Leçons de niveau 14

Polynôme/Racines d’un polynôme

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Racines d’un polynôme
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Chapitre no 4
Leçon : Polynôme
Chap. préc. :Dérivation formelle
Chap. suiv. :Sommaire

Exercices :

Racines de polynômes
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Polynôme/Racines d’un polynôme
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Déterminer les racines de revient donc à résoudre l'équation dans le corps . Par exemple, les racines de sont dans , alors qu’elles n'existent pas dans . Enfin, dans , ce polynôme n'a qu'une racine qui est 1.

Un des principaux intérêts de déterminer les racines d'un polynôme est de permettre sa factorisation, grâce à la propriété suivante :

Début d’un théorème
Fin du théorème


On en déduit ce corollaire souvent utile :


Nous admettrons le théorème suivant (souvent appelé « théorème fondamental de l'algèbre » mais qu'on ne peut démontrer qu'en passant par l'analyse). Sa formulation nécessite une définition préalable.


Début d’un théorème
Fin du théorème

Ce théorème n’est pas vrai si on remplace par d'autres corps (voyez l'exemple ci-dessus). On dit que est un corps algébriquement clos.


L'ordre de multiplicité se caractérise par la propriété suivante :

Début d’un théorème
Fin du théorème