Aller au contenu

Théorie des groupes/Exercices/Automorphismes d'un groupe cyclique

Leçons de niveau 13
Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Automorphismes d'un groupe cyclique
Image logo représentative de la faculté
Page d'exercices no 22
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Automorphismes d'un groupe cyclique

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Groupes commutatifs finis, 2
Exo suiv. :Homomorphismes d'un groupe fini dans le groupe multiplicatif du corps des nombres complexes
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Automorphismes d'un groupe cyclique
Théorie des groupes/Exercices/Automorphismes d'un groupe cyclique
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Soit G un groupe, soit n un nombre naturel non nul. Prouver que le nombre des éléments d'ordre n de G est égal à φ(n) fois le nombre des sous-groupes cycliques d'ordre n de G. (La fonction φ est l'indicateur d'Euler, défini dans le chapitre théorique.)

a) Démontrer que si a et b sont deux nombres naturels ≥ 1 et premiers entre eux, le groupe multiplicatif de l'anneau Z/abZ est isomorphe au produit direct du groupe multiplicatif de l'anneau Z/aZ par le groupe multiplicatif de l'anneau Z/bZ. (Indication : utiliser le théorème chinois, démontré dans les exercices de la série Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z.) En déduire que si n est un nombre naturel ≥ 1, si p1, ... , pr sont les différents facteurs premiers de n, si alors le groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ est isomorphe au produit direct des groupes multiplicatifs des anneaux (Ceci détermine entièrement la structure du groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ, quel que soit le nombre naturel n ≥ 1, puisque, dans la partie théorique, nous avons déterminé la structure du groupe multiplicatif de l'anneau Z/pmZ pour tout nombre premier p et tout nombre naturel m ≥ 1.)

b) En déduire une nouvelle démonstration du fait que si a et b sont deux nombres naturels ≥ 1 et premiers entre eux,

c) Pour quels nombres naturels n ≥ 1 le groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ est-il cyclique ?

a) Soit G un groupe cyclique, soient a et b deux éléments de G ayant le même ordre. Prouver qu'il existe un automorphisme de G qui applique a sur b.

b) Soient G un groupe monogène et H un sous-groupe de G. Prouver que tout automorphisme de H s'étend en un automorphisme de G.