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Exercice : Applications linéaires continues
Espaces vectoriels normés/Exercices/Applications linéaires continues », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On considère l'application linéaire définie par . Calculer la norme d'opérateur associée, selon que l'on munit de la norme , de la norme ou de la norme .
Solution
La question étant ambiguë, on se contentera d'examiner les trois cas où la norme choisie sur l'espace d'arrivée est la même que sur l'espace de départ (sinon, il y aurait 6 autres cas à traiter).
- est une similitude (indirecte) de rapport (c'est-à-dire que ) donc pour , .
- Pour , car , avec égalité par exemple pour .
- Pour , car , avec égalité par exemple pour .
On considère la matrice . Calculer la norme d'opérateur de lorsqu'on prend sur la norme , puis la norme .
Solution
- Pour , car , avec égalité par exemple pour .
- Pour , car , avec égalité par exemple pour .
Pour un énoncé général, voir la proposition dans Analyse numérique et calcul scientifique/Généralités sur les matrices#Norme subordonnée.
muni de la norme de la convergence uniforme.
Montrer que et calculer .
Solution
- La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de .
- Soit . On a
- .
- Conclusion : et .
- On pose pour tout la fonction qui :
- vaut sur ;
- vaut sur ;
- est affine sur .
- On a et l'on montre que .
Finalement, .
Soient un -espace vectoriel normé et une forme linéaire. Montrer que est continue si et seulement si son noyau est fermé.
Soit l'espace vectoriel des fonctions continues sur , muni de la norme
- .
On considère l'application linéaire définie par , pour .
- Montrer que est continue et .
- En considérant la suite définie par , montrer que .
- Montrer qu'il n'existe pas de fonction non nulle telle que .
Solution
- .
- Pour tout , et donc , si bien que . Joint à la question précédente, ceci prouve que .
- Montrons que pour toute fonction non nulle , . Puisque est non nulle et continue, il existe et un intervalle non trivial tels que sur , . On a alors : .