En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Géométrie des nombresIntroduction à la théorie des nombres/Exercices/Géométrie des nombres », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Construire dans le plan :
un convexe d'aire infinie mais ne contenant aucun point de
Z
2
{\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}
;
une partie symétrique par rapport à l'origine et d'aire infinie mais ne contenant aucun point de
Z
2
{\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}
.
Solution
R
×
]
0
,
1
[
{\displaystyle \mathbb {R} \times \left]0,1\right[}
;
R
2
∖
Z
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \mathbb {Z} ^{2}}
.
On rappelle les deux points du théorème de Minkowski :
Soit
C
⊂
R
n
{\displaystyle C\subset \mathbb {R} ^{n}}
un convexe symétrique par rapport à
0
{\displaystyle 0}
.
Si
vol
(
C
)
>
2
n
{\displaystyle \operatorname {vol} (C)>2^{n}}
, alors
C
{\displaystyle C}
contient au moins un élément non nul de
Z
n
{\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}
.
Si
vol
(
C
)
=
2
n
{\displaystyle \operatorname {vol} (C)=2^{n}}
et si
C
{\displaystyle C}
est compact, on a la même conclusion.
Montrez que chacun des deux points se déduit de l'autre.
Solution
2
⇒
1
{\displaystyle 2\Rightarrow 1}
car tout convexe
0
{\displaystyle 0}
-symétrique
C
{\displaystyle C}
de volume
>
2
n
{\displaystyle >2^{n}}
contient un convexe
0
{\displaystyle 0}
-symétrique compact de volume
2
n
{\displaystyle 2^{n}}
: si
vol
(
C
)
<
+
∞
{\displaystyle \operatorname {vol} (C)<+\infty }
alors
k
:=
1
2
vol
(
C
)
n
>
1
{\displaystyle k:={\frac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{\operatorname {vol} (C)}}>1}
donc
1
k
C
¯
⊂
C
∘
⊂
C
{\displaystyle {\frac {1}{k}}\,{\overline {C}}\subset {\stackrel {\ \circ }{C}}\subset C}
(cf. Topologie générale/Exercices/Espaces topologiques#Exercice 2 : Mesurabilité des convexes ). Si
vol
(
C
)
=
+
∞
{\displaystyle \operatorname {vol} (C)=+\infty }
, remplacer au préalable
C
{\displaystyle C}
par
C
∩
B
(
0
,
R
)
{\displaystyle C\cap B\left(0,R\right)}
avec
R
{\displaystyle R}
suffisamment grand pour que le volume reste
>
2
n
{\displaystyle >2^{n}}
.
1
⇒
2
{\displaystyle 1\Rightarrow 2}
car si
C
{\displaystyle C}
est compact et si
∀
j
∈
N
∗
∃
z
j
∈
(
Z
n
∖
{
0
}
)
∩
(
1
+
1
j
)
C
{\displaystyle \forall j\in \mathbb {N} ^{*}\quad \exists z_{j}\in \left(\mathbb {Z} ^{n}\setminus \{0\}\right)\cap \left(1+{\frac {1}{j}}\right)C}
, la suite
(
z
j
)
{\displaystyle \left(z_{j}\right)}
est bornée donc (quitte à la remplacer par une sous-suite) convergente :
z
j
→
z
{\displaystyle z_{j}\to z}
. Alors,
z
{\displaystyle z}
appartient au fermé
Z
n
∖
{
0
}
{\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\setminus \{0\}}
, mais aussi au fermé
C
{\displaystyle C}
car
1
1
+
1
j
z
j
→
z
{\displaystyle {\frac {1}{1+{\frac {1}{j}}}}z_{j}\to z}
. (Variante de raisonnement, évitant d'extraire une sous-suite : la suite
(
z
j
)
{\displaystyle \left(z_{j}\right)}
, à valeurs discrètes et bornées, prend une infinité de fois la même valeur
z
{\displaystyle z}
. Alors,
1
1
+
1
j
z
∈
C
{\displaystyle {\frac {1}{1+{\frac {1}{j}}}}z\in C}
pour des
j
{\displaystyle j}
arbitrairement grands, donc la limite
z
{\displaystyle z}
appartient au fermé
C
{\displaystyle C}
.)
Soit un entier
r
≥
1
{\displaystyle r\geq 1}
.
Démontrer le « principe des tiroirs pour les mesures » :
Soient
(
X
,
A
,
μ
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}
un espace mesuré et
(
X
j
)
{\displaystyle (X_{j})}
une suite de parties mesurables de
X
{\displaystyle X}
.
Si
∑
j
μ
(
X
j
)
>
r
μ
(
∪
j
X
j
)
{\displaystyle \sum _{j}\mu (X_{j})>r\,\mu (\cup _{j}X_{j})}
, alors il existe un point de
X
{\displaystyle X}
appartenant à au moins
r
+
1
{\displaystyle r+1}
de ces parties.
En déduire le théorème de Blichfeldt :
Soit
R
{\displaystyle R}
une partie Lebesgue-mesurable de
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
.
Si
vol
(
R
)
>
r
{\displaystyle \operatorname {vol} (R)>r}
, alors
R
{\displaystyle R}
contient
r
+
1
{\displaystyle r+1}
points distincts dont les différences sont à coordonnées entières.
Si
vol
(
R
)
=
r
{\displaystyle \operatorname {vol} (R)=r}
et si
R
{\displaystyle R}
est compact, on a la même conclusion.
Solution
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En notant
1
Y
{\displaystyle \mathbb {1} _{Y}}
l'indicatrice de toute partie
Y
{\displaystyle Y}
de
X
{\displaystyle X}
, on a
∫
∪
j
X
j
∑
n
1
X
n
d
μ
>
∫
∪
j
X
j
r
d
μ
{\displaystyle \int _{\cup _{j}X_{j}}\sum _{n}\mathbb {1} _{X_{n}}\ \mathrm {d} \mu >\int _{\cup _{j}X_{j}}r\ \mathrm {d} \mu }
donc la fonction
∑
n
1
X
n
{\displaystyle \sum _{n}\mathbb {1} _{X_{n}}}
est strictement supérieure à
r
{\displaystyle r}
en au moins un point[ 1] .
Supposons
vol
(
R
)
>
r
{\displaystyle \operatorname {vol} (R)>r}
et notons
D
:=
[
0
,
1
[
n
{\displaystyle D:=\left[0,1\right[^{n}}
. Par les mêmes arguments que dans le cas
r
=
1
{\displaystyle r=1}
(lemme de Blichfeldt du cours), on a :
∑
u
∈
Z
n
vol
(
(
R
−
u
)
∩
D
)
>
r
vol
(
∪
u
∈
Z
n
(
R
−
u
)
∩
D
)
{\displaystyle \sum _{u\in \mathbb {Z} ^{n}}\operatorname {vol} \left((R-u)\cap D\right)>r\,\operatorname {vol} \left(\cup _{u\in \mathbb {Z} ^{n}}(R-u)\cap D\right)}
. D'après le principe des tiroirs, il existe donc au moins un point
z
∈
D
{\displaystyle z\in D}
et
r
+
1
{\displaystyle r+1}
vecteurs distincts
u
0
,
…
,
u
r
∈
Z
n
{\displaystyle u_{0},\dots ,u_{r}\in \mathbb {Z} ^{n}}
tels que
∀
i
∈
{
0
,
…
,
r
}
z
∈
R
−
u
i
{\displaystyle \forall i\in \{0,\dots ,r\}\quad z\in R-u_{i}}
. Les
r
+
1
{\displaystyle r+1}
points
x
i
:=
z
+
u
i
∈
R
{\displaystyle x_{i}:=z+u_{i}\in R}
sont alors distincts, et leurs différences
x
i
−
x
j
=
u
i
−
u
j
{\displaystyle x_{i}-x_{j}=u_{i}-u_{j}}
sont bien à coordonnées entières[ 2] .
Le second point se déduit du premier exactement comme dans l'exercice précédent[ 3] .
Bibliographie complémentaire : Lekkerkerker , Olds-Lax-Davidoff .
Soit un nombre premier
p
≡
1
mod
4
{\displaystyle p\equiv 1{\bmod {4}}}
.
Il existe doncErreur de référence : Balise <ref>
incorrecte : les références sans nom doivent avoir un contenu. un entier
a
{\displaystyle a}
tel que
−
1
≡
a
2
mod
p
{\displaystyle -1\equiv a^{2}{\bmod {p}}}
.
En considérant le réseau
Γ
:=
{
(
p
s
+
a
t
,
t
)
∣
s
,
t
∈
Z
}
⊂
R
2
{\displaystyle \Gamma :=\{\left(ps+at,t\right)\mid s,t\in \mathbb {Z} \}\subset \mathbb {R} ^{2}}
et le disque ouvert
C
{\displaystyle C}
de centre
0
{\displaystyle 0}
et de rayon
2
p
{\displaystyle {\sqrt {2p}}}
, redémontrer[ 4] le théorème des deux carrés « de Fermat »[ 5] :
p
{\displaystyle p}
est somme de deux carrés.
Solution
Le covolume de
Γ
=
(
p
a
0
1
)
(
Z
2
)
{\displaystyle \Gamma ={\begin{pmatrix}p&a\\0&1\end{pmatrix}}\left(\mathbb {Z} ^{2}\right)}
est
p
{\displaystyle p}
et l'aire de
C
{\displaystyle C}
est
π
2
p
>
2
2
p
{\displaystyle \pi 2p>2^{2}p}
. D'après le théorème de Minkowski, il existe donc
(
x
,
y
)
∈
Γ
∩
C
∖
{
0
}
{\displaystyle \left(x,y\right)\in \Gamma \cap C\setminus \{0\}}
.
Puisque
(
x
,
y
)
∈
Γ
{\displaystyle \left(x,y\right)\in \Gamma }
, on a
x
≡
a
y
mod
p
{\displaystyle x\equiv ay{\bmod {p}}}
donc
x
2
+
y
2
≡
(
a
2
+
1
)
y
2
≡
0
mod
p
{\displaystyle x^{2}+y^{2}\equiv \left(a^{2}+1\right)y^{2}\equiv 0{\bmod {p}}}
.
Puisque
(
x
,
y
)
∈
C
∖
{
0
}
{\displaystyle \left(x,y\right)\in C\setminus \{0\}}
, on a
0
<
x
2
+
y
2
<
2
p
{\displaystyle 0<x^{2}+y^{2}<2p}
.
Par conséquent,
x
2
+
y
2
=
p
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=p}
.
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Soit un nombre premier
p
>
2
{\displaystyle p>2}
. Il existe donc[ 6] des entiers
r
,
s
{\displaystyle r,s}
tels que
r
2
+
s
2
≡
−
1
mod
p
{\displaystyle r^{2}+s^{2}\equiv -1{\bmod {p}}}
. En considérant le réseau
Γ
:=
A
(
Z
4
)
{\displaystyle \Gamma :=A\left(\mathbb {Z} ^{4}\right)}
pour
A
=
(
p
0
r
s
0
p
s
−
r
0
0
1
0
0
0
0
1
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}p&0&r&s\\0&p&s&-r\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}
et la boule[ 7] ouverte
C
⊂
R
4
{\displaystyle C\subset \mathbb {R} ^{4}}
de centre
0
{\displaystyle 0}
et de rayon
R
=
2
p
{\displaystyle R={\sqrt {2p}}}
, démontrer que
p
{\displaystyle p}
est somme de quatre carrés.
En utilisant l'identité des quatre carrés d'Euler [ 8] , selon laquelle le produit de deux sommes de quatre carrés est une somme de quatre carrés, en déduire le théorème des quatre carrés de Lagrange :
tout entier positif est somme de quatre carrés.
Solution
Le covolume de
Γ
{\displaystyle \Gamma }
est
p
2
{\displaystyle p^{2}}
et le volume de
C
{\displaystyle C}
est
π
2
R
4
/
2
=
2
π
2
p
2
>
2
4
p
2
{\displaystyle \pi ^{2}R^{4}/2=2\pi ^{2}p^{2}>2^{4}p^{2}}
. D'après le théorème de Minkowski, il existe donc
(
x
,
y
,
z
,
t
)
∈
Γ
∩
C
∖
{
0
}
{\displaystyle \left(x,y,z,t\right)\in \Gamma \cap C\setminus \{0\}}
.
Puisque
(
x
,
y
,
z
,
t
)
∈
Γ
{\displaystyle \left(x,y,z,t\right)\in \Gamma }
, on a
x
≡
r
z
+
s
t
mod
p
{\displaystyle x\equiv rz+st{\bmod {p}}}
et
y
≡
s
z
−
r
t
mod
p
{\displaystyle y\equiv sz-rt{\bmod {p}}}
donc
x
2
+
y
2
+
z
2
+
t
2
≡
(
r
2
+
s
2
+
1
)
(
z
2
+
t
2
)
≡
0
mod
p
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}\equiv \left(r^{2}+s^{2}+1\right)\left(z^{2}+t^{2}\right)\equiv 0{\bmod {p}}}
.
Puisque
(
x
,
y
,
z
,
t
)
∈
C
∖
{
0
}
{\displaystyle \left(x,y,z,t\right)\in C\setminus \{0\}}
, on a
0
<
x
2
+
y
2
+
z
2
+
t
2
<
2
p
{\displaystyle 0<x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}<2p}
.
Par conséquent,
x
2
+
y
2
+
z
2
+
t
2
=
p
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}=p}
.
Il suffit, pour compléter l'argument, de vérifier que
0
{\displaystyle 0}
,
1
{\displaystyle 1}
et
2
{\displaystyle 2}
sont aussi sommes de quatre carrés.
Soient
x
,
y
∈
R
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }
et
n
∈
N
∗
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}
. Montrer qu'il existe :
a
,
b
,
c
∈
Z
{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} }
tels que
0
<
c
≤
n
{\displaystyle 0<c\leq n}
et
(
x
−
a
/
c
)
2
+
(
y
−
b
/
c
)
2
≤
4
π
n
c
2
{\displaystyle \left(x-a/c\right)^{2}+\left(y-b/c\right)^{2}\leq {\frac {4}{\pi nc^{2}}}}
(considérer
C
:=
{
(
a
,
b
,
c
)
∈
R
3
∣
(
c
x
−
a
)
2
+
(
c
y
−
b
)
2
≤
4
π
n
et
|
c
|
≤
n
}
{\displaystyle C:=\{\left(a,b,c\right)\in \mathbb {R} ^{3}\mid \left(cx-a\right)^{2}+\left(cy-b\right)^{2}\leq {\frac {4}{\pi n}}{\text{ et }}|c|\leq n\}}
) ;
a
,
b
,
c
∈
Z
{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} }
tels que
|
a
|
,
|
b
|
≤
n
{\displaystyle |a|,|b|\leq n}
,
(
a
,
b
)
≠
(
0
,
0
)
{\displaystyle \left(a,b\right)\neq \left(0,0\right)}
et
|
a
x
+
b
y
+
c
|
<
1
/
n
2
{\displaystyle \left|ax+by+c\right|<1/n^{2}}
.
Solution
Le convexe
C
{\displaystyle C}
(
0
{\displaystyle 0}
-symétrique) est un cyclindre oblique de base
π
4
π
n
{\displaystyle \pi {\frac {4}{\pi n}}}
et de hauteur
2
n
{\displaystyle 2n}
, donc de volume
8
=
2
3
{\displaystyle 8=2^{3}}
. Il est compact donc contient un point non nul
(
a
,
b
,
c
)
∈
Z
3
{\displaystyle \left(a,b,c\right)\in \mathbb {Z} ^{3}}
.
Si
c
≠
0
{\displaystyle c\neq 0}
, on peut choisir
c
>
0
{\displaystyle c>0}
.
Si
c
=
0
{\displaystyle c=0}
,
1
≤
a
2
+
b
2
≤
4
π
n
{\displaystyle 1\leq a^{2}+b^{2}\leq {\frac {4}{\pi n}}}
donc
n
=
1
{\displaystyle n=1}
, et l'on cherche un autre
(
a
,
b
)
∈
Z
2
{\displaystyle \left(a,b\right)\in \mathbb {Z} ^{2}}
(avec
c
=
1
{\displaystyle c=1}
) tel que
(
x
−
a
)
2
+
(
y
−
b
)
2
≤
4
π
{\displaystyle \left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\leq {\frac {4}{\pi }}}
. En prenant les deux entiers les plus proches de
x
{\displaystyle x}
et
y
{\displaystyle y}
, on a bien
(
1
/
2
)
2
+
(
1
/
2
)
2
=
1
/
2
<
4
π
{\displaystyle (1/2)^{2}+(1/2)^{2}=1/2<{\frac {4}{\pi }}}
.
Un cas particulier du corollaire du théorème de Minkowski sur les formes linéaires est :
∀
b
1
,
…
,
b
d
∈
R
∀
Q
≥
1
∃
q
∈
Z
d
∖
{
0
}
|
q
j
|
≤
Q
et
d
(
∑
b
j
q
j
,
Z
)
<
Q
−
d
{\displaystyle \forall b_{1},\dots ,b_{d}\in \mathbb {R} \quad \forall Q\geq 1\quad \exists q\in \mathbb {Z} ^{d}\setminus \{0\}\quad |q_{j}|\leq Q\quad {\text{et}}\quad d\left(\sum b_{j}q_{j},\,\mathbb {Z} \right)<Q^{-d}}
. Pour
d
=
2
,
b
1
=
x
,
b
2
=
y
,
Q
=
n
{\displaystyle d=2,b_{1}=x,b_{2}=y,Q=n}
, il donne :
∃
(
a
,
b
)
∈
Z
2
∖
{
0
}
|
a
|
,
|
b
|
≤
n
et
d
(
a
x
+
b
y
,
Z
)
<
1
/
n
2
{\displaystyle \exists (a,b)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{0\}\quad |a|,|b|\leq n\quad {\text{et}}\quad d(ax+by,\mathbb {Z} )<1/n^{2}}
.
Soient
m
>
1
{\displaystyle m>1}
et
a
{\displaystyle a}
deux entiers. Montrer que pour tout réel
X
∈
]
1
,
m
[
{\displaystyle X\in \left]1,m\right[}
, il existe deux entiers
x
{\displaystyle x}
et
y
{\displaystyle y}
tels que
a
x
≡
y
mod
m
{\displaystyle ax\equiv y{\bmod {m}}}
,
1
≤
x
<
X
{\displaystyle 1\leq x<X}
et
|
y
|
≤
m
/
X
{\displaystyle |y|\leq m/X}
.
Solution
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Appliquons le théorème de Minkowski pour les formes linéaires à
L
1
=
a
x
−
y
−
m
z
,
L
2
=
x
,
L
3
=
y
,
λ
1
=
1
,
λ
2
=
X
,
λ
3
=
m
/
X
{\displaystyle L_{1}=ax-y-mz,L_{2}=x,L_{3}=y,\lambda _{1}=1,\lambda _{2}=X,\lambda _{3}=m/X}
. Alors,
det
A
=
m
=
∏
λ
i
{\displaystyle \det A=m=\prod \lambda _{i}}
donc il existe un vecteur non nul
(
x
,
y
,
z
)
∈
Z
3
{\displaystyle \left(x,y,z\right)\in \mathbb {Z} ^{3}}
tel que
|
a
x
−
y
−
m
z
|
<
1
{\displaystyle \left|ax-y-mz\right|<1}
(donc
a
x
=
y
+
m
z
{\displaystyle ax=y+mz}
),
|
x
|
<
X
{\displaystyle |x|<X}
et
|
y
|
≤
m
/
X
{\displaystyle |y|\leq m/X}
. De plus,
x
≠
0
{\displaystyle x\neq 0}
car sinon, on aurait
(
0
,
0
,
0
)
≠
(
x
,
y
,
z
)
=
(
0
,
m
z
,
z
)
{\displaystyle \left(0,0,0\right)\neq \left(x,y,z\right)=\left(0,mz,z\right)}
donc
z
≠
0
{\displaystyle z\neq 0}
et
|
m
z
|
≤
m
/
X
{\displaystyle |mz|\leq m/X}
, c'est-à-dire
1
≤
|
z
|
≤
1
/
X
{\displaystyle 1\leq |z|\leq 1/X}
, ce qui est exclu car
X
>
1
{\displaystyle X>1}
. On peut donc choisir
x
>
0
{\displaystyle x>0}
(en remplaçant si nécessaire
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \left(x,y,z\right)}
par son opposé).
Soient
m
{\displaystyle m}
réels
x
1
,
…
,
x
m
{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m}}
, et un entier
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
. Démontrer qu'il existe un entier
q
≥
1
{\displaystyle q\geq 1}
et des entiers relatifs
p
1
,
…
,
p
m
{\displaystyle p_{1},\dots ,p_{m}}
tels que
q
≤
n
m
et
∀
i
∈
{
1
,
…
,
m
}
|
q
x
i
−
p
i
|
<
1
n
{\displaystyle q\leq n^{m}\quad {\text{et}}\quad \forall i\in \left\{1,\dots ,m\right\}\quad \left|qx_{i}-p_{i}\right|<{\frac {1}{n}}}
.
Indication :
Solution
1re méthode (Hardy et Wright theorem 200 , en rectifiant la ligne 5 de leur preuve) : partitionnons le « cube unité semi-ouvert »
[
0
,
1
[
m
{\displaystyle \left[0,1\right[^{m}}
en
n
m
{\displaystyle n^{m}}
sous-cubes semi-ouverts de côté
1
n
{\displaystyle {\frac {1}{n}}}
. En notant
{
y
}
=
y
−
⌊
y
⌋
∈
[
0
,
1
[
{\displaystyle \{y\}=y-\lfloor y\rfloor \in \left[0,1\right[}
la partie fractionnaire de tout réel
y
{\displaystyle y}
, considérons les
n
m
+
1
{\displaystyle n^{m}+1}
points (non nécessairement distincts)
P
k
:=
(
{
k
x
1
}
,
{
k
x
2
}
,
…
,
{
k
x
m
}
)
∈
[
0
,
1
[
m
,
k
∈
{
0
,
…
,
n
m
}
.
{\displaystyle P_{k}:=\left(\{kx_{1}\},\{kx_{2}\},\dots ,\{kx_{m}\}\right)\in \left[0,1\right[^{m},\quad k\in \left\{0,\dots ,n^{m}\right\}.}
D'après le principe des tiroirs, l'un des
n
m
{\displaystyle n^{m}}
sous-cubes contient deux de ces points,
P
j
{\displaystyle P_{j}}
et
P
k
{\displaystyle P_{k}}
avec
0
≤
j
<
k
≤
n
m
{\displaystyle 0\leq j<k\leq n^{m}}
. Alors, l'entier
q
:=
k
−
j
{\displaystyle q:=k-j}
vérifie
1
≤
q
≤
n
m
{\displaystyle 1\leq q\leq n^{m}}
et pour tout
i
∈
{
1
,
…
,
m
}
{\displaystyle i\in \left\{1,\dots ,m\right\}}
, l'entier
p
i
:=
⌊
k
x
i
⌋
−
⌊
j
x
i
⌋
{\displaystyle p_{i}:=\lfloor kx_{i}\rfloor -\lfloor jx_{i}\rfloor }
vérifie
|
q
x
i
−
p
i
|
=
|
{
k
x
i
}
−
{
j
x
i
}
|
<
1
n
{\displaystyle \left|qx_{i}-p_{i}\right|=\left|\{kx_{i}\}-\{jx_{i}\}\right|<{\frac {1}{n}}}
.
2e méthode : posons
r
=
m
+
1
{\displaystyle r=m+1}
,
L
1
(
q
,
p
1
,
…
,
p
m
)
=
q
{\displaystyle L_{1}\left(q,p_{1},\dots ,p_{m}\right)=q}
,
λ
1
=
n
m
{\displaystyle \lambda _{1}=n^{m}}
et pour tout
i
∈
{
1
,
…
,
m
}
{\displaystyle i\in \left\{1,\dots ,m\right\}}
,
L
i
+
1
(
q
,
p
1
,
…
,
p
m
)
=
x
i
q
−
p
i
et
λ
i
+
1
=
1
n
{\displaystyle L_{i+1}\left(q,p_{1},\dots ,p_{m}\right)=x_{i}q-p_{i}\quad {\text{et}}\quad \lambda _{i+1}={\frac {1}{n}}}
. La matrice
A
∈
M
r
(
R
)
{\displaystyle A\in \operatorname {M} _{r}(\mathbb {R} )}
associée aux
L
i
{\displaystyle L_{i}}
est triangulaire et
|
det
A
|
=
|
(
−
1
)
m
|
=
1
=
∏
i
=
1
r
λ
i
{\displaystyle |\det A|=\left|(-1)^{m}\right|=1=\prod _{i=1}^{r}\lambda _{i}}
donc d'après le théorème de Minkowski pour des formes linéaires, il existe
(
q
,
p
1
,
…
,
p
m
)
∈
Z
m
+
1
∖
{
0
}
{\displaystyle \left(q,p_{1},\dots ,p_{m}\right)\in \mathbb {Z} ^{m+1}\setminus \{0\}}
tel que
|
q
|
≤
n
m
et
∀
i
∈
{
1
,
…
,
m
}
|
q
x
i
−
p
i
|
<
1
n
{\displaystyle |q|\leq n^{m}\quad {\text{et}}\quad \forall i\in \left\{1,\dots ,m\right\}\quad \left|qx_{i}-p_{i}\right|<{\frac {1}{n}}}
. L'entier
q
{\displaystyle q}
est alors forcément non nul, sinon tous les entiers
p
i
{\displaystyle p_{i}}
le seraient aussi car on aurait
|
p
i
|
<
1
n
{\displaystyle \left|p_{i}\right|<{\frac {1}{n}}}
. On peut donc se ramener au cas
q
>
0
{\displaystyle q>0}
en remplaçant si nécessaire
(
q
,
p
1
,
…
,
p
m
)
{\displaystyle \left(q,p_{1},\dots ,p_{m}\right)}
par son opposé.
↑ Erreur Lua dans Module:Date à la ligne 216 : attempt to call field 'erreur' (a nil value). , Proposition 5.9, p. 30.
↑ Jesús A. De Loera et Raymond Hemmecke, Algebraic and Geometric Ideas in the Theory of Discrete Optimization , SIAM, 2013 [lire en ligne ] , p. 41-42 .
↑ John W. S. Cassels , An Introduction to the Geometry of Numbers , Springer, 1971 (1re éd. 1959) [lire en ligne ] , p. 70 .
↑ Cf. exercice 5-5 .
↑ Énoncé par Albert Girard dès 1625, puis par Fermat, et démontré en 1749 par Euler.
↑ Cf. exercice 4-1 .
↑ On rappelle que le volume de la boule unité en dimension n est égal à
π
n
/
2
Γ
(
n
2
+
1
)
{\displaystyle {\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}}
et que la fonction Gamma vérifie
Γ
(
n
+
1
)
=
n
!
{\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}
.
↑ Analogue pour 4 carrés de celle de Diophante pour 2 carrés, vue dans l'exercice 5-6 .