Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les matrices

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Les matrices
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Chapitre no 2
Leçon : Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)
Chap. préc. :Les torseurs
Chap. suiv. :Les tenseurs
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Sommaire

Introduction des « matrices » en mathématiques[modifier | modifier le wikicode]

Matrice.svg

......En mathématiques, les « matrices » sont des tableaux rectangulaires de nombres servant à interpréter en termes calculatoires les résultats théoriques de l'algèbre linéaire [1] et des applications linéaires [2].

......Une matrice avec [3], [4] tels qu'au moins un des nombres est de 1 [5] est un tableau rectangulaire de lignes et colonnes, le terme générique de la matrice définie sur [6], noté [7] occupant la case de la ième ligne et la jème colonne,
......la matrice étant encore notée [8] (voir ci-contre) ;

......les appellations suivantes sont utilisées pour les cas particuliers de matrices :

  • matrice nulle si ,
  • matrice colonne si ,
  • matrice ligne si ,
  • matrice carrée si ,
  • matrice triangulaire supérieure pour une matrice carrée telle que et ,
  • matrice triangulaire inférieure pour une matrice carrée telle que et ,
  • matrice diagonale pour une matrice carrée telle que [9] et [10] et
  • matrice identité notée pour une matrice diagonale telle que .

Dans toute la suite du chapitre, nous nous intéressons (sauf avis contraire à des matrices définies sur .

Opérations sur les matrices[modifier | modifier le wikicode]

Transposition de matrices[modifier | modifier le wikicode]

Matrix transpose.gif

......Exemple : soit la matrice de dimension (ou taille) , la matrice transposée de est la matrice de dimension (ou taille) s'écrivant , elle s'obtient pratiquement par symétrie axiale par rapport à la diagonale principale [13] de la matrice (ou en permutant lignes et colonnes de la matrice de départ),
......Exemple : la matrice transposée de redonnant la matrice soit  ;
......Exemple : ci-contre une animation permettant de visualiser la formation de la matrice transposée [14] de la matrice [14] et son itération c'est-à-dire de visualiser la formation de la matrice transposée [14] de la matrice [14]

Addition de matrices et multiplication par un scalaire[modifier | modifier le wikicode]

......Ces opérations sont définies sur l'« ensemble des matrices de dimension (ou de taille) [15] définies sur » et noté «».

Addition de matrices de même dimension (ou taille)[modifier | modifier le wikicode]

......Sur «» on définit la loi de composition interne « addition de matrices » notée «» définie selon

,  ;

......l'ensemble «» muni de l'addition «» est un groupe abélien (ou commutatif) [16], en effet la loi de composition interne possède les propriétés nécessaires :

  • elle est associative ,
  • elle est commutative ,
  • elle admet la matrice nulle comme élément neutre et
  • telle que un opposé vérifiant car .

Multiplication par un scalaire[modifier | modifier le wikicode]

......Sur «» on définit la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de » notée «» [17] définie selon

, ou
,  ;

......cette loi de composition externe « multiplication par un scalaire de » définie sur le groupe abélien (ou commutatif) [16] «» et notée «» possède les propriétés suivantes :

  • elle est distributive par rapport à l'addition de ,
  • elle est distributive par rapport à l'addition de soit encore ,
  • elle est associative mixte par rapport à la multiplication dans et
  • telle que l'élément neutre de la multiplication dans noté est neutre pour «» .

Conséquence sur l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) fixée[modifier | modifier le wikicode]

Structure d'espace vectoriel de l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) fixée[modifier | modifier le wikicode]

......L'ensemble «» muni de l'addition «» étant un groupe abélien (ou commutatif) [16] et
......la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de » étant

  • distributive par rapport à l'addition de et
  • distributive par rapport à l'addition de ainsi qu'
  • associative mixte par rapport à la multiplication dans et enfin
  • telle que l'élément neutre de la multiplication dans est neutre pour la loi de composition externe,

......on en déduit que «» est un -espace vectoriel et on démontre que la dimension de cet espace [18] est .

Base canonique de l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) fixée et décomposition d'une matrice sur la base canonique[modifier | modifier le wikicode]

......Tout élément de est décomposable de façon unique sur sa base canonique composée des « matrices » dans tous les éléments sont nuls à l'exception de l'élément d'indices qui vaut , ce qui peut encore s'écrire, en utilisant le symbole de Kronecker [19] , avec pour et ,

......la décomposition de la matrice [8] sur la base canonique s'écrivant soit,

......en reprenant l'exemple de dimension (ou taille) , les six vecteurs de la base canonique étant

, , , , et ,

......la décomposition de sur sa base canonique s'écrit .

Multiplication matricielle à droite (ou à gauche)[modifier | modifier le wikicode]

Définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)[modifier | modifier le wikicode]

Description du mode opératoire de la multiplication à droite de la matrice par la matrice

......La multiplication matricielle à droite d'une matrice de l'ensemble des matrices de dimension (ou de taille) [15] définies sur est une loi de composition externe nécessitant l'intervention d'une matrice de l'ensemble des matrices de dimension (ou de taille) [20] définies sur , le résultat de cette multiplication matricielle à droite étant une matrice de l'ensemble des matrices de dimension (ou de taille) [21] soit, en notant «» la multiplication matricielle (à droite), la définition de la loi de composition externe suivante telle que

pour et , ou
avec ,
voir mode opératoire de la multiplication matricielle à droite ci-contre.

......De même on peut définir la multiplication matricielle à gauche d'une matrice de l'ensemble des matrices de dimension (ou de taille) [15] définies sur comme loi de composition externe nécessitant l'intervention d'une matrice de l'ensemble des matrices de dimension (ou de taille) [22] définies sur , le résultat de cette multiplication matricielle à gauche étant une matrice de l'ensemble des matrices de dimension (ou de taille) [23] soit, en notant «» la multiplication matricielle (à gauche), la définition de la loi de composition externe suivante telle que

pour et , ou
avec ,
le mode opératoire de la multiplication matricielle à gauche est le même que celui décrit dans le schéma ci-dessus
à condition de permuter la position de avec celle de .

......Exemple : soit la matrice à multiplier à droite par la matrice , on obtient la matrice telle que [24] ;

......Exemple : le choix des dimensions (ou tailles) des matrices ci-dessus a été fait pour que la multiplication à gauche de la matrice par la matrice soit aussi possible, on obtient alors la matrice telle que [25] ;

......Exemple : on vérifie que est de , les dimensions (ou tailles) étant différentes.

Relation de transposition d'un produit matriciel[modifier | modifier le wikicode]

......Démonstration : soit et , le produit matriciel est une matrice selon avec  ;

......Démonstration : la matrice transposée de s'écrit alors avec  ;

......Démonstration : la matrice transposée de s'écrivant avec et
.......Démonstration : la ~ celle transposée de s'écrivant avec ,

......Démonstration : on en déduit le produit matriciel tel que soit encore établissant que et par suite .

Particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée et conséquence sur la structure de cet ensemble[modifier | modifier le wikicode]

Particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée[modifier | modifier le wikicode]

......Toute matrice de l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée [26] pouvant être multipliée à droite (ou à gauche par n'importe matrice de , la multiplication matricielle à droite (ou à gauche définie sur devient alors une loi de composition interne possédant les propriétés suivantes :

  • associativité de la multiplication matricielle ,
  • distributivité de la multiplication matricielle à gauche relativement à l'addition matricielle ,
  • distributivité de la multiplication matricielle à droite relativement à l'addition matricielle et
  • existence d'un élément neutre de la multiplication matricielle « la matrice identité » et .

......La multiplication matricielle n'est pas commutative c'est-à-dire qu'usuellement .

Structure de l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée[modifier | modifier le wikicode]

......L'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée étant un cas particulier de l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) fixée pour lequel il a été démontré que, muni de l'addition «», c'est un groupe abélien (ou commutatif) [16], [27],

......on en déduit que est aussi un groupe abélien (ou commutatif) [16], [27],

......de plus la multiplication matricielle étant associative, distributive à gauche et à droite relativement à l'addition matricielle, et possédant un élément neutre, ces propriétés ajoutées à la structure de groupe abélien (ou commutatif) [16], [27] de confère à une structure d'« anneau unitaire » non commutatif [28] ;

......ensuite ayant établi, avec les propriétés de la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de » [29], que l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) fixée est un -espace vectoriel [27], on en déduit que l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée est aussi un -espace vectoriel ;

......enfin la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de » ayant, relativement à la multiplication matricielle de , la propriété , , cette propriété, ajoutée à la structure d'espace vectoriel et à celle d'anneau unitaire que possède confère à « une structure d'algèbre associative unitaire sur le corps ».

Interprétations linéaires de matrices[modifier | modifier le wikicode]

1ère interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) fixée définie sur le corps des réels[modifier | modifier le wikicode]

Interprétation linéaire d'une matrice colonne de dimension (ou taille) m, matrice coordonnée d'un « m-uplet » dans une base de Rm[modifier | modifier le wikicode]

......Considérant l'ensemble avec [30] en tant que -espace vectoriel ainsi que la base canonique de cet espace avec dans lequel est le symbole de Kronecker [19], nous pouvons définir

  • une correspondance bijective entre chaque élément de la base canonique de et chaque matrice colonne de l'ensemble des matrices colonnes et par suite,
  • une correspondance bijective entre chaque -uplet de et la matrice colonne de l'ensemble des matrices colonnes ,
    la matrice colonne définissant la matrice coordonnée canonique du -uplet de .

......Considérant une autre base (non canonique) de [31] on établit une correspondance bijective


...... entre chaque élément de la base (non canonique de et la matrice colonne de l'ensemble et
...... entre le -uplet de dont la décomposition basique est et la matrice colonne de l'ensemble ,

la matrice colonne définissant la matrice coordonnée dans la base de ,
du -uplet de de décomposition basique [31].

1ère interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice coordonnée d'une famille de n « m-uplets » dans une base de Rm[modifier | modifier le wikicode]

......Ayant précédemment défini une correspondance bijective entre le -uplet de et
......Ayant précédemment défini une correspondance bijective entre sa matrice coordonnée canonique ou
......Ayant précédemment défini une correspondance bijective entre le -uplet décomposé selon dans la base (non canonique) de [31] et
......Ayant précédemment défini une correspondance bijective entre sa matrice coordonnée dans la base (non canonique) de ,

......on prolonge cette correspondance bijective entre les familles de «-uplets » de et
......on prolonge cette correspondance bijective entre l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) soit

......à l'élément de la famille de «-uplets » de on associe la matrice de dimension (ou taille) , matrice résultant de la juxtaposition des matrices coordonnées canoniques des «-uplets » et appelée matrice coordonnée canonique de la famille des «-uplets » ;

......si on adopte une base (non canonique) de , on a la correspondance bijective suivante :

......à l'élément de la famille de «-uplets » de , chaque -uplet étant décomposé selon sur la base de , on associe la matrice de dimension (ou taille) résultant de la juxtaposition des matrices coordonnées des «-uplets » , appelée matrice coordonnée de la famille des «-uplets » dans la base de .

......Définition : On appelle rang de la matrice la dimension du sous-espace vectoriel de généré par les «-uplets » , on établit que le rang de la matrice est .

Matrice de passage entre deux bases de Rm, réécriture de la matrice coordonnée d'un « m-uplet » par changement de base de Rm[modifier | modifier le wikicode]

......Considérant le -uplet de décomposé dans une base de selon et la matrice coordonnée du -uplet dans la base puis

......Consile même -uplet de décomposé dans une autre base de selon et la matrice coordonnée du -uplet dans la base ,

......nous cherchons la relation permettant de passer de la matrice coordonnée du -uplet dans la base à la matrice coordonnée du même -uplet dans la base
......nous cherchons à partir de la connaissance de la décomposition de la base sur la base , matérialisée par une matrice carrée de dimension (ou taille) appelée « matrice de passage de la base dans la base » et obtenue en juxtaposant les matrices colonnes de la décomposition de chaque élément de la base dans la base [32] ;

......avec la matrice de passage de la base dans la base , nous établissons que la matrice coordonnée du -uplet dans la base se déduit de la matrice coordonnée du -uplet dans la base par

[32] ;

......inversement la relation permettant de passer de la matrice coordonnée du -uplet dans la base à la matrice coordonnée du même -uplet dans la base se détermine sans difficulté dans la mesure où il est toujours possible d'établir, à partir de la décomposition de la base sur la base , celle de la base sur la base c'est-à-dire produire la « matrice de passage de la base dans la base », notée en effet cette matrice résulte de l'inversion de la « matrice de passage de la base dans la base » [33] et par suite
......inversement la relation permettant de passer de la matrice coordonnée du -uplet dans la base à la matrice coordonnée du même -uplet dans la base s'écrit

[32].

Réécriture de la matrice coordonnée d'une famille de « m-uplets » par changement de base de Rm[modifier | modifier le wikicode]

......La matrice coordonnée d'une famille de « m-uplets » de dans la base de «» s'obtenant par juxtaposition des matrices coordonnées de chaque « m-uplet » dans la base de «» et

......la relation permettant de réécrire la matrice coordonnée d'un « m-uplet » dans la base de «» consistant à multiplier à gauche la matrice coordonnée du « m-uplet » dans la base de «» par la matrice de passage de la base à la base on en déduit aisément que

......la matrice coordonnée de la famille des « m-uplets » de dans la base de notée «» s'obtient selon la relation

 ;

......inversement la matrice coordonnée de la famille des « m-uplets » de dans la base de notée «» s'obtient selon la relation

.

2ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) fixée définie sur le corps des réels[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n dans un autre espace vectoriel de dimension m[modifier | modifier le wikicode]

......Remarques : On constate qu'une application du -espace vectoriel dans le -espace vectoriel est linéaire ssi elle respecte les C.L. [34] à savoir ssi et , .

......Remarques : L'ensemble des applications linéaires du -espace vectoriel dans le -espace vectoriel est noté [35] et
.......Remarques : L'ens celui des applications linéaires bijectives (c'est-à-dire des isomorphismes de dans noté [36] ;

......Remarques : l'ensemble des applications linéaires du -espace vectoriel dans lui-même [c'est-à-dire des endomorphismes de est noté simplement [37] et
......Remarques : L'ens celui des applications linéaires bijectives du -espace vectoriel dans lui-même (c'est-à-dire des automorphismes de noté [38] et est encore appelé « groupe linéaire de » ;

......Remarques : l'ensemble des applications linéaires du -espace vectoriel dans le corps [corps de construction de l'espace vectoriel dans lequel l'application linéaire (alors appelée « forme linéaire » est définie est noté et définit l'« espace dual de » étant donc l'ensemble des formes linéaires de [39]].

2ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de bases (B, C)[modifier | modifier le wikicode]

......Considérant deux -espaces vectoriels avec définition d'une base dans chacun d'eux

  • un 1er -espace vectoriel de dimension avec choix d'une base de ,
  • un 2ème -espace vectoriel de dimension avec choix d'une base de et

......Considérant une « application linéaire de dans »,

......on appelle « matrice de l'application linéaire du -espace vectoriel de dimension de base dans le -espace vectoriel de dimension de base », la matrice de dimension (ou taille) notée telle que

de matrice coordonnée dans la base de [40], on associe
de matrice coordonnée dans la base de [40]
se déterminant par .

......Propriétés : à toute application linéaire d'un -espace vectoriel de dimension de base dans un -espace vectoriel de dimension de base on peut associer une et une seule matrice d'application linéaire de dimension (ou taille) ,
......Propriétés : la jème colonne de est alors la matrice coordonnée de dans la base de  ;

......Propriétés : la matrice appelée « matrice de l'application linéaire dans le couple de bases » et notée vérifie

et sa matrice coordonnée dans la base de ,
la matrice coordonnée de dans la base de , notée s'évalue par
.

......Propriétés : On déduit que l'application de l'ensemble des applications linéaires du -espace vectoriel de dimension dans le -espace vectoriel de dimension dans l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) qui, à chaque application linéaire fait correspondre la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases c'est-à-dire est un isomorphisme d'espaces vectoriels [41].

Exemple d'un automorphisme du plan vectoriel, la similitude directe de rapport et d'angle

......Exemple : La similitude directe de rapport et d'angle est un automorphisme du -espace vectoriel euclidien de dimension  ;
......Exemple : avec le choix de la base canonique pour décrire les vecteurs de du domaine de définition de l'automorphisme et
......Exemple : avec le choix de la même base canonique pour les images par l'automorphisme des vecteurs de ,
......Exemple : la matrice de l'automorphisme de dans le couple de bases s'écrit

 ;

......Exemple : ainsi un vecteur de composantes dans la base canonique et de matrice coordonnée
......Exemple : ainsi a pour image, par similitude directe , le vecteur de composantes dans la base canonique et de matrice coordonnée soit ce qu'on vérifie aisément sur le diagramme ci-dessus.

Matrice de la composée de deux applications linéaires, la 1ère d'un espace vectoriel E de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel F de dimension m de base C et la 2ème de l'espace vectoriel F de dimension m de base C dans un espace vectoriel G de dimension p de base D[modifier | modifier le wikicode]

......Considérant trois -espaces vectoriels avec définition d'une base dans chacun d'eux

  • un 1er -espace vectoriel de dimension avec choix d'une base de ,
  • un 2ème -espace vectoriel de dimension avec choix d'une base de ,
  • un 3ème -espace vectoriel de dimension avec choix d'une base de ainsi que

......Considérant deux « applications linéaires de dans et de dans »,

......on appelle « matrice composée de l'application linéaire du -espace vectoriel de dimension de base dans le -espace vectoriel de dimension de base avec pour -espace vectoriel intermédiaire de dimension de base », la matrice de dimension (ou taille) notée telle que

étant la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases et
étant la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases ,
la matrice composée de l'application linéaire dans le couple de bases se détermine par
.

Changement de bases des espaces vectoriels définition et image d'une application linéaire et conséquence sur la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases des espaces vectoriels définition et image[modifier | modifier le wikicode]

......Considérant deux -espaces vectoriels avec définition de deux bases distinctes dans chacun d'eux

  • un 1er -espace vectoriel de dimension avec choix des deux bases distinctes de ,
  • un 2ème -espace vectoriel de dimension avec choix des deux bases distinctes de et

......Considérant une « application linéaire de dans » ainsi que les matrices de l'application linéaire dans différents couples de bases :

  • la matrice