Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Produit direct et somme restreinte

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Produit direct et somme restreinte
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Exercices no9
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Produit direct et somme restreinte

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Action de groupe
Exo suiv. :Groupes linéaires
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Théorie des groupes/Exercices/Produit direct et somme restreinte
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Problème 1 (très facile)[modifier | modifier le wikicode]

Soient G et H deux groupes. Quel est le centre du groupe  ? Justifier.

Remarque. Il n'est pas beaucoup plus difficile de prouver que le centre de la somme restreinte (interne ou externe) d'une famille finie ou infinie de groupes est la somme restreinte des centres de ces groupes. On utilisera ce fait dans le chapitre Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux.

Problème 2[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe et une famille de sous-groupes distingués de G telle que = 1. Prouver que G est isomorphe à un sous-groupe du produit . (Voir[1].)

Problème 3[modifier | modifier le wikicode]

Soit une famille finie de groupes. Pour chaque i, soit une partie génératrice de . On suppose que pour chaque i, comprend l'élément neutre de .

a) Prouver que est une partie génératrice de .

Remarque : l'énoncé a) nous servira dans un exercice de la série Commutateurs, groupe dérivé.

b) Prouver par un exemple que l'énoncé a) n’est pas forcément vrai si on cesse de supposer que chaque comprend l'élément neutre de .

Problème 4[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe fini tel que x2 = 1 pour tout élément x de G. Prouver que G est un produit direct de groupes d'ordre 2.

Remarques. 1° Nous avons vu que dans les hypothèses de l'énoncé, G est commutatif. Dès lors, puisque, par hypothèse, x2 = 1 pour tout élément x de G, G se munit naturellement d'une structure d'espace vectoriel sur le corps à deux éléments. Comme tout espace vectoriel admet une base, on en tire facilement l'énoncé, et même que G, si on ne le suppose pas fini, est somme restreinte d'une famille de groupes d'ordre 2.
2° Plus généralement, si p est un nombre premier, si G est un groupe abélien (noté additivement) tel que, pour tout élément x de G, px = 0, alors G est le groupe additif d'un espace vectoriel V sur le corps à p éléments. D'après la théorie des espaces vectoriels, V admet une base, donc le groupe G est somme directe d'une famille (finie ou infinie) de sous-groupes d'ordre p. Voir le chapitre Groupes commutatifs finis, 1.

Problème 5[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe et H, K deux sous-groupes de G. En appliquant à la fonction le fait que l'image d'une fonction f est équipotente à l’ensemble des classes d'équivalence pour la relation d'équivalence (en x et y) « f(x) = f(y) » (définie dans l’ensemble de départ de f), prouver que l’ensemble HK a pour cardinal l'indice d'un certain sous-groupe (à préciser) du groupe produit . En déduire une nouvelle démonstration de la formule du produit.

Problème 6[modifier | modifier le wikicode]

a) Soient G un groupe et (Gi)i∈I une famille de sous-groupes de G. On suppose que pour tout sous-groupe H de type fini de G, H est somme restreinte interne de la famille (H ⋂ Gi)i∈I. Prouver que G est somme restreinte interne de la famille (Gi)i∈I.

Remarque : l'énoncé a) nous servira dans le chapitre Groupes nilpotents.

b) Donner un exemple de la situation suivante : G est un groupe, somme restreinte interne d'une famille de sous-groupes, H est un sous-groupe de type fini de G et H n’est pas somme restreinte interne de la famille (Ceci montre que le point a) donne une condition suffisante mais non nécessaire pour que G soit somme restreinte interne de la famille )

Problème 6[modifier | modifier le wikicode]

On notera additivement les groupes abéliens intervenant dans ce problème.

Soit un groupe abélien, soit une partie génératrice de

a) Pour tout élément de , désignons par le sous-groupe de engendré par Prouver que est (isomorphe à) un quotient de la somme directe externe de la famille

b) Prouver que est isomorphe à un quotient de la somme directe externe (somme directe externe d'une famille de groupes tous isomorphes à ).

Remarques.

  1. On verra dans la suite du cours qu'un groupe (abélien) qui est somme directe interne d'une famille de groupes isomorphes à est appelé un groupe abélien libre. (Le mot « abélien » est important dans l'expression « groupe abélien libre » : une somme directe d'au moins deux groupes isomorphes à est un groupe abélien libre mais n'est pas un groupe libre au sens qu'on donnera à l'expression « groupe libre » dans la suite du cours.) Avec cette définition, il résulte du point b) (et du fait que tout groupe abélien a au moins une partie génératrice, par exemple lui-même) que tout groupe abélien est isomorphe à un quotient d'un groupe abélien libre.
  2. Aussi bien du point a) que du point b) (et du fait que tout groupe a au moins une partie génératrice), il résulte que tout groupe abélien est isomorphe à un quotient d'une somme directe de groupes monogènes. Ce fait nous servira dans un exercice sur le chapitre (encore à écrire) Groupes divisibles.

Problème 7 (facile)[modifier | modifier le wikicode]

Dans un groupe G, soit H un sous-groupe normal complet, c'est-à-dire dont le centre est réduit à l'élément neutre et tous les automorphismes sont intérieurs.

Démontrer que G est isomorphe à H×CG(H).

Problème 8[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que le groupe multiplicatif est isomorphe au groupe additif des applications de dans à support fini.

Références[modifier | modifier le wikicode]

  1. N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 4, exerc. 6; Paris, 1970, p. 124.