Leçons de niveau 14

Introduction aux mathématiques/Exercices/Ensembles infinis

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Ensembles infinis
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Exercices no1
Leçon : Introduction aux mathématiques
Chapitre du cours : Rudiments de combinatoire

Ces exercices sont de niveau 14.

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Introduction aux mathématiques/Exercices/Ensembles infinis
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Exercice 1-1[modifier | modifier le wikicode]

Démontrer que et ont la puissance du continu.

Exercice 1-2[modifier | modifier le wikicode]

  1. Montrer que si est un ensemble dénombrable et , alors est dénombrable.
  2. En déduire que toute partie cofinie (c.-à-d. de complémentaire fini) d'un ensemble dénombrable est dénombrable.

Exercice 1-3[modifier | modifier le wikicode]

Un ensemble est dit :

  • infini au sens (faible) usuel s'il n'est pas fini, c.-à-d. s'il n'est équipotent à pour aucun  ;
  • infini au sens (fort) de Dedekind s'il est équipotent à l'une de ses parties propres, c'est-à-dire à une partie différente de .

Bien que ce ne soit pas utile ici, rappelons (cf. cours) qu'avec une version faible de l'axiome du choix, tout ensemble infini au sens usuel contient un ensemble dénombrable. Dans le présent exercice, on ne suppose aucun axiome du choix.

  1. Montrer que tout ensemble infini au sens de Dedekind est infini au sens usuel.
  2. Montrer que si contient un ensemble dénombrable alors est infini au sens de Dedekind. Indication : utiliser la question 1 de l'exercice précédent.
  3. Démontrer la réciproque. Indication : soit un ensemble équipotent à l'une de ses parties propres, , via une bijection , soit , et soit la suite définie par récurrence par  ; montrer par descente infinie qu'il n'existe aucun tel que : .

Exercice 1-4[modifier | modifier le wikicode]

Soit X un ensemble contenant une partie dénombrable et soit N un ensemble fini ou dénombrable. Montrer que XN est équipotent à X.

Exercice 1-5[modifier | modifier le wikicode]

On rappelle que l'ensemble des applications de dans est équipotent à , et que désigne le sous-ensemble des bijections de dans . On note , et les parties de constituées respectivement des injections non surjectives, des surjections non injectives et des applications ni injectives, ni surjectives.

  1. Montrer que et sont non vides.
  2. Soient et . Expliquer rapidement pourquoi , et sont des injections de dans (respectivement) , et . (On rappellera, sans les démontrer, les propriétés utilisées reliant injectivité, surjectivité et composition.)
  3. Pour toute partie de , on définit par : pour tout , et et pour tout , et . Montrer que est bijective, en précisant sa bijection réciproque.
  4. On considère l'application . Montrer qu'il existe une application telle que .
  5. Déduire des questions 4 et 2 que , , et sont équipotents à .