Espaces vectoriels normés/Exercices/Applications linéaires continues

Leçons de niveau 15
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Applications linéaires continues
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Exercices no2
Leçon : Espaces vectoriels normés
Chapitre du cours : Limites et continuité

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Normes
Exo suiv. :Dimension finie
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Espaces vectoriels normés/Exercices/Applications linéaires continues
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Exercice 2-1[modifier | modifier le wikicode]

On considère l'application linéaire définie par . Calculer la norme d'opérateur associée, selon que l'on munit de la norme , de la norme ou de la norme .

On considère la matrice . Calculer la norme d'opérateur de lorsqu'on prend sur la norme , puis la norme .

Exercice 2-2[modifier | modifier le wikicode]

muni de la norme de la convergence uniforme.

Montrer que et calculer .

Exercice 2-3[modifier | modifier le wikicode]

Soient un -espace vectoriel normé et une forme linéaire. Montrer que est continue si et seulement si son noyau est fermé.

Exercice 2-4[modifier | modifier le wikicode]

Soit l'espace vectoriel des fonctions continues sur , muni de la norme

.

On considère l'application linéaire définie par , pour .

  1. Montrer que est continue et .
  2. En considérant la suite définie par , montrer que .
  3. Montrer qu'il n'existe pas de fonction non nulle telle que .