Leçons de niveau 15

Réduction des endomorphismes/Réductions de Jordan et de Dunford

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Réductions de Jordan et de Dunford
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Chapitre no 7
Leçon : Réduction des endomorphismes
Chap. préc. :Applications
Chap. suiv. :Décomposition de Frobenius

Exercices :

Réductions de Dunford, Jordan et Frobenius
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Réduction des endomorphismes/Réductions de Jordan et de Dunford
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Dans ce chapitre, est un -espace vectoriel et est un endomorphisme de . On suppose que possède un polynôme minimal (ce qui est assuré si est de dimension finie).

Décomposition de Dunford[modifier | modifier le wikicode]



Début d’un théorème


Fin du théorème


Réduction d'un endomorphisme nilpotent[modifier | modifier le wikicode]

Soit un endomorphisme nilpotent de . Les définitions et propriétés suivantes seront étendues, dans le prochain chapitre, à un endomorphisme non nécessairement nilpotent.




Remarques
  • Si est nilpotent d'indice , son polynôme minimal est .
  • L'indice d'un vecteur est l'indice de la restriction de à .
  • Si est d'indice , la famille est une base de .


Début d’un théorème


Fin du théorème


Réduction de Jordan[modifier | modifier le wikicode]

L'objectif de ce paragraphe est d'énoncer et de démontrer le théorème de Jordan, en dimension finie. La démonstration fournira une méthode pratique de réduction de Jordan (ou « jordanisation ») d'une matrice, qu'on illustrera sur un exemple.




Début d’un théorème


Fin du théorème


Remarques
  • La forme de Jordan d'une matrice diagonalisable est la matrice diagonale associée.
  • Une démonstration plus globale (donc moins propice aux calculs) consiste à passer par la décomposition de Dunford , puis à appliquer à le théorème de décomposition d'un endomorphisme nilpotent.
Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Applications[modifier | modifier le wikicode]

Matrices semblables[modifier | modifier le wikicode]

Les réduites de Jordan caractérisent entièrement les classes de similitude dans  :

Début d’un théorème


Fin du théorème

Puissances d'une matrice[modifier | modifier le wikicode]

Si l'on a trouvé la décomposition de Dunford de sous la forme , alors comme et commutent, on peut appliquer la formule du binôme à  :

.

Comme nous savons déjà calculer les puissances de (qui est diagonalisable) et comme est nilpotente d'ordre , on sait que et il reste à calculer (manuellement !) les puissances . Remarquez que si , alors .

Dans le cas où la décomposition de Dunford est même une décomposition de Jordan, les puissances sont plus faciles à calculer.

Exemple : On reprend l'exemple ci-dessus. Donc et . Reste à calculer les puissances de  : pour cela, on pose la décomposition de Dunford de qui « saute aux yeux » sur  : et .