Leçons de niveau 14

Approfondissement sur les suites numériques/Récurrence affine d'ordre 2

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Approfondissement sur les suites numériques/Récurrence affine d'ordre 2
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On étudie les suites récurrentes affines d'ordre 2 à valeurs dans un corps commutatif K, en s'intéressant en particulier aux cas où le corps est celui des réels ou des complexes.

Définitions[modifier | modifier le wikicode]


Cas linéaire[modifier | modifier le wikicode]

On cherche l’ensemble des suites vérifiant la relation de récurrence linéaire .

Début d’un théorème
Fin du théorème


On considère le polynôme du second degré :

.

Supposons que polynôme admet deux racines — si , c'est toujours le cas. On peut donc écrire :

.

Le cas est celui où P admet une racine double, c'est-à-dire où est également racine de la dérivée de P :

.
Début d’un théorème
Fin du théorème


Cas affine[modifier | modifier le wikicode]

On note l’ensemble des suites vérifiant la relation de récurrence affine .

Début d'un lemme
Fin du lemme


Pour pouvoir affirmer que est un espace affine de direction , il reste donc à trouver, en fonction de (supposé non nul), un élément particulier de .

Premier cas : P(1) ≠ 0[modifier | modifier le wikicode]

On suppose que . Cherchons un scalaire tel que la suite (constante) de terme général : soit une solution particulière de la récurrence affine.

est nul pour tout n si et seulement si .

La solution est donc : .

Second cas : P(1) = 0[modifier | modifier le wikicode]

On suppose maintenant que : .

Second cas, premier sous-cas : P'(1) ≠ 0[modifier | modifier le wikicode]

On suppose que . Cherchons un scalaire tel que la suite soit une solution particulière de la récurrence affine.

est nul pour tout n si et seulement si .

La solution est donc : .

Second cas, second sous-cas : P'(1) = 0[modifier | modifier le wikicode]

On suppose que P'(1) = 0. Cherchons un scalaire tel que la suite soit une solution particulière de la récurrence affine.

On trouve par les mêmes méthodes que précédemment que la solution est : .

Cas des suites réelles[modifier | modifier le wikicode]

Si et si le discriminant du polynôme caractéristique P est strictement négatif, les racines complexes et de P sont distinctes mais non réelles. Elles sont conjuguées l'une de l'autre : et .

Les suites complexes solutions sont donc, dans le cas général, toutes les suites de la forme :

avec paramètres complexes.

Par le changement de paramètres , ce sont aussi les suites de la forme

avec paramètres complexes.

Les suites réelles solutions sont donc les suites de la forme

avec paramètres réels.

En effet, la condition sur les paramètres A, B (complexes a priori) pour que cette suite soit à valeurs réelles est que A et B soient réels : c'est immédiat dans un sens (si A, B sont réels alors la suite est réelle), et pour la réciproque il suffit de remarquer que et non nul (donc si sont réels alors A et B aussi).

Cas des suites entières[modifier | modifier le wikicode]

Lorsque les trois coefficients de la récurrence et les deux valeurs initiales de la suite sont des entiers (relatifs), la suite est évidemment à valeurs entières. Si ces cinq entiers sont positifs ou nuls, elle est même à valeurs dans , comme la suite de Fibonacci.

Résumé et conclusion[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un principe
Fin du principe


Début d’un principe
Fin du principe