Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Théorème de Jordan-Hölder

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Théorème de Jordan-Hölder
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Chapitre no 14
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Groupes alternés
Chap. suiv. :Groupe à opérateurs

Exercices :

Théorème de Jordan-Hölder
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Théorie des groupes/Théorème de Jordan-Hölder
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L'objet de ce chapitre est de fournir une démonstration du théorème de Jordan-Hölder. Ce théorème n’est pas démontré dans tous les ouvrages d’introduction à la théorie des groupes[1] et ne servira pas dans la suite. On laisse donc le lecteur apprécier l’intérêt que ce chapitre présente pour lui.

Suites de composition[modifier | modifier le wikicode]


Les groupes quotients sont appelés les quotients de cette suite et le nombre naturel n est appelé la longueur de cette suite. On peut noter que la longueur de la suite est le nombre de ses quotients. Nous dirons que la suite est strictement décroissante si, pour tout i (), Gi+1 est strictement contenu dans Gi.
Un groupe admet une suite de composition de longueur nulle si et seulement s'il est réduit à l'élément neutre. Tout groupe G non réduit à l'élément neutre admet une suite de composition strictement décroissante de longueur 1 (puisque 1 est distingué dans G).

Remarque. Soient G un groupe, E un ensemble fini totalement ordonné, a son premier et z son dernier élément. Soit une famille de sous-groupes de G indexée par E. On peut étendre la définition qui précède en disant que la séquence est une suite de composition de G (relativement à l’ordre considéré dans E) si , et que, pour tout élément x de E-{z}, si y désigne le successeur de x, est sous-groupe distingué de . On pourrait se ramener à la définition précédente en numérotant les éléments de E selon l’ordre défini dans E et en posant , de sorte que est une suite de composition de G au nouveau sens si et seulement si est une suite de composition au premier sens, mais la définition étendue a l'avantage de ne pas exiger une numérotation explicite des indices, l'essentiel étant de préciser quel est le successeur d'un indice donné. Nous utiliserons ce fait dans la démonstration du théorème de Schreier.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Récurrence facile sur la longueur n de la suite, en notant que et que admet la suite de composition .



Notons qu'une suite extraite d'une suite de composition n’est pas forcément une suite de composition, car, comme nous l'avons vu au chapitre Groupes alternés, la relation « est un sous-groupe distingué de » n’est pas transitive.

Suites de Jordan-Hölder[modifier | modifier le wikicode]

Début d'un lemme
Fin du lemme

Démonstration. Désignons la suite par . Supposons a) satisfaite et prouvons b). Il s'agit de prouver que pour 0 ≤ i ≤ n-1, Gi+1 est sous-groupe normal maximal de Gi. Dans le cas contraire, il existe un sous-groupe normal H de Gi tel que Gi+1 < H < Gi. Puisque Gi+1 est normal dans Gi, il est normal dans H, donc la suite

G0 > ... > Gi > H > Gi+1 > ... > Gn = 1

eqt un raffinement de strictement décroissant et distinct de , ce qui contredit notre hypothèse a). Donc a) entraîne b).

Réciproquement, supposons b) et prouvons a). Puisqu'un sous-groupe normal maximal est par définition un sous-groupe propre, la suite est strictement décroissante. Si elle admettait un raffinement strictement décroissant autre qu'elle-même, il existerait un i (0 ≤ i ≤ n-1) et des Hj (1 ≤ j ≤ r pour un certain r ≥ 1) tels que

Gi > H1 > ... > Hr > Gi+1

et que, notamment, H1 soit sous-groupe normal de Gi. Cela contredit le fait que Gi+1 est sous-groupe normal maximal de Gi. Donc b) entraîne a).

Donc les conditions a) et b) sont équivalentes. Nous avons vu dans le chapitre sur les sous-groupes distingués et les groupes quotients que si H est un sous-groupe normal d'un groupe G, alors H est sous-groupe normal maximal de G si et seulement si le groupe quotient G/H est simple; donc les conditions a) et b) équivalent à la condition c).


Début d’un théorème
Fin du théorème


Démonstration. Tout groupe G admet au moins une suite de composition strictement décroissante : une suite de longueur 0 si G = 1 et la suite formée de G et de 1 dans le cas contraire. Soit G un groupe fini. Nous avons vu que pour toute suite de composition de G, le produit des ordres des quotients de la suite est égal à l’ordre de G. Si la suite est strictement décroissante, les ordres des quotients sont au moins égaux à 2, donc , où n désigne la longueur de la suite. Donc si G est un groupe fini, il admet au moins une suite de composition strictement décroissante et l’ensemble des longueurs de ses suites de composition strictement décroissantes est borné. Parmi les suites de composition strictement décroissantes de G, on peut donc en trouver une dont la longueur est maximale. Il est clair que cette suite n'a pas d’autre raffinement strictement décroissant qu'elle-même et est donc une suite de Jordan-Hölder. (On peut dire aussi que, puisque l’ensemble des sous-groupes de G est fini, les suites de composition strictement décroissantes de G indexées par des intervalles naturels {0, 1, ... , n} forment un ensemble fini; si on ordonne cet ensemble, qui est non vide, par la relation « est moins fine que », il doit donc admettre un élément maximal, c'est-à-dire une suite de Jordan-Hölder.)

Remarque. Il existe des groupes (forcément infinis d’après ce qui précède) qui n'ont pas de suites de Jordan-Hölder. Par exemple, un groupe commutatif infini n'a pas de suite de Jordan-Hölder. En effet, les quotients d'une telle suite seraient simples et commutatifs, donc seraient finis (car on a vu que les groupes simples commutatifs sont les groupes cycliques d'ordre premier), ce qui est absurde, puisque d’après un théorème ci-dessus, l’ordre de G est le produit des ordres des quotients de la suite.


Il est clair que toute suite équivalente à une suite de Jordan-Hölder est elle-même une suite de Jordan-Hölder (car ses quotients sont tous des groupes simples).

Remarque. Si, comme indiqué plus haut, on étend la définition des suites de composition de sorte qu’elles puissent être indexées par n’importe quel ensemble fini totalement ordonné, la définition de l'équivalence de deux suites de composition se modifie comme suit. Soient G un groupe, I et J deux ensembles finis totalement ordonnés, et deux suites de composition de G. On dit que ces deux suites de composition sont équivalentes si, désignant privé de son dernier élément, désignant privé de son dernier élément, désignant pour tout le successeur de i dans I, désignant pour tout le successeur de j dans J, il existe une bijection de I' sur J' telle que pour tout élément i de I', le groupe quotient soit isomorphe au groupe quotient . Nous nous servirons de ceci dans la démonstration du théorème de Schreier.

Pour démontrer dans la suite que certaines suites de composition sont équivalentes, nous nous servirons du lemme suivant :

Début d'un lemme
Fin du lemme


Démonstration. Notons d’abord que, puisque est distingué dans , les ensembles et sont bien des groupes (sous-groupes de H). De même, puisque est distingué dans , les ensembles et sont bien des groupes (sous-groupes de K).
Pour prouver la première assertion de l'énoncé, nous devons prouver que est contenu dans le normalisateur de dans G. Comme ce normalisateur est un groupe, il suffit de prouver que et sont contenus dans le normalisateur de . Puisque est contenu dans le sous-groupe , il est à fortiori contenu dans le normalisateur de ce sous-groupe. Quant à , il est contenu dans le normalisateur de (puisqu’il est contenu dans H, qui est lui-même contenu dans ce normalisateur) et il est aussi contenu dans le normalisateur de , puisque du fait que est distingué dans , il résulte que est distingué dans . Ainsi, tout élément de normalise à la fois et , donc normalise (voir par exemple un exercice sur le chapitre des sous-groupes distingués; mais la justification est immédiate dans le présent cas), ce qui revient à dire que est sous-groupe distingué de et prouve la première assertion de l'énoncé.

Vu la symétrie des hypothèses (qui restent inchangées si on permute à la fois H avec K et H' avec K'), la seconde assertion est vraie elle aussi.

Prouvons la troisième assertion de l'énoncé, à savoir

.

Puisque K' est contenu dans K, H ⋂ K' est contenu dans H ⋂ K, donc H ⋂ K peut s'écrire (H ⋂ K') (H ⋂ K), donc

.

Nous avons vu que H' (H ⋂ K') est un groupe et que H ⋂ K le normalise, donc, d’après le second théorème d'isomorphisme, le second membre de (2) est isomorphe à

.

Donc (2) donne

.

Transformons le dénominateur du second membre en prouvant que

.

Chacun des facteurs H' ⋂ K et H ⋂ K' du second membre est contenu dans le premier membre, donc, puisque ce premier membre est un groupe, le second membre est contenu dans le premier. Réciproquement, un élément du premier membre est de la forme h' k', avec h' dans H', k' dans H ⋂ K' et h' k' dans H ⋂ K; ceci entraîne que h' appartient à K, donc à H' ⋂ K, donc le premier membre de (4) est contenu dans le second. Ainsi, les deux membres de (4) sont égaux.
Notons pour la suite qu’il en résulte que (H' ⋂ K) (H ⋂ K') est un sous-groupe de G (ce qu'on pourrait aussi déduire du fait que H' ⋂ K et H ⋂ K' se normalisent mutuellement, car ce sont des sous-groupes normaux de H ⋂ K).
En vertu de (4), la relation (3) peut s'écrire

.

Les hypothèses restant inchangées si on y permute H avec K et H' avec K', nous avons de même

.

On a noté que (H' ⋂ K) (H ⋂ K') est un sous-groupe de G et on sait que si A et B sont des sous-groupes d'un même sous-groupe C, si AB est un sous-groupe de G, alors AB = BA. Donc les seconds membres de (5) et de (6) sont égaux. Dès lors, les premiers membres de (5) et (6) sont isomorphes à un même groupe et sont donc isomorphes entre eux, ce qui achève de démontrer l'énoncé.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Démonstration. Soient et . Pour tout et tout , posons

.

(Le second membre est un sous-groupe, car , étant contenu dans , normalise .) On a en particulier (puisque ) et (puisque ). De plus, il résulte de la première partie du lemme de Zassenhaus que si , est sous-groupe distingué de .
Nous avons donc une suite de composition

.

Nous indexons cette suite par les indices doubles (i, j) tels que et , le dernier sous-groupe, égal à 1, étant à part des autres. (Il n’est pas nécessaire d'expliciter son indice.) Nous ne faisons pas intervenir les indices doubles (i, s), ce qui ne nous fait d'ailleurs rien perdre, puisque, comme nous l'avons noté, . Dans la suite de composition que nous avons construite, le sous-groupe d'indice (i, j), s'il n’est pas le dernier de la suite, est égal à et est suivi par , ceci étant vrai même si j = s – 1.

Posons de même

.

pour tout et tout . On a en particulier (puisque ) et (puisque ). De plus, il résulte de la première partie du lemme de Zassenhaus que si , est sous-groupe distingué de .

Nous avons ici encore une suite de composition

.

Nous indexons cette suite par les indices doubles (j, i) tels que et , le dernier sous-groupe, égal à 1, étant à part des autres. (Il n’est pas nécessaire d'expliciter son indice.) Nous ne faisons pas intervenir les indices doubles (j, r), ce qui ne nous fait d'ailleurs rien perdre, puisque, comme nous l'avons noté, . Dans la suite de composition que nous avons construite, le sous-groupe d'indice (j, i), s'il n’est pas le dernier de la suite, est égal à et est suivi par , ceci étant vrai même si i = r – 1.

À tout indice double de la suite autre que le dernier, faisons correpondre , qui est un indice de la suite , autre que le dernier. Nous définissons ainsi une bijection de l’ensemble des indices doubles de la première suite autres que le dernier sur l’ensemble des indices doubles de la seconde suite autres que le dernier. Le groupe d'indice (i, j) dans la première de ces deux suites est et le quotient de ce groupe par le groupe suivant est

.

D'autre part, le groupe d'indice (j, i) dans la seconde de ces deux suites est et le quotient de ce groupe par le groupe suivant est

.

D'après le lemme de Zassenhaus, les deux quotients considérés sont isomorphes, donc les suites de composition et sont équivalentes. Comme la première est un raffinement de la suite et la seconde un raffinement de la suite , le théorème de Schreier est démontré.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. D'après le théorème précédent, il existe deux suites de composition équivalentes et plus fines respectivement que et . Puisque et sont équivalentes, le nombre de quotients réduits à un élément est le même dans chacune des deux suites. Donc si (resp. ) désigne la suite de composition obtenue en supprimant les répétitions dans (resp. ), et sont deux suites de composition strictement décroissantes équivalentes. Comme et sont elles-mêmes strictement décroissantes par hypothèse, et que et sont des raffinements de et de respectivement, il est clair que et sont des raffinements de et de respectivement, ce qui achève la démonstration.


Début d’un théorème
Fin du théorème


Démonstration. Soient et deux suites de Jordan-Hölder d'un même groupe G. Il s'agit de prouver que ces deux suites sont équivalentes. D'après le théorème de Schreier pour les suites de composition strictement décroissantes, il existe deux suites de composition strictement décroissantes équivalentes et de G qui sont des raffinements de et de respectivement. Mais une suite de Jordan-Hölder est son seul raffinement strictement décroissant, donc et sont respectivement égales à et à . Puisque et sont équivalentes, et sont donc équivalentes, comme annoncé.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Soit une suite de composition strictement décroissante de G. Il s'agit de prouver que admet un raffinement qui est une suite de Jordan-Hölder. Par hypothèse, nous pouvons choisir une suite de Jordan-Hölder de G. D'après le théorème de Schreier pour les suites de composition strictement décroissantes, il existe un raffinement strictement décroissant de et un raffinement strictement décroissant de qui sont équivalents. Mais , étant une suite de Jordan-Hölder, est son seul raffinement strictement décroissant, donc est égale à et est en particulier une suite de Jordan-Hölder. Puisque est équivalente à la suite de Jordan-Hölder , est elle aussi une suite de Jordan-Hölder, ce qui prouve que admet un raffinement qui est une suite de Jordan-Hölder, comme annoncé.

Remarque : au chapitre sur les groupes à opérateurs, on donnera une forme plus forte au théorème de Jordan-Hölder.

Longueur d'un groupe[modifier | modifier le wikicode]


Début d’un théorème
Fin du théorème


Démonstration. Soit G un groupe admettant une suite de Jordan-Hölder. D'après un théorème ci-dessus, toute suite de composition strictement décroissante de G admet un raffinement qui est une suite de Jordan-Hölder, donc la longueur de toute suite de composition strictement décroissante de G est inférieure ou égale à la longueur des suites de Jordan-Hölder. Il en résulte bien que la longueur du groupe est égale à la longueur de ses suites de Jordan-Hölder. Si maintenant le groupe G n'admet pas de suite de Jordan-Hölder, il résulte de la définition d'une suite de Jordan-Hölder que pour toute suite de composition strictement décroissante S de G, il existe une suite de composition strictement décroissante de G qui est strictement plus fine que S, et donc strictement plus longue que S. Il en résulte évidemment que l’ensemble des longueurs des suites de composition strictement décroissantes de G est un ensemble de nombres naturels non borné dans l’ensemble des nombres naturels. La borne supérieure d'un tel ensemble parmi les cardinaux est le plus petit cardinal infini.


Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Soit S une suite de composition strictement décroissante de H, soit T = (K0, ..., Kn) une suite de composition strictement décroissante de G/H. Désignons par f l'homomorphisme canonique de G sur G/H et, pour tout i (de 0 à n), posons . Il résulte du théorème de correspondance que la suite des Li est strictement décroissante et que, pour tout i < n, Li+1 est sous-groupe normal de Li . De plus, L0 = G et Ln = H. Donc, en faisant suivre la suite des Li par la suite S, nous obtenons une suite de composition strictement décroissante de G. Il résulte aussi du théorème de correspondance que Li+1 est sous-groupe normal maximal de Li si et seulement si Ki+1 est sous-groupe normal maximal de Ki.
Si tout d’abord H ou G/H est de longueur infinie, c'est-à-dire admet des suites de composition strictement décroissantes de longueur arbitraire, ce qui précède montre que G admet des suites de composition strictement décroissantes de longueur arbitraire, autrement dit est de longueur infinie. L'énoncé est donc vrai dans ce cas.
Si maintenant H et G/H sont tous deux de longueur finie, autrement dit s'ils admettent tous deux des suites de Jordan-Hölder, la première partie de la démonstration montre que G admet une suite de Jordan-Hölder qui s'obtient en faisant précéder une suite de Jordan-Hölder de H par une suite de même longueur qu'une suite de Jordan-Hölder de G/H. Ainsi, G admet une suite de Jordan-Hölder dont la longueur est la somme des longueurs de H et de G/H, donc l'énoncé est encore vrai.


Remarque. Si H est un sous-groupe non normal d'un groupe G, la longueur de H n’est pas forcément inférieure ou égale à celle de G. Par exemple, on a vu au chapitre Groupes alternés que le groupe alterné A5 est simple et donc de longueur 1; pourtant il contient par exemple un sous-groupe de Klein (produit direct de deux groupes d'ordre 2), et un groupe de Klein est clairement de longueur 2.
Il est même possible qu'un groupe simple, et donc de longueur finie, admette un sous-groupe de longueur infinie. En effet, nous verrons au chapitre Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs que la plupart des groupes linéaires spéciaux projectifs sont simples; parmi ceux-là, il n’est pas difficile d’en trouver qui admettent des sous-groupes monogènes infinis, or nous avons vu qu'un groupe commutatif infini n'admet pas de suite de Jordan-Hölder et est donc de longueur infinie.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Par exemple, il n’est pas démontré dans Jean Fresnel, Groupes, Paris, Hermann, 2001.
  2. D. J. S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, 2e édition, Springer, 1996, p. 64.