Leçons de niveau 15

Espaces vectoriels normés/Exercices/Normes

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Normes
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Exercices no2
Leçon : Espaces vectoriels normés
Chapitre du cours : Définitions - Éléments de Topologie

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Applications linéaires continues
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Espaces vectoriels normés/Exercices/Normes
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Dans tous les exercices ou .

Exercice 1-1 : normes sur [modifier | modifier le wikicode]

Montrer que les normes sur sont de la forme et désigne la valeur absolue () ou le module ().

Exercice 1-2 : normes usuelles sur [modifier | modifier le wikicode]

Rappelons les normes usuelles sur données dans le cours en tant qu'exemple :

  • pour  :  ;
  • .
  1. Représenter graphiquement les boules unité de muni respectivement des normes .
  2. Montrer que ces normes sont équivalentes, et déterminer les constantes optimales dans les inégalités.
  3. Montrer plus généralement que les normes sur sont équivalentes, et déterminer les constantes optimales.

Exercice 1-3 : quelques normes sur les polynômes[modifier | modifier le wikicode]

  1. Montrer que les applications suivantes sont des normes sur l'espace des polynômes réels :
    •  ;
    •  ;
    • .
  2. Soient , nombres réels distincts. Montrer que pour tout , l'application suivante est une norme sur le sous-espace des polynômes de degré au plus  :
    , où est la norme sur .
  3. Montrer que pour tout , il existe une constante (qu'on ne demande pas d'expliciter) telle que :
    .
  4. Est-ce encore vrai sur  ? (On pourra considérer la suite des polynômes .)

Exercice 1-4 : norme et produit scalaire[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Normes issues d'un produit scalaire ».

L'objectif de cet exercice est d'étudier le lien entre norme et produit scalaire. On considère donc un espace vectoriel réel muni d'un produit scalaire (on se restreint ici au cas réel pour simplifier).

  1. Démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz : (regarder le produit scalaire pour et choisir une valeur de particulière).
  2. Vérifier que l'application :

    définit une norme sur .
    Cet exemple constitue l'un des exemples classiques de norme à connaître.
  3. Montrer que cette norme vérifie l'égalité, dite du parallélogramme : et que .
  4. Montrer que la norme sur n'est pas issue d'un produit scalaire.
  5. Nous cherchons maintenant à caractériser les normes provenant d'un produit scalaire, et nous allons voir que ce sont exactement les normes vérifiant l'égalité du parallélogramme. On considère donc à présent un e.v.n. réel tel que vérifie .
    On pose . Clairement, est symétrique et . Pour montrer que est un produit scalaire dont la norme associée est , il reste donc à vérifier que est linéaire à gauche, ce qui impliquera la bilinéarité. Soit .
    1. Montrer que .
    2. En déduire que .
    3. Montrer que .
    4. Conclure.

Exercice 1-5 : normes usuelles sur [modifier | modifier le wikicode]

Dans cette exercice, on va s'intéresser aux normes usuelles sur pour , l'espace vectoriel des fonctions continues de dans , et les comparer entre elles. En particulier, nous allons voir que ces normes ne sont pas équivalentes, ce qui constitue le premier exemple de normes non-équivalentes. On considère ainsi les trois normes définies par :

.
  1. Vérifier que ces trois applications sont bien des normes.
  2. Soit . Montrer les deux inégalités suivantes, et montrer qu'elles sont optimales :
  3. Montrer que ces trois normes ne sont pas équivalentes entre elles.