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Intégration en mathématiques : Primitives Intégration en mathématiques/Primitives », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Wikipedia-logo-v2.svg f est une fonction définie sur un intervalle I. Une primitive F de f sur I est une fonction F dérivable sur I et telle que, pour tout x appartenant à I : F'(x) est égale à f(x).
Début de l'exemple
Exemple
Soit la fonction
f
{\displaystyle f}
définie sur ℝ par
f
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle f(x)=2x}
.
La fonction
F
{\displaystyle F}
F
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle F(x)=x^{2}}
f
{\displaystyle f}
La fonction
G
{\displaystyle G}
définie sur ℝ par
G
(
x
)
=
x
2
+
1
{\displaystyle G(x)=x^{2}+1}
est une autre primitive de
f
{\displaystyle f}
sur ℝ.
Fin de l'exemple
f est une fonction définie sur un intervalle I.
Si F est une primitive de f sur I, alors f admet une infinité de primitives qui sont toutes de la forme :
F(x) + k (k étant un réel).
Proposition
Soit
f
{\displaystyle f}
une fonction admettant des primitives sur un intervalle
I
{\displaystyle I}
.
Pour tout
a
∈
I
{\displaystyle a\in I}
et tout
b
∈
R
{\displaystyle b\in \mathbb {R} }
, il existe (sur
I
{\displaystyle I}
) une primitive
F
{\displaystyle F}
de
f
{\displaystyle f}
et une seule telle que
F
(
a
)
=
b
{\displaystyle F(a)=b}
.
Début de l'exemple
Exemple
On définit la fonction
f
{\displaystyle f}
sur ℝ par
f
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle f(x)=2x}
.
Déterminer la primitive
F
{\displaystyle F}
f
{\displaystyle f}
F
(
0
)
=
4
{\displaystyle F(0)=4}
Fin de l'exemple
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
l'une des primitives de la fonction
f
{\displaystyle f}
sur l'intervalle...
c
{\displaystyle c}
c
∈
R
{\displaystyle c\in \mathbb {R} }
c
x
{\displaystyle cx}
ℝ
x
n
{\displaystyle x^{n}}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
x
n
+
1
n
+
1
{\displaystyle {\frac {x^{n+1}}{n+1}}}
ℝ
1
x
n
{\displaystyle {\frac {1}{x^{n}}}}
n
{\displaystyle n}
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
−
1
(
n
−
1
)
x
n
−
1
{\displaystyle {\frac {-1}{(n-1)x^{n-1}}}}
]-∞, 0[ ou ]0, +∞[
1
x
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x}}}}
2
x
{\displaystyle 2{\sqrt {x}}}
]0, +∞[
1
x
{\displaystyle {\frac {1}{x}}}
ln
x
{\displaystyle \ln x}
]0, +∞[
e
x
{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}}
e
x
{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}}
ℝ
sin
x
{\displaystyle \sin x}
−
cos
x
{\displaystyle -\cos x}
ℝ
cos
x
{\displaystyle \cos x}
sin
x
{\displaystyle \sin x}
ℝ
Début de l'exemple
Exemple
Soit
f
{\displaystyle f}
définie sur ℝ par
f
(
x
)
=
2
x
3
−
5
x
2
+
3
x
−
4
{\displaystyle f(x)=2x^{3}-5x^{2}+3x-4}
.
Les primitives de
f
{\displaystyle f}
F
{\displaystyle F}
F
(
x
)
=
2
x
4
4
−
5
x
3
3
+
3
x
2
2
−
4
x
+
k
=
x
4
2
−
5
x
3
3
+
3
x
2
2
−
4
x
+
k
,
{\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=2{\frac {x^{4}}{4}}-5{\frac {x^{3}}{3}}+3{\frac {x^{2}}{2}}-4x+k\\&={\frac {x^{4}}{2}}-{\frac {5x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-4x+k,\end{aligned}}}
où
k
{\displaystyle k}
est une constante appartenant à ℝ.
Fin de l'exemple
Si F et G sont deux primitives de f et g sur I, alors F + G est une primitive de f + g sur I.
Si F est une primitive de f sur I et λ un réel, alors λF est une primitive de λf sur I. Soit
u
{\displaystyle u}
f(x)=...
F(x)=...
Condition :
u
′
u
n
{\displaystyle u'u^{n}}
n ∈ ℕ*)
u
n
+
1
n
+
1
+
k
{\displaystyle {\frac {u^{n+1}}{n+1}}+k}
u
′
u
n
{\displaystyle {\frac {u'}{u^{n}}}}
n entier ≥ 2)
−
1
(
n
−
1
)
u
n
−
1
+
k
{\displaystyle -{\frac {1}{(n-1)u^{n-1}}}+k}
u
(
x
)
≠
0
{\displaystyle u(x)\neq 0}
I
{\displaystyle I}
u
′
u
{\displaystyle {\frac {u'}{\sqrt {u}}}}
2
u
+
k
{\displaystyle 2{\sqrt {u}}+k}
u
(
x
)
>
0
{\displaystyle u(x)>0}
I
{\displaystyle I}
u
′
u
{\displaystyle {\frac {u'}{u}}}
ln
(
u
)
+
k
{\displaystyle \ln(u)+k}
u
(
x
)
>
0
{\displaystyle u(x)>0}
I
{\displaystyle I}
u
′
e
u
{\displaystyle u'\mathrm {e} ^{u}}
e
u
+
k
{\displaystyle \mathrm {e} ^{u}+k}
Début de l'exemple
Exemple
Soit
f
(
x
)
=
2
x
x
2
−
1
{\displaystyle f(x)={\frac {2x}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
f
(
x
)
=
u
′
u
{\displaystyle f(x)={\frac {u'}{\sqrt {u}}}}
Avec ici :
u
(
x
)
=
x
2
−
1
{\displaystyle u(x)=x^{2}-1}
u
′
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle u'(x)=2x}
Donc l'une des primitives de
f
{\displaystyle f}
F
=
2
u
{\displaystyle F=2{\sqrt {u}}}
soit :
F
(
x
)
=
2
x
2
−
1
{\displaystyle F(x)=2{\sqrt {x^{2}-1}}}
.
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Exemple
Soit
f
(
x
)
=
6
x
2
(
x
3
+
5
)
4
{\displaystyle f(x)=6x^{2}(x^{3}+5)^{4}}
.
f
(
x
)
=
2
u
′
u
n
{\displaystyle f(x)=2u'u^{n}}
Avec ici :
u
(
x
)
=
x
3
+
5
{\displaystyle u(x)=x^{3}+5}
u
′
(
x
)
=
3
x
2
{\displaystyle u'(x)=3x^{2}}
Donc l'une des primitives de
f
{\displaystyle f}
F
=
2
u
n
+
1
n
+
1
{\displaystyle F=2{\frac {u^{n+1}}{n+1}}}
soit :
F
(
x
)
=
2
(
x
3
+
5
)
5
5
{\displaystyle F(x)={\frac {2(x^{3}+5)^{5}}{5}}}
.
Fin de l'exemple
On commence par identifier la formule à utiliser.
Puis, si nécessaire, on multiplie par un coefficient pour faire apparaître l’expression de u' souhaitée et conclure sur la primitive.
