Espace préhilbertien réel/Produit scalaire

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Produit scalaire

Définitions

Définition

On appelle produit scalaire sur E toute forme bilinéaire symétrique définie positive sur E.

On appelle alors espace préhilbertien réel tout $\mathbb {R}$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire.

On suppose désormais que E est un espace préhilbertien réel, c'est-à-dire on suppose avoir muni E d'un produit scalaire.

Début d’un principe

Convention de notation

On notera ce produit scalaire $\langle \cdot |\cdot \rangle$ (au lieu de $f(\cdot ,\cdot )$.

Fin du principe

Rappel

(Cf. chapitre précédent.)

Début d’un théorème

Inégalité de Cauchy-Schwarz

$\forall (x,y)\in E^{2},~\langle x|y\rangle ^{2}\leq \langle x|x\rangle \langle y|y\rangle$

On a égalité si et seulement si $(x,y)$ est liée.

Fin du théorème

Norme, distance

Définitions

Définition

On définit sur E la norme préhilbertienne $||\cdot ||$, c'est-à-dire associée au produit scalaire $\langle \cdot |\cdot \rangle$, par $\forall x\in E,~||x||={\sqrt {\langle x|x\rangle }}$.

On pourra utiliser des notions de topologie pour montrer qu'on obtient bien une norme. La norme préhilbertienne est alors appelée « norme 2 », et est notée $||\cdot ||_{2}$. Le but de ce chapitre n'étant pas de faire de la topologie, on s'en tiendra à la notation simple.

→ Voir le cours sur les espaces vectoriels normés pour plus de détails sur les normes.

Définition

On définit la distance d associée à la norme ||.|| comme étant l’application :

${\begin{array}{ccccc}d&:&E^{2}&\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&(x,y)&\mapsto &||x-y||\end{array}}$

Propriétés

Début d’un théorème

Théorème

Inégalité triangulaire

• $\forall (x,y)\in E^{2}\quad \|x\|-\|y\|\leq \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$
• $\forall (x,y)\in E^{2}\quad \|x\|-\|y\|\leq \|x-y\|\leq \|x\|+\|y\|$

Identité du parallélogramme

• $\forall (x,y)\in E^{2}\quad \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}$

Formules de polarisation

• $\forall (x,y)\in E^{2}\quad \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\langle x|y\rangle$
• $\forall (x,y)\in E^{2}\quad \|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}=4\langle x|y\rangle$

Fin du théorème

L'identité du parallélogramme est importante car on peut montrer qu'une norme est préhilbertienne si et seulement si elle vérifie l'identité du parallélogramme. C'est le théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan, dont la démonstration est traitée en exercice :

Faites ces exercices : Espaces vectoriels normés/Exercices/Normes#Exercice 1-4 : norme et produit scalaire.

Exemples fondamentaux

Outre l'exemple du produit scalaire canonique sur $\mathbb {R} ^{n}$, décrit dans la leçon sur les espaces euclidiens qui figure en prérequis, on peut mentionner celui sur $\operatorname {M} _{m,n}(\mathbb {R} )$ qui n'en est qu'un cas particulier déguisé (cf. Trace et transposée de matrice/Espace euclidien sur un ensemble de matrices), mais aussi des exemples sur des espaces de dimension infinie :

Début de l'exemple

Produit scalaire et norme dans C([a,b])

$E={\mathcal {C}}([a,b])$ muni du produit scalaire $\forall (f,g)\in E^{2}\quad \langle f|g\rangle =\int _{a}^{b}f(t)g(t)~\mathrm {d} t$

• La norme associée est la norme 2 : $\forall f\in E\quad \|f\|_{2}={\sqrt {\int _{a}^{b}f(t)^{2}~\mathrm {d} t}}$
• L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit : $\forall (f,g)\in E^{2}\quad \left(\int _{a}^{b}f(t)g(t)~\mathrm {d} t\right)^{2}\leq \left(\int _{a}^{b}f(t)^{2}~\mathrm {d} t\right)\left(\int _{a}^{b}g(t)^{2}~\mathrm {d} t\right)$

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Produit scalaire et norme dans l²(R)

$E=\ell ^{2}(\mathbb {R} )$ muni du produit scalaire $\forall (u,v)\in E^{2}\quad \langle u|v\rangle =\sum _{n=0}^{+\infty }u_{n}v_{n}$

• La norme associée est la norme 2 : $\forall u\in E\quad \|u\|_{2}={\sqrt {\sum _{n=0}^{+\infty }u_{n}^{2}}}$
• L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit : $\forall (u,v)\in E^{2}\quad \left(\sum _{n=0}^{+\infty }u_{n}v_{n}\right)^{2}\leq \left(\sum _{n=0}^{+\infty }u_{n}^{2}\right)\left(\sum _{n=0}^{+\infty }v_{n}^{2}\right)$

Fin de l'exemple