Approfondissement sur les suites numériques/Récurrence affine d'ordre 2

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On étudie les suites récurrentes affines d'ordre 2 à valeurs dans un corps commutatif K, en s'intéressant en particulier aux cas où le corps est celui des réels ou des complexes.

Définitions

Définitions

Soient $a,b,c\in K$. On appelle suite récurrente affine d'ordre 2 (à valeurs dans K) toute suite définie par une relation de récurrence de la forme : $\forall n\in N\quad u_{n+2}=au_{n+1}+bu_{n}+c$ et par les valeurs de $u_{0}$ et $u_{1}$, éléments de K.

On appelle suites récurrentes linéaires associées à la relation de récurrence précédente les suites vérifiant la relation : $u_{n+2}=au_{n+1}+bu_{n}.$

Cas linéaire

On cherche l’ensemble ${\mathcal {S}}_{0}$ des suites vérifiant la relation de récurrence linéaire $u_{n+2}=au_{n+1}+bu_{n}$.

Début d’un théorème

Théorème

L'ensemble ${\mathcal {S}}_{0}$ est un $K$-espace vectoriel de dimension 2.

Fin du théorème

Démonstration

Il est immédiat que ${\mathcal {S}}_{0}$ est un sous-espace vectoriel (sur $K$) de l’espace des suites à valeurs dans $K$. Une telle suite est entièrement définie par la donnée de $u_{0}$ et $u_{1}$. L'application linéaire ${\mathcal {S}}_{0}\to K^{2},\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\mapsto \left(u_{0},u_{1}\right)$ est ainsi une bijection, donc ${\mathcal {S}}_{0}$ est de dimension 2.

 

On considère le polynôme du second degré :

$P\left(X\right)=X^{2}-aX-b$.

Supposons que ce polynôme admet deux racines $r_{1},r_{2}\in K$ — si $K=\mathbb {C}$, c'est toujours le cas. On peut donc écrire :

$P\left(X\right)=\left(X-r_{1}\right)\left(X-r_{2}\right)$.

Le cas $r_{1}=r_{2}$ est celui où P admet une racine double, c'est-à-dire où $r_{1}$ est également racine de la dérivée de P :

$P'\left(X\right)=2X-a$.

Début d’un théorème

Théorème

• Si $r_{1}\neq r_{2}$, alors $\left(\left(r_{1}^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(r_{2}^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)$ est une base de ${\mathcal {S}}_{0}$.
• Si $r_{1}=r_{2}$, alors $\left(\left(r_{1}^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(nr_{1}^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)$ est une base de ${\mathcal {S}}_{0}$.

Fin du théorème

Démonstration

Vérifions d'abord que (dans les deux cas) les deux suites mentionnées appartiennent bien à ${\mathcal {S}}_{0}$. Soit $r\in K$. Pour tout $n\in \mathbb {N}$ :

• $r^{n+2}-ar^{n+1}-br^{n}=r^{n}\left(r^{2}-ar-b\right)=r^{n}P\left(r\right)$
  (y compris pour $n=0$, avec la convention $r^{0}=1$ même si $r=0$)
  donc la suite $\left(r^{n}\right)$ appartient à ${\mathcal {S}}_{0}$ si et seulement si $P(r)=0$.
• $\left(n+2\right)r^{n+2}-a\left(n+1\right)r^{n+1}-bnr^{n}=nr^{n}\left(r^{2}-ar-b\right)+r^{n+1}\left(2r-a\right)=nr^{n}P\left(r\right)+r^{n+1}P'\left(r\right)$
  donc si $P(r)=0$, la suite $\left(nr^{n}\right)$ appartient aussi à ${\mathcal {S}}_{0}$ si et seulement si $P'(r)=0$.

Puisque ${\mathcal {S}}_{0}$ est de dimension 2, pour montrer que les deux suites mentionnées forment une base de ${\mathcal {S}}_{0}$, il suffit de vérifier (dans les deux cas) qu'elles sont linéairement indépendantes.

Si $r_{1}\neq r_{2}$, les deux suites $\left(r_{1}^{n}\right)_{n}$ et $\left(r_{2}^{n}\right)_{n}$ sont linéairement indépendantes : soient $\alpha ,\beta \in K$ tels que $\alpha \left(r_{1}^{n}\right)_{n}+\beta \left(r_{2}^{n}\right)_{n}=0$. Alors :

• pour n = 0, $\alpha +\beta =0$, donc $\beta =-\alpha$ ;
• pour n = 1, $\alpha r_{1}+\beta r_{2}=0$, donc $\alpha \left(r_{1}-r_{2}\right)=0$.

Or les deux racines sont distinctes par hypothèse, donc $\alpha =\beta =0$.

On vérifie de même (exercice) que pour tout $r\in K$, les deux suites $\left(r^{n}\right)_{n}$ et $\left(nr^{n}\right)_{n}$ sont linéairement indépendantes.

 

Cas affine

On note ${\mathcal {S}}$ l’ensemble des suites vérifiant la relation de récurrence affine $u_{n+2}=au_{n+1}+bu_{n}+c$.

Début d'un lemme

Lemme

Les suites vérifiant la récurrence affine sont exactement les sommes de l'une d'entre elles et d'une suite vérifiant la récurrence linéaire.

Fin du lemme

Démonstration

Soit $v\in {\mathcal {S}}$. Alors, une suite $w$ appartient à ${\mathcal {S}}$ si et seulement si $w-v$ vérifie : $\left(w_{n+2}-v_{n+2}\right)-a\left(w_{n+1}-v_{n+1}\right)-b\left(w_{n}-v_{n}\right)=0$, c'est-à-dire si $w-v\in {\mathcal {S}}_{0}$.

 

Pour pouvoir affirmer que ${\mathcal {S}}$ est un espace affine de direction ${\mathcal {S}}_{0}$, il reste donc à trouver, en fonction de $c$ (supposé non nul), un élément particulier de ${\mathcal {S}}$.

Premier cas : P(1) ≠ 0

On suppose que $P\left(1\right)=1-a-b\neq 0$. Cherchons un scalaire $\alpha$ tel que la suite (constante) de terme général : $v_{n}=\alpha$ soit une solution particulière de la récurrence affine.

$v_{n+2}-av_{n+1}-bv_{n}-c=(1-a-b)\alpha -c$ est nul pour tout n si et seulement si $(1-a-b)\alpha =c$.

La solution est donc : $v_{n}={\frac {c}{1-a-b}}$.

Second cas : P(1) = 0

On suppose maintenant que : $P\left(1\right)=1-a-b=0$.

Second cas, premier sous-cas : P'(1) ≠ 0

On suppose que $P'(1)=2-a\neq 0$. Cherchons un scalaire $\alpha$ tel que la suite $v_{n}=\alpha n$ soit une solution particulière de la récurrence affine.

${\begin{aligned}v_{n+2}-av_{n+1}-bv_{n}-c&=\alpha \left(n+2\right)-a\alpha \left(n+1\right)-b\alpha n-c\\\ &=n\alpha \left(1-a-b\right)+\alpha \left(2-a\right)-c\\\ &=\alpha \left(2-a\right)-c\end{aligned}}$

est nul pour tout n si et seulement si $\alpha (2-a)=c$.

La solution est donc : $v_{n}={\frac {cn}{2-a}}$.

Second cas, second sous-cas : P'(1) = 0

On suppose que P'(1) = 0. Cherchons un scalaire $\alpha$ tel que la suite $v_{n}=\alpha n^{2}$ soit une solution particulière de la récurrence affine.

On trouve par les mêmes méthodes que précédemment que la solution est : $v_{n}={\frac {cn^{2}}{2}}$.

Cas des suites réelles

Si $K=\mathbb {R}$ et si le discriminant $a^{2}+4b$ du polynôme caractéristique P est strictement négatif, les racines complexes $r_{1}$ et $r_{2}$ de P sont distinctes mais non réelles. Elles sont conjuguées l'une de l'autre : $r_{1}=\rho \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }$ et $r_{2}={\overline {r_{1}}}=\rho \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta }$.

Les suites complexes solutions sont donc, dans le cas général, toutes les suites de la forme :

$u_{n}=\lambda \rho ^{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\theta }+\mu \rho ^{n}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} n\theta }$ avec $\lambda ,\mu$ paramètres complexes.

Par le changement de paramètres $A=\lambda +\mu ,\;B=\mathrm {i} (\lambda -\mu )$, ce sont aussi les suites de la forme

$u_{n}=\rho ^{n}(A\cos(n\theta )+B\sin(n\theta ))$ avec $A,B$ paramètres complexes.

Les suites réelles solutions sont donc les suites de la forme

$u_{n}=\rho ^{n}(A\cos(n\theta )+B\sin(n\theta ))$ avec $A,B$ paramètres réels.

En effet, la condition sur les paramètres A, B (complexes a priori) pour que cette suite soit à valeurs réelles est que A et B soient réels : c'est immédiat dans un sens (si A, B sont réels alors la suite est réelle), et pour la réciproque il suffit de remarquer que $u_{0}=A,u_{1}=A\rho \cos \theta +B\rho \sin \theta$ et $\rho \sin \theta$ non nul (donc si $u_{0},u_{1}$ sont réels alors A et B aussi).

Cas des suites entières

Lorsque les trois coefficients $a,b,c$ de la récurrence et les deux valeurs initiales $u_{0},u_{1}$ de la suite sont des entiers (relatifs), la suite est évidemment à valeurs entières. Si ces cinq entiers sont positifs ou nuls, elle est même à valeurs dans $\mathbb {N}$, comme la suite de Fibonacci.

Résumé et conclusion

Début d’un principe

Résumé

L'étude des suites récurrentes affines d'ordre deux se résume à l'étude de leur polynôme caractéristique. La solution générale est la somme de la solution de l'équation linéaire et d'une solution particulière.

Fin du principe

Début d’un principe

Conclusion

Ces suites peuvent toujours être « résolues » complètement. La connaissance des racines d'un polynôme de degré 2 suffit.

Fin du principe