Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z

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Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z
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Exercices no5
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Sous-groupe distingué, groupe quotient
Exo suiv. :Groupes monogènes, ordre d'un élément
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Théorie des groupes/Exercices/Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z
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Problème 1 (Facile)[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Treillis ».

a) Soit E un ensemble ordonné. On suppose que pour tous éléments x, y de E, la partie {x, y} de E admet une borne inférieure, qu'on désignera par , et une borne supérieure, qu'on désignera par . (Un ensemble ordonné qui possède ces deux propriétés est dit ensemble réticulé[1]) Prouver que les lois de composition dans E et sont commutatives et associatives.

b) Aux hypothèses du point a), on ajoute que E admet un plus petit élément, soit m, et un plus grand élément, soit M. Montrer qu'alors E, muni de la loi , est un monoïde commutatif admettant M pour élément neutre et que E, muni de la loi , est un monoïde commutatif admettant m pour élément neutre. Comme dans tout monoïde, on définit alors le composé d'un n-uplet (a1, ... , an) d'éléments de E par récurrence sur n :

si n = 0;
si n ≥ 1.

De même, pour la loi  :

si n = 0;
si n ≥ 1.

Prouver que est la borne inférieure et la borne supérieure de

c) Soient a1, ... , an des entiers rationnels. Retrouver à l'aide de ce qui précède la relation

ppcm (a1, ... , an) = ppcm (ppcm(a1, ... , an-1), an),

démontrée dans la théorie.

d) Un ensemble ordonné réticulé est dit distributif si les deux lois de composition et (où sup(a, b) et inf(a, b) désignent respectivement la borne supérieure et la borne inférieure de {a, b}) sont distributives l'une par rapport à l'autre. En fait, si une de ces deux lois est distributive par rapport à l'autre, la seconde est également distributive par rapport à la première. En effet, si par exemple est distributive par rapport à alors

donc est distributive par rapport à .

Prouver que tout ensemble totalement ordonné est un ensemble réticulé distributif.

e) Prouver que l’ensemble des nombres naturels, muni de la relation d'ordre « divise », est un ensemble réticulé distributif, autrement dit que le pgcd et le ppcm sont distributifs l'un par rapport à l'autre. (Indication : utiliser le point d) et la décomposition en facteurs premiers.)

Problème 2 (Théorème chinois)[modifier | modifier le wikicode]

a) Soient a, b et c des entiers rationnels. Montrer que pour qu’il existe un entier rationnel x tel que

il faut et il suffit que b soit divisible par le pgcd de a et c.

b) (Théorème chinois) Soient m1, ... , mn des entiers naturels et a1, ... , an des entiers rationnels. On suppose que pour tous indices i, j distincts,

Prouver qu’il existe un entier rationnel a tel que, pour tout i (1 ≤ i ≤ n),

(Raisonner par récurrence sur n.)

c) Prouver que si a est un entier rationnel satisfaisant aux conditions du point b), un entier rationnel a' satisfait à ces conditions si et seulement s'il est congru à a modulo le ppcm des mi.

d) Soient m1, ..., mn des nombres naturels premiers entre eux deux à deux, soient a1, ..., an des entiers rationnels. Prouver qu’il existe au moins un entier rationnel a tel que, pour tout i (1 ≤ i ≤ n),

Références[modifier | modifier le wikicode]

  1. N. Bourbaki, Théorie des ensembles. Chapitres 1 à 4, Paris, Masson, 1998, ch. III, § 1, no 11, p. 13.