Leçons de niveau 15

Fonctions convexes/Applications de l'inégalité de Jensen

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Applications de l'inégalité de Jensen
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Chapitre no 3
Leçon : Fonctions convexes
Chap. préc. :Fonctions convexes dérivables
Chap. suiv. :Épigraphe d'une fonction convexe

Exercices :

Sur l’inégalité de Jensen
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L’inégalité de Jensen est une généralisation de l’inégalité de convexité à plusieurs nombres. Elle permet de démontrer des inégalités portant sur des expressions faisant intervenir plusieurs nombres, comme la comparaison entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique de plusieurs nombres. La plupart de ces inégalités seraient délicates à démontrer autrement.

Préliminaire[modifier | modifier le wikicode]

Rappelons le théorème démontré au premier chapitre et connu sous le nom d’inégalité de Jensen.

Début d’un théorème


Fin du théorème


Nous avons aussi le corollaire immédiat suivant :




Il suffit de poser λ1 = λ2 = … = λn = 1/n dans le théorème de Jensen. Nous allons voir plusieurs applications de l’inégalité de Jensen.

Application 1 : Comparaison entre moyenne géométrique et moyenne arithmétique[modifier | modifier le wikicode]


Début d'une démonstration


Fin de la démonstration

Application 2 : Comparaison entre moyenne arithmétique et moyenne quadratique[modifier | modifier le wikicode]


Début d'une démonstration


Fin de la démonstration




Application 3 : démonstration de l'inégalité de Hölder[modifier | modifier le wikicode]

L'inégalité de Young ci-dessous — donc aussi de celle de Hölder, qui s'en déduit — n'est pas une application de celle de Jensen mais une application directe de l'inégalité de convexité (début du chap. 1).

Début d’un théorème


Fin du théorème





Application 4 : forme intégrale de l'inégalité de Jensen[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


La forme discrète de l’inégalité de Jensen (voir supra) correspond au cas particulier où ne prend qu'un ensemble fini ou dénombrable de valeurs. Inversement, la forme intégrale peut se déduire de la forme discrète par des arguments de densité (à comparer avec l'exercice 1.4). Mais on peut aussi en donner une preuve directe :

On déduit entre autres de ce théorème une forme intégrale de l'inégalité de Hölder qui, de même, généralise l'inégalité de Hölder discrète ci-dessus : cf. Exercice 1-5.