Leçons de niveau 15

Réduction des endomorphismes/Réductions de Jordan et de Dunford

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Réductions de Jordan et de Dunford
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Chapitre no 7
Leçon : Réduction des endomorphismes
Chap. préc. :Applications
Chap. suiv. :Décomposition de Frobenius

Exercices :

Réductions de Dunford, Jordan et Frobenius
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Réduction des endomorphismes/Réductions de Jordan et de Dunford
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Dans ce chapitre, est un -espace vectoriel et est un endomorphisme de . On suppose que possède un polynôme minimal (ce qui est assuré si est de dimension finie).

Décomposition de Dunford[modifier | modifier le wikicode]


Début d’un théorème
Fin du théorème


Remarque
D'après l'unicité de la décomposition, si alors n'est pas diagonalisable.
En particulier, la somme d'une matrice scalaire et d'une matrice nilpotente non nulle n'est pas diagonalisable. Exemple : un bloc de Jordan de dimension > 1.

Réduction d'un endomorphisme nilpotent[modifier | modifier le wikicode]

Soit un endomorphisme nilpotent de . Les définitions et propriétés suivantes seront étendues, dans le prochain chapitre, à un endomorphisme non nécessairement nilpotent.


Remarques
  • Si est nilpotent d'indice , son polynôme minimal est .
  • L'indice d'un vecteur est l'indice de la restriction de à .
  • Si est d'indice , la famille est une base de .


Début d’un théorème
Fin du théorème


Réduction de Jordan[modifier | modifier le wikicode]

L'objectif de ce paragraphe est d'énoncer et de démontrer le théorème de Jordan, en dimension finie. La démonstration fournira une méthode pratique de réduction de Jordan (ou « jordanisation ») d'une matrice, qu'on illustrera sur un exemple.


Début d’un théorème
Fin du théorème


Remarques
  • La forme de Jordan d'une matrice diagonalisable est la matrice diagonale associée.
  • Une démonstration plus globale (donc moins propice aux calculs) consiste à passer par la décomposition de Dunford , puis à appliquer à le théorème de décomposition d'un endomorphisme nilpotent.
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Applications[modifier | modifier le wikicode]

Matrices semblables[modifier | modifier le wikicode]

Les réduites de Jordan caractérisent entièrement les classes de similitude dans  :

Début d’un théorème
Fin du théorème

Puissances d'une matrice[modifier | modifier le wikicode]

Si l'on a trouvé la décomposition de Dunford de sous la forme , alors comme et commutent, on peut appliquer la formule du binôme à  :

.

Comme nous savons déjà calculer les puissances de (qui est diagonalisable) et comme est nilpotente d'ordre , on sait que et il reste à calculer (manuellement !) les puissances . Remarquez que si , alors .

Dans le cas où la décomposition de Dunford est même une décomposition de Jordan, les puissances sont plus faciles à calculer.

Exemple : On reprend l'exemple ci-dessus. Donc et . Reste à calculer les puissances de  : pour cela, on pose la décomposition de Dunford de qui « saute aux yeux » sur  : et .