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Exercice 6-1
Construire dans le plan :
un convexe d'aire infinie mais ne contenant aucun point de ;
une partie symétrique par rapport à l'origine et d'aire infinie mais ne contenant aucun point de .
Solution
;
.
Exercice 6-2
On rappelle les deux points du théorème de Minkowski :
Soit un convexe symétrique par rapport à .
Si , alors contient au moins un élément non nul de .
Si et si est compact, on a la même conclusion.
Montrez que chacun des deux points se déduit de l'autre.
car si est compact et si , la suite est bornée donc (quitte à la remplacer par une sous-suite) convergente : . Alors, appartient au fermé , mais aussi au fermé car . (Variante de raisonnement, évitant d'extraire une sous-suite : la suite , à valeurs discrètes et bornées, prend une infinité de fois la même valeur . Alors, pour des arbitrairement grands, donc la limite appartient au fermé .)
Exercice 6-3
Soit un entier .
Démontrer le « principe des tiroirs pour les mesures » :
Soient un espace mesuré et une suite de parties mesurables de .
Si , alors il existe un point de appartenant à au moins de ces parties.
En déduire le théorème de Blichfeldt :
Soit une partie Lebesgue-mesurable de .
Si , alors contient points distincts dont les différences sont à coordonnées entières.
En notant l'indicatrice de toute partie de , on a donc la fonction est strictement supérieure à en au moins un point[1].
Supposons et notons . Par les mêmes arguments que dans le cas (lemme de Blichfeldt du cours), on a : . D'après le principe des tiroirs, il existe donc au moins un point et vecteurs distincts tels que . Les points sont alors distincts, et leurs différences sont bien à coordonnées entières[2].
Le second point se déduit du premier exactement comme dans l'exercice précédent[3].
Soit un nombre premier . Il existe donc[7] des entiers tels que . En considérant le réseau pour et la boule[8] ouverte de centre et de rayon , démontrer que
est somme de quatre carrés.
En utilisant l'identité des quatre carrés d'Euler[9], selon laquelle le produit de deux sommes de quatre carrés est une somme de quatre carrés, en déduire le théorème des quatre carrés de Lagrange :
tout entier positif est somme de quatre carrés.
Solution
Le covolume de est et le volume de est . D'après le théorème de Minkowski, il existe donc .
Puisque , on a et donc .
Puisque , on a .
Par conséquent, .
Il suffit, pour compléter l'argument, de vérifier que , et sont aussi sommes de quatre carrés.
Exercice 6-6
Soient et . Montrer qu'il existe :
tels que et (considérer ) ;
tels que , et .
Solution
Le convexe (-symétrique) est un cyclindre oblique de base et de hauteur , donc de volume . Il est compact donc contient un point non nul .
Si , on peut choisir .
Si , donc , et l'on cherche un autre (avec ) tel que . En prenant les deux entiers les plus proches de et , on a bien .
Un cas particulier du corollaire du théorème de Minkowski sur les formes linéaires est : . Pour , il donne : .
Exercice 6-7
Soient et deux entiers. Montrer que pour tout réel , il existe deux entiers et tels que , et .
Appliquons le théorème de Minkowski pour les formes linéaires à . Alors, donc il existe un vecteur non nul tel que (donc ), et . De plus, car sinon, on aurait donc et , c'est-à-dire , ce qui est exclu car . On peut donc choisir (en remplaçant si nécessaire par son opposé).
Exercice 6-8
Soient réels , et un entier . Démontrer qu'il existe un entier et des entiers relatifs tels que
.
Indication :
1re méthode : imiter la preuve du cas vue au chapitre 2 (Application du principe des tiroirs) en considérant la partie fractionnaire de multiples convenables des et en découpant l'hypercube en sous-hypercubes adéquats.
1re méthode (Hardy et Wright theorem 200, en rectifiant la ligne 5 de leur preuve) : partitionnons le « cube unité semi-ouvert » en sous-cubes semi-ouverts de côté . En notant la partie fractionnaire de tout réel , considérons les points (non nécessairement distincts) D'après le principe des tiroirs, l'un des sous-cubes contient deux de ces points, et avec . Alors, l'entier vérifie et pour tout , l'entier vérifie .
2e méthode : posons , , et pour tout , . La matrice associée aux est triangulaire et donc d'après le théorème de Minkowski pour des formes linéaires, il existe tel que . L'entier est alors forcément non nul, sinon tous les entiers le seraient aussi car on aurait . On peut donc se ramener au cas en remplaçant si nécessaire par son opposé.
Notes et références
↑Erreur Lua dans Module:Date à la ligne 216 : attempt to call field 'erreur' (a nil value)., Proposition 5.9, p. 30.
↑Jesús A. De Loera et Raymond Hemmecke, Algebraic and Geometric Ideas in the Theory of Discrete Optimization, SIAM, 2013 [lire en ligne], p. 41-42.