Arithmétique/PPCM

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs non tous deux nuls. Nous allons définir leur PPCM à partir de leur PGCD, $d:=\mathrm{pgcd}(a,b)$, et déduire ses propriétés de celles de $d$, à commencer par la suivante :

Les deux entiers $a^{\prime }$ et $b^{\prime }$ définis par $a=d{a}^{\prime }$ et $b=d{b}^{\prime }$ sont premiers entre eux et $\frac{ab}{d}=a^{\prime }{b}^{\prime }d=a{b}^{\prime }=b{a}^{\prime }$.

Définition

Définition

Le PPCM (plus petit multiple commun) à $a$ et $b$ est l'entier

$\mathrm{ppcm}(a,b):=\frac{\left|ab\right|}{\mathrm{pgcd}(a,b)}$.

Remarques

• Le théorème ci-dessous justifiera cette appellation.
• $\mathrm{ppcm}(a,b)=\mathrm{ppcm}(\left|a\right|,\left|b\right|)$.
• Avec les notations ci-dessus, on a $\left|a^{\prime }b\right|=\left|a{b}^{\prime }\right|=\mathrm{ppcm}(a,b)$.

Théorème

Début d’un théorème

Théorème

Les multiples communs à $a$ et $b$ sont les multiples de $\mathrm{ppcm}(a,b)$.

En particulier, $\mathrm{ppcm}(a,b)$ est le plus petit entier strictement positif divisible à la fois par $a$ et par $b$.

Fin du théorème

'Démonstration'

Soient $d=\mathrm{pgcd}(a,b)$ et $m=ab/d$. Il s'agit de montrer que les multiples communs à $a$ et $b$ sont les multiples de $m$.

Pour tout entier $n$, on a bien :

$(a\mid n\text{et}b\mid n)\iff (ab\mid nb\text{et}ab\mid an)\iff ab\mid \mathrm{pgcd}(an,bn)\iff md\mid nd\iff m\mid n$.

 

Propriétés

Chaque propriété du PGCD fournit, d'après la définition ci-dessus, une propriété correspondante pour le PPCM. Par exemple :

Propriété

Si l’on multiplie deux entiers non tous deux nuls par un même entier k > 0, leur PPCM est multiplié par k, c'est-à-dire :

$\mathrm{ppcm}(ka,kb)=k\times \mathrm{ppcm}(a,b)$.

'Démonstration'

$\mathrm{ppcm}(ka,kb)=\frac{\left|kakb\right|}{\mathrm{pgcd}(ka,kb)}=\frac{k^2\left|ab\right|}{k\mathrm{pgcd}(a,b)}=k\times \frac{\left|ab\right|}{\mathrm{pgcd}(a,b)}=k\times \mathrm{ppcm}(a,b)$.

(Pour un énoncé plus précis dans un anneau quelconque, voir l'exercice 4 de la leçon sur les anneaux.)

 

Décomposition en facteur premiers

On prend tous les facteurs intervenant dans les décompositions, chacun d'entre eux à son plus grand exposant.

Début de l'exemple

Exemple

$a=60a=2^2\times 3\times 5$

$b=48b=2^4\times 3$

$\mathrm{ppcm}(a,b)=2^4\times 3\times 5$

Fin de l'exemple