Leçons de niveau 12

Fonction dérivée/Dérivée et variations

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Dérivée et variations
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Chapitre no 5
Leçon : Fonction dérivée
Chap. préc. :Dérivées usuelles
Chap. suiv. :Extremum local

Exercices :

Étude de fonctions polynômes du second degré
Exercices :Étude de fonctions polynômes du troisième degré
Exercices :Dérivée et variations
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Fonction dérivée/Dérivée et variations
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Sens de variation[modifier | modifier le wikicode]

Lien entre nombre dérivé et sens de variation[modifier | modifier le wikicode]

Soit ƒ une fonction dérivable sur son intervalle de définition I.

On a vu que, en tout point est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de ƒ dans un repère. De cette propriété, on voit émerger la constatation suivante :

  • Si , la tangente à la courbe de ƒ en a est croissante. Cela induit que, sur une petite zone autour de a, la courbe de ƒ est nécessairement croissante pour pouvoir être tangente à la droite.
  • Au contraire, si la tangente est décroissante. La courbe de ƒ doit alors nécessairement être décroissante sur une petite zone autour de a pour pouvoir satisfaire à la même propriété.

SigneDérivéeEtVariations.svg

Théorème global[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème


On s'intéresse à présent à la stricte croissance de ƒ sur l'intervalle I. Pour cela, il faut remarquer que, si en un point , la tangente à la courbe de ƒ est une droite horizontale.

La fonction ƒ ne sera pas strictement croissante s'il existe des intervalles non réduits à un point où ƒ reste constante, c'est-à-dire s'il n'existe que quelques points isolés où ƒ' s'annule.

DérivéeNulle.svg

Début d’un théorème
Fin du théorème


Exemples[modifier | modifier le wikicode]

Vérifier ce théorème sur les fonctions usuelles sur des intervalles convenables.

Exercices[modifier | modifier le wikicode]

  • Montrer sur un exemple simple que la réciproque du théorème « strict » est fausse si on enlève la précision : « sauf en un nombre fini de points ».
  • Étudier les variations de la fonction trinôme

Tableaux de variations[modifier | modifier le wikicode]

Pour mettre en relation le signe de la dérivée et les variations d'une fonction,

on utilise un tableau de signe et variations comme ci-dessous :


Remarques 
  • Noter la différence de légende : on parle du signe de et des variations de la fonction .
  • Les flèches désignent conventionnellement sauf indication contraire des croissances et décroissances strictes.