Leçons de niveau 16

Espaces de Banach/Exercices/Topologie

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Topologie
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Exercices no4
Leçon : Espaces de Banach

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Applications linéaires continues
Exo suiv. :Théorème de Banach-Steinhaus
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Espaces de Banach/Exercices/Topologie
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Exercice 4-1[modifier | modifier le wikicode]

Soient un espace métrique, un espace de Banach et un nombre réel. Notons l'espace vectoriel des fonctions -höldériennes de dans .

  1. Pour , on pose . Montrer que les normes sur sont équivalentes lorsque a décrit , et que est complet pour elles.
  2. En déduire que l'espace des fonctions -höldériennes bornées de dans est complet pour la norme .
  3. Si est borné, montrer que (l'espace des fonctions continues bornées) et que l'injection linéaire canonique est continue lorsqu'on munit de la topologie de la convergence uniforme.
  4. Soit un ouvert non vide de . En considérant les fonctions pour tout , montrer que n'est pas séparable.

Exercice 4-2[modifier | modifier le wikicode]

Soit l'espace vectoriel des fonctions de classe C1 sur .

  1. On munit de la norme . Montrer que pour cette norme, la suite définie par converge vers , et en déduire que n'est pas un espace de Banach.
  2. On munit de la norme . Montrer que est un espace de Banach.