Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Automorphismes d'un groupe cyclique

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Automorphismes d'un groupe cyclique
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Exercices no21
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Automorphismes d'un groupe cyclique

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Groupes commutatifs finis, 2
Exo suiv. :Produit semi-direct
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Théorie des groupes/Exercices/Automorphismes d'un groupe cyclique
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Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe, soit n un nombre naturel non nul. Prouver que le nombre des éléments d'ordre n de G est égal à φ(n) fois le nombre des sous-groupes cycliques d'ordre n de G. (La fonction φ est l'indicateur d'Euler, défini dans le chapitre théorique.)

Problème 2[modifier | modifier le wikicode]

a) Démontrer que si a et b sont deux nombres naturels ≥ 1 et premiers entre eux, le groupe multiplicatif de l'anneau Z/abZ est isomorphe au produit direct du groupe multiplicatif de l'anneau Z/aZ par le groupe multiplicatif de l'anneau Z/bZ. (Indication : utiliser le théorème chinois, démontré dan les exercices de la série Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z.) En déduire que si n est un nombre naturel ≥ 1, si p1, ... , pr sont les différents facteurs premiers de n, si alors le groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ est isomorphe au produit direct des groupes multiplicatifs des anneaux (Ceci détermine entièrement la structure du groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ, quel que soit le nombre naturel n ≥ 1, puisque, dans la partie théorique, nous avons déterminé la structure du groupe multiplicatif de l'anneau Z/pmZ pour tout nombre premier p et tout nombre naturel m ≥ 1.)

b) En déduire une nouvelle démonstration du fait que si a et b sont deux nombres naturels ≥ 1 et premiers entre eux,

c) Pour quels nombres naturels n ≥ 1 le groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ est-il cyclique ?

Problème 3[modifier | modifier le wikicode]

a) Soit G un groupe cyclique, soient a et b deux éléments de G ayant le même ordre. Prouver qu'il existe un automorphisme de G qui applique a sur b.

b) Soient G un groupe monogène et H un sous-groupe de G. Prouver que tout automorphisme de H s'étend en un automorphisme de G.