Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Action de groupe

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Action de groupe
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Exercices no8
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Action de groupe

Ces exercices sont de niveau 13.

Exo préc. :Conjugaison, centralisateur, normalisateur
Exo suiv. :Produit de groupes
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Théorie des groupes/Exercices/Action de groupe
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Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe opérant transitivement et fidèlement sur un ensemble X. Prouver que si G est commutatif, cette opération est simplement transitive[1]. (Cet énoncé nous fournira une démonstration alternative d'un théorème sur les permutations cycliques.)

Problème 2. (Lemme dit de Burnside)[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. Pour tout élément g de G, désignons par F(g) le nombre des éléments de X fixés par g, c'est-à-dire le nombre des éléments x de X tels que gx = x.

a) Prouver le lemme dit de Burnside[2] :

,

où Ω désigne l’ensemble des orbites. (Indication : combien de fois un élément x de X est-il compté dans la somme ?)

b) Soit G un groupe fini opérant transitivement sur un ensemble X d'au moins deux éléments. Déduire du point a) qu’il existe au moins un élément de G qui ne fixe aucun élément de X.

Problème 3[modifier | modifier le wikicode]

a) Soit G un groupe opérant à gauche sur un ensemble X, soient x et y deux points de X et g un élément de G tels que gx = y. Prouver que Stab(y) = g Stab(x) g-1. (Ceci montre que si deux éléments de X appartiennent à la même orbite, leurs stabilisateurs sont conjugués dans G.)

b) Soient G un groupe, x et a des éléments de G et H un sous-groupe de G. Déduire de a) une nouvelle démonstration des relations et (démontrées dans les exercices de la série Conjugaison, centralisateur, normalisateur).

Problème 4[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe fini non trivial et p le plus petit diviseur premier de l’ordre de G. Prouver que si H est un sous-groupe d'indice p de G, c’est un sous-groupe normal de G. (Indication : faire opérer G par translation à gauche sur l’ensemble G/H de ses classes à gauche modulo H. Considérer le noyau de l'homomorphisme de G dans SG/H associé à cette opération.)

Problème 5[modifier | modifier le wikicode]

Utiliser le lien entre orbite et stabilisateur pour résoudre les deux questions suivantes.

  1. Un groupe d'ordre 35 opère sur un ensemble de 19 éléments en ne laissant fixe aucun d'eux. Combien y a-t-il d'orbites ?
  2. Un groupe d'ordre 143 = 11×13 opère sur un ensemble de 108 éléments. Montrer qu'il existe un point fixe.

Problème 6[modifier | modifier le wikicode]

Utiliser le lien entre orbite et stabilisateur pour déterminer les ordres du groupe des rotations du cube et de celui du tétraèdre régulier. Même question pour leurs groupes d'isométries.

Problème 7[modifier | modifier le wikicode]

  1. Faire l'inventaire des rotations du cube, sachant qu'il y en a 24 (en comptant l'identité).
  2. En déduire que ce groupe est isomorphe à S4.
  3. À l'aide du lemme « de Burnside » (voir supra), déterminer le nombre de façons de colorer les faces d'un cube à rotation près, avec au plus 3 couleurs à sa disposition.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 5, no 6, exemple 2; Paris, 1970, p. 58.
  2. Le lemme dit de Burnside fut en fait démontré en 1887 par Frobenius. Voir J. J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage de 1999, p. 58, n. 1.