Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les torseurs

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Les torseurs
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Chapitre no 1
Leçon : Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)
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Sommaire

Notion d'équiprojectivité d'un champ de vecteurs dans un espace affine euclidien tridimensionnel[modifier | modifier le wikicode]

Espace affine euclidien tridimensionnel[modifier | modifier le wikicode]

......Un espace tridimensionnel est dit

  • affine si on peut y définir le parallélisme ainsi que la notion de barycentre et
  • euclidien si la «~direction de l'espace affine~» [1] est un espace [2] dans lequel on définit un produit scalaire permettant de déterminer la distance entre deux points de l'espace affine égale à la norme du vecteur associé au bipoint et l'angle entre deux bipoints se déterminant à l'aide du produit scalaire des vecteurs associés aux bipoints.

Champ de vecteurs dans un espace affine euclidien tridimensionnel[modifier | modifier le wikicode]

......Un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel a été introduit dans le paragraphe «~définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace~» du chap. de la leçon «~Outils mathématiques pour la physique (PCSI)~», sa définition est rappelée ci-dessous :


Définition de l'équiprojectivité d'un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel[modifier | modifier le wikicode]


Notion de torseur[modifier | modifier le wikicode]

Domaine pratique d'utilisation de torseurs[modifier | modifier le wikicode]

......Les torseurs sont essentiellement utilisés en mécanique et plus particulièrement en mécanique du solide, ils servent à modéliser des champs de vecteurs possédant des propriétés particulières comme

  • le champ de vitesses d'un solide [6] défini en chacun des points de ce dernier les propriétés particulières traduisant le fait que la distance entre deux points quelconques du solide reste constante ou
  • le champ de moments de forces de même source [7] appliquées en chacun des points d'un solide [6] ici encore les propriétés particulières traduisent le fait que les points d'application des forces restent à une distance constante les uns des autres ou

Définition d'un torseur[modifier | modifier le wikicode]


......Appellation : avec est appelé «~moment du torseur au point », c'est donc un élément de direction [1] de , le torseur étant une application de [3] dans direction [1] de .

Propriétés d'un torseur[modifier | modifier le wikicode]

Notion de résultante d'un torseur[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

......Remarque : D'après la relation de Varignon [10] on constate que le vecteur d'une part et d'autre part ne se comportent pas de la même façon lors d'un changement d'orientation de l'espace affine cette affirmation résultant du fait qu'une multiplication vectorielle dépend de l'orientation de l'espace, il y a deux types de torseurs suivant le comportement comparé de et de , ce dernier qui, par construction, ne dépend pas de l'orientation de l'espace étant nécessairement un vecteur polaire (ou vrai vecteur) [12] :

......Remarque : le 1er type de torseur correspondant à ne dépendant pas de l'orientation de l'espace affine est un vecteur polaire (ou vrai vecteur) [12],
......Remarque : succ sont des vecteurs polaires (ou vrais vecteurs) [12], indépendants de l'orientation de l'espace dépendant de l'orientation de l'espace est un vecteur axial ou (pseudo-vecteur) [13] et
......Remarque : succ ainsi que sont des vecteurs axiaux (ou pseudo-vecteurs) [13], dépendants de l'orientation de l'espace,

......Remarque : le 2ème type de torseur correspondant à dépendant de l'orientation de l'espace affine est un vecteur axial (ou pseudo-vecteur) [13] et comme est un vecteur polaire (ou vrai vecteur) [12] dépendant de l'orientation de l'espace est un vecteur polaire ou (vrai vecteur) [12] et il en est de même des vecteurs soit, en résumé,
......Remarque : succ ainsi que et sont des vecteurs polaires (ou vrais vecteurs) [12], indépendants de l'orientation de l'espace et
......Remarque : succ est un vecteur axial (ou pseudo-vecteur) [13], dépendant de l'orientation de l'espace.

Réduction d'un torseur en un point quelconque de l'espace affine euclidien tridimensionnel sur lequel il est défini[modifier | modifier le wikicode]

......Un torseur défini sur l'espace affine euclidien tridimensionnel [3] est déterminé par un couple de deux vecteurs chacun à direction [1] de  ; on distingue deux types de torseurs suivant que sa résultante est un vecteur polaire (ou vrai vecteur) [12] ou si elle est un vecteur axial (ou pseudo-vecteur) [13] :

Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire (ou vrai vecteur)[modifier | modifier le wikicode]

......Dans ce cas, le torseur défini sur l'espace affine euclidien tridimensionnel [3] étant déterminé par un couple de deux vecteurs étant la direction [1] de , on distingue chacun d'eux suivant leur dépendance à l'orientation de l'espace de la façon suivante :

  • un 1er vrai vecteur (ou vecteur polaire) [12] indépendant du point en lequel est appliqué et
  • un 2nd pseudo-vecteur (ou vecteur axial) [13] noté dépendant a priori du point en lequel est appliqué plus précisément  ;

......ce couple d'un vrai vecteur [12] et d'un pseudo-vecteur [13] constitue «~la réduction du torseur au point [3]~»,

  • le 1er vrai vecteur [12] étant la résultante du torseur et
  • le 2nd pseudo-vecteur [13] ~le moment du torseur au point ,
cette réduction du torseur en [3]~ s'écrivant symboliquement [14], [15].

......Remarques : D'après la note «~15~» l'ensemble des torseurs formant un espace vectoriel de dimension six, il est possible de décrire un torseur, après avoir choisi une base orthonormée [16] de cet espace vectoriel de dimension six, par les six composantes de sa réduction en un point quelconque de [3], ces six composantes constituant les coordonnées plückeriennes [17] de la réduction du torseur au point [3] soit, avec , il est possible de réécrire la réduction du torseur au point [3] par ses coordonnées plückeriennes .

......Remarques : D'après la relation de Varignon [10], la connaissance de «~la réduction du torseur en un point quelconque [3]~» permet de déduire le torseur en n'importe quel point [3] selon [18], [19].

Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial (ou pseudo-vecteur)[modifier | modifier le wikicode]

......Dans ce cas, le torseur défini sur l'espace affine euclidien tridimensionnel [3] étant déterminé par un couple de deux vecteurs étant la direction [1] de , on distingue chacun d'eux suivant leur dépendance à l'orientation de l'espace de la façon suivante :

  • un 1er pseudo-vecteur (ou vecteur axial) [13] indépendant du point en lequel est appliqué et
  • un 2nd vrai vecteur (ou vecteur polaire) [12] noté dépendant a priori du point en lequel est appliqué plus précisément  ;

......ce couple d'un pseudo-vecteur [13] et d'un vrai vecteur [12] constitue «~la réduction du torseur au point [3]~»,

  • le 1er pseudo-vecteur [13] étant la résultante du torseur et
  • le 2nd vrai vecteur [12] ......étant le moment du torseur au point ,
cette réduction du torseur en [3]~ s'écrivant symboliquement [14], [20].

......Remarques : D'après la note «~15~» l'ensemble des torseurs formant un espace vectoriel de dimension six, il est possible de décrire un torseur, après avoir choisi une base orthonormée [21] de cet espace vectoriel de dimension six, par les six composantes de sa réduction en un point quelconque de [3], ces six composantes constituant les coordonnées plückeriennes [17] de la réduction du torseur au point [3] soit, avec , il est possible de réécrire la réduction du torseur au point [3] par ses coordonnées plückeriennes .

......Remarques : D'après la relation de Varignon [10], la connaissance de «~la réduction du torseur en un point quelconque [3]~» permet de déduire le torseur en n'importe quel point [3] selon [18], [22].

Diverses opérations sur les torseurs[modifier | modifier le wikicode]

Égalité de torseurs[modifier | modifier le wikicode]

......Deux torseurs et sont égaux ssi leurs éléments de réduction au même point sont égaux soit

.

Somme de deux torseurs[modifier | modifier le wikicode]

......La somme de deux torseurs et est le torseur dont les éléments de réduction en un point sont la somme des éléments de réduction de chacun des torseurs au même point soit

.

Multiplication d'un torseur par un scalaire[modifier | modifier le wikicode]

......Soit un scalaire quelconque et un torseur également quelconque, le torseur est le torseur dont les éléments de réduction en un point sont les éléments de réduction du torseur au même point multipliés par soit

.

Nullité d'un torseur[modifier | modifier le wikicode]

......Un torseur est nul ssi ses éléments de réduction en un point sont tous deux nuls soit

[23].

Invariants d'un torseur[modifier | modifier le wikicode]


......Ce sont :

  • la résultante du torseur ,
  • la projection du moment du torseur sur sa résultante soit «» appelée «~invariant scalaire du torseur~» se démontre d'après la relation de Varignon [10] : [24] et
  • la relation d'équiprojectivité «» contenu dans la définition d'un torseur [25].

Notion d'axe central d'un torseur[modifier | modifier le wikicode]

Définition de point central d'un torseur[modifier | modifier le wikicode]


Définition d'axe central d'un torseur[modifier | modifier le wikicode]


Propriétés du torseur sur son axe central[modifier | modifier le wikicode]

  • Si la résultante du torseur est , son axe central est une droite de vecteur directeur et dans la mesure où on admet l'existence d'un point central c'est la droite de vecteur directeur issue de en effet,
    ......d'après la relation de Varignon [10] on peut écrire ou en utilisant une formule du double produit vectoriel [29] et par suite, , avec soit enfin établissant la propriété directe «~si , alors ils sont sur une droite de vecteur directeur »,
    ......réciproquement, si avec point central dont l'existence est admise, l'application de la relation de Varignon [10] donne d'où et par suite, établissant la propriété réciproque «~la droite de vecteur directeur passant par le point central dont l'existence est admise est l'axe central du torseur~».
  • Le moment du torseur est le même en tout point de l'axe central en effet, étant une droite de vecteur directeur dans la mesure où est , , l'application de la relation de Varignon [10] nous donne soit la propriété énoncée dans le cas mais qui est trivialement vérifiée dans le cas .
  • Si la résultante du torseur est , la norme du moment d'un torseur est minimale sur son axe central en effet, avec , est une droite de vecteur directeur et par suite, considérant un point et un autre point quelconque , l'application de la relation de Varignon [10] nous donnant avec à et à nous en déduisons , ceci restant vrai pour n'importe quel point compte-tenu du fait que le moment du torseur est constant sur son axe central.

Torseurs particuliers et décomposition centrale d'un torseur quelconque[modifier | modifier le wikicode]

Torseur nul[modifier | modifier le wikicode]

......Le torseur nul est le torseur dont les éléments de réduction en un point quelconque sont nuls soit [30].

Torseur couple[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'un torseur couple[modifier | modifier le wikicode]

......Un torseur couple est un torseur pour lequel les éléments de réduction non nuls en n'importe quel point se réduisent à son moment soit

.

Propriétés d'un torseur couple[modifier | modifier le wikicode]

  • «~Le moment d'un torseur couple est constant en tout point » en effet appliquant la relation de Varignon [10] à un couple de points quelconques distincts on obtient soit une conséquence est qu'il est inutile de préciser en quel point les éléments de réduction du couple sont évalués, ainsi le moment du couple sera-t-il simplement noté sans ajouter en indice précisant le point où il est évalué ;
  • un torseur couple n'a pas d'axe central , en effet l'existence d'un point central pour un torseur couple nécessiterait qu'en ce point le moment du torseur soit nul, ce qui est impossible puisque le moment d'un torseur couple est constant et non nul.

Somme de deux couples[modifier | modifier le wikicode]

  • La somme de deux couples et est un couple si leurs moments et ne sont pas opposés en effet, en n'importe quel point , les éléments de réduction de chacun des couples étant et , on en déduit ceux de la somme des deux couples au même point [31] assurant que cette somme est un couple de moment  ;
  • si les moments des deux couples et sont opposés, la somme de ces deux couples est le torseur nul .

Torseur glisseur[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'un torseur glisseur[modifier | modifier le wikicode]

......Un torseur glisseur est un torseur pour lequel il existe un point particulier en lequel les éléments de réduction non nuls se réduisent à sa résultante soit

.

Propriétés d'un torseur glisseur[modifier | modifier le wikicode]

  • «~Le moment d'un torseur glisseur est nul en tout point de son axe central » en effet le point particulier est un point de car dans la mesure où d'une part ou d'autre part l'axe central étant le lieu à minimale et étant la valeur minimale et le moment du torseur en tout point de l'axe central étant le même est donc égal à celui du point particulier c'est-à-dire nul ;
  • l'axe central d'un torseur glisseur est encore appelé support du glisseur ;
  • en tout point les éléments de réduction du torseur glisseur sont tous deux non nuls c'est-à-dire [32].

Autres caractérisations d'un torseur glisseur[modifier | modifier le wikicode]

  • Un torseur dont les éléments de réduction en un point sont non nuls et orthogonaux est un glisseur en effet, considérant un point a priori quelconque et y appliquant la relation de Varignon [10] à partir du point , on obtient dans laquelle et étant tous deux à , il est possible de déterminer vérifiant [33] et par suite de déduire que le torseur est un glisseur dont le support passe par ce point particulier .
  • Un torseur non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi son invariant scalaire «» est nul en effet
    ......si est un glisseur et si son axe central, alors que si , est à d'où la proposition directe,
    ......réciproquement si cela signifie qu'il pourrait exister des points tels que [34], l'existence éventuelle de ces points assurant alors que le torseur est un glisseur et, en faisant l'hypothèse qu'il n'existe aucun de ces points, on aurait, pour tous les points , à [35] ce qui permettrait de déduire l'existence de points tels que et contredirait l'hypothèse de l'inexistence de tels points, la conclusion étant donc que le torseur est un glisseur.

Somme de deux glisseurs[modifier | modifier le wikicode]

  • La somme de deux glisseurs et est un glisseur si leurs axes centraux et sont concourants en en effet, en ce point, les éléments de réduction de chacun des glisseurs étant et , on en déduit ceux de la somme des deux glisseurs au même point [36] assurant que cette somme est un glisseur dont le support est la droite issue de de vecteur directeur ou
    ......La somme de deux glisseurs G1 et G2 est un glisseur si leurs axes centraux et sont parallèles ou confondus avec leurs résultantes non opposées en effet
    ......Remarques : si est à en étant différent, ces axes centraux n'ont aucun point commun et par suite, en un point , les éléments de réduction de chacun des glisseurs sont et [37], le moment de étant a priori [38] et à [39], cela assure que est un glisseur, plus précisément qu'il existe un point au plan tel que ou, avec les projetés orthogonaux de sur les axes centraux respectifs et des deux glisseurs et , [40] et par suite, que le support du glisseur est la droite issue de de vecteur directeur et
    ......Remarques : si est confondu avec , tous les points de ces axes centraux sont communs et par suite, , les éléments de réduction de chacun des glisseurs sont et [37] est un glisseur dont le support est l'axe central commun de vecteur directeur .
  • Dans le cas le plus général correspondant au cas où les axes centraux et des deux glisseurs et ne sont pas concourants, la somme des deux glisseurs et n'est pas un glisseur.
  • La somme de deux glisseurs et est un couple si leurs axes centraux et sont parallèles avec leurs résultantes opposées en effet si est à en étant différent, ces axes centraux n'ont aucun point commun et par suite, en un point , les éléments de réduction de chacun des glisseurs sont et [41], le moment de étant et constant [42], ce qui établit que la somme est un couple.
  • La somme de deux glisseurs et est le torseur nul si leurs axes centraux et sont confondus avec leurs résultantes opposées en effet si est confondu avec , tous les points de ces axes centraux sont communs et par suite, , les éléments de réduction de chacun des glisseurs sont et [41] est le torseur nul .

Décomposition centrale d'un torseur quelconque[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

......Démonstration : Soit le torseur et ses éléments de réduction en un point de son axe central , [43], nous décomposons les éléments de réduction du torseur en de la façon unique suivante ,
......Démonstration : le 1er terme du 2nd membre étant les éléments de réduction d'un glisseur unique en de support «~la droite issue de de vecteur directeur » qui est aussi l'axe central du torseur et
......Démonstration : le 2ème terme du 2nd membre les éléments de réduction d'un couple unique de moment constant égal à .

......Remarque : C'est par le choix des éléments de réduction du torseur en un point de son axe central que l'on assure l'unicité de la décomposition précédente, c'est aussi la raison pour laquelle cette décomposition est appelée «~décomposition centrale~», les trois éléments indispensables à connaître pour établir cette décomposition sont [44] encore appelés «~éléments centraux de ».

Produit (ou comoment) de deux torseurs[modifier | modifier le wikicode]

Définition du produit (ou comoment) de deux torseurs[modifier | modifier le wikicode]


Propriétés du produit (ou comoment) de deux torseurs[modifier | modifier le wikicode]

  • Le produit ou comoment de deux torseurs et est commutatif c'est-à-dire  ;
  • le produit ou comoment de deux torseurs et est indépendant du point en lequel sont définis les éléments de réduction des torseurs en effet, si on choisit un point différent de , seul le moment des torseurs est modifié selon la relation de Varignon [10] et par suite on en déduit expression dans laquelle on reconnaît d'où en fonction de selon soit, en utilisant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire [45] d'une part et l'anticommutativité de la multiplication vectorielle [46] d'autre part et par suite (C.Q.F.D.) [47] ;
  • Le produit ou comoment de deux torseurs couples et est identiquement nul c'est-à-dire [48] ;
  • Le produit ou comoment de deux torseurs couple et glisseur et n'est jamais nul c'est-à-dire [49] ;
  • Le produit ou comoment de deux torseurs glisseurs et est nul si leurs axes centraux et sont concourants c.-à-d., en notant le point d'intersection des axes centraux, [50] ou
    ......Le produit (ou comoment) de deux torseurs glisseurs ~G1 et G2~ est nul si leurs axes centraux et sont confondus en effet le cas des axes centraux confondus peut être considéré comme le cas particulier des axes centraux concourants en tous leurs points ou
    ......Le produit (ou comoment) de deux torseurs glisseurs ~G1 et G2~ est nul si leurs axes centraux et sont parallèles en effet si les éléments de réduction du 1er torseur glisseur sont pris en un point de son axe central mais évidemment hors de l'axe central