Leçons de niveau 14

Changement de variable en calcul intégral/Intégrales contenant des fonctions trigonométriques

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Intégrales contenant des fonctions trigonométriques
Icône de la faculté
Chapitre no 2
Leçon : Changement de variable en calcul intégral
Chap. préc. :Formule fondamentale du changement de variable
Chap. suiv. :Intégrale contenant deux racines carrées de polynômes du premier degré
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Changement de variable en calcul intégral : Intégrales contenant des fonctions trigonométriques
Changement de variable en calcul intégral/Intégrales contenant des fonctions trigonométriques
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Plusieurs changements de variables sont envisageables selon la fonction rationnelle trigonométrique.

Nous étudierons d’abord trois cas particuliers auxquels sont approprié trois changements de variable, déterminé par ce que l’on appelle les règles de Bioche. Nous étudierons ensuite un changement de variable qui marche dans tous les cas mais qui généralement emmène des calculs plus compliqués que ceux qui sont obtenues à partir des règles de Bioche.

Règles de Bioche[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Règles de Bioche ».

Considérons l’intégrale :

1er cas : Si l’expression f(x)dx reste invariante lorsqu’on remplace x par –x, on pose :

.

2eme cas : Si l’expression f(x)dx reste invariante lorsqu’on remplace x par π – x, on pose :

.

3eme cas : Si l’expression f(x)dx reste invariante lorsqu’on remplace x par x + π, on pose :

.


Le « truc » pour se souvenir de ces règles est de se rappeler que le type d’invariance de l’expression f(x)dx est le même que celui de l’expression venant en égalité à u.

C’est-à-dire que :

On pose u = cos(x), car les expressions cos(x) et f(x).dx sont, toutes les deux, invariantes quand on remplace x par –x.

On pose u = sin(x), car les expressions sin(x) et f(x).dx sont, toutes les deux, invariantes quand on remplace x par π – x.

On pose u = tan(x), car les expressions tan(x) et f(x)dx sont, toutes les deux, invariantes quand on remplace x par x + π.


Nous allons donner un exemple pour chacun des trois cas.

Exclamation mark white icon.svg

Exemple pour le premier cas.

Calculer :

.

On a :

.

On pose donc .

Soit

et

.

On a alors :

Exclamation mark white icon.svg

Exemple pour le deuxième cas.

Calculer :

.

On a :

.

On pose donc .

Soit

et

.

Il faut faire disparaître le cos(x) du dénominateur. On y arrive ainsi :

Exclamation mark white icon.svg

Exemple pour le troisième cas.

Calculer :

.

On a :

.

On pose donc . Soit , d’où

et

.

On a alors :

Cas général[modifier | modifier le wikicode]

Quand les règles de Bioche ne s’appliquent pas, on peut recourir à un changement de variable qui marche dans tous les cas. Mais attention, si les règles de Bioche s’appliquent, elles donnent généralement un calcul plus simple. Par conséquent, il faut éviter de se contenter de ce changement de variable sous prétexte qu’il marche dans tous les cas.

On pose

.

On montre que l’on a alors :

et toutes les fonctions trigonométriques disparaissent de l’intégrale.

Exclamation mark white icon.svg

Exemple

Calculer :

.

Aucune des règles de Bioche ne s’applique ici.

On pose donc :

.

On obtient :

Pour d'autres exemples sur tout ce chapitre, voir la feuille d'exercices no 2, ainsi que la précédente et les suivantes.