En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Équicontinuité
Topologie générale/Exercices/Équicontinuité », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soient K un espace compact, E un espace métrique et A un ensemble équicontinu de fonctions de K dans E.
Montrer que sur A, la topologie de la convergence simple et celle de la convergence uniforme coïncident.
Solution
Soit f un élément de A. Pour toute partie I de K, notons
.
Une base de voisinages de f dans A pour la topologie de la convergence uniforme (resp. simple) est donnée par les
pour tout réel
(resp. les
pour tout réel
et toute partie finie I de K).
On a évidemment
. Montrons que réciproquement, pour tout réel
, il existe une partie finie I de K telle que
.
Par équicontinuité de A, tout point x de K appartient à un ouvert
tel que pour tout g de A (en particulier pour g = f)
.
Par compacité, K est recouvert par un nombre fini de ces ouverts
:
pour une certaine partie finie I de K.
Pour tout
, soit
tel que
. Pour tout
on a
, d'où
,
d'où l'inclusion voulue.
Les deux ensembles suivants sont-ils équicontinus ?
;
.
- Soit
la suite de fonctions de
dans
définie par
. En quels points l'ensemble
est-il équicontinu ?
- Même question pour l'ensemble
des fonctions
définies par
.
Solution
- Les
sont continues mais leur limite simple est discontinue au point 1 donc en ce point,
n'est pas équicontinu.
- En revanche,
est équicontinu sur
, et même uniformément équicontinu sur
pour tout
. En effet, d'après le théorème des acroissements finis,
![{\displaystyle \forall x,y\in [0,1-\varepsilon ]\quad |x^{n}-y^{n}|\leq n(1-\varepsilon )^{n-1}|x-y|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f409aa8294dccb32e67443419ca52290f5c3cb3)
- or quand
,
donc borné.
- Les
sont continues mais leur limite simple est discontinue au point 0 donc en ce point,
n'est pas équicontinu.
- En revanche,
est équicontinu sur
, et même uniformément équicontinu sur
pour tout
, par le même raisonnement que ci-dessus. En effet,
quand
.
Soient
deux espaces métriques, et
une suite de fonctions de
dans
, équicontinue en
. On suppose que
.
- Montrer que si
alors
.
- Ce résultat est-il encore vrai si l'on ne suppose plus l'équicontinuité ? On pourra considérer la suite
et
.
Solution
- Soit
. Il existe :
tel que
;
tel que
.
- Alors,
, d'où la propriété annoncée.
- Non : dans l'exemple proposé on a
,
, mais
.
Soit
l'espace de Banach des fonctions höldériennes d'exposant
de
dans
, muni de la norme
.
On note
la boule unité fermée de
, et l'on rappelle que pour tout
,
.
- Montrer que pour tout
,
est relativement compact dans
.
- Montrer que
est équicontinue.
- Dans
, montrer que
est fermée et en déduire qu'elle est compacte.
Soit
et
définie par
.
Soit
une suite bornée de
.
- Montrer que
est uniformément continue.
- Montrer que
est équicontinue.
- Montrer que
admet une sous-suite convergente.
Solution
est continue sur le compact
+ théorème de Heine.
- D'après la question précédente,
, en particulier
donc
pour
.
- Pour tout
,
relativement compact dans
car borné (par
) donc d'après le théorème d'Ascoli (et la question précédente),
est compact.
On considère l'espace de Banach
, muni de sa norme habituelle
.
Pour tout
, on pose, pour
,
et
:
;
.
Soit
un sous-ensemble fermé tel que :
- (i)
est borné ;
- (ii)
quand
;
- (iii)
quand
.
On cherche à montrer que
est compact dans
car complet et précompact.
- Montrer que pour tout
,
est continue et intégrable.
- Montrer que
quand
.
- Montrer que pour tout
, l'ensemble
est équicontinu.
- En déduire que pour tout
,
est d'adhérence compacte dans
, puis dans
.
- Montrer que
est compact dans
.
Solution
est continue par convergence dominée. Elle est intégrable car
.
donc
,
si bien que quand
,
.
donc
quand
.
est équicontinu et
est borné pour tout
(par
) donc par le théorème d'Ascoli,
est d'adhérence compacte dans
.
Pour tout
,
est donc recouvert par un nombre fini de
-boules pour la norme sup sur
. Elles sont contenues dans les boules pour la norme
de mêmes centres et de rayon
, qui recouvrent donc également
. Ainsi,
est précompact dans
qui est complet, donc
est d'adhérence compacte dans
.
- Soit
. D'après 2), il existe
tel que
et a fortiori,
.
D'après (iii), il existe
tel que
.
Pour tout
on a alors :
.
D'après 4), l'ensemble de ces
est recouvert par un nombre fini de
-boules dans
. Tout élément de
est donc dans l'une des
-boules de mêmes centres.
Ceci prouve que
est précompact dans
, donc compact puisqu'on l'a supposé fermé et que
est complet.
Soit
un sous-espace fermé de l'espace vectoriel
des fonctions continues de
dans
. Montrer que :
- si toute application
est de classe C1, alors
est de dimension finie ;
- si toute application
est höldérienne, alors
est de dimension finie. (Indication : considérer les
.)
Solution
Dans les deux cas, il s'agit, d'après le théorème de Riesz et celui d'Ascoli, de démontrer que la boule unité fermée
de
est équicontinue.
- Par le théorème du graphe fermé et le théorème d'interversion limite-dérivée, l'opérateur de dérivation, de
dans
est continu, si bien qu'il existe une constante
telle que
. On conclut à l'aide du théorème des accroissements finis.
et les
sont fermés dans
. Le théorème de Baire implique donc que pour
assez grand,
est d'intérieur non vide. Il contient alors une boule fermée
de rayon
. Pour toute
, en utilisant le fait que
, on en déduit :
, ce qui conclut.
« Théorème de Stone-Weierstrass – Théorème d'Ascoli », sur exo7