Leçons de niveau 14

Relation (mathématiques)/Exercices/Relation d'équivalence

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Relation d'équivalence
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Exercices no1
Leçon : Relation (mathématiques)
Chapitre du cours : Relation d'équivalence

Exercices de niveau 14.

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Relation (mathématiques)/Exercices/Relation d'équivalence
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Exercice 1-1[modifier | modifier le wikicode]

Soit une injection. On définit sur la relation par (pour tous ) :

.

(Pour la notation , voir Puissances itérées d'une fonction.)

  Montrer que (pour tous )

.

  Montrer que est une relation d'équivalence sur .

 Soit une classe d'équivalence pour .

a)  Montrer que .
b)  Montrer que si alors et .

 Montrer que toute partie telle que est une réunion de classes d'équivalence.

 Soit définie par :

a)  Montrer que est injective.
b)  Déterminer .
c)  Décrire les classes d'équivalence de la relation associée à .

Exercice 1-2[modifier | modifier le wikicode]

Les relations suivantes sont-elles des relations d'équivalence ? Si oui, décrire les classes d'équivalence et l'ensemble quotient.

  1. , .
  2. , .
  3. , .
  4. , .
  5. , .
  6. , .

Exercice 1-3[modifier | modifier le wikicode]

Soient un ensemble muni d'une relation d'équivalence et une application.

Montrer élégamment (au lieu de vérifier séparément les trois propriétés usuelles) que la relation sur définie par

est une relation d'équivalence.

Exercice 1-4[modifier | modifier le wikicode]

  1. Montrer que sur , la relation définie par est une relation d'équivalence.
  2. Montrer que sur , les deux opérations suivantes sont bien définies :
    et .
  3. Quel est l'intérêt de cette construction ?

Exercice 1-5[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Sous-ensemble cofini ».

Pour un ensemble infini fixé, notons

désigne le complémentaire de dans , et définissons sur la relation suivante :

.
  1. Montrer que est non vide et stable par intersection (c.-à-d. ).
  2. Montrer que est une relation d'équivalence.
  3. Montrer que pour tous , si et seulement si la différence symétrique est finie.
  4. Donner un exemple de deux parties de qui ne sont pas en relation par .

Exercice 1-6[modifier | modifier le wikicode]

Soient un ensemble et une partie fixée de . On définit une relation sur par :

.
  1. Justifier que est une relation d'équivalence.
  2. Trouver un sous-ensemble de tel que l'application soit bijective.

Exercice 1-7[modifier | modifier le wikicode]

On note l'ensemble des classes de congruence modulo , muni des opérations et (déduites, par passage au quotient, des opérations usuelles sur , donc héritant des bonnes propriétés de ces opérations usuelles — associativité, commutativité, neutres, distributivité — qui font de ce qu'on appelle un anneau commutatif unitaire).

  1. Dresser les tables de ces deux opérations sur .
  2. Soit l'anneau des polynômes à coefficients dans et le sous-ensemble des polynômes de degré strictement inférieur à (y compris le polynôme , qui par convention est de degré ).
    Dresser la liste des éléments de .
  3. En notant et (pour tout ) le quotient et le reste de la division euclidienne de par dans , caractérisés par
    ,
    on définit sur une relation d'équivalence par :
    .
    On note la -classe d'un élément .
    Montrer que l'application

    est bien définie et bijective.
  4. Montrer que si et seulement si (c'est-à-dire si est le produit de par un polynôme de ).
  5. Montrer qu'il existe une unique application et une unique application telles que
    .
  6. Calculer et , puis montrer que
    .
    Comment cette propriété se traduit-elle sur les éléments de l'anneau  ?

Exercice 1-8[modifier | modifier le wikicode]

Soit la relation binaire sur définie par :

.
  1. Montrer que est une relation d'équivalence.
  2. Décrire ses classes d'équivalence, et l'ensemble quotient .
  3. Donner un exemple de partie de contenant exactement un élément de chaque classe.

Soit la relation binaire sur définie par :

.
  1. Montrer que est une relation d'équivalence.
  2. Montrer que chaque -classe a au plus 3 éléments.
  3. Pour préciser le résultat précédent, on pose
    .
    Déterminer les ensembles , , et (il pourra éventuellement être utile de remarquer que ).
  4. Donner un exemple de partie de contenant exactement un élément de chaque classe.
  5. Montrer qu'une telle partie a la puissance du continu.

Soit la relation sur définie par :

.
  1. Montrer que est une relation d'équivalence.
  2. Montrer que les -classes sont finies et pour tout , déterminer l'ensemble
    .
  3. Donner un exemple de partie de contenant exactement un élément de chaque classe.

Exercice 1-9[modifier | modifier le wikicode]

On rappelle que :

  • deux matrices carrées sont dites semblables, ce que nous noterons , s'il existe une matrice inversible, , telle que  ;
  • est une relation d'équivalence sur .

On notera la -classe d'une matrice , et son déterminant.

  1. Montrer qu'il existe une unique application telle que
    .
  2. Cette application est-elle surjective ? injective ?

Exercice 1-10[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux ensembles et l'ensemble des applications de dans . On suppose non vide et l'on fixe un élément .

Pour tout , on note ensuite . Montrer que ces ensembles forment une partition de .

Exercice 1-11[modifier | modifier le wikicode]

On définit, sur l'espace des polynômes réels de degré , une relation par : . Démontrer que est une relation d'équivalence et expliciter la classe pour .

Exercice 1-12[modifier | modifier le wikicode]

  1. Démontrer que la relation entre sous-ensembles de est symétrique.
  2. De même pour la relation .

Exercice 1-13[modifier | modifier le wikicode]

Soient et la relation de congruence dans . Calculer l'intersection des .

Exercice 1-14[modifier | modifier le wikicode]

Soient un espace vectoriel et un sous-espace vectoriel de .

Montrer que tout supplémentaire de dans est un ensemble de représentants pour la relation d'équivalence sur définie par : .

Exercice 1-15[modifier | modifier le wikicode]

Sur l'ensemble , on définit la relation par :

.

Démontrer que est une relation d'équivalence.

Exercice 1-16[modifier | modifier le wikicode]

Quels intervalles sont des ensembles de représentants pour la relation de congruence modulo sur  ?