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Exercice : Ensembles infinis
Introduction aux mathématiques/Exercices/Ensembles infinis », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Démontrer que
et
ont la puissance du continu.
Solution
D'après les propriétés des bijections canoniques,
.
On considère les sous-espaces vectoriels suivants (emboîtés) du
-espace vectoriel
des suites réelles :
,
le sous-espace vectoriel des suites de limite nulle et
le sous-espace vectoriel des suites bornées.
- Vérifier que pour tout réel
, la suite
définie par
appartient à tous ces sous-espaces vectoriels.
- On admettra (ou démontrera, en pensant aux matrices de Vandermonde) que la famille de suites
est libre. En déduire que tous les sous-espaces vectoriels mentionnés sont de dimension au moins
.
- En déduire tous ces espaces de suites sont à la fois de dimension et de cardinal
.
- Montrer que si
est un ensemble dénombrable et
, alors
est dénombrable.
- En déduire que toute partie cofinie (c'est-à-dire de complémentaire fini) d'un ensemble dénombrable est dénombrable.
Un ensemble
est dit :
- infini au sens (faible) usuel s'il n'est pas fini, c'est-à-dire s'il n'est équipotent à
pour aucun
;
- infini au sens (fort) de Dedekind s'il est équipotent à l'une de ses parties propres, c'est-à-dire à une partie
différente de
.
Bien que ce ne soit pas utile ici, rappelons (cf. cours) qu'avec une version faible de l'axiome du choix, tout ensemble infini au sens usuel contient un ensemble dénombrable. Dans le présent exercice, on ne suppose aucun axiome du choix.
- Montrer que tout ensemble infini au sens de Dedekind est infini au sens usuel.
- Montrer que si
contient un ensemble dénombrable alors
est infini au sens de Dedekind. Indication : utiliser la question 1 de l'exercice précédent.
- Démontrer la réciproque. Indication : soit
un ensemble équipotent à l'une de ses parties propres,
, via une bijection
, soit
, et soit
la suite définie par récurrence par
; montrer par descente infinie qu'il n'existe aucun
tel que :
.
Solution
- Démontrons la contraposée. Soit E un ensemble fini. D'après le cours, pour toute partie propre A de E, on a card(A) < card(E), donc E n'est pas équipotent à A.
- Soit
un ensemble contenant une partie dénombrable
, et soit
. D'après la question 1 de l'exercice précédent, il existe une bijection
de
dans
. L'ensemble
est alors infini au sens de Dedekind car équipotent à la partie propre
. En effet,
s'étend en une bijection
en posant : 
- Réciproquement, soit
un ensemble infini au sens de Dedekind. Avec les notations de l'indication, supposons qu'il existe
tels que
et
. On aurait alors
et, pour
:
donc
puis, pour
:
donc (par injectivité de
)
; de plus,
(car
). On a donc montré que s'il existe un entier naturel
tel que
, alors il existe un entier naturel
vérifiant la même propriété. Par descente infinie, ceci prouve qu'il n'existe aucun tel
, c'est-à-dire que
. Autrement dit : l'application
est injective. Par conséquent, elle réalise une bijection de
sur son image,
, qui est donc une partie dénombrable de
.
Soit X un ensemble contenant une partie dénombrable et soit N un ensemble fini ou dénombrable. Montrer que X∪N est équipotent à X.
Solution
Quitte à remplacer N par N\X (ce qui ne modifie ni l'hypothèse sur N, ni l'ensemble X∪N), on peut supposer que N est disjoint de X.
Soit D une partie dénombrable de X. Alors, D∪N est dénombrable donc il existe une bijection
.
Elle s'étend en une bijection
en posant
On rappelle que l'ensemble
des applications de
dans
est équipotent à
, et que
désigne le sous-ensemble des bijections de
dans
. On note
,
et
les parties de
constituées respectivement des injections non surjectives, des surjections non injectives et des applications ni injectives, ni surjectives.
- Montrer que
et
sont non vides.
- Soient
et
. Expliquer rapidement pourquoi
,
et
sont des injections de
dans (respectivement)
,
et
. (On rappellera, sans les démontrer, les propriétés utilisées reliant injectivité, surjectivité et composition.)
- Pour toute partie
de
, on définit
par : pour tout
,
et
et pour tout
,
et
. Montrer que
est bijective, en précisant sa bijection réciproque.
- On considère l'application
. Montrer qu'il existe une application
telle que
.
- Déduire des questions 4 et 2 que
,
,
et
sont équipotents à
.
Solution
- Par exemple :
est une injection non surjective et
est une surjection non injective.
- Si
alors :
est injective (comme composée de deux injections) ; elle n'est pas surjective (car
ne l'est pas). Si
alors
(par injectivité de
) ;
est surjective (comme composée de deux surjections) ; elle n'est pas injective (car
ne l'est pas). Si
alors
(par surjectivité de
) ;
- pour les mêmes raisons,
n'est ni surjective, ni injective, et si
alors
.
est bijective, de réciproque elle-même, car
.
- Par exemple, l'application
définie par
convient car
.
- D'après 4,
est injective donc le cardinal de
est minoré par
. D'après 2, il est majoré par
,
et
, qui sont eux-mêmes majorés par
. Tous ces cardinaux sont donc égaux.
Montrer que tout intervalle réel non trivial (c'est-à-dire contenant au moins deux réels) a la puissance du continu.
Solution
L'application
est bijective.
Pour tous réels
, les applications
![{\displaystyle {\begin{cases}\left]0,1\right[\to \left]a,b\right[,&t\mapsto (1-t)a+tb\\\left]0,1\right[\to \left]a,+\infty \right[,&t\mapsto a+{\frac {1}{t}}\\\left]0,1\right[\to \left]-\infty ,a\right[,&t\mapsto a-{\frac {1}{t}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a48b2a49c98460d415db648a65634f59c547926)
sont bijectives.
Donc tout intervalle ouvert non vide a la puissance du continu.
On en déduit que tout intervalle non trivial non ouvert a aussi la puissance du continu, car il s'obtient en ajoutant un ou deux points à un intervalle ouvert non vide I. Or, comme I est infini, cet ajout ne modifie pas son cardinal (cf. exercice 1-4 ci-dessus).
On rappelle (pour les questions 2 et 3) que pour tous cardinaux
:
.
Dans chacune des trois listes suivantes, comparer entre eux les cardinaux des 5 ensembles, par des inégalités strictes ou des égalités.
.
.
.
Solution
- D'après le théorème de Cantor,
et
.
D'après la bijection canonique entre
et
(pour tout ensemble
),
.
Enfin, nous savons que
.
En résumé :
.
est dénombrable donc
.
Par définition de la somme de deux cardinaux,
donc d'après le premier rappel,
.
est dénombrable donc
, donc
.
En résumé :
.
Enfin,
et
donc (d'après le théorème de Cantor-Bernstein)
.
Les cinq ensembles de cette liste ont donc la puissance du continu.
est dénombrable donc
.
D'après le second rappel,
.
De même,
donc (puisque
, cf. question précédente)
.
.
En résumé :
.