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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Application linéaire : Rang Application linéaire/Rang », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
E , F et G sont des K -espaces vectoriels de dimension quelconque (finie ou infinie), sauf dans le dernier théorème.
Début d’un théorème
Théorème
Soit
u
∈
L
(
E
,
F
)
{\displaystyle u\in \operatorname {L} (E,F)}
. Un sous-espace vectoriel
G
{\displaystyle G}
de
E
{\displaystyle E}
est
supplémentaire de
Ker
u
{\displaystyle \operatorname {Ker} u}
si et seulement si la restriction de
u
{\displaystyle u}
, de
G
{\displaystyle G}
dans
Im
u
{\displaystyle \operatorname {Im} u}
, est un isomorphisme.
Fin du théorème
Définition
Wikipedia-logo-v2.svg
Soit
u
∈
L
(
E
,
F
)
{\displaystyle u\in \operatorname {L} (E,F)}
. Le
rang de
u , noté
rg(u ) , est la
dimension de Im(u ) .
Début d’un théorème
Théorème
Soit
u
∈
L
(
E
,
F
)
{\displaystyle u\in \operatorname {L} (E,F)}
.
∀
v
∈
L
(
F
,
G
)
bijective
,
r
g
(
v
∘
u
)
=
r
g
(
u
)
{\displaystyle \forall v\in \operatorname {L} (F,G){\text{ bijective }},\mathrm {rg} (v\circ u)=\mathrm {rg} (u)}
∀
v
∈
L
(
G
,
E
)
bijective
,
r
g
(
u
∘
v
)
=
r
g
(
u
)
{\displaystyle \forall v\in \operatorname {L} (G,E){\text{ bijective }},\mathrm {rg} (u\circ v)=\mathrm {rg} (u)}
La composition par un isomorphisme laisse le rang invariant.
Fin du théorème
Le théorème du rang est un théorème-clé de la manipulation des applications linéaires. Il est indispensable de le connaître parfaitement.
Début d’un théorème
Théorème du rang
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Soit
u
∈
L
(
E
,
F
)
{\displaystyle u\in \operatorname {L} (E,F)}
.
dim
E
=
dim
(
Ker
u
)
+
dim
(
Im
u
)
{\displaystyle \dim E=\dim(\operatorname {Ker} u)+\dim(\operatorname {Im} u)}
Fin du théorème
'Démonstration'
D'après l'« isomorphisme fondamental » (voir supra ), la dimension de tout supplémentaire G de
Ker
u
{\displaystyle \operatorname {Ker} u}
dans E est égale à
dim
(
Im
u
)
{\displaystyle \dim(\operatorname {Im} u)}
. À l'aide du théorème sur la dimension d'une somme directe , on en déduit que
dim
(
Ker
u
)
+
dim
(
Im
u
)
=
dim
(
Ker
u
)
+
dim
G
=
dim
E
{\displaystyle \dim(\operatorname {Ker} u)+\dim(\operatorname {Im} u)=\dim(\operatorname {Ker} u)+\dim G=\dim E}
.
Début d’un théorème
Théorème
On suppose
dim
(
E
)
=
dim
(
F
)
=
n
{\displaystyle \dim(E)=\dim(F)=n}
(un entier) et
u
∈
L
(
E
,
F
)
{\displaystyle u\in \operatorname {L} (E,F)}
.
u
{\displaystyle u}
est un
isomorphisme
⟺
{\displaystyle \iff }
rg(u ) = n
⟺
{\displaystyle \iff }
Ker(u ) = {0}.
Fin du théorème
Remarque
Les hypothèses de ce théorème sont vérifiées en particulier si
dim
(
E
)
=
n
{\displaystyle \dim(E)=n}
et
u
∈
L
(
E
)
{\displaystyle u\in \operatorname {L} (E)}
.