Discussion:Théorie des groupes/Groupes nilpotents

Preuve du premier lemme

Bonsoir,

Je crois que l'on peut démontrer le premier lemme comme ceci, en notant $\varphi$ l'homomorphisme canonique de G sur G/K :

${\begin{aligned}\varphi (H)\subseteq Z(G/K)&\iff {\text{tout élément de }}\varphi (H){\text{ commute avec tout élément de }}G/K\\&\iff [\varphi (H),G/K]=1\\&\iff [\varphi (H),\varphi (G)]=1\\&\iff \varphi ([H,G])=1\\&\iff [H,G]\subseteq K\\&\iff [G,H]\subseteq K\end{aligned}}$

Si cela vous paraît mieux (plus simple), je peux remplacer la preuve actuelle. Merci.

--Flo R. (discussion) 3 novembre 2018 à 16:50 (UTC)

En effet, c'est mieux, faites le remplacement. C'est vraiment agréable d'avoir un lecteur si attentif. Je me suis longtemps lamenté de l'absence de feed-back, mais maintenant, je suis gâté. Au fait, je me demande un peu si les exercices sur les groupes nilpotents sont tous très bons. Je fais démontrer plusieurs fois la même chose et cela risque d'être fastidieux pour le lecteur. Si vous trouvez certains de ces exercices désagréables, n'ayez pas peur de le dire. Marvoir (discussion) 3 novembre 2018 à 19:31 (UTC)

Merci. Je n'ai pas encore commencé les exercices de ce chapitre, mais je ne peux pas terminer le chapitre de cours car je ne connais strictement rien en produit tensoriel (ma connaissance des A-modules s'arrête à la définition...). D'après une bête recherche textuelle, aucun des exercices de ce chapitre ne semble avoir le produit tensoriel pour prérequis, mais je me demande si les théorèmes du cours démontrés à partir du moment où l'on parle de produit tensoriel sont utilisés, eux. Si c'est le cas, il faudra que j'attende ou me limite à un sous-ensemble (strict !) de l'ensemble des exercices. De toute manière, je ne pourrai pas commenter de manière très pertinente leur choix, car je n'ai encore rien lu sur les groupes résolubles ou nilpotents ailleurs que dans ce cours. Pour l'instant, je fais une deuxième lecture ce chapitre de cours en essayant de retrouver moi-même le plus de démonstrations possible pour mieux comprendre tout ça, car les nombreuses propriétés assez proches de celles des groupes résolubles (et pour cause) ont un peu de mal à trouver leur place dans ma petite mémoire !

--Flo R. (discussion) 4 novembre 2018 à 09:12 (UTC)

Je pense que la section "Compléments" du chapitre sur les groupes nilpotents n'est pas utilisée dans la suite du cours. Dans les exercices, on retrouve sans utiliser le produit tensoriel (mais lourdement...) les résultats (ou en tout cas l'essentiel des résultats, ma mémoire n'est pas très précise à ce sujet) qu'on obtient dans le chapitre théorique à l'aide du produit tensoriel. D'autre part, il est exact que le produit tensoriel n'est plus utilisé dans le cours après le chapitre sur les groupes nilpotents, mais il joue un rôle assez important dans la théorie des caractères d'un groupe fini si on veut dépasser le stade très élémentaire de cette théorie (stade où l'exposé actuel l'a laissée). Je vous conseillerais tout de même d'étudier les premières notions sur le produit tensoriel, qui font partie d'un cursus classique. Marvoir (discussion) 4 novembre 2018 à 13:05 (UTC)

Merci beaucoup pour ces renseignements. Je ne peux pas trop prévoir à moyen ou long terme, mais je vais peut-être finir les exercices sur les groupes diédraux commencés il y a quelques semaines ou mois (j'ai dû arrêter quand j'ai entendu parler de suite centrale descendante ;-) puis reprendre la lecture de mon livre d'algèbre fondamentale, qui traite des A-modules et du produit tensoriel vers les trois quarts, après plusieurs chapitres sur les anneaux et les corps (anneaux commutatifs, intègres, factoriels... extensions de corps, construction des extensions algébriques, clôture algébrique, groupe des automorphismes d'une extension, corps finis, théorie de Galois, corps cyclotomiques, théorie de Kummer, résolubilité, constructions à la règle et au compas, et enfin modules, groupes abéliens de type fini). Ça fait un peu long avant d'arriver au produit tensoriel, mais comme j'ai commencé il y a quelques mois à apprendre de nouvelles choses sur les anneaux et les corps sans les pratiquer suffisamment pour bien me les approprier, c'est probablement un plan de travail assez raisonnable — sous réserve de pouvoir y consacrer le temps nécessaire, ce qui n'est pas gagné. Encore merci et bonne soirée !

P.S. : Rien à voir avec tout ça, mais dans le cours, le mot « séquence » est utilisé au moins une fois dans le sens de « suite », j'imagine que c'est un anglicisme par inadvertance ?

--Flo R. (discussion) 4 novembre 2018 à 17:52 (UTC)

Bonjour Flo R.. Chaque chose en son temps, bien sûr, et vous pouvez négliger le produit tensoriel de modules dans un premier temps. Mais, à ma connaissance, il n'est pas du tout nécessaire d'avoir étudié "extensions de corps, construction des extensions algébriques, clôture algébrique, groupe des automorphismes d'une extension, corps finis, théorie de Galois, corps cyclotomiques, théorie de Kummer, (...) constructions à la règle et au compas" pour acquérir les notions sur le produit tensoriel qui sont utilisées dans la partie "Compléments" du chapitre sur les groupes nilpotents. Mais, de nouveau, bien sûr, c'est vous qui vous tracez votre programme.

Quant au mot "séquence", Bourbaki, Algèbre, p. I.3 (Paris, 1970), définit une séquence comme une famille indexée par un ensemble fini totalement ordonné. C'est dans ce sens que j'emploie le mot "séquence". Je l'ai défini (entre parenthèses...) au chapitre Lois de composition internes, monoïdes#Composé d'une séquence (finie) d'éléments d'un monoïde. Marvoir (discussion) 5 novembre 2018 à 09:27 (UTC)

Merci pour ces précisions. Vous avez raison, il y a certainement des raccourcis possibles avant d'arriver au produit tensoriel. Cela dit, le principal problème pour tout ça, ce sont les conditions de travail... Je vais voir au fur et à mesure en fonction des possibilités. En tout cas, j'ai bien fait de ne pas toucher au mot « séquence ». ;-) Encore merci, bonne journée.

--Flo R. (discussion) 5 novembre 2018 à 14:25 (UTC)