Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux
Icône de la faculté
Chapitre no 29
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Premiers résultats sur les groupes simples
Chap. suiv. :Théorème de Gaschütz

Exercices :

Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Théorie des groupes : Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux
Théorie des groupes/Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Notions essentielles[modifier | modifier le wikicode]


Remarques. 1. Les auteurs n'imposent pas tous[1] à G d’être non réduit à l'élément neutre.
2. On montre facilement que tout groupe isomorphe à un groupe caractéristiquement simple est caractéristiquement simple.
3. On montre facilement que si V est un groupe de Klein (produit direct de deux groupes d'ordre 2), les trois sous-groupes d'ordre 2 de V sont images l'un de l'autre par des automorphismes de V et ne sont donc pas des sous-groupes caractéristiques de V. Il en résulte que V est caractéristiquement simple. Nous déterminerons plus loin la structure de tous les groupes caractéristiquement simples finis.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Remarque. On a vu qu'un groupe de Klein est caractéristiquement simple. Comme un groupe de Klein n'est évidemment pas simple, ceci montre qu'un groupe caractéristiquement simple n’est pas forcément simple.

Début d'un lemme
Fin du lemme


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Remarques.

  1. Ce lemme nous servira dans la démonstration du théorème de Schur-Zassenhaus.
  2. Nous verrons plus loin une description des groupes caractéristiquement simples finis qui fournira, dans le cas fini, un résultat beaucoup plus précis que le présent lemme.


En d'autres termes, un sous-groupe normal minimal de G est un sous-groupe normal de G tel que les seuls sous-groupes normaux de G contenus dans N soient 1 et N.

Remarque. L'expression « sous-groupe normal minimal » est quelque peu abusive, puisque, en toute rigueur, le sous-groupe réduit à l'élément neutre est le seul sous-groupe normal minimal pour la relation d'inclusion. Cet abus est cependant quasi[2] universel.

Exemple. On a vu au chapitre Groupes alternés que les sous-groupes normaux du groupe alterné A4 sont 1, V et A4, où V désigne le sous-groupe de Klein de A4. Donc V est un sous-groupe normal minimal de A4.

Début d'un lemme
Fin du lemme


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d'un lemme
Fin du lemme

Démonstration facile, laissée au lecteur.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Remarques. 1° On a vu que le sous-groupe de Klein V de A4 est un sous-groupe normal minimal de A4. Donc le théorème qui précède fournit une nouvelle démonstration du fait qu'un groupe de Klein est caractéristiquement simple.
2° On verra dans les exercices que tout groupe caractéristiquement simple (et non réduit à l'élément neutre) peut être plongé dans un groupe dont il est sous-groupe normal minimal. C'est une réciproque du théorème qui précède.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Remarques.

  1. Nous avons en fait démontré qu'on peut prendre les Hi de l'énoncé tels que, pour chaque i, il existe un automorphisme de G qui applique H sur Hi. Cela peut sembler plus fort que de dire seulement, comme dans l'énoncé, que les Hi sont tous isomorphes à H, mais cela ne l'est pas vraiment. Par exemple, du fait que H1 est isomorphe à H2 et que on tire, à l'aide d'un corollaire de la propriété universelle de la somme restreinte, qu’il existe un automorphisme de G qui applique H1 sur H2.
  2. Dans le précédent théorème, l'hypothèse selon laquelle G est fini peut être levée, à condition d'énoncer le théorème comme suit : « Soient G un groupe caractéristiquement simple et H un sous-groupe normal minimal de G. Le groupe H est simple et G est somme restreinte d'une famille (non forcément finie) de sous-groupes simples tous isomorphes à H, H étant égal à l'un d'eux. » (Voir W.R. Scott, Group Theory, 1964, repr. Dover, 1987, p. 73.)


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

En fait, les groupes simples dont question dans le corollaire 2 peuvent être pris non seulement isomorphes entre eux mais conjugués dans G. Nous allons le prouver en copiant presque la démonstration du théorème précédent.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Rappelons une définition qui a été donnée au chapitre Groupes commutatifs finis, 1 :


On a vu au même chapitre Groupes commutatifs finis, 1 qu'un p-groupe abélien élémentaire (fini ou infini) est le groupe additif d'un espace vectoriel sur le corps à p éléments et est donc la somme directe d'une famille de groupes d'ordre p.


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Compléments[modifier | modifier le wikicode]

On a prouvé dans la première partie du chapitre que tout groupe fini caractéristiquement simple est produit direct de groupes simples isomorphes entre eux. On va maintenant prouver une réciproque forte de ce théorème, à savoir que tout groupe qui est somme restreinte d'une famille (finie ou infinie) de groupes simples tous isomorphes entre eux est caractéristiquement simple. Cette réciproque est moins importante que le théorème direct[3], donc la présente section peut être omise en première lecture.

On désignera la somme restreinte de deux sous-groupes par le symbole et la somme restreinte d'une famille de sous-groupes par le symbole .

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Remarque. Si on ne suppose pas que les groupes simples Gi sont non abéliens, le théorème devient faux. Par exemple, soient p un nombre premier et H un groupe (cyclique) d'ordre p. Le produit direct externe est abélien, donc tous ses sous-groupes sont normaux. En particulier, si nous choisissons un générateur a de H, le sous-groupe de engendré par l'élément (a, a) de est un sous-groupe normal de . Pourtant, il n'est égal ni à {1}, ni à , ni à ni à .
}}

Début d'un lemme
Fin du lemme


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 257, suppose G non réduit à l'élément neutre. W.R. Scott, Group theory, repr. Dover, 1984, p. 73, ne le suppose pas.
  2. W.R. Scott, Group Theory, 1964, réimpr. Dover, 1987, p. 74, écrit « minimal, normal non-E subgroup », où E désigne le sous-groupe réduit à l'élément neutre.
  3. J. J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage 1999, p. 106, démontre le théorème direct, mais non la réciproque.