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Exercice : Équicontinuité
Topologie générale/Exercices/Équicontinuité », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soient K un espace compact, E un espace métrique et A un ensemble équicontinu de fonctions de K dans E.
Montrer que sur A, la topologie de la convergence simple et celle de la convergence uniforme coïncident.
Solution
Soit f un élément de A. Pour toute partie I de K, notons
- .
Une base de voisinages de f dans A pour la topologie de la convergence uniforme (resp. simple) est donnée par les pour tout réel (resp. les pour tout réel et toute partie finie I de K).
On a évidemment . Montrons que réciproquement, pour tout réel , il existe une partie finie I de K telle que
.
Par équicontinuité de A, tout point x de K appartient à un ouvert tel que pour tout g de A (en particulier pour g = f)
- .
Par compacité, K est recouvert par un nombre fini de ces ouverts : pour une certaine partie finie I de K.
Pour tout , soit tel que . Pour tout on a , d'où
- ,
d'où l'inclusion voulue.
Les deux ensembles suivants sont-ils équicontinus ?
- ;
- .
- Soit la suite de fonctions de dans définie par . En quels points l'ensemble est-il équicontinu ?
- Même question pour l'ensemble des fonctions définies par .
Solution
- Les sont continues mais leur limite simple est discontinue au point 1 donc en ce point, n'est pas équicontinu.
- En revanche, est équicontinu sur , et même uniformément équicontinu sur pour tout . En effet, d'après le théorème des acroissements finis,
- or quand , donc borné.
- Les sont continues mais leur limite simple est discontinue au point 0 donc en ce point, n'est pas équicontinu.
- En revanche, est équicontinu sur , et même uniformément équicontinu sur pour tout , par le même raisonnement que ci-dessus. En effet,
- quand .
Soient deux espaces métriques, et une suite de fonctions de dans , équicontinue en . On suppose que .
- Montrer que si alors .
- Ce résultat est-il encore vrai si l'on ne suppose plus l'équicontinuité ? On pourra considérer la suite et .
Solution
- Soit . Il existe :
- tel que ;
- tel que .
- Alors, , d'où la propriété annoncée.
- Non : dans l'exemple proposé on a , , mais .
Soit l'espace de Banach des fonctions höldériennes d'exposant de dans , muni de la norme
- .
On note la boule unité fermée de , et l'on rappelle que pour tout , .
- Montrer que pour tout , est relativement compact dans .
- Montrer que est équicontinue.
- Dans , montrer que est fermée et en déduire qu'elle est compacte.
Soit et définie par
- .
Soit une suite bornée de .
- Montrer que est uniformément continue.
- Montrer que est équicontinue.
- Montrer que admet une sous-suite convergente.
Solution
- est continue sur le compact + théorème de Heine.
- D'après la question précédente, , en particulier donc pour .
- Pour tout , relativement compact dans car borné (par ) donc d'après le théorème d'Ascoli (et la question précédente), est compact.
On considère l'espace de Banach , muni de sa norme habituelle .
Pour tout , on pose, pour , et :
- ;
- .
Soit un sous-ensemble fermé tel que :
- (i) est borné ;
- (ii) quand ;
- (iii) quand .
On cherche à montrer que est compact dans car complet et précompact.
- Montrer que pour tout , est continue et intégrable.
- Montrer que quand .
- Montrer que pour tout , l'ensemble est équicontinu.
- En déduire que pour tout , est d'adhérence compacte dans , puis dans .
- Montrer que est compact dans .
Solution
- est continue par convergence dominée. Elle est intégrable car .
- donc
,
si bien que quand , .
- donc
quand .
- est équicontinu et est borné pour tout (par ) donc par le théorème d'Ascoli, est d'adhérence compacte dans .
Pour tout , est donc recouvert par un nombre fini de -boules pour la norme sup sur . Elles sont contenues dans les boules pour la norme de mêmes centres et de rayon , qui recouvrent donc également . Ainsi, est précompact dans qui est complet, donc est d'adhérence compacte dans .
- Soit . D'après 2), il existe tel que et a fortiori, .
D'après (iii), il existe tel que .
Pour tout on a alors : .
D'après 4), l'ensemble de ces est recouvert par un nombre fini de -boules dans . Tout élément de est donc dans l'une des -boules de mêmes centres.
Ceci prouve que est précompact dans , donc compact puisqu'on l'a supposé fermé et que est complet.
Soit un sous-espace fermé de l'espace vectoriel des fonctions continues de dans . Montrer que :
- si toute application est de classe C1, alors est de dimension finie ;
- si toute application est höldérienne, alors est de dimension finie. (Indication : considérer les .)
Solution
Dans les deux cas, il s'agit, d'après le théorème de Riesz et celui d'Ascoli, de démontrer que la boule unité fermée de est équicontinue.
- Par le théorème du graphe fermé et le théorème d'interversion limite-dérivée, l'opérateur de dérivation, de dans est continu, si bien qu'il existe une constante telle que . On conclut à l'aide du théorème des accroissements finis.
- et les sont fermés dans . Le théorème de Baire implique donc que pour assez grand, est d'intérieur non vide. Il contient alors une boule fermée de rayon . Pour toute , en utilisant le fait que , on en déduit :
, ce qui conclut.
« Théorème de Stone-Weierstrass – Théorème d'Ascoli », sur exo7