Topologie générale/Exercices/Propriété de Baire

Exercice 1

Démontrer que si $f$ est une fonction C^∞ telle que $\mathrm{\forall }x\in ℝ\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}{f}^{(n)}(x)=0$, alors c'est un polynôme.

Solution

Considérons les intervalles non triviaux maximaux (donc fermés) sur lesquels $f$ est polynomiale (par Taylor, ils sont disjoints deux à deux, et sur tout voisinage d'une de leurs extrémités finies, $f$ n'est polynomiale que d'un côté), et notons $\mathrm{\Omega }$ la réunion de leurs intérieurs. Le fermé $F:=ℝ\setminus \mathrm{\Omega }$ est donc sans point isolé. Supposons (par l'absurde) qu'il est non vide. Comme il est de Baire et recouvert par les fermés $F_n:=\{x\in ℝ\mid f^{(n)}(x)=0\}$, il existe un entier naturel $n$ et un intervalle ouvert $I$ tels que

$\varnothing \ne I\cap F\subset F_n$.

Soit $J$ une composante connexe de $I\cap \mathrm{\Omega }$. Sur son adhérence $\bar{J}$, $f$ est un polynôme $P$. L'inclusion de l'intervalle ouvert $J$ dans $I$ est stricte (car $I\subset ̸\mathrm{\Omega }$) donc l'une (au moins) des deux extrémités de $J$ — notons-la $c$ — appartient à $I$ et alors, au voisinage de $c$, $f$ n'est polynomiale que d'un côté, donc $c\in F$. Or tout point de $F$ est point d'accumulation donc, sur $I\cap F$, non seulement $f^{(n)}$ est nulle mais aussi, de proche en proche, ses dérivées successives. Donc (par Taylor en $c$) le degré de $P$ est strictement inférieur à $n$. Ainsi, $f^{(n)}=0$ non seulement sur $I\cap F$ mais sur chaque composante connexe $J$ de $I\cap \mathrm{\Omega }$, donc sur $I$ tout entier. Mais alors, $I\subset \mathrm{\Omega }$ : absurde.

Voir aussi « Chapitre II Propriétés de Baire », sur testard.frederic.pagesperso-orange.fr

 

Exercice 2

Soit $f:[0,+\mathrm{\infty }[\to ℝ$ une fonction continue. On suppose que pour tout $a>0$, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(na)=0$. Montrer que $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0$.

Indication : pour $\epsilon >0$, on pourra appliquer le théorème de Baire aux ensembles $F_p=\{x\in [0,+\mathrm{\infty }[\mid \mathrm{\forall }n\ge p|f(nx)|\le \epsilon \}$.

Solution

Les $F_p={\cap }_{n\ge p}{f}^{-1}([-\epsilon ,\epsilon ])$ sont des fermés de $[0,+\mathrm{\infty }[$ (comme intersections de fermés) et recouvrent $[0,+\mathrm{\infty }[$, qui est de Baire (car complet, car fermé dans un complet). Au moins l'un d'entre eus est donc d'intérieur non vide. Il existe donc un entier $p>0$ et un intervalle ouvert $]a,b[$ tels que $\mathrm{\forall }x\in ]a,b[\mathrm{\forall }n\ge p|f(nx)|\le \epsilon$, c'est-à-dire tels que $|f|\le \epsilon$ sur ${\cup }_{n\ge p}]na,nb[$. Soit $N\ge p$ tel que $N>(b-a)/a$. $\mathrm{\forall }n\ge Nnb>(n+1)a$ donc ${\cup }_{n\ge p}]na,nb[\supset {\cup }_{n\ge N}]na,nb[=]na,+\mathrm{\infty }[$ donc $\mathrm{\forall }x>Na|f(x)|\le \epsilon$.