Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Vecteurs polaires ou axiaux, invariance par principe de Curie

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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Vecteurs polaires ou axiaux, invariance par principe de Curie
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     Dans ce chapitre, en absence de précision, l'espace physique affine à trois dimensions étant choisi « orienté à droite » orientation définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell [1] positionné en un point de l'espace ,

     Dans ce chapitre, nous appellerons « vecteur » tout élément de l'ensemble image de l'espace physique affine à trois dimensions par un champ vectoriel , c.-à-d. «» l'ensemble image «» de par le champ vectoriel n'est en général pas un espace vectoriel [2] mais est inclus dans un espace vectoriel en général choisi comme direction [3] de l'espace physique affine à trois dimensions » ;

     Dans ce chapitre, nous nous proposons d'étudier le comportement de ces « vecteurs » éléments de lors d'un changement d'orientation de l'espace physique affine à trois dimensions, ce dernier devenant « orienté à gauche » orientation définissable par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de farces et attrapes [4] positionné en un point de l'espace.

     Rappels : L'orientation de « à droite » le « produit vectoriel de deux vecteurs et de l'espace vectoriel direction [3] de l'espace physique affine à trois dimensions » [5] tel que le trièdre est direct c.-à-d. obéissant à la règle de la main droite [6] alors que

     Rappels : l'orientation de « à gauche » le « produit vectoriel de deux vecteurs et de l'espace vectoriel direction [3] de l'espace physique affine à trois dimensions » [5] tel que le trièdre est indirect au sens de la physique c.-à-d. obéissant à la règle de la main gauche [7].

Définition de vrais vecteurs (ou vecteurs polaires), de pseudo vecteurs (ou vecteurs axiaux) et exemples[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'un vrai vecteur (ou vecteur polaire)[modifier | modifier le wikicode]

     Un « vecteur » [8] est un vrai vecteur (ou vecteur polaire) si « sa définition ne dépend pas de l'orientation de l'espace» c.-à-d. est la même pour « orienté à droite » [9] ou « à gauche » [10].

Définition d'un pseudo-vecteur (ou vecteur axial)[modifier | modifier le wikicode]

     Un « vecteur » [8] est un pseudo-vecteur (ou vecteur axial) si « sa définition dépend de l'orientation de l'espace» c.-à-d. est différente pour « orienté à droite » [9] ou « à gauche » [10].

Comment distinguer un vrai vecteur d'un pseudo-vecteur ?[modifier | modifier le wikicode]

     Pour savoir si un « vecteur » [8] est un « vrai vecteur » ou un « pseudo-vecteur », on se demande si l'orientation de l'espace est indispensable à sa définition :

  • si elle n'est pas nécessaire le « vecteur » [8] est alors « vrai ou polaire»,
  • si elle est indispensable le « vecteur » [8] est un « pseudo-vecteur ou vecteur polaire».

Exemples de vrais vecteurs (ou vecteurs polaires)[modifier | modifier le wikicode]

Ces exemples sont pour la plupart tirés de la mécanique.

     « Vecteur position », « vecteur déplacement élémentaire » [11],

     « vecteur vitesse » [12], « vecteur accélération »

     « Vecteur quantité de mouvement » [13],

     « vecteur résultante dynamique [14]  » par r.f.d.n. [15], [13] et donc « tout vecteur force » [16],

     « vecteur champ électrique » [13]

     Remarque : Bien que le courant dans un circuit filiforme ne soit pas directement un vecteur, il est néanmoins défini par une direction le circuit filiforme, un sens et une valeur absolue, ce qui lui confère une propriété vectorielle correspondant à un vrai vecteur ou vecteur polaire[17].

Exemples de pseudo-vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

Ces exemples sont pour la plupart tirés de la mécanique.

     Si la définition d'un « vecteur » [8] se fait par produit vectoriel de deux vrais vecteurs ou vecteurs polaires, le « vecteur » [8] obtenu est un pseudo-vecteur ou vecteur axial[18] :

     pseudo-vecteur « moment cinétique par rapport à , point origine, » [19],

     pseudo-vecteur « moment d'une force par rapport à , point origine, » [20]

     Si la détermination d'un « vecteur » [8] se fait en multipliant un pseudo-vecteur ou vecteur axial par un scalaire, le « vecteur » [8] obtenu est alors un pseudo-vecteur ou vecteur axial comme le pseudo-vecteur « rotation instantanée d'un point en mouvement circulaire autour d'un axe » où est le moment d'inertie du point relativement à son axe de rotation [21]

     Si la détermination d'un « vecteur » [8] se fait par produit vectoriel d'un vrai vecteur ou vecteur polaire et d'un pseudo-vecteur ou vecteur axial, le « vecteur » [8] obtenu est un vrai vecteur ou vecteur polaire[18] :

     pseudo-vecteur « rotation instantanée d'un point en mouvement circulaire autour d'un axe par » [22] autre justification,

     pseudo-vecteur « champ magnétique par » [23]

Propriété du produit vectoriel de deux vrais vecteurs, de deux pseudo-vecteurs ou d'un vrai vecteur et d'un pseudo-vecteur[modifier | modifier le wikicode]

Base directe les deux 1ers vecteurs en noir et le 3ème en rouge suivant la règle de la main droite [6] et indirecte les mêmes deux 1ers vecteurs en noir et le 3ème en bleu suivant la règle de la main gauche [7]

     Considérons deux bases cartésiennes l'une « directe suivant la règle de la main droite » [6] le 3ème vecteur en rouge ci-contre et l'autre « indirecte suivant la règle de la main gauche » [7] le 3ème vecteur en bleu ci-contre et
     définissons le produit vectoriel des deux « vecteurs » [8], [24] par ses composantes :

  • [25] avec la base directe et
  • [25] avec la base indirecte .

     Remarque : il s'agit de la même règle d'obtention des composantes du produit vectoriel à partir des composantes de chacun des vecteurs, que l'espace soit orienté à droite ou à gauche [26], cette règle respectant :

  • la direction, au plan formé par et ,
  • le sens [5], le trièdre est direct dans l'espace orienté à droite règle de la main droite [6] et le trièdre est indirect au sens de la physique[27] dans l'espace orienté à gauche règle de la main gauche [7] et
  • la norme .

Produit vectoriel de deux vrais vecteurs (ou vecteurs polaires)[modifier | modifier le wikicode]

     La définition des deux vrais vecteurs ou vecteurs polaires étant inchangée quand on modifie l'orientation de l'espace ce qui signifie qu'ils gardent la même direction, le même sens et la même norme,

     les composantes de l'un ou l'autre des vrais vecteurs ou vecteurs polaires sur la base directe de l'espace orienté à droite et la base indirecte au sens de la physique de l'espace orienté à gauche sont

  • sur et sur individuellement les mêmes «», «» et
  • sur et sur individuellement opposées soit «» ;

     on en déduit que les composantes de sur la base directe de l'espace orienté à droite et la base indirecte au sens de la physique de l'espace orienté à gauche sont [28] :

  • sur , opposées car «» soit «»,
  • sur , opposées car «» soit «» et
  • sur et , les mêmes en effet «» soit, avec «», « » ;

     la conséquence de ceci étant que est changé en son opposé quand on passe d'un espace orienté à droite à un espace orienté à gauche, on conclut que le produit vectoriel de deux vrais vecteurs ou vecteurs polaires est un pseudo-vecteur ou vecteur axial.

     Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : des vrais vecteurs ou vecteurs polaires étant indépendants de l'orientation de l'espace mais leur produit vectoriel s'obtenant par utilisation de la règle de la main droite [6] dans un espace orienté à droite et celle de la main gauche [7] dans un espace orienté à gauche, on obtient effectivement des sens opposés suivant l'orientation de l'espace le produit vectoriel de deux vrais vecteurs ou vecteurs polaires dépendant de l'orientation de l'espace est un pseudo-vecteur ou vecteur axial.

Produit vectoriel de deux pseudo-vecteurs (ou vecteurs axiaux)[modifier | modifier le wikicode]

     La définition des deux pseudo-vecteurs ou vecteurs axiaux étant changée quand on modifie l'orientation de l'espace ce qui signifie qu'ils gardent la même direction, la même norme mais inversent leur sens,

     les composantes de l'un ou l'autre des pseudo-vecteurs ou vecteurs axiaux sur la base directe de l'espace orienté à droite et la base indirecte au sens de la physique de l'espace orienté à gauche sont

  • sur et sur individuellement opposées «», «» et
  • sur et sur individuellement les mêmes soit «» ;

     on en déduit que les composantes de sur la base directe de l'espace orienté à droite et la base indirecte au sens de la physique de l'espace orienté à gauche sont [28] :

  • sur , opposées car «» soit «»,
  • sur , opposées car «» soit «» et
  • sur et , les mêmes en effet «» soit, avec «», « » ;

     la conséquence de ceci étant que est changé en son opposé quand on passe d'un espace orienté à droite à un espace orienté à gauche, on conclut que le produit vectoriel de deux pseudo-vecteurs ou vecteurs axiaux est un pseudo-vecteur ou vecteur axial.

     Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : des pseudo-vecteurs ou vecteurs axiaux dépendant de l'orientation de l'espace un changement d'orientation les inverse tous les deux et leur produit vectoriel s'obtenant par utilisation de la règle de la main droite [6] dans un espace orienté à droite et celle de la main gauche [7] dans un espace orienté à gauche le changement d'orientation engendre une inversion du produit vectoriel, on obtient effectivement des sens opposés suivant l'orientation de l'espace [29] le produit vectoriel de deux pseudo-vecteurs ou vecteurs axiaux dépendant de l'orientation de l'espace est un pseudo-vecteur ou vecteur axial.

Produit vectoriel d'un pseudo-vecteur et d'un vrai vecteur (ou d'un vecteur axial et d'un vecteur polaire)[modifier | modifier le wikicode]

     La définition du pseudo-vecteur ou vecteur axial est changée quand on modifie l'orientation de l'espace ce qui signifie que garde la même direction, la même norme mais inverse son sens et celle du vrai vecteur ou vecteur polaire est inchangée lors de la même modification d'orientation de l'espace ce qui signifie que garde la même direction, le même sens et la même norme,

     les composantes du pseudo-vecteur ou vecteur axial et du vrai vecteur ou vecteur polaire sur la base directe de l'espace orienté à droite et la base indirecte au sens de la physique de l'espace orienté à gauche sont

  • sur et sur respectivement opposées en ce qui concerne et respectivement les mêmes en ce qui concerne , «», «» et
  • sur et , les mêmes en ce qui concerne et opposées en ce qui concerne , «» ;

     on en déduit que les composantes de sur la base directe de l'espace orienté à droite et la base indirecte au sens de la physique de l'espace orienté à gauche sont [28] :

  • sur , les mêmes car «» soit «»,
  • sur , les mêmes car «» soit «» et
  • sur et , opposées en effet «» soit, avec «», « » ;

     la conséquence de ceci étant que est inchangé quand on passe d'un espace orienté à droite à un espace orienté à gauche, on conclut que le produit vectoriel d'un pseudo-vecteur ou vecteur axial et d'un vrai vecteur ou vecteur polaire est un vrai vecteur ou vecteur polaire.

     Remarques : Le produit vectoriel étant anticommutatif le « produit vectoriel d'un vrai vecteur ou vecteur polaire et d'un pseudo-vecteur ou vecteur axial» est l'opposé du « produit vectoriel du pseudo-vecteur ou vecteur axial et du vrai vecteur ou vecteur polaire» quelle que soit l'orientation de l'espace, le caractère polaire du produit vectoriel est donc indépendant de la place du pseudo-vecteur ou vecteur axial c.-à-d. que le produit vectoriel d'un vrai vecteur ou vecteur polaire et d'un pseudo-vecteur ou vecteur axial est un vrai vecteur ou vecteur polaire.

     Remarques : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : un pseudo-vecteur ou vecteur axial dépendant de l'orientation de l'espace un changement d'orientation l'inverse alors qu'un vrai vecteur ou vecteur polaire est indépendant de l'orientation de l'espace, le produit vectoriel des deux s'obtenant par utilisation de la règle de la main droite [6] dans un espace orienté à droite et celle de la main gauche [7] dans un espace orienté à gauche le changement d'orientation engendre une inversion du produit vectoriel, on obtient effectivement un même sens quelle que soit l'orientation de l'espace [30] le produit vectoriel d'un pseudo-vecteur ou vecteur axial et d'un vrai vecteur ou vecteur axial indépendant de l'orientation de l'espace est un vrai vecteur ou vecteur polaire.

Influence d'une symétrie plane (ou axiale), d'une antisymétrie plane (ou axiale) sur l'orientation de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : si l'espace considéré est à deux dimensions et plan, on envisagera des symétries ou antisymétries axiales ;

     Préliminaire : si l'espace considéré est à trois dimensions, les symétries ou antisymétries envisagées seront planes.

Influence d'une symétrie plane sur l'orientation d'un espace à trois dimensions[modifier | modifier le wikicode]

Orientation de l'espace à trois dimensions et de son espace image par une symétrie par rapport à un plan

     Envisageant une symétrie de tous les points d'un espace à trois dimensions relativement à un plan et supposant cet « espace orienté à droite » [9] avec « choix d'une base directe » donc suivant la règle de la main droite [6] dont les deux 1ers vecteurs sont au plan et le 3ème lui est ,

     l'« espace image , symétrique de l'espace par la symétrie plane , est orienté à gauche » [10] le symétrique du tire-bouchon de Maxwell [1] par rapport au plan étant un tire-bouchon de farces et attrapes [4], [31], « les vecteurs images, par la même symétrie plane , des vecteurs de base de l'espace étant choisis pour définir la base de , « base indirecte au sens de la physique[27] » car suivant la règle de la main gauche [7] le symétrique d'une main droite pointant l'index, le pouce levé et le majeur replié [6] par rapport au plan étant une main gauche pointant l'index, le pouce levé et le majeur replié [7] soit, pour base de , .

     Conclusion : Une symétrie plane modifie l'orientation d'un espace à trois dimensions, à savoir

     Conclusion : l'espace image , symétrique par symétrie plane d'un espace orienté à droite avec choix d'une base directe, est orienté à gauche avec pour base, la symétrique de la base directe de par symétrie plane , cette base de étant indirecte au sens de la physique[27].

Influence d'une symétrie axiale sur un espace à deux dimensions plan[modifier | modifier le wikicode]

     Considérant un espace à deux dimensions plan, il est nécessaire de définir une base dans le plan de l'espace pour repérer les points de cet espace mais aussi de préciser un 3ème vecteur au plan de cet espace pour définir le sens de mesure des angles de ce plan ;

     on se rend compte qu'un espace plan nécessite encore de définir une base à trois éléments et de préciser le caractère direct ou indirect de cette base orientant l'espace à trois dimensions dans lequel celui à deux dimensions est plongé.

     Envisageant une symétrie de tous les points d'un espace à deux dimensions plan relativement à un axe de ce plan et supposant l'espace dans lequel est plongé, orienté par une base directe donc suivant la règle de la main droite [6] dont le 1er vecteur est à l'axe dans , le 2ème est à dans et le 3ème au plan de l'espace et servant à orienter les angles de ce plan,

     l'espace image , symétrique de l'espace par la symétrie axiale , peut être orienté de deux façons différentes

Orientations des espaces liées par une symétrie axiale.png
  • celle introduisant l'espace image , symétrique par la symétrie axiale de l'espace dans laquelle est plongé voir ci-contre, l'orientation de étant alors conservée par rapport à celle de si est orienté à droite [9], est aussi orienté à droite le symétrique du tire-bouchon de Maxwell [1] par rapport à l'axe étant un tire-bouchon de Maxwell [32], la base choisie dans étant symétrique par la symétrie axiale de celle choisie dans conserve le caractère direct ou indirect de cette dernière [33] si la base de est direct suivant la règle de la main droite [6], celle de est aussi direct ;
    ainsi les vecteurs de la base de «» sont,
    pour le 1er vecteur à l'axe dans le plan , «»,
    pour le 2ème vecteur à l'axe dans le plan , «» et
    pour le 3ème vecteur au plan orientant les angles de ce dernier, «» les angles de et de sont algébrisés en sens contraire [34] ou
Orientations des espaces liées par une symétrie axiale - bis.png
  • celle n'introduisant pas un espace à trois dimensions dans lequel est plongé voir ci-contre, l'orientation des angles du plan géométriquement commun de et de , symétrique par la symétrie axiale de , est la même si les angles de sont orientés dans le sens trigonométrique direct, ceux de le sont aussi ;
    ainsi les vecteurs de la base de «» ainsi que le vecteur unitaire «» orientant les angles de ce dernier sont
    pour le 1er vecteur à l'axe dans le plan , «»,
    pour le 2ème vecteur à l'axe dans le plan , «» et
    pour les vecteurs unitaires et au plan géométriquement commun de et de et orientant respectivement ces derniers «» [35] ;
    remarque : introduisant l'espace dans lequel est plongé avec pour base de cet espace à trois dimensions «» et un espace à trois dimensions dans lequel plonger avec pour base de cet espace à trois dimensions «», le caractère direct de «» entraîne le caractère indirect de «».

Notion d'antisymétrie[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : La notion d'antisymétrie nécessite qu'on s'intéresse à des champs scalaire ou vectoriel du point générique d'un espace , elle n'a aucune signification sur les points eux-mêmes ;

     Préliminaire : l'antisymétrie envisagée dans ce chapitre est soit plane soit axiale [36].

Antisymétrie plane agissant sur un champ scalaire ou vectoriel d'un espace à trois dimensions[modifier | modifier le wikicode]

     Soient un espace à trois dimensions, ou une fonction scalaire ou vectorielle de l'espace définie et

     considérons le point symétrique du point par rapport à un plan de à savoir

avec symétrie plane par rapport au plan .

Antisymétrie axiale agissant sur un champ scalaire ou vectoriel d'un espace à deux dimensions plan[modifier | modifier le wikicode]

     Soient un espace à deux dimensions plan, ou une fonction scalaire ou vectorielle de l'espace définie et

     considérons le point symétrique du point par rapport à un axe de à savoir

avec symétrie axiale par rapport à l'axe .

Influence d'une antisymétrie plane sur l'orientation d'un espace à trois dimensions[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Étant donné qu'un point quelconque d'un espace affine à trois dimensions n'admet pas d'antisymétrique par antisymétrie relativement à un plan [37],
     Préliminaire : la notion d'espace image de l'espace affine à trois dimensions par antisymétrie relativement au plan n'a aucune signification,
     Préliminaire : seule celle de l'espace image de cet espace affine à trois dimensions par symétrie relativement au plan peut être introduite ;

     Préliminaire : toutefois appliquer l'antisymétrie à l'espace vectoriel direction [3] de l'espace affine à trois dimensions ayant un sens [38],
     Préliminaire : nous introduisons l'espace vectoriel image par antisymétrie de l'espace vectoriel direction [3] de comme étant l'espace vectoriel engendré par la base antisymétrique de celle de l'espace vectoriel , direction [3] de , par antisymétrie ,
     Préliminaire : la base de étant alors utilisée pour repérer les points de l'espace image de l'espace affine à trois dimensions par symétrie relativement au plan , ce choix étant fait dès lors qu'une antisymétrie plane est introduite [39].

Orientation de l'espace à trois dimensions et de son espace image par une symétrie par rapport à un plan et choix d'une base antisymétrique par rapport à de celle de

     Développement : Soit une antisymétrie relativement à un plan d'un espace à trois dimensions et supposant cet « espace orienté à droite » [9] avec « choix d'une base directe » donc suivant la règle de la main droite [6] dont les deux 1ers vecteurs sont au plan et le 3ème lui est voir ci-contre,

     Développement : d'après le paragraphe « influence d'une symétrie plane sur l'orientation d'un espace à trois dimensions » plus haut dans ce chapitre, nous savons qu'« une symétrie plane modifie l'orientation de l'espace » d'où l'« espace image , symétrique par symétrie plane de l'espace orienté à droite [9] est orienté à gauche » [10] ;

     Développement : en vue d'une étude quantitative, nous choisissons pour base de l'antisymétrique par antisymétrie plane de la base directe de soit, notant « la base symétrique par symétrie plane de la base de avec » en tiretés ci-contre, la « base antisymétrique par antisymétrie plane de la base de étant égale à » en traits pleins ci-contre, est une base directe au sens de la physique[27] car suivant la règle de la main droite [6] de l'espace orienté à gauche [10].

     En conclusion, l'« espace image par symétrie plane de l'espace orienté à droite [9] est orienté à gauche [10] »,
     En conclusion, au « choix d'une base directe dans » donc suivant la règle de la main droite [6] nous faisons correspondre le « choix d'une base directe au sens de la physique [27] dans » donc suivant la règle de la main droite [6],
     En conclusion, cette base utilisée pour repérer les points de étant l'antisymétrique par antisymétrie plane de la base utilisée pour repérer les points de .

Influence d'une antisymétrie axiale sur un espace à deux dimensions plan[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Étant donné qu'un point quelconque d'un espace affine à deux dimensions plan n'admet pas d'antisymétrique par antisymétrie relativement à un axe [37],
     Préliminaire : la notion d'espace image de l'espace affine à deux dimensions par antisymétrie relativement à l'axe n'a aucune signification,
     Préliminaire : seule celle de l'espace image de cet espace affine à deux dimensions par symétrie relativement à l'axe peut être introduite ;

     Préliminaire : toutefois appliquer l'antisymétrie à l'espace vectoriel direction [3] de l'espace affine à deux dimensions ayant un sens [38],
     Préliminaire : nous introduisons l'espace vectoriel image par antisymétrie de l'espace vectoriel direction [3] de comme étant l'espace vectoriel engendré par la base antisymétrique de celle de l'espace vectoriel , direction [3] de , par antisymétrie ,
     Préliminaire : la base de étant alors utilisée pour repérer les points de l'espace image de l'espace affine à deux dimensions par symétrie relativement à l'axe , ce choix étant fait dès lors qu'une antisymétrie axiale est introduite [40].

     Développement : Envisageant une symétrie de tous les points d'un espace à deux dimensions plan relativement à un axe de ce plan et supposant l'espace dans lequel est plongé, orienté par une base directe donc suivant la règle de la main droite [6] dont le 1er vecteur est à l'axe dans , le 2ème est à dans et le 3ème au plan de l'espace et servant à orienter les angles de ce plan,

     Développement : l'espace image , symétrique de l'espace par la symétrie axiale , peut être orienté de deux façons différentes

Orientations des espaces liées par une antisymétrie axiale.png
  • celle introduisant l'espace image , symétrique par la symétrie axiale de l'espace dans laquelle est plongé voir ci-contre, l'orientation de étant alors conservée par rapport à celle de si est orienté à droite [9], est aussi orienté à droite le symétrique du tire-bouchon de Maxwell [1] par rapport à l'axe étant un tire-bouchon de Maxwell [32],
    en vue d'une étude quantitative, nous choisissons pour base de l'antisymétrique par antisymétrie axiale de celle choisie dans soit, notant « la base symétrique par symétrie axiale de la base de avec » en tiretés ci-contre, la « base antisymétrique par antisymétrie axiale de la base de étant égale à » en traits pleins ci-contre, est une base indirecte au sens de la physique[27] car suivant la règle de la main gauche [7] de l'espace orienté à gauche [10] ; avec ce choix de base pour repérer les points de , les angles de et de sont algébrisés en sens contraire [34] les angles de étant orienté par , ou
Orientations des espaces liées par une antisymétrie axiale - bis.png
  • celle n'introduisant pas un espace à trois dimensions dans lequel est plongé voir ci-contre, l'orientation des angles du plan géométriquement commun de et de , symétrique par la symétrie axiale de , est la même si les angles de sont orientés dans le sens trigonométrique direct par le vecteur unitaire , ceux de le sont aussi, c.-à-d. orienté par le vecteur unitaire [41] ;
    en vue d'une étude quantitative, nous choisissons pour base de l'antisymétrique par antisymétrie axiale