Leçons de niveau 16

Topologie générale/Exercices/Équicontinuité

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Équicontinuité
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Exercices no9
Leçon : Topologie générale
Chapitre du cours : Équicontinuité

Exercices de niveau 16.

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Topologie générale/Exercices/Équicontinuité
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Soient K un espace compact, E un espace métrique et A un ensemble équicontinu de fonctions de K dans E.

Montrer que sur A, la topologie de la convergence simple et celle de la convergence uniforme coïncident.

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Les deux ensembles suivants sont-ils équicontinus ?

  1.  ;
  2. .
  1. Soit la suite de fonctions de dans définie par . En quels points l'ensemble est-il équicontinu ?
  2. Même question pour l'ensemble des fonctions définies par .

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Soient deux espaces métriques, et une suite de fonctions de dans , équicontinue en . On suppose que .

  1. Montrer que si alors .
  2. Ce résultat est-il encore vrai si l'on ne suppose plus l'équicontinuité ? On pourra considérer la suite et .

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Soit l'espace de Banach des fonctions höldériennes d'exposant de dans , muni de la norme

.

On note la boule unité fermée de , et l'on rappelle que pour tout , .

  1. Montrer que pour tout , est relativement compact dans .
  2. Montrer que est équicontinue.
  3. Dans , montrer que est fermée et en déduire qu'elle est compacte.

Exercice 5[modifier | modifier le wikicode]

Soit et définie par

.

Soit une suite bornée de .

  1. Montrer que est uniformément continue.
  2. Montrer que est équicontinue.
  3. Montrer que admet une sous-suite convergente.

Exercice 6[modifier | modifier le wikicode]

On considère l'espace de Banach , muni de sa norme habituelle . Pour tout , on pose, pour , et  :

  •  ;
  • .

Soit un sous-ensemble fermé tel que :

(i) est borné ;
(ii) quand  ;
(iii) quand .

On cherche à montrer que est compact dans car complet et précompact.

  1. Montrer que pour tout , est continue et intégrable.
  2. Montrer que quand .
  3. Montrer que pour tout , l'ensemble est équicontinu.
  4. En déduire que pour tout , est d'adhérence compacte dans , puis dans .
  5. Montrer que est compact dans .

Exercice 7[modifier | modifier le wikicode]

Soit un sous-espace fermé de l'espace vectoriel des fonctions continues de dans . Montrer que :

  1. si toute application est de classe C1, alors est de dimension finie ;
  2. si toute application est höldérienne, alors est de dimension finie. (Indication : considérer les .)

Lien externe[modifier | modifier le wikicode]

« Théorème de Stone-Weierstrass – Théorème d'Ascoli », sur exo7.emath.fr