Leçons de niveau 15

Espace préhilbertien réel/Produit scalaire

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Produit scalaire
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Chapitre no 2
Leçon : Espace préhilbertien réel
Chap. préc. :Formes bilinéaires symétriques
Chap. suiv. :Orthogonalité

Exercices :

Polynômes de Legendre
Exercices :Polynômes de Laguerre
Exercices :Exercices sur le produit scalaire
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Espace préhilbertien réel/Produit scalaire
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Produit scalaire[modifier | modifier le wikicode]

Définitions[modifier | modifier le wikicode]


On suppose désormais que E est un espace préhilbertien réel, c'est-à-dire on suppose avoir muni E d'un produit scalaire.

Début d’un principe
Fin du principe

Rappel[modifier | modifier le wikicode]

(Cf. chapitre précédent.)

Début d’un théorème
Fin du théorème


Norme, distance[modifier | modifier le wikicode]

Définitions[modifier | modifier le wikicode]


On pourra utiliser des notions de topologie pour montrer qu'on obtient bien une norme. La norme préhilbertienne est alors appelée « norme 2 », et est notée . Le but de ce chapitre n'étant pas de faire de la topologie on s'en tiendra à la notation simple.

Nuvola apps edu mathematics-p.svg Voir le cours sur les espaces vectoriels normés pour plus de détails sur les normes.


Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème


L'identité du parallélogramme est importante car on peut montrer qu'une norme est préhilbertienne si et seulement si elle vérifie l'identité du parallélogramme. C'est le théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan, dont la démonstration est laissée en exercice.

Exemples fondamentaux[modifier | modifier le wikicode]

Outre l'exemple du produit scalaire canonique sur , décrit dans la leçon sur les espaces euclidiens qui figure en prérequis, on peut mentionner celui sur qui n'en est qu'un cas particulier déguisé (cf. Trace et transposée de matrice/Espace euclidien sur un ensemble de matrices), mais aussi des exemples sur des espaces de dimension infinie :


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début de l'exemple
Fin de l'exemple