Espaces de Banach/Exercices/Topologie
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Exercice 4-1[modifier | modifier le wikicode]
Soient un espace métrique, un espace de Banach et un nombre réel. Notons l'espace vectoriel des fonctions -höldériennes de dans .
- Pour , on pose . Montrer que les normes sur sont équivalentes lorsque a décrit , et que est complet pour elles.
- En déduire que l'espace des fonctions -höldériennes bornées de dans est complet pour la norme .
- Si est borné, montrer que (l'espace des fonctions continues bornées) et que l'injection linéaire canonique est continue lorsqu'on munit de la topologie de la convergence uniforme.
- Soit un ouvert non vide de . En considérant les fonctions pour tout , montrer que n'est pas séparable.
Solution
-
- donc
,
donc les normes sont équivalentes. - Soit une suite de Cauchy dans . D'après le point précédent, pour tout , est de Cauchy. Notons sa limite.
Soit . Il existe tel que . Pour tous distincts, on a alors : .
Par passage à la limite quand puis au sup sur , on en déduit : .
Ainsi, (ce qui prouve au passage que donc ), si bien que converge dans .
- donc
- Soit une suite de Cauchy dans . Elle est alors de Cauchy à la fois pour la norme de la convergence uniforme et pour les normes de Hölder , donc elle admet une limite pour toutes ces normes (la limite est la même, par unicité de la limite simple). Ainsi, (ce qui prouve au passage que donc ), si bien que converge dans .
- Soit le diamètre de . donc .
- La fonction puissance d'exposant est -höldérienne donc les fonctions appartiennent bien à .
Pour tous , distincts, . Comme n'est pas dénombrable, cela prouve que n'est pas séparable.
Exercice 4-2[modifier | modifier le wikicode]
Soit l'espace vectoriel des fonctions de classe C1 sur .
- On munit de la norme . Montrer que pour cette norme, la suite définie par converge vers , et en déduire que n'est pas un espace de Banach.
- On munit de la norme . Montrer que est un espace de Banach.
Solution
- donc le maximum de la fonction (positive) est atteint en et vaut . Cela prouve que dans , est de Cauchy mais pas convergente (puisque ).
- Si et sont de Cauchy pour la norme , alors et , uniformément sur , et car , par passage à la limite de .