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Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Géométrie des nombres

Leçons de niveau 16
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Géométrie des nombres
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Exercices no6
Leçon : Introduction à la théorie des nombres
Chapitre du cours : Géométrie des nombres

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Formes quadratiques entières
Exo suiv. :Sommaire
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Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Géométrie des nombres
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Construire dans le plan :

  1. un convexe d'aire infinie mais ne contenant aucun point de  ;
  2. une partie symétrique par rapport à l'origine et d'aire infinie mais ne contenant aucun point de .

On rappelle les deux points du théorème de Minkowski :

Soit un convexe symétrique par rapport à .

  1. Si , alors contient au moins un élément non nul de .
  2. Si et si est compact, on a la même conclusion.

Montrez que chacun des deux points se déduit de l'autre.

Soit un entier .

  1. Démontrer le « principe des tiroirs pour les mesures » :
    Soient un espace mesuré et une suite de parties mesurables de .
    Si , alors il existe un point de appartenant à au moins de ces parties.
  2. En déduire le théorème de Blichfeldt :
    Soit une partie Lebesgue-mesurable de .
    • Si , alors contient points distincts dont les différences sont à coordonnées entières.
    • Si et si est compact, on a la même conclusion.

Soit un nombre premier

.

Il existe doncErreur de référence : Balise <ref> incorrecte : les références sans nom doivent avoir un contenu. un entier tel que .

En considérant le réseau et le disque ouvert de centre et de rayon , redémontrer[4] le théorème des deux carrés « de Fermat »[5] :

est somme de deux carrés.
descriptif indisponible
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Wikipédia possède un article à propos de « Théorème des quatre carrés de Lagrange ».
  1. Soit un nombre premier . Il existe donc[6] des entiers tels que .
    En considérant le réseau pour et la boule[7] ouverte de centre et de rayon , démontrer que
    est somme de quatre carrés.
  2. En utilisant l'identité des quatre carrés d'Euler[8], selon laquelle le produit de deux sommes de quatre carrés est une somme de quatre carrés, en déduire le théorème des quatre carrés de Lagrange :
    tout entier positif est somme de quatre carrés.

Soient et . Montrer qu'il existe :

  1. tels que et (considérer ) ;
  2. tels que , et .

Soient et deux entiers. Montrer que pour tout réel , il existe deux entiers et tels que , et .

Soient réels , et un entier . Démontrer qu'il existe un entier et des entiers relatifs tels que

.

Indication :

Notes et références

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  1. Erreur Lua dans Module:Date à la ligne 216 : attempt to call field 'erreur' (a nil value)., Proposition 5.9, p. 30.
  2. Jesús A. De Loera et Raymond Hemmecke, Algebraic and Geometric Ideas in the Theory of Discrete Optimization, SIAM, 2013 [lire en ligne], p. 41-42 .
  3. John W. S. Cassels, An Introduction to the Geometry of Numbers, Springer, 1971 (1re éd. 1959) [lire en ligne], p. 70 .
  4. Cf. exercice 5-5.
  5. Énoncé par Albert Girard dès 1625, puis par Fermat, et démontré en 1749 par Euler.
  6. Cf. exercice 4-1.
  7. On rappelle que le volume de la boule unité en dimension n est égal à et que la fonction Gamma vérifie .
  8. Analogue pour 4 carrés de celle de Diophante pour 2 carrés, vue dans l'exercice 5-6.