle [43] de même direction et de sens contraire à
si
[le cas où
sera traité à part],
dans lequel
;
......l'application de la r.f.d.n. [2] au point
à l'instant
dans le référentiel terrestre galiléen
lié à la boule et si
, nous conduit au vecteur accélération de
à l'instant
soit
contenu dans le demi plan méridien
de référence [46]
ce qui permet de réécrire ce vecteur accélération à l'aide des vecteurs de base polaire de ce demi plan méridien de référence d'axe polaire
selon
[48], [49]
ou, en confondant ce vecteur accélération à l'instant
avec le vecteur accélération moyenne sur l'intervalle
c'est-à-dire
dont on déduit
contenu dans le demi plan méridien de référence [45] comme C.L. [44] de deux vecteurs
et
de ce demi-plan [d'une part,
étant une durée très petite et
de valeur finie (éventuellement petite) non nulle,
ne peut pas être de sens inversé relativement à
, d'autre part, suivant la valeur de l'accélération tangentielle
[49],
peut être
,
ou
à
;
......cas où
[50], faisant l'hypothèse que la position à cet instant
correspond à un équilibre, la somme des forces appliquées au point
à cet instant doit y être nulle d'où
dont on tire
qui doit être
à
selon la loi de Coulomb [51] de frottement sans glissement [52] ;
......cas où VM(tn) = 0~ref~, ~ remarque : comme à l'instant
précédent
(mais de petite norme) on a
[53] avec
[54] et
pour que
puisse
jusqu'à
, ainsi l'angle
, le cœfficient de frottement solide
et
sont liés par
dont on déduit aisément
, cette relation devant devenir
[55] pour que
puisse être nul.
......La propriété
affirmant que « le vecteur vitesse de
est dans le demi plan méridien de référence en s'éloignant, au sens large, de l'axe
[47] » est
- vérifiée pour
et
- telle que
,
......elle est donc vérifiée pour toute valeur de
et donc pour tout instant.
Détermination de l'équation caractérisant l'angle θ2 repérant la position de rupture de contact (quand celle-ci existe) du point avec la boule en présence de frottements solides et comparaison avec l'angle θ1 repérant la position de rupture de contact du point avec la boule en absence de frottements solides pour une même vitesse initiale[modifier | modifier le wikicode]
......Déterminer la composante normale
de la réaction
de la boule sur le point
glissant, à l'instant
, sur celle-ci en présence de frottements solides de cœfficients de frottements dynamique et statique communs
, [le vecteur unitaire
normal à la boule en
étant ici orienté dans le sens centripète [56]] en fonction, entre autres de l'angle
repérant
sur la boule à l'instant
et de sa vitesse angulaire
au même instant puis
......en déduire, quand il y a mouvement, la composante tangentielle