Leçons de niveau 14

Changement de variable en calcul intégral/Intégrales contenant des fonctions trigonométriques

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Intégrales contenant des fonctions trigonométriques
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Chapitre no 2
Leçon : Changement de variable en calcul intégral
Chap. préc. :Formule fondamentale du changement de variable
Chap. suiv. :Intégrale contenant deux racines carrées de polynômes du premier degré
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Changement de variable en calcul intégral/Intégrales contenant des fonctions trigonométriques
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Plusieurs changements de variables sont envisageables selon la fonction rationnelle trigonométrique.

Nous étudierons d’abord trois cas particuliers auxquels sont appropriés trois changements de variable, déterminés par ce que l’on appelle les règles de Bioche. Nous étudierons ensuite un changement de variable qui marche dans tous les cas mais qui produit généralement des calculs plus compliqués que ceux obtenus à partir des règles de Bioche.

Règles de Bioche[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Règles de Bioche ».

Soit f(x) une fraction rationnelle en cos x et sin x. L'intégrale

se ramène à l'intégrale d'une fraction rationnelle en u à l'aide du changement de variable suivant.

1er cas : Si l’expression f(x) dx reste invariante lorsqu’on remplace x par –x, on pose :

.

2e cas : Si l’expression f(x) dx reste invariante lorsqu’on remplace x par π – x, on pose :

.

3e cas : Si l’expression f(x) dx reste invariante lorsqu’on remplace x par x + π, on pose :

.

Cas hybride : Si deux des invariances ci-dessus ont lieu alors la troisième aussi, et un meilleur changement de variable est :

.


Le « truc » pour se souvenir de ces règles est de se rappeler que le type d’invariance de l’expression f(x) dx est le même que celui de l’expression venant en égalité à u.

C’est-à-dire que :

On pose u = cos x lorsque l'expression f(x) dx est, comme cos x, invariante quand on remplace x par –x.

On pose u = sin x lorsque l'expression f(x) dx est, comme sin x, invariante quand on remplace x par π – x.

On pose u = tan x lorsque l'expression f(x) dx est, comme tan x, invariante quand on remplace x par x + π.


Nous allons donner un exemple pour chacun des trois cas.

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Exemple pour le premier cas.

Calculer :

.

La fonction f : x ↦ (tan x)/(1 + cos x) est impaire (car tan est impaire et cos est paire), donc f(x) dx est paire car

.

On utilise donc le changement de variable u = cos x. Soit

et

.

On a alors :

.

L'intégrande impliquant des fonctions trigonométriques a été réduit à une fraction rationnelle, qui peut être intégrée en utilisant la décomposition en éléments simples :

Exclamation mark white icon.svg

Exemple pour le deuxième cas.

Calculer :

.

On a :

.

On pose donc .

Soit

et

.

Il faut faire disparaître le cos x du dénominateur. On y arrive ainsi :

Exclamation mark white icon.svg

Exemple pour le troisième cas.

Calculer :

.

On a :

.

On pose donc . Soit , d’où

et

.

On a alors :

Cas général[modifier | modifier le wikicode]

Quand les règles de Bioche ne s’appliquent pas, on peut recourir à un changement de variable qui marche dans tous les cas. Mais attention, si les règles de Bioche s’appliquent, elles donnent généralement un calcul plus simple. Par conséquent, il faut éviter de se contenter de ce changement de variable sous prétexte qu’il marche dans tous les cas.

On pose

.

On a alors :

et toutes les fonctions trigonométriques disparaissent de l’intégrale.

Exclamation mark white icon.svg

Exemple

Calculer :

.

Aucune des règles de Bioche ne s’applique ici.

On pose donc :

.

On obtient :


Pour d'autres exemples sur tout ce chapitre, voir la feuille d'exercices no 2, ainsi que la précédente et les suivantes.