Théorie des groupes/Théorème de Gaschütz

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Complément d'un sous-groupe

Rappelons la définition d'un complément, qui a été donnée au chapitre Produit semi-direct :

Définition

Soient H et K des sous-groupes d'un groupe G. On dit que K est un complément de H (dans G) si $G=HK$ et $H\cap K=1$.

Si G = HK, on a aussi G = KH (passer aux inverses, ou encore utiliser le fait, démontré dans la série Groupes, premières notions, que si H et K sont deux sous-groupes d'un groupe G, alors HK = KH si et seulement si HK est un sous-groupe de G). Donc si K est un complément de H, H est un complément de K.

On vérifie facilement que K est un complément de H dans G si et seulement si K est une transversale droite (resp. gauche) de H dans G.

Début d'un lemme

Lemme

Si deux compléments d'un même sous-groupe sont en relation d'inclusion, ils sont égaux.

Fin du lemme

Démonstration. Voir exercices.

Argument de Frattini

Début d’un théorème

Argument de Frattini (forme générale)

Soient G un groupe opérant (à gauche ou à droite) sur un ensemble X et H un sous-groupe de G tel que l'opération de H sur X induite par celle de G soit transitive. Alors, pour tout élément x de X, $\ G=G_{x}H$ (où $\ G_{x}$ désigne le stabilisateur de x dans G). Si de plus $\ H_{x}=1$, $\ G_{x}$ est un complément de H dans G.

Fin du théorème

Début d'une démonstration

Démonstration

La première assertion de l'énoncé a été démontrée dans Théorie des groupes/Action de groupe#Argument de Frattini.

La seconde est claire, puisque $H_{x}=H\cap G_{x}.$

Fin de la démonstration

Théorème de Gaschütz

Énoncé

Début d’un théorème

Théorème de Gaschütz

Soient G un groupe fini, K un sous-groupe normal et commutatif de G, U un sous-groupe de G tel que $K\leq U$ et $(\vert K\vert ,\vert G:U\vert )=1.$

(a) Si K admet un complément dans U, il admet un complément dans G.

(b) Si $H_{0}$ et $H_{1}$ sont deux compléments de K dans G tels que $H_{0}\cap U=H_{1}\cap U$, alors $H_{0}$ et $H_{1}$ sont conjugués dans G.

Fin du théorème

Démonstration

La démonstration qui suit est essentiellement celle que donnent Kurzweil et Stellmacher, qui en créditent G. Glauberman.

Notons tout d’abord que, puisque K est normal dans G, il n'y a pas à distinguer entre classes à gauche et classes à droite modulo K. On peut donc parler d'éléments congrus entre eux modulo K. En revanche, puisque U n’est pas supposé normal dans G, il faut dire explicitement si on considère une classe à gauche ou à droite modulo U.

Démontrons la partie (a) de l'énoncé.

Début d'une démonstration

Démonstration

Par hypothèse, nous pouvons choisir un complément A de K dans U. Alors :

$(1)\qquad U=AK$

et

$(2)\qquad A\cap K=1.$

Soit W une transversale droite de U dans G.

$\ (3)$ Deux éléments de KW appartiennent à la même classe à droite modulo U si et seulement s'ils sont congrus modulo K.

Justification

Puisque K est contenu dans U, deux éléments de G congrus modulo K appartiennent évidemment à la même classe à droite modulo U.

Réciproquement, soient r, s deux éléments de KW appartenant à la même classe à droite modulo U. Puisque r et s sont supposés appartenir à KW, nous avons $r=k_{1}w_{1}$ et $s=k_{2}w_{2}$, avec $k_{1},k_{2}\in K$ et $w_{1},w_{2}\in W.$

Alors l'hypothèse Ur = Us peut s'écrire

$Uk_{1}w_{1}=Uk_{2}w_{2}.$

Puisque $k_{1},k_{2}\in K\leq U$, $Uk_{1}=Uk_{2}=U$, donc

$Uw_{1}=Uw_{2}.$

Puisque $w_{1}$ et $w_{2}$ appartiennent tous deux à la même transversale droite W de U dan G, on a donc $w_{1}=w_{2}.$

Dès lors, les relations $r=k_{1}w_{1}$ et $s=k_{2}w_{2}$ ci-dessus donnent $r\equiv s{\pmod {K}}$, ce qui achève de prouver (3).

 

Tout élément x de G peut se mettre d'une et une seule façon sous la forme :

$(4)\qquad x=x_{A}x_{KW},$

avec $x_{A}\in A,x_{KW}\in KW,$

et peut aussi se mettre d'une et une seule façon sous la forme

$(5)\qquad x=x_{A}x_{K}x_{W},$

avec $x_{A}\in A,x_{K}\in K,x_{W}\in W.$

Justification

Puisque A et K sont compléments l'un de l'autre dans U, K est une transversale droite de A dans U. D'autre part, W est par hypothèse une transversale droite de U dans G. Donc (voir un exercice de la série Classes modulo un sous-groupe) KW est une transversale droite de A dans G, ce qui prouve (4). L'élément $\ x_{KW}$ de (4) peut se mettre sous la forme $\ x_{K}x_{W},$ avec $\ x_{K}\in K,x_{W}\in W$; cette écriture est unique, puisque W est une transversale droite de U dans G. Ceci prouve (5).

 

Nous prenons (4) et (5) comme définitions de symboles $\ x_{A},x_{K},x_{W}$ et $\ x_{KW}$. On a donc

$(6)\qquad x_{KW}=x_{K}x_{W}$

$(7)\qquad x_{KW}=x_{A}^{-1}x.$

(Remarque : $\ x_{A},x_{K},x_{W}$ et $\ x_{KW}$ dépendent tous de A, de K et de W. Les notations ne sont donc pas explicites.)

D'après (4), $\ x_{W}$ est le seul élément de KW tel que

$(8)\qquad Ax=Ax_{KW}.$

Puisque $A\leq U$, cette relation entraîne

$(9)\qquad Ux=Ux_{KW}.$

Par exemple de l'assertion d'unicité de (8), il résulte que

$(10)\qquad x\in KW\Rightarrow x_{KW}=x.$

Pour tous $g,h\in G,$

$(11)\qquad g\equiv h{\pmod {K}}\Leftrightarrow (g_{A}=h_{A}\ \mathrm {et} \ g_{W}=h_{W}).$

Justification

D'après (5), nous avons $g=g_{A}g_{K}g_{W}$ et $\ h=h_{A}h_{K}h_{W}.$, avec $\ g_{A},h_{A}\in A,g_{K},h_{K}\in K,g_{W},h_{W}\in W.$

Si $g\equiv h{\pmod {K}}$, alors

$(12)\qquad g_{A}g_{W}\equiv h_{A}h_{W}{\pmod {K}}.$

Puisque $K\leq U$, $g_{A}g_{W}$ et $h_{A}h_{W}$ appartiennent donc à une même classe à droite modulo U. Puisque $g_{A},h_{A}\in A\leq U$, il en résulte que $g_{W}$ et $h_{W}$ appartiennent à une même classe à droite modulo U. Puisque $g_{W}$ et $h_{W}$ appartiennent à la même transversale droite W de U dans G, on a donc $g_{W}=h_{W}.$ Dès lors, (12) donne $g_{A}\equiv h_{A}{\pmod {K}},$ d'où, d’après (2), $g_{A}=h_{A}.$

Nous avons donc prouvé que si $g\equiv h{\pmod {K}}$, alors $g_{A}=h_{A}$ et $g_{W}=h_{W}.$

Réciproquement, supposons que $g_{A}=h_{A}$ et $g_{W}=h_{W}$. D'après les égalités $g=g_{A}g_{K}g_{W}$ et $h=h_{A}h_{K}h_{W}$, il est clair que $g\equiv h{\pmod {K}}$.

 

Il résulte de (11) que pour tous $g,h\in G,$

$(13)\qquad g\equiv h{\pmod {K}}\Rightarrow g_{KW}\equiv h_{KW}{\pmod {K}}.$

Justification

En effet, si $g\equiv h{\pmod {K}},$ alors, d’après (11), nous avons $g_{W}=h_{W},$ d'où $g_{K}g_{W}\equiv h_{K}h_{W}{\pmod {K}}$, c'est-à-dire, d’après (6), $g_{KW}\equiv h_{KW}{\pmod {K}}.$

 

Pour tous $r,s,x\in G,$

$(14)\qquad r\equiv s{\pmod {K}}\Rightarrow (rx)_{KW}\equiv (sx)_{KW}{\pmod {K}}$

$(15$ et l'implication réciproque est vraie si $r,s\in KW.$

Justification

En effet, si $r\equiv s{\pmod {K}}$, alors $rx\equiv sx{\pmod {K}}$, d'où, d’après (13), $(rx)_{KW}\equiv (sx)_{KW}{\pmod {K}}$, ce qui prouve (14).

Réciproquement, supposons $r,s\in KW$ et

$\qquad (rx)_{KW}\equiv (sx)_{KW}{\pmod {K}}$.

Puisque $K\leq U$, ceci entraîne

$\qquad U(rx)_{KW}=U(sx)_{KW},$

d'où, d’après (9),

$\qquad Urx=Usx$

$\qquad Ur=Us.$

Puisque r et s sont supposés appartenir à KW, (3) donne $r\equiv s{\pmod {K}}$, ce qui prouve (15).

 

Soient x un élément de G et r, s des éléments de G tels que $r\equiv s{\pmod {K}}$ ; alors

$(16)\qquad (rx)_{KW}^{-1}(sx)_{KW}=x^{-1}r^{-1}sx.$

Justification

En effet, d’après (7), nous avons

$(17)\qquad (rx)_{KW}=a_{1}rx.$

et

$(18)\qquad (sx)_{KW}=a_{2}sx$

avec $a_{1},a_{2}\in A.$

D'autre part, puisque $r\equiv s{\pmod {K}}$, (14) donne

$\qquad (rx)_{KW}\equiv (sx)_{KW}{\pmod {K}},$

ce qui, d’après (17) et (18), peut s'écrire

$\qquad a_{1}rx\equiv a_{2}sx{\pmod {K}}.$

Toujours parce que $r\equiv s{\pmod {K}}$, ceci donne $a_{1}\equiv a_{2}{\pmod {K}},$ d'où, d’après (2), $a_{1}=a_{2}.$

Dès lors, d’après (17) et (18),

$\qquad (rx)_{KW}^{-1}(sx)_{KW}=x^{-1}r^{-1}a_{1}^{-1}a_{2}sx=x^{-1}r^{-1}sx,$

ce qui prouve (16).

 

Pour tous $x,y\in G,$

$(19)\qquad (yx)_{KW}=(y_{KW}x)_{KW}.$

Justification

En effet, d’après la définition (4) ou (8),

$\qquad y=ay_{KW}$ avec $a\in A,$

d'où

$(20)\qquad yx=ay_{KW}x.$

D'autre part, toujours d’après la définition (4) ou (8),

$\qquad y_{KW}x=a'(y_{KW}x)_{KW}$ avec $a'\in A.$

En portant ceci dans (20), nous obtenons

$\qquad yx=aa'(y_{KW}x)_{KW},$ avec $aa'\in A$ et $(y_{KW}x)_{KW}\in KW,$

d'où, d’après l'assertion d'unicité de (4),

$\qquad (yx)_{KW}=(y_{KW}x)_{KW},$

ce qui prouve (19).

 

Soient R et S deux transversales droites de U dans G. On vérifie facilement que

$\ (21)$ les conditions suivantes sont équivalentes :

1° $R\subseteq KS$

2° $S\subseteq KR$

3° $\ KR=KS$

4° il existe une numérotation $r_{1},\ldots r_{n}$ des éléments de R et une numérotation $s_{1},\ldots s_{n}$ des éléments de S telles que, pour tout $i(1\leq i\leq n),r_{i}\equiv s_{i}{\pmod {K}}$

5° un élément de R et un élément de S appartiennent à la même classe à droite modulo U si et seulement si ces deux éléments sont congrus modulo K.

Les conditions 1° à 5° définissent une relation d'équivalence entre transversales droites de U dans G (voir par exemple 3°). Désignons par ${\mathcal {C}}(W)$ la classe de W selon cette relation d'équivalence. Autrement dit,

$(22)\;{\mathcal {C}}(W)$ est l’ensemble des transversales droites de U dans G contenues dans KW.

Pour toute transversale droite D de U dans G, posons

$(23)D_{KW}=\{d_{KW}\vert d\in D\},$

où $\ d_{KW}$ est défini comme en (4) en (8).

Alors $D_{KW}\in {\mathcal {C}}(W).$

Justification

En effet, d’après (4) ou (8), $d_{KW}$ appartient à la même classe à droite modulo U que d. Or il est clair que si, dans une transversale droite de U dans G, on remplace chaque élément x par un élément qui appartient à la même classe à droite modulo U que x, on obtient encore une transversale droite de U dans G. Donc $D_{KW}$ est une transversale droite de U dans G.

Par exemple d’après la définition (4), $d_{KW}$ appartient à KW, donc $D_{KW}$ est contenue dans KW, ce qui achève de prouver que $D_{KW}\in {\mathcal {C}}(W).$

 

D'après (8), il est clair que

$(24)\;D_{KW}$ est le seul élément de ${\mathcal {C}}(W)$ tel que $AD=AD_{KW}.$

D'autre part,

$\ (25)$ L'application $d\mapsto d_{KW}$ de $D$ sur $D_{KW}$ est une bijection.

Justification

En effet, c’est évidemment une surjection et si $d,d'\in D,$ si $d_{KW}=d'_{KW}$, alors, d’après (9), $Ud=Ud'$, d'où, puisque $D$ est une transversale droite de $U$ dans $G,d=d'.$

 

Il résulte de (10) que

$(26)\qquad D\subseteq KW\Rightarrow D_{KW}=D.$

Soient x un élément de G et D une transversale droite de U dans G.

$(27)$ L'ensemble Dx est lui aussi une transversale droite de U dans G.

Justification

C'est démontré dans un exercice de la série Classes modulo un sous-groupe.

 

Donc, d’après (24),

$\ (28)\qquad (Dx)_{KW}\in {\mathcal {C}}(W).$

Il résulte de (19) que, pour toute transversale droite D de U dans G et pour tout élément x de G,

$(29)\qquad (Dx)_{KW}=(D_{KW}x)_{KW}.$

Pour tout élément S de ${\mathcal {C}}(W)$ et pour tout élément x de G, posons

$(30)\qquad S^{x}=(Sx)_{KW}.$

D'après (28),

$(31)\qquad S^{x}\in {\mathcal {C}}(W).$

Pour tous $x,y\in G,$

$\qquad (S^{x})^{y}=(S^{x}y)_{KW}$

$\qquad (S^{x})^{y}=((Sx)_{KW}y)_{KW},$

d'où, d’après (29),

$\qquad (S^{x})^{y}=(Sxy)_{KW}$

$(32)\qquad (S^{x})^{y}=S^{xy}.$

De plus, $\ S^{1}=(S1)_{KW}=S_{KW};$ puisque $S\subseteq KW,$ (26) donne $S_{KW}=S,$ donc $S^{1}=S.$

De ceci et de (32), il résulte que (30) définit une opération à droite de $G$ sur ${\mathcal {C}}(W).$

Si $k\in K$ et $S\in {\mathcal {C}}(W),$ alors

$(33)\qquad S^{k}=Sk.$

Justification

En effet, d’après la définition (30), $S^{k}=(Sk)_{KW},$ donc, d’après (26), il suffit de prouver que $Sk\subseteq KW.$ Puisque $K$ est normal dans $G,KW=WK,$ donc de $S\subseteq KW$ résulte $S\subseteq WK,$ d'où $Sk\subseteq WK=KW,$ ce qui prouve notre argument.

 

Nous allons maintenant définir une relation d'équivalence dans ${\mathcal {C}}(W)$ qui nous permettra de passer de l'opération (30) de G sur ${\mathcal {C}}(W)$ à une opération de G sur le quotient de ${\mathcal {C}}(W)$ par la relation d'équivalence en question.

Pour toute classe à droite X de G modulo U et pour tout élément T de ${\mathcal {C}}(W)$, désignons par repr(X, T) le représentant de X dans T, c'est-à-dire l'unique élément de T qui appartient à X.

Si T₁ et T₂ sont deux éléments de ${\mathcal {C}}(W)$, repr(X, T₁) et repr(X, T₂) sont congrus modulo K. (Voir (21), 5°.)

Donc

$(34)\qquad \mathrm {repr} (X,T_{1}^{-1})\mathrm {repr} (X,T_{2})\in K.$

Puisque K est supposé commutatif, nous pouvons définir le produit de n’importe quelle famille finie d'éléments de K. Compte tenu de (34), nous pouvons poser, pour tout couple (T₁, T₂) d'éléments de ${\mathcal {C}}(W)$ (et en désignant par G/U l’ensemble des classes à droite modulo U)

$(35)\qquad T_{1}\vert T_{2}=\prod _{X\in G/U}\mathrm {repr} (X,T_{1})^{-1}\mathrm {repr} (X,T_{2})\in K,$

ce qui peut encore s'écrire

$(36)\qquad T_{1}\vert T_{2}={\underset {Kt_{1}=Kt_{2}}{\underset {(t_{1},t_{2})\in T_{1}\times T_{2}}{\stackrel {}{\prod }}}}t_{1}^{-1}t_{2}\in K.$

Il résulte de (35) que, pour tous éléments T₁, T₂, T₃ de ${\mathcal {C}}(W)$,

$(37)\qquad (T_{1}\vert T_{2})(T_{2}\vert T_{3})=T_{1}\vert T_{3}.$

En faisant $T_{1}=T_{2}=T_{3},$ nous trouvons

$(38)\qquad T\vert T=1$

pour toute $T\in {\mathcal {C}}(W).$ En faisant maintenant $T_{1}=T_{3}$ dans (37), nous trouvons, compte tenu de (38),

$(39)\qquad (T_{1}\vert T_{2})(T_{2}\vert T_{1})=1.$

(On pourrait évidemment démontrer (38) et (39) plus directement.)

Les résultats (37) à (39) entraînent que

$(40)$ la relation $T_{1}\vert T_{2}=1$ est une relation d'équivalence dans ${\mathcal {C}}(W).$

Pour tout $k\in K$ et toutes $R,S\in {\mathcal {C}}(W),$

$(41)\qquad S^{k}\vert R=k^{-\vert G:U\vert }(S\vert R).$

Justification

En effet, d’après (33),

$(42)\qquad S^{k}\vert R=Sk\vert R=\prod _{X\in G/U}\mathrm {repr} (X,Sk)^{-1}\mathrm {repr} (X,R).$

(Note : $Sk\vert R$ désigne $(Sk)\vert R.$ On donne la priorité à l'opérateur juxtaposition sur l'opérateur $\vert$.)

Il est clair que, dans (42),

$(43)\qquad \mathrm {repr} (X,Sk)=\mathrm {repr} (Xk^{-1},S)k.$

De plus, $Xk^{-1}=X.$ En effet, X est une classe à droite modulo U et est donc de la forme Ux avec $x\in G.$ Alors $Xk^{-1}=Uxk^{-1}.$ Puisque K est normal dans G, $xk^{-1}$ est de la forme $k'x$ avec $k'\in K.$ Alors $Xk^{-1}=Uk'x.$ Puisque $K\leq U,Uk'=U,$ donc $Xk^{-1}=Ux,$autrement dit $Xk^{-1}=X$ comme annoncé.

La relation (43) peut donc s'écrire

$\qquad \mathrm {repr} (X,Sk)=\mathrm {repr} (X,S)k,$

donc (42) donne

$\qquad S^{k}\vert R=\prod _{X\in G/U}k^{-1}\mathrm {repr} (X,S)^{-1}\mathrm {repr} (X,R)$

$\qquad S^{k}\vert R=k^{-\vert G:U\vert }\prod _{X\in G/U}\mathrm {repr} (X,S)^{-1}\mathrm {repr} (X,R)$,

ce qui revient à (41).

 

Pour tout $x\in G$ et toutes $R,S\in {\mathcal {C}}(W),$

$(44)\qquad R^{x}\vert S^{x}=x^{-1}(R\vert S)x.$

Justification

En effet, d’après la définition (30),

$(45)\qquad R^{x}\vert S^{x}=(Rx)_{KW}\vert (Sx)_{KW}.$

Puisque $r\mapsto rx$ définit une bijection de R sur Rx, il résulte de (25) que $r\mapsto (rx)_{KW}$ définit une bijection de $R$ sur $\ (Rx)_{KW}.$ De même, $s\mapsto (sx)_{KW}$ définit une bijection de $\ S$ sur $\ (Sx)_{KW}.$

Donc, compte tenu de la définition (36), (45) peut s'écrire

$(46)\qquad R^{x}\vert S^{x}={\underset {(r,s)\in R\times S}{\underset {(rx)_{KW}\equiv (sx)_{KW}{\pmod {K}}}{\stackrel {}{\prod }}}}(rx)_{KW}^{-1}(sx)_{KW}.$

D'après (14) et (15), la condition $(rx)_{KW}\equiv (sx)_{KW}{\pmod {K}}$ équivaut à $r\equiv s{\pmod {K}}.$ Donc, d’après (16), (46) peut s'écrire

$\qquad R^{x}\vert S^{x}={\underset {(r,s)\in R\times S}{\underset {Kr=Ks}{\stackrel {}{\prod }}}}x^{-1}r^{-1}sx$

$\qquad R^{x}\vert S^{x}=x^{-1}({\underset {(r,s)\in R\times S}{\underset {Kr=Ks}{\stackrel {}{\prod }}}}r^{-1}s)x,$

ce qui revient à (44).

 

Il résulte de (44) que, pour tout $x\in G$ et toutes $R,S\in {\mathcal {C}}(W),$

$(47)\qquad R\vert S=1\Rightarrow R^{x}\vert S^{x}=1.$

Utilisons maintenant (ce que nous n'avons pas encore fait) l'hypothèse selon laquelle $\vert K\vert$ et $\vert G:U\vert$ sont premiers entre eux. D'après un exercice de la série Groupes monogènes, ordre d'un élément,

$\ (48)$ l’application $k\mapsto k^{\vert G:U\vert }$ est une permutation de K.

(Puisque K est commutatif, cette permutation est même un automorphisme, mais cela ne nous servira pas.)

Soient R, S deux éléments de ${\mathcal {C}}(W).$

D'après (48), il existe un (et un seul) élément $k_{S,R}$ de K tel que

$\qquad k_{S,R}^{\vert G:U\vert }=S\vert R.$

Alors (41) donne

$(49)\qquad S^{k_{S,R}}\vert R=1.$

La relation (41) montre aussi que si $k\in K$, si $R,S\in {\mathcal {C}}(W)$, si on a à la fois $S\vert R=1$ et $S^{k}\vert R=1$, alors $k^{\vert G:U\vert }=1$, d'où, d’après (48), $\ k=1.$

En particulier, si $R\in {\mathcal {C}}(W),$ si $k\in K,$

$(50)\qquad R^{k}\vert R=1\Rightarrow k=1.$

Nous avons vu en (40) que la relation $T_{1}\vert T_{2}=1$ est une relation d'équivalence dans ${\mathcal {C}}(W).$ Notons $\sim$ cette relation d'équivalence, ${\mathcal {C}}(W)/\sim$ le quotient de ${\mathcal {C}}(W)$ par $\sim$ et ${\tilde {R}}$ la classe d'un élément $R$ de ${\mathcal {C}}(W)$ selon $\sim$.

La relation (47) revient à dire que si $x\in G,$ si $R,S\in {\mathcal {C}}(W),$ si $R\sim S,$ alors $R^{x}\sim S^{x}.$

Il existe donc une (et une seule) application de $G\times ({\mathcal {C}}(W)/\sim )$ dans ${\mathcal {C}}(W)/\sim$ qui envoie $(x,{\tilde {R}})$ sur $(R^{x}){\tilde {}}$ et

$(51)$ cette application définit une opération à droite de $G$ sur ${\mathcal {C}}(W)/\sim .$

Soient $R,S\in {\mathcal {C}}(W).$ D'après (49),

$\qquad S^{k_{S,R}}\sim R,$

donc

$(52)$ K opère transitivement sur ${\mathcal {C}}(W)/\sim .$

Soient $k\in K$ et $R\in {\mathcal {C}}(W)$ ; d’après (50),

$\qquad R^{k}\sim R\Rightarrow k=1,$

ce qui montre que

$(53)$ le stabilisateur de ${\tilde {R}}$ dans $K$ est réduit à l'élément neutre.

De (52) et de (53), il résulte, compte tenu de la forme générale de l'argument de Frattini, que

$(54)$ le stabilisateur dans G de n’importe quel élément ${\tilde {R}}$ de ${\mathcal {C}}(W)/\sim$ est un complément de K dans G.

Ceci est démontré pour toute transversale droite W de U dans G. Puisqu’il existe au moins une telle transversale, la partie (a) de l'énoncé est démontrée.

Fin de la démonstration

Démontrons maintenant la partie (b) de l'énoncé.

Début d'une démonstration

Démonstration

Soient donc $H_{0}$ et $H_{1}$ deux compléments de K dans G tels que

$\qquad H_{0}\cap U=H_{1}\cap U.$

Il s'agit de prouver que $H_{0}$ et $H_{1}$ sont conjugués dans G.

Posons $A=H_{0}\cap U=H_{1}\cap U.$

Alors

$(55)$ A est un complément de K dans U.

Pour le prouver, montrons que, de façon générale,

$(56)$ si G est un groupe, K et U des sous-groupes de G tels que $K\leq U\leq G,$ si T est une transversale droite de K dans G, alors $T\cap U$ est une transversale droite de K dans U.

De G = KT résulte $U\leq KT,$ d'où (puisque $K\leq U$) :

$U\leq K(T\cap U)$,

$U=K(T\cap U)$.

D'autre part, la relation $K\cap T=1$ entraîne évidemment $K\cap (T\cap U)=1$; donc $T\cap U$ est une transversale droite de K dans U, ce qui prouve (56).

En appliquant les résultats précédents pour $T=H_{0},$ on obtient (55).

Les hypothèses faites dans la démonstration de la partie (a) de l'énoncé sont donc satisfaites.

Une transversale droite de A dans $H_{0}$ (resp. $H_{1}$) est aussi une transversale droite de U dans G.

Justification

Puisque $G=KH_{0}$ et que $K\leq U,$ nous avons $G=UH_{0}.$

De façon générale, prouvons que si H et U sont des sous-groupes d'un groupe G, si G = UH, si T est une transversale droite de $U\cap H$ dans H, alors T est une transversale droite de U dans G. Puisque T est une transversale droite de $U\cap H$ dans $H$,

$\qquad H=(U\cap H)T$ ;

l'hypothèse G = UH peut donc s'écrire

$\qquad G=U(U\cap H)T$ ;

comme $U(U\cap H)=U,$ ceci peut s'écrire

$\qquad G=UT$.

D'autre part, puisque $T\subseteq H,$

$\qquad U\cap T=U\cap (H\cap T)$

$\qquad U\cap T=(U\cap H)\cap T.$

Puisque T est une transversale droite de $U\cap H$ dans H, le second membre est égal à 1, donc $U\cap T=1$, ce qui achève de prouver que T est une transversale droite de U dans G.

 

Choisissons une transversale droite $W_{0}$ de $A$ dans $H_{0}$.

D'après ce qu'on vient de noter, $W_{0}$ est une transversale droite de U dans G et satisfait donc aux hypothèses faites sur W dans la démonstration du point (a) de l'énoncé.

Conformément à la définition (22), désignons par ${\mathcal {C}}(W_{0})$ l’ensemble des transversales droites de U dans G contenues dans $KW_{0}$.

Soit $w$ un élément de $W_{0}$. Puisque $H_{1}$ est un complément de K dans G, il existe un et un seul $k_{w}\in K$ tel que

$(58)\qquad k_{w}w\in H_{1}.$

Posons

$(59)\qquad W_{1}=\{k_{w}w\vert w\in W_{0},$

autrement dit

$(60)\qquad W_{1}=KW_{0}\cap H_{1}.$

Alors

$(61)W_{1}$ est une transversale droite de A dans $H_{1}.$

Justification

D'après (55), $K$ est une transversale droite de A dans U. D'autre part, $W_{0}$, comme on l'a noté, est une transversale droite de U dans G.

D'après un exercice de la série Classes modulo un sous-groupe qui nous a déjà servi à démontrer (5), $KW_{0}$ est une transversale droite de A dans G.

Donc, d’après (56), $KW_{0}\cap H_{1}$ est une transversale droite de $A$ dans $H_{1}$.

 

Il est clair, d’après (59), ou encore d’après (57) et (61), que $\ W_{1}$ est une transversale droite de U dans G.

D'après (60), $W_{1}\subseteq KW_{0}$, donc

$\qquad W_{1}\in {\mathcal {C}}(W_{0}).$

D'autre part, d’après (58) et la définition (59) de $W_{1}$, il est clair que

$(62)W_{1}$ est le seul élément de ${\mathcal {C}}(W_{0})$ qui est contenu dans $H_{1}.$

De même,

$(63)W_{0}$ est le seul élément de ${\mathcal {C}}(W_{0})$ qui est contenu dans $H_{0}.$

Justification

Un élément de ${\mathcal {C}}(W_{0})$ est de la forme

$\qquad R=\{k'_{w}w\vert w\in W_{0}\},$

où $(k'_{w})_{w\in W_{0}}$ est une famille telle que $k'_{w}\in K$ pour tout $w\in W_{0}$. Si R est contenu dans $H_{0}$, alors $k'_{w}w\in H_{0}$ pour tout $w\in W_{0}$. Puisque $W_{0}\subseteq H_{0}$, on doit avoir $k'_{w}\in H_{0}$ ; puisque $H_{0}$ est un complément de K dans G, on doit donc avoir $k'_{w}=1$ pour tout $w\in W_{0}$, d'où $R=W_{0}$, ce qui prouve (63).

 

Soit $i\in \{0,1\},$ soit $D_{i}$ une transversale droite de U dans G contenue dans $H_{i}.$

Si nous définissons $(D_{i})_{KW_{0}}$ comme en (23), alors, par définition, $(D_{i})_{KW_{0}}\in {\mathcal {C}}(W_{0})$ et, d’après (24),

$\qquad (D_{i})_{KW_{0}}\subseteq AD_{i},$ d'où, puisque $A\subseteq H_{i},$

$\qquad (D_{i})_{KW_{0}}\subseteq H_{i}.$

Donc les relations (62) et (63) donnent

$(64)\qquad (D_{i})_{KW_{0}}=W_{i}.$

Soit x un élément de $H_{i}.$ D'après (27), $W_{i}x$ est une transversale droite de U dans G. Cette transversale est contenue dans $H_{i}$, donc nous pouvons faire $D_{i}=W_{i}x$ dans (64). Nous trouvons

$\qquad (W_{i}x)_{KW_{0}}=W_{i}.$

Donc, pour l'opération de G sur ${\mathcal {C}}(W_{0})/\sim$ définie comme en (51),

$\qquad {\tilde {W_{i}}}^{x}={\tilde {W_{i}}},$

donc $H_{i}$ fixe l'élément ${\tilde {W_{i}}}$, donc

$(65)\qquad H_{i}\leq G_{\tilde {W_{i}}}.$

D'après (54), $G_{\tilde {W_{i}}}$ est un complément de K dans G. Puisque $H_{i},$ par hypothèse, est lui-même un complément de K dans G, (65) montre que $H_{i}$ et $G_{\tilde {W_{i}}}$ sont deux compléments de K dans G en relation d'inclusion, donc, d’après un lemme ci-dessus,

$(66)\qquad H_{i}=G_{\tilde {W_{i}}}.$

D'après (52), l'action de K, et a fortiori l'action de G, sur ${\mathcal {C}}(W_{0})/\sim$ est transitive, donc (voir le chapitre Action de groupe) le stabilisateur de ${\tilde {W_{0}}}$ et le stabilisateur de ${\tilde {W_{1}}}$ dans G sont conjugués dans G, c'est-à-dire, d’après (66), que $H_{0}$ et $H_{1}$ sont conjugués dans G, ce qui démontre la partie (b) de l'énoncé.

Fin de la démonstration

Forme faible du théorème de Schur-Zassenhaus

Corollaire(forme faible du théorème de Schur-Zassenhaus)

Soient G un groupe fini et K un sous-groupe normal et commutatif de G tels que $\vert K\vert$ et $\vert G/K\vert$ soient premiers entre eux. Alors K admet un complément dans G et tous les compléments de K dans G sont conjugués entre eux dans G.

Début d'une démonstration

Démonstration

Dans le théorème précédent, faire U = K.

Fin de la démonstration

Dans le chapitre suivant, on verra que le théorème de Schur-Zassenhaus reste vrai si on ne suppose pas K commutatif.

On trouvera dans les exercices du présent chapitre une autre démonstration de la forme faible (K commutatif) du théorème de Schur-Zassenhaus.