Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Vecteurs polaires ou axiaux, invariance par principe de Curie

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     Dans ce chapitre, en absence de précision, l'espace physique affine à trois dimensions $\left(ℰ\right)$ est choisi « orienté à droite »,

     Dans ce chapitre, nous appellerons « vecteur » tout élément $\overrightarrow{u}$ de l'ensemble image $\overrightarrow{A}\left[\left(ℰ\right)\right]$ de l'espace physique affine $\left(ℰ\right)$ par un champ vectoriel $\overrightarrow{A}$,
          Dans ce chapitre, nous appellerons « vecteur » tout soit «$\overrightarrow{u}\in \overrightarrow{A}\left[\left(ℰ\right)\right]$» $\{$l'ensemble image «$\overrightarrow{A}\left[\left(ℰ\right)\right]$» de $\left(ℰ\right)$ par le champ vectoriel $\overrightarrow{A}$ n'est en général pas un $ℝ$-espace vectoriel mais est inclus dans un $ℝ$-espace vectoriel en général choisi comme direction de l'espace physique affine à trois dimensions »$\}$ ;

     Dans ce chapitre, nous nous proposons d'étudier le comportement de ces « vecteurs » éléments de $\overrightarrow{A}\left[\left(ℰ\right)\right]$ lors d'un changement d'orientation de l'espace physique affine à trois dimensions $\left(ℰ\right)$, ce dernier devenant « orienté à gauche ».

     Rappels : L'orientation de $\left(ℰ\right)$ « à droite » $\Rightarrow$ le « produit vectoriel de deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ de l'espace vectoriel direction de l'espace physique affine à trois dimensions $\left(ℰ\right)$» tel que le trièdre $\{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}\}$ est direct c'est-à-dire obéissant à la règle de la main droite alors que

     Rappels : l'orientation de $\left(ℰ\right)$ « à gauche » $\Rightarrow$ le « produit vectoriel de deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ de l'espace vectoriel direction de l'espace physique affine à trois dimensions $\left(ℰ\right)$» tel que le trièdre $\{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}\}$ est indirect $($au sens de la physique$)$ c'est-à-dire obéissant à la règle de la main gauche.

Définition de vrais vecteurs (ou vecteurs polaires), de pseudo vecteurs (ou vecteurs axiaux) et exemples

Définition d'un vrai vecteur (ou vecteur polaire)

     Un « vecteur » est un vrai vecteur$($ou vecteur polaire$)$ si « sa définition ne dépend pas de l'orientation de l'espace$(ℰ)$» $\{$c'est-à-dire est la même pour $\left(ℰ\right)$ « orienté à droite » ou « à gauche »$\}$.

Définition d'un pseudo-vecteur (ou vecteur axial)

     Un « vecteur » est un pseudo-vecteur$($ou vecteur axial$)$ si « sa définition dépend de l'orientation de l'espace$(ℰ)$» $\{$c'est-à-dire est $\ne$ pour $\left(ℰ\right)$ « orienté à droite » ou « à gauche »$\}$.

Comment distinguer un vrai vecteur d'un pseudo-vecteur ?

     Pour savoir si un « vecteur » est un « vrai vecteur » ou un « pseudo-vecteur », on se demande si l'orientation de l'espace $\left(ℰ\right)$ est indispensable à sa définition :
                   Pour savoir si un « vecteur » est un « vrai vecteur » ou un « pseudo-vecteur », $\bullet$si elle n'est pas nécessaire le « vecteur » est alors « vrai $($ou polaire$)$»,
                   Pour savoir si un « vecteur » est un « vrai vecteur » ou un « pseudo-vecteur », $\bullet$si elle est indispensable le « vecteur » est un « pseudo-vecteur $($ou vecteur axial$)$».

Exemples de vrais vecteurs (ou vecteurs polaires)

Ces exemples sont pour la plupart tirés de la mécanique.

     « Vecteur position $\overrightarrow{OM}$», « vecteur déplacement élémentaire $\overrightarrow{dM}$»,

     « vecteur vitesse ${\overrightarrow{V}}_M=\frac{\overrightarrow{dM}}{dt}$», « vecteur accélération $\overrightarrow{a}(M)=\frac{d\left[{\overrightarrow{V}}_M\right]}{dt}=\frac{d^2\overrightarrow{OM}}{d{t}^2}$» $\dots$

     « Vecteur quantité de mouvement ${\overrightarrow{p}}_M=m{\overrightarrow{V}}_M$»,

     « vecteur résultante dynamique ${\overrightarrow{F}}_M=m{\overrightarrow{a}}_M$ » par r.f.d.n. et donc « tout vecteur force ${\overrightarrow{F}}_{k,M}$»,

     « vecteur champ électrique $\overrightarrow{E}(M)=\frac{{\overrightarrow{F}}_{\text{élec}}(M)}{q}$» $\dots$

     Remarque : Bien que le courant dans un circuit filiforme ne soit pas directement un vecteur, il est néanmoins défini par une direction $($le circuit filiforme$)$, un sens et une valeur absolue, ce qui lui confère une propriété vectorielle correspondant à un vrai vecteur $($ou vecteur polaire$)$.

Exemples de pseudo-vecteurs

Ces exemples sont pour la plupart tirés de la mécanique.

     Si la définition d'un « vecteur » se fait par produit vectoriel de deux vrais vecteurs $($ou vecteurs polaires$)$, le « vecteur » obtenu est un pseudo-vecteur $($ou vecteur axial$)$ :
               Si la définition d'un « vecteur » se fait par produit vectoriel de deux vrais vecteurs $\bullet$pseudo-vecteur « moment cinétique par rapport à $O$, point origine, ${\overrightarrow{\sigma }}_O(M)=\overrightarrow{OM}\wedge {\overrightarrow{p}}_M$»,
               Si la définition d'un « vecteur » se fait par produit vectoriel de deux vrais vecteurs $\bullet$pseudo-vecteur « moment d'une force par rapport à $O$, point origine, ${\overrightarrow{ℳ}}_O(\overrightarrow{F})=\overrightarrow{OM}\wedge \overrightarrow{F}(M)$» $\dots$

     Si la détermination d'un « vecteur » se fait en multipliant un pseudo-vecteur $($ou vecteur axial$)$ par un scalaire, le « vecteur » obtenu est alors un pseudo-vecteur $($ou vecteur axial$)$ :
              Si la détermination d'un « vecteur » se fait en multipliant un pseudo-vecteur $($ou vecteur axial$)$ par un scalaire, $\bullet$pseudo-vecteur « rotation instantanée d'un point $M$ en mouvement circulaire
              Si la détermination d'un « vecteur » se fait en multipliant un pseudo-vecteur $($ou vecteur axial$)$ par un scalaire, $\bullet$autour de l'axe $\mathrm{\Delta }$, ${\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}}_{\mathrm{\Delta }}=\frac{{\overrightarrow{\sigma }}_C(M)}{J_{\mathrm{\Delta }}}$» avec $J_{\mathrm{\Delta }}=m{R}^2$ moment d'inertie
              Si la détermination d'un « vecteur » se fait en multipliant un pseudo-vecteur $($ou vecteur axial$)$ par un scalaire, $\bullet$de $M$ relativement à son axe de rotation $\mathrm{\Delta }$ $\dots$

     Si la détermination d'un « vecteur » se fait par produit vectoriel d'un vrai vecteur $($ou vecteur polaire$)$ et d'un pseudo-vecteur $($ou vecteur axial$)$,
        Si la détermination le « vecteur » obtenu est un vrai vecteur $($ou vecteur polaire$)$ : $\bullet$pseudo-vecteur « rotation instantanée d'un point $M$ en mouvement circulaire autour d'un axe $\mathrm{\Delta }$,
                                                  Si la détermination le « vecteur » obtenu est un vrai vecteur $($ou vecteur polaire$)$ : $\bullet$${\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}}_{\mathrm{\Delta }}$ par ${\overrightarrow{V}}_M={\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}}_{\mathrm{\Delta }}\wedge \overrightarrow{CM}$» $($2^nde justification$)$,
                       Si la détermination le « vecteur » obtenu est un vrai vecteur $($ou vecteur polaire$)$ : $\bullet$pseudo-vecteur « champ magnétique $\overrightarrow{B}(M)$ par ${\overrightarrow{F}}_{\text{Lor}}(M)=q{\overrightarrow{V}}_M\wedge \overrightarrow{B}(M)$» $\dots$

Propriété du produit vectoriel de deux vrais vecteurs, de deux pseudo-vecteurs ou d'un vrai vecteur et d'un pseudo-vecteur

Base cartésienne orthonormée directe $($les deux 1^ers vecteurs en noir et le 3^ème en rouge$)$ suivant la règle de la main droite et indirecte $($les mêmes deux 1^ers vecteurs en noir et le 3^ème en bleu$)$ suivant la règle de la main gauche

     Considérons deux bases cartésiennes l'une « directe $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ suivant la règle de la main droite » $[$le 3^ème vecteur en rouge ci-contre$]$ et
    Considérons deux bases cartésiennes l'autre « indirecte $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z=-{\overrightarrow{u}}_z)$ par règle de la main gauche » $[$le 3^ème vecteur en bleu ci-contre$]$,
     définissons le produit vectoriel des deux « vecteurs » $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ par ses composantes :

     définissons le produit vectoriel $\bullet$$\left\{\begin{array}{ccccc}\overrightarrow{A}& \wedge & \overrightarrow{B}& =& \overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}\\ A_{x,d}& & B_{x,d}& & A_{y,d}{B}_{z,d}-A_{z,d}{B}_{y,d}\\ A_{y,d}& & B_{y,d}& & A_{z,d}{B}_{x,d}-A_{x,d}{B}_{z,d}\\ A_{z,d}& & B_{z,d}& & A_{x,d}{B}_{y,d}-A_{y,d}{B}_{x,d}\end{array}\right\}$ avec la base directe $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ et

     définissons le produit vectoriel $\bullet$$\left\{\begin{array}{ccccc}\overrightarrow{A}& \wedge & \overrightarrow{B}& =& \overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}\\ A_{x,i}& & B_{x,i}& & A_{y,i}{B^{\prime }}_{z,i}-{A^{\prime }}_{z,i}{B}_{y,i}\\ A_{y,i}& & B_{y,i}& & {A^{\prime }}_{z,i}{B}_{x,i}-A_{x,i}{B^{\prime }}_{z,i}\\ {A^{\prime }}_{z,i}& & {B^{\prime }}_{z,i}& & A_{x,i}{B}_{y,i}-A_{y,i}{B}_{x,i}\end{array}\right\}$ avec la base indirecte $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z)$.

     Remarque : les composantes du produit vectoriel $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ selon la base directe $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ suppose l'espace orienté à droite alors que
   Remarque : les compos celles du produit vectoriel $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ selon la base indirecte $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z)$ suppose l'espace orienté à gauche mais
     Remarque : les composantes elles se calculent de la même façon à partir des composantes de $\overrightarrow{A}$ et $\overrightarrow{B}$ quelle que soit l'orientation de l'espace car
     Remarque : les composantes elles se calculent de la même façon $\bullet$la direction $(\perp$ au plan formé par $\overrightarrow{A}$ et $\overrightarrow{B})$ et
     Remarque : les composantes elles se calculent de la même façon $\bullet$la norme $(\Vert \overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}\Vert =\Vert \overrightarrow{A}\Vert \Vert \overrightarrow{B}\Vert |\sin \left[\widehat{(\overrightarrow{A},\overrightarrow{B})}\right]\left|\right)$ sont indépendantes de l'orientation de l'espace et
     Remarque : les composantes elles se calculent de la même façon $\bullet$le sens tel que le trièdre $(\overrightarrow{A},\overrightarrow{B},\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B})$ est direct dans un espace orienté à droite $($obtenu par règle de la main droite$)$ et
     Remarque : les composantes elles se calculent de la même façon $\bullet$le sens tel que le trièdre $(\overrightarrow{A},\overrightarrow{B},\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B})$ est indirect $($au sens de la physique$)$ dans un espace orienté à gauche
          Remarque : les composantes elles se calculent de la même façon $\bullet$le sens tel que le trièdre $(\overrightarrow{A},\overrightarrow{B},\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B})$ est indirect $($au sens de la physique$)$$($obtenu par règle de la main gauche$)$ d'où
     Remarque : les composantes elles se calculent de la même façon une même façon de calculer les composantes de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ car on utilise la même règle $($de la main droite ou gauche$)$
      Remarque : les composantes elles se calculent de la même façon une même façon de calculer les composantes de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ car on utilise la même règle pour déterminer le sens de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ et
      Remarque : les composantes elles se calculent de la même façon une même façon de calculer les composantes de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ car on utilise la même règle pour déterminer celui du 3^ème vecteur de base
      Remarque : les composantes elles se calculent de la même façon une même façon de calculer les composantes de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ car on utilise la même règle pour déterminer relativement aux deux autres.

Produit vectoriel de deux vrais vecteurs (ou vecteurs polaires)

     Les deux vrais vecteurs $($ou vecteurs polaires$)$ facteurs de la multiplication vectorielle étant inchangés quand on modifie l'orientation de l'espace,
            Les deux vrais vecteurs $($ou vecteurs polaires$)$ facteurs de la multiplication vectorielle étant inchangés ce qui signifie qu'ils gardent la même direction, le même sens et la même norme,

     les composantes de l'un ou l'autre des vrais vecteurs $($ou vecteurs polaires$)$ sur la base directe $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ de l'espace orienté à droite et
        les composantes de l'un ou l'autre des vrais vecteurs $($ou vecteurs polaires$)$ sur la base indirecte $($au sens de la physique$)$ $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z=-{\overrightarrow{u}}_z)$ de l'espace orienté à gauche
        les composantes de l'un ou l'autre des vrais vecteurs $($ou vecteurs polaires$)$ sont $\bullet$sur ${\overrightarrow{u}}_x$ et sur ${\overrightarrow{u}}_y$ individuellement les mêmes «$\left\{\begin{array}{c}{A}_{x,i}=A_{x,d}\\ B_{x,i}=B_{x,d}\end{array}\right\}$», «$\left\{\begin{array}{c}{A}_{y,i}=A_{y,d}\\ B_{y,i}=B_{y,d}\end{array}\right\}$» et
        les composantes de l'un ou l'autre des vrais vecteurs $($ou vecteurs polaires$)$ sont $\bullet$sur ${\overrightarrow{u}}_z$ et sur ${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z$ individuellement opposées soit «$\left\{\begin{array}{c}{A^{\prime }}_{z,i}=-A_{z,d}\\ {B^{\prime }}_{z,i}=-B_{z,d}\end{array}\right\}$» ;

     on en déduit que les composantes de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ sur la base directe $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ de l'espace orienté à droite et
     on en déduit que les composantes de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ sur la base indirecte $($au sens de la physique$)$ $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z=-{\overrightarrow{u}}_z)$ de l'espace orienté à gauche
     on en déduit que les composantes de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ sont $\bullet$sur ${\overrightarrow{u}}_x$, opposées car «$A_{y,i}{B^{\prime }}_{z,i}-{A^{\prime }}_{z,i}{B}_{y,i}=A_{y,d}[-B_{z,d}]-[-A_{z,d}]B_{y,d}=-[A_{y,d}{B}_{z,d}-A_{z,d}{B}_{y,d}]$» soit
           on en déduit que les composantes de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ sont $\bullet$sur ${\overrightarrow{u}}_x$, opposées car «${(\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B})}_{x,\text{orienté à gauche}}\cdot {\overrightarrow{u}}_x=-{(\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B})}_{x,\text{orienté à droite}}\cdot {\overrightarrow{u}}_x$»,
           on en déduit que les composantes de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ sont $\bullet$sur ${\overrightarrow{u}}_y$, opposées car «${A^{\prime }}_{z,i}{B}_{x,i}-A_{x,i}{B^{\prime }}_{z,i}=[-A_{z,d}]B_{x,d}-A_{x,d}[-B_{z,d}]=-[A_{z,d}{B}_{x,d}-A_{x,d}{B}_{z,d}]$» soit
           on en déduit que les composantes de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ sont $\bullet$sur ${\overrightarrow{u}}_y$, opposées car «${(\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B})}_{y,\text{orienté à gauche}}\cdot {\overrightarrow{u}}_y=-{(\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B})}_{y,\text{orienté à droite}}\cdot {\overrightarrow{u}}_y$» et
           on en déduit que les composantes de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ sont $\bullet$sur ${\overrightarrow{u}}_z$ et ${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z$, les mêmes car «$A_{x,i}{B}_{y,i}-A_{y,i}{B}_{x,i}=A_{x,d}{B}_{y,d}-A_{y,d}{B}_{x,d}$» soit,
           on en déduit que les composantes de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ sont $\bullet$sur ${\overrightarrow{u}}_z$ et ${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z$, les mêmes car «${(\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B})}_{z^{\prime },\text{orienté à gauche}}\cdot {{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z={(\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B})}_{z,\text{orienté à droite}}\cdot {\overrightarrow{u}}_z$» ou, avec «${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z=-{\overrightarrow{u}}_z$»,
           on en déduit que les composantes de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ sont $\bullet$sur ${\overrightarrow{u}}_z$ et ${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z$, les mêmes car «$-{(\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B})}_{z^{\prime },\text{orienté à gauche}}\cdot {\overrightarrow{u}}_z={(\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B})}_{z,\text{orienté à droite}}\cdot {\overrightarrow{u}}_z$» d'où

     le produit vectoriel de deux vrais vecteurs $($ou vecteurs polaires$)$ $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ étant changé en son opposé quand on passe d'un espace orienté à droite à un espace orienté à gauche, $\Rightarrow$
     le produit vectoriel de deux vrais vecteurs$($ou vecteurs polaires$)$ est un pseudo-vecteur$($ou vecteur axial$)$.

     Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : des vrais vecteurs $($ou vecteurs polaires$)$ étant indépendants de l'orientation de l'espace mais
     Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : leur produit vectoriel s'obtenant par utilisation de la règle de la main droite dans un espace orienté à droite et
     Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : leur produit vectoriel s'obtenant par utilisation de la celle de la main gauche dans un espace orienté à gauche,
     Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : on obtient effectivement des sens opposés suivant l'orientation de l'espace $\Rightarrow$
     Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : le produit vectoriel de deux vrais vecteurs $($ou vecteurs polaires$)$ dépendant de l'orientation de l'espace
        Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : le produit vectoriel de deux vrais vecteurs $($ou vecteurs polaires$)$ est un pseudo-vecteur $($ou vecteur axial$)$.

Produit vectoriel de deux pseudo-vecteurs (ou vecteurs axiaux)

     Les deux pseudo-vecteurs $($ou vecteurs axiaux$)$ facteurs de la multiplication vectorielle étant changés quand on modifie l'orientation de l'espace
              Les deux pseudo-vecteurs $($ou vecteurs axiaux$)$ facteurs de la multiplication vectorielle étant changés ce qui signifie qu'ils gardent la même direction, la même norme mais inversent leur sens,

     les composantes de l'un ou l'autre des pseudo-vecteurs $($ou vecteurs axiaux$)$ sur la base directe $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ de l'espace orienté à droite et
          les composantes de l'un ou l'autre des pseudo-vecteurs $($ou vecteurs axiaux$)$ sur la base indirecte $($au sens de la physique$)$ $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z=-{\overrightarrow{u}}_z)$ de l'espace orienté à gauche
          les composantes de l'un ou l'autre des pseudo-vecteurs $($ou vecteurs axiaux$)$ sont $\bullet$sur ${\overrightarrow{u}}_x$ et sur ${\overrightarrow{u}}_y$ individuellement opposées «$\left\{\begin{array}{c}{A}_{x,i}=-A_{x,d}\\ B_{x,i}=-B_{x,d}\end{array}\right\}$», «$\left\{\begin{array}{c}{A}_{y,i}=-A_{y,d}\\ B_{y,i}=-B_{y,d}\end{array}\right\}$» et
          les composantes de l'un ou l'autre des pseudo-vecteurs $($ou vecteurs axiaux$)$ sont $\bullet$sur ${\overrightarrow{u}}_z$ et sur ${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z$ individuellement les mêmes soit «$\left\{\begin{array}{c}{A^{\prime }}_{z,i}=A_{z,d}\\ {B^{\prime }}_{z,i}=B_{z,d}\end{array}\right\}$» ;

     on en déduit que les composantes de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ sur la base directe $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ de l'espace orienté à droite et
     on en déduit que les composantes de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ sur la base indirecte $($au sens de la physique$)$ $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z=-{\overrightarrow{u}}_z)$ de l'espace orienté à gauche
     on en déduit que les composantes de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ sont $\bullet$sur ${\overrightarrow{u}}_x$, opposées car «$A_{y,i}{B^{\prime }}_{z,i}-{A^{\prime }}_{z,i}{B}_{y,i}=[-A_{y,d}]B_{z,d}-A_{z,d}[-B_{y,d}]=-[A_{y,d}{B}_{z,d}-A_{z,d}{B}_{y,d}]$» soit
           on en déduit que les composantes de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ sont $\bullet$sur ${\overrightarrow{u}}_x$, opposées car «${(\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B})}_{x,\text{orienté à gauche}}\cdot {\overrightarrow{u}}_x=-{(\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B})}_{x,\text{orienté à droite}}\cdot {\overrightarrow{u}}_x$»,
           on en déduit que les composantes de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ sont $\bullet$sur ${\overrightarrow{u}}_y$, opposées car «${A^{\prime }}_{z,i}{B}_{x,i}-A_{x,i}{B^{\prime }}_{z,i}=A_{z,d}[-B_{x,d}]-[-A_{x,d}]B_{z,d}=-[A_{z,d}{B}_{x,d}-A_{x,d}{B}_{z,d}]$» soit
           on en déduit que les composantes de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ sont $\bullet$sur ${\overrightarrow{u}}_x$, opposées car «${(\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B})}_{y,\text{orienté à gauche}}\cdot {\overrightarrow{u}}_y=-{(\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B})}_{y,\text{orienté à droite}}\cdot {\overrightarrow{u}}_y$» et
           on en déduit que les composantes de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ sont $\bullet$sur ${\overrightarrow{u}}_z$ et ${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z$, les mêmes car «$A_{x,i}{B}_{y,i}-A_{y,i}{B}_{x,i}=[-A_{x,d}][-B_{y,d}]-[-A_{y,d}][-B_{x,d}]=A_{x,d}{B}_{y,d}-A_{y,d}{B}_{x,d}$» soit,
           on en déduit que les composantes de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ sont $\bullet$sur ${\overrightarrow{u}}_z$ et ${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z$, les mêmes car «${(\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B})}_{z^{\prime },\text{orienté à gauche}}\cdot {{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z={(\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B})}_{z,\text{orienté à droite}}\cdot {\overrightarrow{u}}_z$» ou, avec «${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z=-{\overrightarrow{u}}_z$»,
           on en déduit que les composantes de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ sont $\bullet$sur ${\overrightarrow{u}}_z$ et ${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z$, les mêmes car «$-{(\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B})}_{z^{\prime },\text{orienté à gauche}}\cdot {\overrightarrow{u}}_z={(\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B})}_{z,\text{orienté à droite}}\cdot {\overrightarrow{u}}_z$» d'où

     le produit vectoriel de deux pseudo-vecteurs $($ou vecteurs axiaux$)$ $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ étant changé en son opposé quand on passe d'un espace orienté à droite à un espace orienté à gauche, $\Rightarrow$
     le produit vectoriel de deux pseudo-vecteurs$($ou vecteurs axiaux$)$ est un pseudo-vecteur$($ou vecteur axial$)$.

     Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : des pseudo-vecteurs $($ou vecteurs axiaux$)$ dépendant de l'orientation de l'espace $($ils en sont tous deux inversés$)$ et
     Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : leur produit vectoriel s'obtenant par utilisation de la règle de la main droite dans un espace orienté à droite et
     Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : leur produit vectoriel s'obtenant par utilisation de la celle de la main gauche dans un espace orienté à gauche $\Rightarrow$
     Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : leur produit vectoriel le changement d'orientation engendre une inversion du produit vectoriel, d'où
     Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : on obtient effectivement des sens opposés suivant l'orientation de l'espace $\Rightarrow$
     Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : le produit vectoriel de deux pseudo-vecteurs $($ou vecteurs axiaux$)$ dépendant de l'orientation de l'espace
          Remarque : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : le produit vectoriel de deux pseudo-vecteurs $($ou vecteurs axiaux$)$ est un pseudo-vecteur $($ou vecteur axial$)$.

Produit vectoriel d'un pseudo-vecteur et d'un vrai vecteur (ou d'un vecteur axial et d'un vecteur polaire)

     Le pseudo-vecteur $($ou vecteur axial$)$ $\overrightarrow{A}$ 1^er facteur de la multiplication vectorielle étant changé quand on modifie l'orientation de l'espace
              Le pseudo-vecteur $($ou vecteur axial$)$ $\overrightarrow{A}$ 1^er facteur de la multiplication vectorielle étant changé ce qui signifie qu'il garde la même direction, la même norme mais inverse son sens, et
     le vrai vecteur $($ou vecteur polaire$)$ $\overrightarrow{B}$ 2^nd facteur de la multiplication vectorielle étant inchangé lors de la même modification d'orientation de l'espace
           Le vrai vecteur $($ou vecteur polaire$)$ $\overrightarrow{B}$ 2^nd facteur de la multiplication vectorielle étant inchangé ce qui signifie qu'il garde la même direction, le même sens et la même norme,

     les composantes du pseudo-vecteur $($ou vecteur axial$)$ $\overrightarrow{A}$ sur la base directe $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ de l'espace orienté à droite et
          les composantes du pseudo-vecteur $($ou vecteur axial$)$ $\overrightarrow{A}$ sur la base indirecte $($au sens de la physique$)$ $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z=-{\overrightarrow{u}}_z)$ de l'espace orienté à gauche
          les composantes du pseudo-vecteur $($ou vecteur axial$)$ $\overrightarrow{A}$ sont $\bullet$sur ${\overrightarrow{u}}_x$ et sur ${\overrightarrow{u}}_y$ individuellement opposées «$\left\{\begin{array}{c}{A}_{x,i}=-A_{x,d}\\ A_{y,i}=-A_{y,d}\end{array}\right\}$» et
          les composantes du pseudo-vecteur $($ou vecteur axial$)$ $\overrightarrow{A}$ sont $\bullet$sur ${\overrightarrow{u}}_z$ et sur ${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z$ les mêmes soit «${A^{\prime }}_{z,i}=A_{z,d}$» alors que
     les composantes du vrai vecteur $($ou vecteur polaire$)$ $\overrightarrow{B}$ sur la base directe $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ de l'espace orienté à droite et
        les composantes du vrai vecteur $($ou vecteur polaire$)$ $\overrightarrow{B}$ sur la base indirecte $($au sens de la physique$)$ $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z=-{\overrightarrow{u}}_z)$ de l'espace orienté à gauche
        les composantes du vrai vecteur $($ou vecteur polaire$)$ $\overrightarrow{B}$ sont $\bullet$sur ${\overrightarrow{u}}_x$ et sur ${\overrightarrow{u}}_y$ individuellement les mêmes «$\left\{\begin{array}{c}{B}_{x,i}=B_{x,d}\\ B_{y,i}=B_{y,d}\end{array}\right\}$» et
        les composantes du vrai vecteur $($ou vecteur polaire$)$ $\overrightarrow{B}$ sont $\bullet$sur ${\overrightarrow{u}}_z$ et sur ${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z$ opposées soit «${B^{\prime }}_{z,i}=-B_{z,d}$» ;

     on en déduit que les composantes de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ sur la base directe $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ de l'espace orienté à droite et
     on en déduit que les composantes de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ sur la base indirecte $($au sens de la physique$)$ $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z=-{\overrightarrow{u}}_z)$ de l'espace orienté à gauche
     on en déduit que les composantes de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ sont $\bullet$sur ${\overrightarrow{u}}_x$, les mêmes car «$A_{y,i}{B^{\prime }}_{z,i}-{A^{\prime }}_{z,i}{B}_{y,i}=[-A_{y,d}][-B_{z,d}]-A_{z,d}{B}_{y,d}=[A_{y,d}{B}_{z,d}-A_{z,d}{B}_{y,d}]$» soit
           on en déduit que les composantes de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ sont $\bullet$sur ${\overrightarrow{u}}_x$, les mêmes car «${(\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B})}_{x,\text{orienté à gauche}}\cdot {\overrightarrow{u}}_x={(\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B})}_{x,\text{orienté à droite}}\cdot {\overrightarrow{u}}_x$»,
           on en déduit que les composantes de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ sont $\bullet$sur ${\overrightarrow{u}}_y$, les mêmes car «${A^{\prime }}_{z,i}{B}_{x,i}-A_{x,i}{B^{\prime }}_{z,i}=A_{z,d}{B}_{x,d}-[-A_{x,d}][-B_{z,d}]=[A_{z,d}{B}_{x,d}-A_{x,d}{B}_{z,d}]$» soit
           on en déduit que les composantes de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ sont $\bullet$sur ${\overrightarrow{u}}_y$, les mêmes car «${(\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B})}_{y,\text{orienté à gauche}}\cdot {\overrightarrow{u}}_y={(\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B})}_{y,\text{orienté à droite}}\cdot {\overrightarrow{u}}_y$» et
           on en déduit que les composantes de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ sont $\bullet$sur ${\overrightarrow{u}}_z$ et ${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z$, les mêmes car «$A_{x,i}{B}_{y,i}-A_{y,i}{B}_{x,i}=[-A_{x,d}]B_{y,d}-[-A_{y,d}]B_{x,d}=-[A_{x,d}{B}_{y,d}-A_{y,d}{B}_{x,d}]$» soit,
           on en déduit que les composantes de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ sont $\bullet$sur ${\overrightarrow{u}}_z$ et ${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z$, les mêmes car «${(\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B})}_{z^{\prime },\text{orienté à gauche}}\cdot {{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z=-{(\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B})}_{z,\text{orienté à droite}}\cdot {\overrightarrow{u}}_z$» ou, avec «${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z=-{\overrightarrow{u}}_z$»,
           on en déduit que les composantes de $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ sont $\bullet$sur ${\overrightarrow{u}}_z$ et ${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z$, les mêmes car «${(\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B})}_{z^{\prime },\text{orienté à gauche}}\cdot {\overrightarrow{u}}_z={(\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B})}_{y,\text{orienté à droite}}\cdot {\overrightarrow{u}}_z$» d'où

     le produit vectoriel $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ d'un pseudo-vecteur $($ou vecteur axial$)$ $\overrightarrow{A}$ et d'un vrai vecteur $($ou vecteur polaire$)$ $\overrightarrow{B}$ étant inchangé quand on passe d'un espace orienté à droite
             le produit vectoriel $\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}$ d'un pseudo-vecteur $($ou vecteur axial$)$ $\overrightarrow{A}$ et d'un vrai vecteur $($ou vecteur polaire$)$ $\overrightarrow{B}$ étant inchangé quand on passe à un espace orienté à gauche, $\Rightarrow$
     le produit vectoriel d'un pseudo-vecteur$($ou vecteur axial$)$ et d'un vrai vecteur$($ou vecteur polaire$)$ est un vrai vecteur$($ou vecteur polaire$)$.

     Remarques : La multiplication vectorielle étant anticommutative $\Rightarrow$ le « produit vectoriel d'un vrai vecteur $($ou vecteur polaire$)$ et d'un pseudo-vecteur $($ou vecteur axial$)$ »
           Remarques : La multiplication vectorielle étant anticommutative $\Rightarrow$ est l'opposé du « produit vectoriel du pseudo-vecteur $($ou vecteur axial$)$ et du vrai vecteur $($ou vecteur polaire$)$ »
           Remarques : La multiplication vectorielle étant anticommutative $\Rightarrow$ est l'opposé quelle que soit l'orientation de l'espace,
           Remarques : La multiplication vectorielle étant anticommutative $\Rightarrow$ le caractère polaire du produit vectoriel est donc indépendant de la place du pseudo-vecteur $($ou vecteur axial$)$ $\Rightarrow$
           Remarques : La multiplication vectorielle étant anticommutative le produit vectoriel d'un vrai vecteur$($ou vecteur polaire$)$ et d'un pseudo-vecteur$($ou vecteur axial$)$ est un vrai vecteur
                   Remarques : La multiplication vectorielle étant anticommutative le produit vectoriel d'un vrai vecteur$($ou vecteur polaire$)$ et d'un pseudo-vecteur$($ou vecteur axial$)$ est $($ou vecteur polaire$)$.

     Remarques : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : un pseudo-vecteur $($ou vecteur axial$)$ dépendant de l'orientation de l'espace $($un changement d'orientation l'inversant$)$ alors que
     Remarques : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : un vrai vecteur $($ou vecteur polaire$)$ étant indépendant de l'orientation de l'espace,
     Remarques : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : leur produit vectoriel s'obtenant par utilisation de la règle de la main droite dans un espace orienté à droite et
     Remarques : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : leur produit vectoriel s'obtenant par utilisation de la celle de la main gauche dans un espace orienté à gauche $\Rightarrow$
     Remarques : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : leur produit vectoriel le changement d'orientation engendre une inversion du produit vectoriel d'où
     Remarques : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : on obtient effectivement un même sens quelle que soit l'orientation de l'espace $\Rightarrow$
     Remarques : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : le produit vectoriel d'un pseudo-vecteur $($ou vecteur axial$)$ et
     Remarques : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : le produit vectoriel d'un vrai vecteur $($ou vecteur polaire$)$ indépendant de l'orientation de l'espace
          Remarques : On pouvait obtenir le résultat plus rapidement en effet : le produit vectoriel d'un pseudo-vecteur $($ou vecteur axial$)$ est un vrai vecteur $($ou vecteur polaire$)$.

Influence d'une symétrie plane (ou axiale), d'une antisymétrie plane (ou axiale) sur l'orientation de l'espace

     Préliminaire : si l'espace considéré est à deux dimensions et plan, on envisagera des symétries axiales ou antisymétries axiales ;

     Préliminaire : si l'espace considéré est à trois dimensions, on envisagera des symétries planes ou antisymétries planes.

Influence d'une symétrie plane sur l'orientation d'un espace à trois dimensions

Orientation de l'espace à trois dimensions $\left(ℰ\right)$ et de son espace image $\left({ℰ}^{\prime }\right)$ par une symétrie $(𝒮)$ par rapport à un plan $(\mathrm{\Pi })$

     Envisageant une symétrie $(𝒮)$ de tous les points d'un espace à trois dimensions $\left(ℰ\right)$ relativement à un plan $(\mathrm{\Pi })$ et
     supposant cet « espace $\left(ℰ\right)$ orienté à droite » avec « choix d'une base cartésienne orthonormée directe »
        supposant cet « espace $\left(ℰ\right)$ orienté à droite » avec « choix $($donc suivant la règle de la main droite$)$
         supposant cet « espace $\left(ℰ\right)$ orienté à droite » avec « choix dont les deux 1^ers vecteurs $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y)$ sont $\parallel$ au plan $(\mathrm{\Pi })$ et
         supposant cet « espace $\left(ℰ\right)$ orienté à droite » avec « choix dont le 3^ème ${\overrightarrow{u}}_z$ lui est $\perp$,

     l'« espace image $\left({ℰ}^{\prime }\right)$, symétrique par rapport au plan $(\Pi )$, de l'espace $ℰ$ par la symétrie $(𝒮{)}_{\Pi }$, est orienté à gauche »,
     « les vecteurs images, par la même symétrie plane $(𝒮{)}_{\Pi }$, des vecteurs de base $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ de l'espace $\left(ℰ\right)$
     « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de $\left({ℰ}^{\prime }\right)$, celle-ci est « indirecte $($au sens de la physique$)$ » car
     « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de $\left({ℰ}^{\prime }\right)$, celle-ci est « suivant la règle de la main gauche d'où
     « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de $\left({ℰ}^{\prime }\right)$ : $({{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x={\overrightarrow{u}}_x,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y={\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z=-{\overrightarrow{u}}_z)$.

     Conclusion : Une symétrie plane modifie l'orientation d'un espace à trois dimensions, à savoir
     Conclusion : l'espace image$\left({ℰ}^{\prime }\right)$, symétrique par symétrie plane$(𝒮{)}_{\Pi }$d'un espace$\left(ℰ\right)$orienté à droite
     Conclusion : l'espace image$\left({ℰ}^{\prime }\right)$, symétrique par symétrie plane$(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}$d'un espace$\left(ℰ\right)$avec choix d'une base directe,
     Conclusion : l'espace image$\left({ℰ}^{\prime }\right)$, est orienté à gauche
     Conclusion : l'espace image$\left({ℰ}^{\prime }\right)$, est avec pour base, la symétrique de la base directe de $\left(ℰ\right)$ par symétrie plane $(𝒮{)}_{\Pi }$, cette base de $\left({ℰ}^{\prime }\right)$ étant indirecte $($au sens de la physique$)$.

Influence d'une symétrie axiale sur un espace à deux dimensions plan

     Considérant un espace $(ℰ)$ à deux dimensions plan, il est nécessaire de définir une base $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y)$ dans le plan de l'espace pour repérer les points de cet espace mais aussi
     Considérant un espace $(ℰ)$ à deux dimensions plan, il est nécessaire de préciser un 3^ème vecteur ${\overrightarrow{u}}_z$ $\perp$ au plan de cet espace pour définir le sens $+$ de mesure des angles de ce plan ;

     ainsi un espace plan $(ℰ)$ nécessite encore de définir une base à trois éléments $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ et
     ainsi un espace plan $(ℰ)$ nécessite encore de préciser le caractère direct ou indirect de cette base orientant l'espace à trois dimensions $({ℰ}_3)$ dans lequel celui à deux dimensions est plongé.

     Envisageant une symétrie axiale $(𝒮)$ de tous les points d'un espace à deux dimensions plan $(ℰ)$ relativement à un axe $(\mathrm{\Delta })$ de ce plan et
     supposant l'espace $({ℰ}_3)$ dans lequel $(ℰ)$ est plongé, orienté à droite avec choix d'une base cartésienne orthonormée directe $($donc suivant la règle de la main droite$)$
         supposant l'espace $({ℰ}_3)$ dans lequel $(ℰ)$ est plongé, orienté à droite avec choix dont le 1^er vecteur ${\overrightarrow{u}}_x$ est $\perp$ à l'axe $(\mathrm{\Delta })\subset (ℰ)$,
         supposant l'espace $({ℰ}_3)$ dans lequel $(ℰ)$ est plongé, orienté à droite avec choix dont le 2^ème ${\overrightarrow{u}}_y$ est $\parallel$ à $(\mathrm{\Delta })\subset (ℰ)$ et
         supposant l'espace $({ℰ}_3)$ dans lequel $(ℰ)$ est plongé, orienté à droite avec choix dont le 3^ème ${\overrightarrow{u}}_z$ $\perp$ au plan de l'espace $(ℰ)$ et servant à orienter les angles de ce plan,

     l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, symétrique de l'espace $(ℰ)$ par la symétrie axiale $(𝒮{)}_{\Delta }$, peut être orienté de deux façons différentes :

• celle telle que l'espace image $({{ℰ}^{\prime }}_3)$, symétrique par la symétrie axiale $(𝒮{)}_{\Delta }$ de l'espace $({ℰ}_3)$ dans laquelle $(ℰ)$ est plongé
  celle telle que l'espace image $({{ℰ}^{\prime }}_3)$, est orienté comme $({ℰ}_3)$ $\{$si $({ℰ}_3)$ est orienté à droite, $({{ℰ}^{\prime }}_3)$ est aussi orienté à droite$\}$,
  celle telle que l'espace image $({{ℰ}^{\prime }}_3)$, ce qui suppose que le symétrique axial du tire-bouchon de Maxwell par rapport à l'axe $(\mathrm{\Delta })$ est un tire-bouchon de Maxwell $($voir ci-contre$)$,
  celle telle que l'espace image $({{ℰ}^{\prime }}_3)$, la base choisie dans $({{ℰ}^{\prime }}_3)$ étant symétrique par la symétrie axiale $(𝒮{)}_{\Delta }$ de celle de $({ℰ}_3)$
  celle telle que l'espace image $({{ℰ}^{\prime }}_3)$, la base choisie dans $({{ℰ}^{\prime }}_3)$ conserve le caractère direct ou indirect de cette dernière d'où
  celle telle que l'espace image $({{ℰ}^{\prime }}_3)$, si la base de $({ℰ}_3)$ est directe suivant la règle de la main droite,
     celle telle que l'espace image $({{ℰ}^{\prime }}_3)$, si celle de $({{ℰ}^{\prime }}_3)$ est aussi directe ;
     celle telle que l'espace image $({{ℰ}^{\prime }}_3)$, si ainsi les vecteurs de la base de $({{ℰ}^{\prime }}_3)$ «$({{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z)$» sont :
     celle telle que l'espace image $({{ℰ}^{\prime }}_3)$, si $\succ$pour le 1^er vecteur $\perp$ à l'axe $(\mathrm{\Delta })$ dans le plan $({ℰ}^{\prime })$, «${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x=-{\overrightarrow{u}}_x$»,
     celle telle que l'espace image $({{ℰ}^{\prime }}_3)$, si $\succ$pour le 2^ème vecteur $\parallel$ à l'axe $(\mathrm{\Delta })$ dans le plan $({ℰ}^{\prime })$, «${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y={\overrightarrow{u}}_y$» et
     celle telle que l'espace image $({{ℰ}^{\prime }}_3)$, si $\succ$pour le 3^ème vecteur $\perp$ au plan $({ℰ}^{\prime })$ orientant les angles de ce dernier, «${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z=-{\overrightarrow{u}}_z$»
     celle telle que l'espace image $({{ℰ}^{\prime }}_3)$, si $\succ$$\{$les angles de$(ℰ)$et de$({ℰ}^{\prime })$sont algébrisés en sens contraire$\}$ ou

• celle n'introduisant pas un espace à trois dimensions dans lequel $(ℰ)$ serait plongé $($voir ci-contre$)$, mais telle que
  les angles du plan commun de l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, symétrique de l'espace $(ℰ)$ par la symétrie axiale $(𝒮{)}_{\Delta }$, et l'espace $(ℰ)$,
  les angles du plan commun sont orientés de la même façon pour $(ℰ)$ et $({ℰ}^{\prime })$ par exemple
  les angles du plan commun si les angles de $(ℰ)$ sont orientés dans le sens trigonométrique ceux de $({ℰ}^{\prime })$ le sont aussi ; ainsi
  les vecteurs de la base de $({ℰ}^{\prime })$ «$({{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y)$» ainsi que le vecteur unitaire «${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z$» orientant les angles de ce dernier sont
  les vecteurs de la base de $({ℰ}^{\prime })$ $\succ$pour le 1^er vecteur $\perp$ à l'axe $(\mathrm{\Delta })$ dans le plan $({ℰ}^{\prime })$, «${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x=-{\overrightarrow{u}}_x$»,
  les vecteurs de la base de $({ℰ}^{\prime })$ $\succ$pour le 2^ème vecteur $\parallel$ à l'axe $(\mathrm{\Delta })$ dans le plan $({ℰ}^{\prime })$, «${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y={\overrightarrow{u}}_y$» et
  les vecteurs de la base de $({ℰ}^{\prime })$ $\succ$pour les vecteurs unitaires ${\overrightarrow{u}}_z$ et ${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z$ $\perp$ au plan commun de $(ℰ)$ et de $({ℰ}^{\prime })$ et
  les vecteurs de la base de $({ℰ}^{\prime })$ $\succ$pour les vecteurs unitaires ${\overrightarrow{u}}_z$ et ${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z$ orientant dans le même sens les angles de ces derniers
  les vecteurs de la base de $({ℰ}^{\prime })$ $\succ$pour les vecteurs unitaires ${\overrightarrow{u}}_z$ et ${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z$ orientant dans le même sens les angles «${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z={\overrightarrow{u}}_z$» ;
  remarque : si toutefois on introduit l'espace à trois dimensions $({ℰ}_3)$ dans lequel $(ℰ)$ est plongé,
  remarque : si toutefois on introduit l'espace à trois dimensions $({ℰ}_3)$ avec pour base de cet espace $({ℰ}_3)$ «$({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$» et
  remarque : si toutefois on introduit un espace à trois dimensions $({{ℰ}^{″}}_3)$ dans lequel plonger $({ℰ}^{\prime })$
  remarque : si toutefois on introduit un espace à trois dimensions $({{ℰ}^{″}}_3)$ avec pour base de cet espace $({{ℰ}^{″}}_3)$ «$({{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z)$»,
  remarque : si toutefois on introduit le sens $+$ de mesure des angles de $(ℰ)$ étant déterminé par le vecteur de base ${\overrightarrow{u}}_z$ selon le tire-bouchon de Maxwell, l'espace $({ℰ}_3)$ est orienté à droite et
  remarque : si toutefois on introduit le sens $+$ de mesure des angles de $(ℰ)$ étant déterminé par le vecteur de base ${\overrightarrow{u}}_z$ selon le tire-bouchon de Maxwell, la base «$({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$» y est directe,
  remarque : si toutefois on introduit le sens $+$ de mesure des angles de $({ℰ}^{\prime })$ étant déterminé par le vecteur de base ${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z$ selon le tire-bouchon de Maxwell, l'espace $({{ℰ}^{″}}_3)$ est orienté à droite mais
  remarque : si toutefois on introduit le sens $+$ de mesure des angles de $({ℰ}^{\prime })$ étant déterminé par le vecteur de base ${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z$ selon le tire-bouchon de Maxwell, la base «$({{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z)$» y est indirecte ;
  remarque : attention l'espace $({{ℰ}^{″}}_3)$ dans lequel $({ℰ}^{\prime })$ est plongé n'est pas le symétrique axial relativement à l'axe $(\mathrm{\Delta })$ de l'espace $({ℰ}_3)$ dans lequel $(ℰ)$ est plongé mais
                   remarque : attention l'espace $({{ℰ}^{″}}_3)$ l'espace plan $({ℰ}^{\prime })$ est bien le symétrique axial relativement à l'axe $(\mathrm{\Delta })$ de l'espace plan $(ℰ)$.

Notion d'antisymétrie

     Préliminaire : La notion d'antisymétrie nécessite qu'on s'intéresse à des champs scalaire $f()$ ou vectoriel $\overrightarrow{A}()$ du point générique $M$ d'un espace $ℰ$,
Préliminaire :La notion d'antisymétrieelle n'a aucune signification sur les points $M$ eux-mêmes ;
     Préliminaire : l'antisymétrie envisagée dans ce chapitre est soit plane soit axiale.

Antisymétrie plane agissant sur un champ scalaire ou vectoriel d'un espace à trois dimensions

     Soient $(ℰ)$ un espace à trois dimensions, $f(M)$ ou $\overrightarrow{A}(M)$ une fonction scalaire ou vectorielle de l'espace définie $\mathrm{\forall }M\in (ℰ)$ et

     considérons le point $M^{\prime }$ symétrique du point $M$ par rapport à un plan $(\mathrm{\Pi })$ de $(ℰ)$ à savoir «$M\stackrel{(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}}{⟶}{M}^{\prime }$ avec $(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}$ symétrie plane par rapport au plan $(\mathrm{\Pi })$».

Définition d'une antisymétrie plane

     l'antisymétrie plane relativement au plan $(\Pi )$, notée $(𝒜{)}_{\Pi }$, transforme

• $f(M)$ en l'opposé de $f(M^{\prime })$ à savoir «$f(M)\stackrel{(𝒜{)}_{\mathrm{\Pi }}}{⟶}-f(M^{\prime })$»
          $f(M)$ en l'opposé de $f(M^{\prime })$ où «$M\stackrel{(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}}{⟶}{M}^{\prime }$ avec $(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}$ symétrie plane par rapport au plan $(\mathrm{\Pi })$» et
• $\overrightarrow{A}(M)$ en l'opposé du symétrique de $\overrightarrow{A}(M)$ à savoir «$\overrightarrow{A}(M)\stackrel{(𝒜{)}_{\mathrm{\Pi }}}{⟶}-\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M^{\prime })$»
          $\overrightarrow{A}(M)$ en l'opposé du symétrique de $\overrightarrow{A}(M)$ où «$M\stackrel{(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}}{⟶}{M}^{\prime }$ et $\overrightarrow{A}(M)\stackrel{(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}}{⟶}\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M^{\prime })$ avec $(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}$ symétrie plane
           $\overrightarrow{A}(M)$ en l'opposé du symétrique de $\overrightarrow{A}(M)$ où «$M\stackrel{(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}}{⟶}{M}^{\prime }$ et $\overrightarrow{A}(M)\stackrel{(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}}{⟶}\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M^{\prime })$ avec par rapport au plan $(\mathrm{\Pi })$».

Antisymétrie axiale agissant sur un champ scalaire ou vectoriel d'un espace à deux dimensions plan

     Soient $(ℰ)$ un espace à deux dimensions plan, $f(M)$ ou $\overrightarrow{A}(M)$ une fonction scalaire ou vectorielle de l'espace définie $\mathrm{\forall }M\in (ℰ)$ et

     considérons le point $M^{\prime }$ symétrique du point $M$ par rapport à un axe $(\mathrm{\Delta })$ de $(ℰ)$ à savoir «$M\stackrel{(𝒮{)}_{\mathrm{\Delta }}}{⟶}{M}^{\prime }$ avec $(𝒮{)}_{\mathrm{\Delta }}$ symétrie axiale par rapport à l'axe $(\mathrm{\Delta })$».

Définition d'une antisymétrie axiale

     l'antisymétrie axiale relativement à l'axe $(\Delta )$, notée $(𝒜{)}_{\mathrm{\Delta }}$, transforme

• $f(M)$ en l'opposé de $f(M^{\prime })$ à savoir «$f(M)\stackrel{(𝒜{)}_{\mathrm{\Delta }}}{⟶}-f(M^{\prime })$»
          $f(M)$ en l'opposé de $f(M^{\prime })$ où «$M\stackrel{(𝒮{)}_{\mathrm{\Delta }}}{⟶}{M}^{\prime }$ avec $(𝒮{)}_{\mathrm{\Delta }}$ symétrie axiale par rapport à l'axe $(\mathrm{\Delta })$» et
• $\overrightarrow{A}(M)$ en l'opposé du symétrique de $\overrightarrow{A}(M)$ à savoir «$\overrightarrow{A}(M)\stackrel{(𝒜{)}_{\mathrm{\Delta }}}{⟶}-\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M^{\prime })$»
          $\overrightarrow{A}(M)$ en l'opposé du symétrique de $\overrightarrow{A}(M)$ où «$M\stackrel{(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}}{⟶}{M}^{\prime }$ et $\overrightarrow{A}(M)\stackrel{(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}}{⟶}\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M^{\prime })$ avec $(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}$ symétrie axiale
           $\overrightarrow{A}(M)$ en l'opposé du symétrique de $\overrightarrow{A}(M)$ où «$M\stackrel{(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}}{⟶}{M}^{\prime }$ et $\overrightarrow{A}(M)\stackrel{(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}}{⟶}\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M^{\prime })$ avec par rapport à l'axe $(\mathrm{\Delta })$».

Influence d'une antisymétrie plane sur l'orientation d'un espace à trois dimensions

     Préliminaire : Étant donné qu'un point quelconque $M$ d'un espace affine à trois dimensions $(ℰ)$ n'admet pas d'antisymétrique par antisymétrie $(𝒜)$ relativement à un plan $(\mathrm{\Pi })\in (ℰ)$,
     Préliminaire : Étant donné la notion d'espace image de l'espace affine à trois dimensions $(ℰ)$ par antisymétrie $(𝒜)$ relativement au plan $(\mathrm{\Pi })\in (ℰ)$ n'a aucune signification,
     Préliminaire : Étant donné seule celle de l'espace image $({ℰ}^{\prime })$ de cet espace affine à trois dimensions $(ℰ)$ par symétrie plane $(𝒮)$ relativement au plan $(\mathrm{\Pi })\in (ℰ)$ peut être introduite ;
     Préliminaire : toutefois appliquer l'antisymétrie $(𝒜{)}_{\Pi }$ à l'espace vectoriel $\left(\overrightarrow{ℰ}\right)$ direction de l'espace affine à trois dimensions $(ℰ)$ ayant un sens,
     Préliminaire : toutefois nous introduisons l'espace vectoriel image $\left\{{𝒜}_{\mathrm{\Pi }}\left[\left(\overrightarrow{ℰ}\right)\right]\right\}$ par antisymétrie $(𝒜{)}_{\Pi }$ de l'espace vectoriel $\left(\overrightarrow{ℰ}\right)$ direction de $(ℰ)$ comme étant
     Préliminaire : toutefois nous introduisons l'espace vectoriel engendré par la base antisymétrique de celle de l'espace vectoriel $\left(\overrightarrow{ℰ}\right)$, direction de $(ℰ)$, par antisymétrie $(𝒜{)}_{\Pi }$,
     Préliminaire : toutefois nous introduisons la base de $\left\{{𝒜}_{\mathrm{\Pi }}\left[\left(\overrightarrow{ℰ}\right)\right]\right\}$ étant alors utilisée pour repérer les points de l'espace image $({ℰ}^{\prime })$ de l'espace affine à trois dimensions $(ℰ)$
       Préliminaire : toutefois nous introduisons la base de $\left\{{𝒜}_{\mathrm{\Pi }}\left[\left(\overrightarrow{ℰ}\right)\right]\right\}$ étant alors utilisée pour repérer les points de l'espace image par symétrie plane $(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}$ relativement au plan $(\mathrm{\Pi })\in (ℰ)$,
       Préliminaire : toutefois nous introduisons la base de $\left\{{𝒜}_{\mathrm{\Pi }}\left[\left(\overrightarrow{ℰ}\right)\right]\right\}$ étant alors utilisée pour repérer les points de l'espace image ce choix étant fait dès lors qu'une antisymétrie plane est introduite.

Orientation de l'espace à trois dimensions $\left(ℰ\right)$ et de son espace image $\left({ℰ}^{\prime }\right)$ par une symétrie plane $(𝒮)$ par rapport à un plan $(\mathrm{\Pi })$ et choix d'une base antisymétrique par rapport à $(\mathrm{\Pi })$ de celle de $\left(ℰ\right)$

     Développement : Soit une antisymétrie $(𝒜)$ relativement à un plan $(\mathrm{\Pi })$ d'un espace à trois dimensions $ℰ$ et
     Développement : supposant cet « espace $(ℰ)$ orienté à droite » avec « choix d'une base cartésienne orthonormée directe »
        Développement : supposant cet « espace $\left(ℰ\right)$ orienté à droite » avec « choix $($donc suivant la règle de la main droite$)$
         Développement : supposant cet « espace $\left(ℰ\right)$ orienté à droite » avec « choix avec $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y)$ $\parallel$ au plan $(\mathrm{\Pi })$ et
         Développement : supposant cet « espace $\left(ℰ\right)$ orienté à droite » avec « choix le 3^ème ${\overrightarrow{u}}_z$ lui étant $\perp$ $($voir ci-contre$)$ ;

     Développement : l'« espace image $\left({ℰ}^{\prime }\right)$, symétrique par rapport au plan $(\Pi )$, de l'espace $ℰ$ par la symétrie plane $(𝒮{)}_{\Pi }$,
     Développement : l'« espace image $\left({ℰ}^{\prime }\right)$, est orienté à gauche » ;

     Développement : « les vecteurs images, par antisymétrie plane $(𝒜{)}_{\mathrm{\Pi }}$, des vecteurs de base $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ de l'espace $\left(ℰ\right)$
     Développement : « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de $\left({ℰ}^{\prime }\right)$, celle-ci est « directe
     Développement : « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de $\left({ℰ}^{\prime }\right)$, celle-ci est « $($au sens de la physique$)$ » car
     Développement : «$({{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z)$ étant la base symétrique par symétrie plane $(𝒮{)}_{\Pi }$ de la base $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ de $\left(ℰ\right)$ tels que
     Développement : «$({{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z)$ $\left\{\begin{array}{c}{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x={\overrightarrow{u}}_x\\ {{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y={\overrightarrow{u}}_y\\ {{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z=-{\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right\}$» $($en tiretés ci-contre$)$,
     Développement : «$({{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z)$ est une base indirecte $($au sens de la physique$)$ $($suivant la règle de la main gauche$)$ et par suite
     Développement : la « base antisymétrique par antisymétrie plane $(𝒜{)}_{\Pi }$ de la base $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ de $\left(ℰ\right)$, $({{\overrightarrow{u}}^{″}}_x=-{\overrightarrow{u}}_x,{{\overrightarrow{u}}^{″}}_y=-{\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{″}}_z={\overrightarrow{u}}_z)$» devient directe $($au sens de la physique$)$
     Développement : la « base antisymétrique par antisymétrie plane $(𝒜{)}_{\mathrm{\Pi }}$ de la base $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ de $\left(ℰ\right)$, $($en traits pleins ci-dessus$)$,                                   $($suivant la règle de la main droite$)$.

     En conclusion, l'« espace image $\left({ℰ}^{\prime }\right)$ par symétrie plane $(𝒮{)}_{\Pi }$ de l'espace $\left(ℰ\right)$ orienté à droite est orienté à gauche »,
     En conclusion, au « choix d'une base directe dans $\left(ℰ\right)$» $($donc suivant la règle de la main droite$)$ nous faisons correspondre le « choix d'une base directe $($au sens de la physique$)$ dans $\left({ℰ}^{\prime }\right)$»
        En conclusion, au « choix d'une base directe dans $\left(ℰ\right)$» $($donc suivant la règle de la main droite $)$ nous faisons correspondre le « choix d'une $($donc suivant la règle de la main droite$)$,
     En conclusion, cette base utilisée pour repérer les points de $\left({ℰ}^{\prime }\right)$ étant l'antisymétrique par antisymétrie plane $(𝒜{)}_{\Pi }$ de la base utilisée pour repérer les points de $\left(ℰ\right)$.

Influence d'une antisymétrie axiale sur un espace à deux dimensions plan

     Préliminaire : Étant donné qu'un point quelconque $M$ d'un espace affine à deux dimensions $(ℰ)$ plan n'admet pas d'antisymétrique par antisymétrie $(𝒜)$ relativement à un axe $(\mathrm{\Delta })\in (ℰ)$,
     Préliminaire : Étant donné la notion d'espace image de l'espace affine à deux dimensions $(ℰ)$ plan par antisymétrie $(𝒜)$ relativement à l'axe $(\mathrm{\Delta })\in (ℰ)$ n'a aucune signification,
     Préliminaire : Étant donné seule celle de l'espace image $({ℰ}^{\prime })$ de cet espace affine à deux dimensions $(ℰ)$ plan par symétrie axiale $(𝒮)$ relativement à l'axe $(\mathrm{\Delta })\in (ℰ)$ peut être introduite ;
     Préliminaire : toutefois appliquer l'antisymétrie $(𝒜{)}_{\mathrm{\Delta }}$ à l'espace vectoriel $\left(\overrightarrow{ℰ}\right)$ direction de l'espace affine à deux dimensions $(ℰ)$ plan ayant un sens,
     Préliminaire : toutefois nous introduisons l'espace vectoriel image $\left\{{𝒜}_{\mathrm{\Delta }}\left[\left(\overrightarrow{ℰ}\right)\right]\right\}$ par antisymétrie $(𝒜{)}_{\mathrm{\Delta }}$ de l'espace vectoriel $\left(\overrightarrow{ℰ}\right)$ direction de $(ℰ)$ comme étant
     Préliminaire : toutefois nous introduisons l'espace vectoriel engendré par la base antisymétrique de celle de l'espace vectoriel $\left(\overrightarrow{ℰ}\right)$, direction de $(ℰ)$, par antisymétrie $(𝒜{)}_{\mathrm{\Delta }}$,
     Préliminaire : toutefois nous introduisons la base de $\left\{{𝒜}_{\mathrm{\Delta }}\left[\left(\overrightarrow{ℰ}\right)\right]\right\}$ étant alors utilisée pour repérer les points de l'espace image $({ℰ}^{\prime })$ de l'espace affine à deux dimensions $(ℰ)$ plan
       Préliminaire : toutefois nous introduisons la base de $\left\{{𝒜}_{\mathrm{\Delta }}\left[\left(\overrightarrow{ℰ}\right)\right]\right\}$ étant alors utilisée pour repérer les points de l'espace image par symétrie axiale $(𝒮{)}_{\mathrm{\Delta }}$ relativement à l'axe $(\mathrm{\Delta })\in (ℰ)$,
       Préliminaire : toutefois nous introduisons la base de $\left\{{𝒜}_{\mathrm{\Delta }}\left[\left(\overrightarrow{ℰ}\right)\right]\right\}$ étant alors utilisée pour repérer les points de l'espace image ce choix étant fait dès lors qu'une antisymétrie axiale est introduite.

     Développement : Considérant un espace $(ℰ)$ à deux dimensions plan, il convient de définir une base $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y)$ dans le plan de l'espace pour repérer les points de cet espace mais aussi
     Développement : Considérant un espace $(ℰ)$ à deux dimensions plan, il convient de préciser un 3^ème vecteur ${\overrightarrow{u}}_z$ $\perp$ au plan de cet espace pour définir le sens $+$ de mesure des angles de ce plan ;

     Développement : ainsi un espace plan $(ℰ)$ nécessite encore de définir une base à trois éléments $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ et
     Développement : ainsi un espace plan $(ℰ)$ nécessite encore de préciser le caractère direct ou indirect de cette base orientant l'espace à trois dimensions $({ℰ}_3)$ dans lequel $(ℰ)$ est plongé.

     Développement : Envisageant une symétrie axiale $(𝒮)$ de tous les points d'un espace à deux dimensions plan $(ℰ)$ relativement à un axe $(\mathrm{\Delta })$ de ce plan et
     Développement : supposant l'espace $({ℰ}_3)$ dans lequel $(ℰ)$ est plongé, orienté à droite avec choix d'une base cartésienne orthonormée directe $($donc suivant la règle de la main droite$)$
         Développement : supposant l'espace $({ℰ}_3)$ dans lequel $(ℰ)$ est plongé, orienté à droite avec choix dont le 1^er vecteur ${\overrightarrow{u}}_x$ est $\perp$ à l'axe $(\mathrm{\Delta })\subset (ℰ)$,
         Développement : supposant l'espace $({ℰ}_3)$ dans lequel $(ℰ)$ est plongé, orienté à droite avec choix dont le 2^ème ${\overrightarrow{u}}_y$ est $\parallel$ à $(\mathrm{\Delta })\subset (ℰ)$ et
         Développement : supposant l'espace $({ℰ}_3)$ dans lequel $(ℰ)$ est plongé, orienté à droite avec choix dont le 3^ème ${\overrightarrow{u}}_z$ $\perp$ au plan de l'espace $(ℰ)$ et servant à orienter les angles de ce plan,

     Développement : l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, symétrique de l'espace $(ℰ)$ par la symétrie axiale $(𝒮{)}_{\Delta }$, peut être orienté de deux façons différentes :

• celle telle que l'espace image $({{ℰ}^{\prime }}_3)$, symétrique par la symétrie axiale $(𝒮{)}_{\Delta }$ de l'espace $({ℰ}_3)$ dans laquelle $(ℰ)$ est plongé
  celle telle que l'espace image $({{ℰ}^{\prime }}_3)$, est orienté comme $({ℰ}_3)$ $\{$si $({ℰ}_3)$ est orienté à droite, $({{ℰ}^{\prime }}_3)$ est aussi orienté à droite$\}$,
  celle telle que l'espace image $({{ℰ}^{\prime }}_3)$, ce qui suppose que le symétrique axial du tire-bouchon de Maxwell par rapport à l'axe $(\mathrm{\Delta })$ est un tire-bouchon de Maxwell $($voir ci-contre$)$,
  celle telle que l'espace image $({{ℰ}^{\prime }}_3)$, la base choisie dans $({{ℰ}^{\prime }}_3)$ étant antisymétrique par antisymétrie axiale $(𝒜{)}_{\Delta }$
  celle telle que l'espace image $({{ℰ}^{\prime }}_3)$, la base choisie dans $({{ℰ}^{\prime }}_3)$ étant antisymétrique par antisymétrie axiale de celle de $({ℰ}_3)$,
  celle telle que l'espace image $({{ℰ}^{\prime }}_3)$, la base choisie dans $({{ℰ}^{\prime }}_3)$ échange les caractères direct et indirect de cette dernière d'où
  celle telle que l'espace image $({{ℰ}^{\prime }}_3)$, si la base de $({ℰ}_3)$ est directe suivant la règle de la main droite,
     celle telle que l'espace image $({{ℰ}^{\prime }}_3)$, si celle de $({{ℰ}^{\prime }}_3)$ est indirecte suivant la règle de la main gauche ;
     celle telle que l'espace image $({{ℰ}^{\prime }}_3)$, si ainsi les vecteurs de la base de $({{ℰ}^{\prime }}_3)$ «$({{\overrightarrow{u}}^{″}}_x,{{\overrightarrow{u}}^{″}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{″}}_z)$» sont :
     celle telle que l'espace image $({{ℰ}^{\prime }}_3)$, si $\succ$pour le 1^er vecteur $\perp$ à l'axe $(\mathrm{\Delta })$ dans le plan $({ℰ}^{\prime })$, «${{\overrightarrow{u}}^{″}}_x={\overrightarrow{u}}_x$»,
     celle telle que l'espace image $({{ℰ}^{\prime }}_3)$, si $\succ$pour le 2^ème vecteur $\parallel$ à l'axe $(\mathrm{\Delta })$ dans le plan $({ℰ}^{\prime })$, «${{\overrightarrow{u}}^{″}}_y=-{\overrightarrow{u}}_y$» et
     celle telle que l'espace image $({{ℰ}^{\prime }}_3)$, si $\succ$pour le 3^ème vecteur $\perp$ au plan $({ℰ}^{\prime })$, «${{\overrightarrow{u}}^{″}}_z={\overrightarrow{u}}_z$»
     celle telle que l'espace image $({{ℰ}^{\prime }}_3)$, si $\succ$toutefois les angles de $({ℰ}^{\prime })$ restent orientés par ${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z$ d'où
     celle telle que l'espace image $({{ℰ}^{\prime }}_3)$, si $\succ$$\{$les angles de$(ℰ)$et de$({ℰ}^{\prime })$sont algébrisés en sens contraire$\}$ ou

• celle n'introduisant pas un espace à trois dimensions dans lequel $(ℰ)$ serait plongé $($voir ci-contre$)$, mais telle que
  les angles du plan commun de l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, symétrique de l'espace $(ℰ)$ par la symétrie axiale $(𝒮{)}_{\Delta }$, et l'espace $(ℰ)$,
  les angles du plan commun sont orientés de la même façon pour $(ℰ)$ et $({ℰ}^{\prime })$ par exemple
  les angles du plan commun si les angles de $(ℰ)$ sont orientés dans le sens trigonométrique ceux de $({ℰ}^{\prime })$ le sont aussi ;
  notant $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y)$ la base cartésienne orthonormée de l'espace à deux dimensions $(ℰ)$ plan, avec ${\overrightarrow{u}}_x$ $\perp$ à $(\mathrm{\Delta })\subset (ℰ)$ et
  notant $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y)$ la base cartésienne orthonormée de l'espace à deux dimensions $(ℰ)$ plan, avec ${\overrightarrow{u}}_y$ $\parallel$ à $(\mathrm{\Delta })\subset (ℰ)$,
  notant $({{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y)$ le doublet de vecteurs unitaires symétrique de $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y)$ par symétrie axiale $(𝒮{)}_{\Delta }$, $($en tiretés ci-contre$)$,
  notant $({{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y)$ le doublet de vecteurs unitaires qui pourraient être choisis comme base de $({ℰ}^{\prime })$ mais nous préférons choisir
  notant $({{\overrightarrow{u}}^{″}}_x,{{\overrightarrow{u}}^{″}}_y)$ antisymétrique de $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y)$ par antisymétrie axiale $(𝒜{)}_{\Delta }$ comme base de $({ℰ}^{\prime })$ $($en traits pleins ci-contre$)$,
  notant $({{\overrightarrow{u}}^{″}}_x,{{\overrightarrow{u}}^{″}}_y)$ telle que «${{\overrightarrow{u}}^{″}}_x=-{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x={\overrightarrow{u}}_x$» et «${{\overrightarrow{u}}^{″}}_y=-{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y=-{\overrightarrow{u}}_y$» ;
  pour les vecteurs unitaires ${\overrightarrow{u}}_z$ et ${{\overrightarrow{u}}^{″}}_z$ $\perp$ au plan commun de $(ℰ)$ et de $({ℰ}^{\prime })$
  pour les vecteurs unitaires ${\overrightarrow{u}}_z$ et ${{\overrightarrow{u}}^{″}}_z$ orientant dans le même sens les angles de ces derniers «${{\overrightarrow{u}}^{″}}_z={\overrightarrow{u}}_z$» ;
  remarque : si toutefois on introduit l'espace à trois dimensions $({ℰ}_3)$ dans lequel $(ℰ)$ est plongé,
  remarque : si toutefois on introduit l'espace à trois dimensions $({ℰ}_3)$ avec pour base de cet espace $({ℰ}_3)$ «$({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$» et
  remarque : si toutefois on introduit un espace à trois dimensions $({{ℰ}^{″}}_3)$ dans lequel plonger $({ℰ}^{\prime })$
  remarque : si toutefois on introduit un espace à trois dimensions $({{ℰ}^{″}}_3)$ avec pour base de cet espace $({{ℰ}^{″}}_3)$ «$({{\overrightarrow{u}}^{″}}_x,{{\overrightarrow{u}}^{″}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{″}}_z)$»,
  remarque : si toutefois on introduit le sens $+$ de mesure des angles de $(ℰ)$ étant déterminé par le vecteur de base ${\overrightarrow{u}}_z$ selon le tire-bouchon de Maxwell, l'espace $({ℰ}_3)$ est orienté à droite et
  remarque : si toutefois on introduit le sens $+$ de mesure des angles de $(ℰ)$ étant déterminé par le vecteur de base ${\overrightarrow{u}}_z$ selon le tire-bouchon de Maxwell, la base «$({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$» y est directe,
  remarque : si toutefois on introduit le sens $+$ de mesure des angles de $({ℰ}^{\prime })$ étant déterminé par le vecteur de base ${{\overrightarrow{u}}^{″}}_z$ selon le tire-bouchon de Maxwell, l'espace $({{ℰ}^{″}}_3)$ est orienté à droite mais
  remarque : si toutefois on introduit le sens $+$ de mesure des angles de $({ℰ}^{\prime })$ étant déterminé par le vecteur de base ${{\overrightarrow{u}}^{″}}_z$ selon le tire-bouchon de Maxwell, la base «$({{\overrightarrow{u}}^{″}}_x,{{\overrightarrow{u}}^{″}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{″}}_z)$» y est indirecte ;
  remarque : l'espace vectoriel $({\overrightarrow{{ℰ}^{″}}}_3)$ dans lequel $(\overrightarrow{{ℰ}^{\prime }})$ est plongé est l'antisymétrique axial relativement à l'axe $(\mathrm{\Delta })$ de l'espace vectoriel $({\overrightarrow{ℰ}}_3)$ dans lequel $(\overrightarrow{ℰ})$ est plongé mais
                   remarque : attention l'espace $({{ℰ}^{″}}_3)$ l'espace vectoriel $(\overrightarrow{{ℰ}^{\prime }})$ est aussi l'antisymétrique axial relativement à l'axe $(\mathrm{\Delta })$ de l'espace vectoriel $(\overrightarrow{ℰ})$.

Invariance par symétrie plane (ou axiale) d'un champ scalaire de l'espace

Invariance par symétrie plane d'un champ scalaire de l'espace à trois dimensions

Orientation de l'espace à trois dimensions $\left(ℰ\right)$ et de son espace image $\left({ℰ}^{\prime }\right)$ par une symétrie $(𝒮)$ par rapport à un plan $(\mathrm{\Pi })$

     Envisageant une symétrie $(𝒮)$ de tous les points d'un espace à trois dimensions $\left(ℰ\right)$ relativement à un plan $(\mathrm{\Pi })$ et
     supposant cet « espace $\left(ℰ\right)$ orienté à droite » avec « choix d'une base cartésienne orthonormée directe »
        supposant cet « espace $\left(ℰ\right)$ orienté à droite » avec « choix $($donc suivant la règle de la main droite$)$
         supposant cet « espace $\left(ℰ\right)$ orienté à droite » avec « choix dont les deux 1^ers vecteurs $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y)$ sont $\parallel$ au plan $(\mathrm{\Pi })$ et
         supposant cet « espace $\left(ℰ\right)$ orienté à droite » avec « choix dont le 3^ème ${\overrightarrow{u}}_z$ lui est $\perp$ $($voir ci-contre$)$,

     l'« espace image $\left({ℰ}^{\prime }\right)$, symétrique par rapport au plan $(\Pi )$, de l'espace $ℰ$ par la symétrie $(𝒮{)}_{\Pi }$, est orienté à gauche »,
     « les vecteurs images, par la même symétrie plane $(𝒮{)}_{\Pi }$, des vecteurs de base $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ de l'espace $\left(ℰ\right)$
     « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de $\left({ℰ}^{\prime }\right)$, celle-ci est « indirecte $($au sens de la physique$)$ » car
     « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de $\left({ℰ}^{\prime }\right)$, celle-ci est « suivant la règle de la main gauche d'où
     « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de $\left({ℰ}^{\prime }\right)$ : $({{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x={\overrightarrow{u}}_x,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y={\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z=-{\overrightarrow{u}}_z)$ ;

     le « champ scalaire $f()$ de l'espace à trois dimensions $\left(ℰ\right)$ est dit invariant par la symétrie plane$(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}$» ssi «$f(M^{\prime })=f(M)$
     le « champ scalaire $f()$ de l'espace à trois dimensions $\left(ℰ\right)$ est dit invariant par la sym avec $M\stackrel{(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}}{⟶}{M}^{\prime },\mathrm{\forall }M\in \left(ℰ\right)$» ou,
     avec choix de la même origine $O$ sur le plan $(\mathrm{\Pi })$ de symétrie dans les repères cartésiens liés à $(ℰ)$ et à $({ℰ}^{\prime })$,
     avec choix de la même origine $O$ les « coordonnées cartésiennes de $M$ dans le repère lié à $(ℰ)$ étant $(x,y,z)$»,
     avec choix de la même origine $O$ les coordonnées cartés « celles de $M^{\prime }$ dans le même repère lié à $(ℰ)$ sont $(x,y,-z)$ » et
     avec choix de la même origine $O$ l'invariance par la symétrie plane $(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}$ du champ scalaire $f()$ se réécrit «$f(x,y,-z)=f(x,y,z),\mathrm{\forall }(x,y,z)\in {ℝ}^3$» soit
     avec choix de la même origine $O$ l'invariance par la symétrie plane $(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}$ du champ scalaire $f()$ se réécrit «$f()$ paire suivant la direction $\perp$ au plan $(\mathrm{\Pi })$».

Invariance par symétrie axiale d'un champ scalaire de l'espace à deux dimensions plan

Orientation de l'espace à deux dimensions plan $\left(ℰ\right)$ et de son espace image $\left({ℰ}^{\prime }\right)$ par symétrie $({𝒮}_{\Delta })$ par rapport à l'axe $(\mathrm{\Delta })$ de $(ℰ)$ avec une même orientation des angles de $\left(ℰ\right)$ et de $\left({ℰ}^{\prime }\right)$

     Envisageant une symétrie $(𝒮)$ des points d'un espace à deux dimensions plan $(ℰ)$ relativement à un axe $(\Delta )\in (ℰ)$ telle que
     cet « espace $\left(ℰ\right)$ est orienté dans le sens trigonométrique » $\{$angles de $\left(ℰ\right)$ orientés par le vecteur unitaire ${\overrightarrow{u}}_z\perp$ à $\left(ℰ\right)\}$
     cet « espace $\left(ℰ\right)$ avec « choix d'une base cartésienne orthonormée $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y)$ dans $\left(ℰ\right)$ $($voir ci-contre$)$
     cet « espace $\left(ℰ\right)$ avec « choix dont le 1^er vecteur ${\overrightarrow{u}}_x$ est $\perp$ à l'axe $(\mathrm{\Delta })\subset (ℰ)$,
     cet « espace $\left(ℰ\right)$ avec « choix dont le 2^ème vecteur ${\overrightarrow{u}}_y$ est $\parallel$ à l'axe $(\mathrm{\Delta })\subset (ℰ)$»,
     cet « espace $\left(ℰ\right)$ introduisant l'espace à trois dimensions $({ℰ}_3)$ orienté à droite dans lequel $(ℰ)$ est plongé avec
     cet « espace $\left(ℰ\right)$ introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe $($donc suivant la règle de la main droite$)$
      cet « espace $\left(ℰ\right)$ introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe dont les deux 1^ers vecteurs sont ${\overrightarrow{u}}_x$ et ${\overrightarrow{u}}_y$,
      cet « espace $\left(ℰ\right)$ introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe dont le 3^ème ${\overrightarrow{u}}_z$ $\perp$ au plan de l'espace $(ℰ)$ et
      cet « espace $\left(ℰ\right)$ introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe dont le 3^ème servant à orienter les angles de $(ℰ)$,
     l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, symétrique de l'espace $(ℰ)$ par symétrie axiale $(𝒮{)}_{\Delta }$,
     l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, étant orienté tel que les angles du plan commun de $({ℰ}^{\prime })$ et de $(ℰ)$, sont orientés de la même façon ainsi,
     l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, les angles de $(ℰ)$ étant orientés dans le sens trigonométrique, ceux de $({ℰ}^{\prime })$ le sont aussi $\{$angles
           l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, les angles de $(ℰ)$ étant orientés dans le sens trigonométrique, orientés par le vecteur unitaire ${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z={\overrightarrow{u}}_z$
           l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, les angles de $(ℰ)$ étant orientés dans le sens trigonométrique, orientés par le vecteur unitaire $\perp$ à $\left({ℰ}^{\prime }\right)\}$ ;
     l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, les vecteurs de la base de $({ℰ}^{\prime })$ «$({{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y)$» sont choisis symétriques par symétrie axiale $(𝒮{)}_{\Delta }$
     l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, les vecteurs de la base de $({ℰ}^{\prime })$ «$({{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y)$» sont choisis symétriques des vecteurs de la base de $(ℰ)$ «$({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y)$» d'où $\left\{\begin{array}{ccc}{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x& =& -{\overrightarrow{u}}_x\\ {{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y& =& {\overrightarrow{u}}_y\end{array}\right\}$ $($voir schéma ci-dessus$)$,
     l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, introduisant un espace à trois dimensions $({{ℰ}^{″}}_3)$ orienté à droite dans lequel plonger $({ℰ}^{\prime })$ avec
     l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée indirecte $($donc suivant la règle de la main gauche$)$ «$({{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x=-{\overrightarrow{u}}_x,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y={\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z={\overrightarrow{u}}_z)$»,

$\Downarrow$

     le « champ scalaire $f()$ de l'espace à deux dimensions plan $\left(ℰ\right)$ est dit invariant par la symétrie axiale$(𝒮{)}_{\mathrm{\Delta }}$» ssi «$f(M^{\prime })=f(M)$ avec $M\stackrel{(𝒮{)}_{\mathrm{\Delta }}}{⟶}{M}^{\prime },\mathrm{\forall }M\in \left(ℰ\right)$» ou,
     avec choix de la même origine $O$ sur l'axe $(\mathrm{\Delta })$ de symétrie dans les repères cartésiens liés à $(ℰ)$ et à $({ℰ}^{\prime })$,
     avec choix de la même origine $O$ les « coordonnées cartésiennes de $M$ dans le repère lié à $(ℰ)$ étant $(x,y)$»,
     avec choix de la même origine $O$ les coordonnées cartés « celles de $M^{\prime }$ dans le même repère lié à $(ℰ)$ sont $(-x,y)$ » et
     avec choix de la même origine $O$ l'invariance par la symétrie axiale $(𝒮{)}_{\mathrm{\Delta }}$ du champ scalaire $f()$ se réécrit «$f(-x,y)=f(x,y),\mathrm{\forall }(x,y)\in {ℝ}^2$» soit
     avec choix de la même origine $O$ l'invariance par la symétrie axiale $(𝒮{)}_{\mathrm{\Delta }}$ du champ scalaire $f()$ se réécrit «$f()$ paire suivant la direction $\perp$ à l'axe $(\mathrm{\Delta })$».

Invariance par symétrie plane (ou axiale) d'un champ vectoriel de l'espace

Invariance par symétrie plane d'un champ vectoriel de l'espace à trois dimensions

Orientation de l'espace à trois dimensions $\left(ℰ\right)$ et de son espace image $\left({ℰ}^{\prime }\right)$ par une symétrie $(𝒮)$ par rapport à un plan $(\mathrm{\Pi })$

     Envisageant une symétrie $(𝒮)$ de tous les points d'un espace à trois dimensions $\left(ℰ\right)$ relativement à un plan $(\mathrm{\Pi })$ et
     supposant cet « espace $\left(ℰ\right)$ orienté à droite » avec « choix d'une base cartésienne orthonormée directe »
        supposant cet « espace $\left(ℰ\right)$ orienté à droite » avec « choix $($donc suivant la règle de la main droite$)$
         supposant cet « espace $\left(ℰ\right)$ orienté à droite » avec « choix dont les deux 1^ers vecteurs $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y)$ sont $\parallel$ au plan $(\mathrm{\Pi })$ et
         supposant cet « espace $\left(ℰ\right)$ orienté à droite » avec « choix dont le 3^ème ${\overrightarrow{u}}_z$ lui est $\perp$ $($voir ci-contre$)$,

     l'« espace image $\left({ℰ}^{\prime }\right)$, symétrique par rapport au plan $(\Pi )$, de l'espace $ℰ$ par la symétrie $(𝒮{)}_{\Pi }$, est orienté à gauche »,
     « les vecteurs images, par la même symétrie plane $(𝒮{)}_{\Pi }$, des vecteurs de base $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ de l'espace $\left(ℰ\right)$
     « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de $\left({ℰ}^{\prime }\right)$, celle-ci est « indirecte $($au sens de la physique$)$ » car
     « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de $\left({ℰ}^{\prime }\right)$, celle-ci est « suivant la règle de la main gauche d'où
     « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de $\left({ℰ}^{\prime }\right)$ : $({{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x={\overrightarrow{u}}_x,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y={\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z=-{\overrightarrow{u}}_z)$ ;

     le « champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ de l'espace à trois dimensions $\left(ℰ\right)$ est invariant par la symétrie plane$(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}$» ssi «$\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M)=\overrightarrow{A}(M^{\prime })$
     le « champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ de l'espace à trois dimensions $\left(ℰ\right)$ est invariant par la symétrie plane avec $\left\{\begin{array}{c}M\stackrel{(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}}{⟶}{M}^{\prime }\\ \overrightarrow{A}()\stackrel{(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}}{⟶}\overrightarrow{A}{}^{\prime }()\end{array}\right\}$ »
     le « champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ de l'espace à trois dimensions $\left(ℰ\right)$ est invariant par la symétrie plane soit « le symétrique par symétrie $(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}$ du champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ en $M\in (ℰ)$» c'est-à-dire $\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M)$
     le « champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ de l'espace à trois dimensions $\left(ℰ\right)$ est invariant par la symétrie plane est « le champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ au point symétrique $M^{\prime }$ de $M\in (ℰ)$» c'est-à-dire $\overrightarrow{A}(M^{\prime })$.

Exemple d'invariance par symétrie plane $({𝒮}_{\mathrm{\Pi }})$ d'un champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ d'un espace à trois dimensions $\left(ℰ\right)$

     Soient «$\overrightarrow{A}()$ un champ vectoriel d'un espace à trois dimensions $\left(ℰ\right)$» et «$(𝒮{)}_{\Pi }$ la symétrie relativement au plan $(\pi )\subset (ℰ)$»,
     Soient «$\left(ℰ\right)$ étant orienté à droite » avec « choix d'une base orthonormée directe $({\overrightarrow{u}}_{1,\tau },{\overrightarrow{u}}_{2,\tau },{\overrightarrow{u}}_{3,n})$»
         Soient «$\left(ℰ\right)$ étant orienté à droite » avec $($suivant la règle de la main droite$)$,
     Soient «$\left({ℰ}^{\prime }\right)$ l'espace image par symétrie plane $(𝒮{)}_{\Pi }$ de l'espace $\left(ℰ\right)$, est orienté à gauche »
     Soient «$\left({ℰ}^{\prime }\right)$ l'espace image avec « choix d'une base orthonormée indirecte $($au sens de la physique$)$ »
     Soient «$\left({ℰ}^{\prime }\right)$ l'espace image avec $($suivant la règle de la main gauche$)$ symétrique par $(𝒮{)}_{\Pi }$ de la base de $\left(ℰ\right)$
     Soient «$\left({ℰ}^{\prime }\right)$ l'espace image avec « choix «$({{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_{1,\tau }={\overrightarrow{u}}_{1,\tau },{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_{2,\tau }$ $={\overrightarrow{u}}_{2,\tau },{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_{3,n}=-{\overrightarrow{u}}_{3,n})$» $($voir ci-contre$)$ ;

     le « champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ de $\left(ℰ\right)$ étant invariant par la symétrie plane$(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}$» ssi «$\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M)=\overrightarrow{A}(M^{\prime })$ avec
     le « champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ de $\left(ℰ\right)$ étant invariant par la symétrie plane$(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}$» ssi $\left\{\begin{array}{c}M\stackrel{(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}}{⟶}{M}^{\prime }\\ \overrightarrow{A}()\stackrel{(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}}{⟶}\overrightarrow{A}{}^{\prime }()\end{array}\right\}$ ou,
     avec choix de la même origine $O$ sur le plan $(\mathrm{\Pi })$ de symétrie dans les repères cartésiens liés à $(ℰ)$ et à $({ℰ}^{\prime })$,
     avec choix de la même origine $O$ les « coordonnées cartésiennes de $M$ dans le repère lié à $(ℰ)$ étant $(x_1,x_2,x_3)$»,
     avec choix de la même origine $O$ les coordonnées cartés « celles de $M^{\prime }$ dans le même repère lié à $(ℰ)$ sont $(x_1,x_2,-x_3)$»,
     avec choix de la même origine $O$ les « composantes cartésiennes de $\overrightarrow{A}()$ dans le repère lié à $(ℰ)$ étant $\{A_1(),A_2(),A_3()\}$»,
     avec choix de la même origine $O$ les composantes cartés « celles de $\overrightarrow{A}{}^{\prime }()$ dans le même repère lié à $(ℰ)$ sont $\{A_1(),A_2(),-A_3()\}$» d'où
     avec choix de la même origine $O$ l'invariance par la symétrie $(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}$ du champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ «$\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M)=\overrightarrow{A}(M^{\prime })$» dans le même repère lié à $(ℰ)$ se réécrit
     avec choix de la même origine $O$ l'invariance par la symétrie $(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}$ du champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ «$\left\{\begin{array}{ccc}{A}_1(x_1,x_2,x_3)& =& A_1(x_1,x_3,-x_3)\\ A_2(x_1,x_2,x_3)& =& A_2(x_1,x_2,-x_3)\\ -A_3(x_1,x_2,x_3)& =& A_3(x_1,x_2,-x_3)\end{array}\right\}\mathrm{\forall }(x_1,x_2,x_3)\in {ℝ}^3$» soit
     avec choix de la même origine $O$ l'invariance par la symétrie $(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}$ du champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ «$\left\{\begin{array}{c}{A}_1()\text{paire}\\ A_2()\text{paire}\\ A_3()\text{impaire}\end{array}\right\}$ de la coordonnée selon la direction $\perp$ au plan $(\mathrm{\Pi })$».

     Conséquences pratiques : $\bullet$les « composantes tangentielles du symétrique $\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M)$ du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$» $[M$ étant un point quelconque de $(ℰ)]$
            Conséquences pratiques : $\bullet$les « composantes tangentielles du symétrique $\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M)$ du champ vectoriel sont égales aux « composantes tangentielles du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M^{\prime })$»
            Conséquences pratiques : $\bullet$les « composantes tangentielles du symétrique $\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M)$ du champ vectoriel sont égales aux « $[M^{\prime }$ étant le symétrique du point $M]$ soit
            Conséquences pratiques : $\bullet$les « composantes tangentielles du symétrique $\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M)$ du champ vectoriel sont égales aux «$\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M)\cdot {\overrightarrow{u}}_{1,\tau }=\overrightarrow{A}(M^{\prime })\cdot {\overrightarrow{u}}_{1,\tau }\\ \overrightarrow{A}{}^{\prime }(M)\cdot {\overrightarrow{u}}_{2,\tau }=\overrightarrow{A}(M^{\prime })\cdot {\overrightarrow{u}}_{2,\tau }\end{array}\right\}$»,
     Conséquences pratiques : $\bullet$la « composante normale du symétrique $\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M)$ du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$» $[M$ étant un point quelconque de $(ℰ)]$
            Conséquences pratiques : $\bullet$la « composante normale du symétrique $\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M)$ du champ vectoriel est opposée à la « composante normale du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M^{\prime })$»
            Conséquences pratiques : $\bullet$la « composante normale du symétrique $\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M)$ du champ vectoriel est opposée à la « $[M^{\prime }$ étant le symétrique du point $M]$ soit
            Conséquences pratiques : $\bullet$la « composante normale du symétrique $\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M)$ du champ vectoriel est opposée à la «$\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M)\cdot {\overrightarrow{u}}_{3,n}=-\overrightarrow{A}(M^{\prime })\cdot {\overrightarrow{u}}_{3,n}$» ;
     Conséquences pratiques : $\bullet$si «$N\in (\mathrm{\Pi })$», il est alors son propre symétrique c'est-à-dire «$N^{\prime }=N$» et le champ vectoriel en $N$ devant être son propre symétrique c'est-à-dire «$\overrightarrow{A}{}^{\prime }(N)=\overrightarrow{A}(N)$»,
     Conséquences pratiques : $\bullet$si «$N\in (\mathrm{\Pi })$», nous déduisons de «$\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M)\cdot {\overrightarrow{u}}_{3,n}=-\overrightarrow{A}(M^{\prime })\cdot {\overrightarrow{u}}_{3,n}$» appliqué à «$N^{\prime }=N$» «$\overrightarrow{A}(N)\cdot {\overrightarrow{u}}_{3,n}=-\overrightarrow{A}(N)\cdot {\overrightarrow{u}}_{3,n}$» $\Rightarrow$ «$\overrightarrow{A}(N)\cdot {\overrightarrow{u}}_{3,n}=0$» ou
     Conséquences pratiques : $\bullet$si «$N\in (\mathrm{\Pi })$», nous déduisons «$\overrightarrow{A}(N)$nécessairement dans le plan$(\mathrm{\Pi })$».

Invariance par symétrie axiale d'un champ vectoriel d'un espace à deux dimensions plan

Orientation de l'espace à deux dimensions plan $\left(ℰ\right)$ et de son espace image $\left({ℰ}^{\prime }\right)$ par symétrie $({𝒮}_{\Delta })$ par rapport à l'axe $(\mathrm{\Delta })$ de $(ℰ)$ avec une même orientation des angles de $\left(ℰ\right)$ et de $\left({ℰ}^{\prime }\right)$

     Envisageant une symétrie $(𝒮)$ des points d'un espace à deux dimensions plan $(ℰ)$ relativement à un axe $(\Delta )\in (ℰ)$ telle que
     cet « espace $\left(ℰ\right)$ est orienté dans le sens trigonométrique » $\{$angles de $\left(ℰ\right)$ orientés par le vecteur unitaire ${\overrightarrow{u}}_z\perp$ à $\left(ℰ\right)\}$
     cet « espace $\left(ℰ\right)$ avec « choix d'une base cartésienne orthonormée $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y)$ dans $\left(ℰ\right)$ $($voir ci-contre$)$
     cet « espace $\left(ℰ\right)$ avec « choix dont le 1^er vecteur ${\overrightarrow{u}}_x$ est $\perp$ à l'axe $(\mathrm{\Delta })\subset (ℰ)$,
     cet « espace $\left(ℰ\right)$ avec « choix dont le 2^ème vecteur ${\overrightarrow{u}}_y$ est $\parallel$ à l'axe $(\mathrm{\Delta })\subset (ℰ)$»,
     cet « espace $\left(ℰ\right)$ introduisant l'espace à trois dimensions $({ℰ}_3)$ orienté à droite dans lequel $(ℰ)$ est plongé avec
     cet « espace $\left(ℰ\right)$ introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe $($donc suivant la règle de la main droite$)$
      cet « espace $\left(ℰ\right)$ introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe dont les deux 1^ers vecteurs sont ${\overrightarrow{u}}_x$ et ${\overrightarrow{u}}_y$,
      cet « espace $\left(ℰ\right)$ introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe dont le 3^ème ${\overrightarrow{u}}_z$ $\perp$ au plan de l'espace $(ℰ)$ et
      cet « espace $\left(ℰ\right)$ introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe dont le 3^ème servant à orienter les angles de $(ℰ)$,
     l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, symétrique de l'espace $(ℰ)$ par symétrie axiale $(𝒮{)}_{\Delta }$,
     l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, étant orienté tel que les angles du plan commun de $({ℰ}^{\prime })$ et de $(ℰ)$, sont orientés de la même façon ainsi,
     l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, les angles de $(ℰ)$ étant orientés dans le sens trigonométrique, ceux de $({ℰ}^{\prime })$ le sont aussi $\{$angles
           l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, les angles de $(ℰ)$ étant orientés dans le sens trigonométrique, orientés par le vecteur unitaire ${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z={\overrightarrow{u}}_z$
           l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, les angles de $(ℰ)$ étant orientés dans le sens trigonométrique, orientés par le vecteur unitaire $\perp$ à $\left({ℰ}^{\prime }\right)\}$ ;
     l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, les vecteurs de la base de $({ℰ}^{\prime })$ «$({{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y)$» sont choisis symétriques par symétrie axiale $(𝒮{)}_{\Delta }$
     l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, les vecteurs de la base de $({ℰ}^{\prime })$ «$({{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y)$» sont choisis symétriques des vecteurs de la base de $(ℰ)$ «$({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y)$» d'où $\left\{\begin{array}{ccc}{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x& =& -{\overrightarrow{u}}_x\\ {{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y& =& {\overrightarrow{u}}_y\end{array}\right\}$ $($voir schéma ci-dessus$)$,
     l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, introduisant un espace à trois dimensions $({{ℰ}^{″}}_3)$ orienté à droite dans lequel plonger $({ℰ}^{\prime })$ avec
     l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée indirecte $($donc suivant la règle de la main gauche$)$ «$({{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x=-{\overrightarrow{u}}_x,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y={\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z={\overrightarrow{u}}_z)$»,

$\Downarrow$

     le « champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ de l'espace à deux dimensions plan $\left(ℰ\right)$ est dit invariant par la symétrie axiale$(𝒮{)}_{\mathrm{\Delta }}$» ssi «$\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M)=\overrightarrow{A}(M^{\prime })$ avec $\left\{\begin{array}{c}M\stackrel{(𝒮{)}_{\mathrm{\Delta }}}{⟶}{M}^{\prime }\\ \overrightarrow{A}()\stackrel{(𝒮{)}_{\mathrm{\Delta }}}{⟶}\overrightarrow{A}{}^{\prime }()\end{array}\right\}$» soit,
     le « champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ de l'espace à deux dimensions plan $\left(ℰ\right)$ est dit invariant par la symétrie axiale$(𝒮{)}_{\mathrm{\Delta }}$» ssi « le symétrique par symétrie $(𝒮{)}_{\mathrm{\Delta }}$ du champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ en $M\in (ℰ)$
     le « champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ de l'espace à deux dimensions plan $\left(ℰ\right)$ est dit invariant par la symétrie axiale$(𝒮{)}_{\mathrm{\Delta }}$» ssi « le symétrique par symétrie $(𝒮{)}_{\mathrm{\Delta }}$ du champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ c'est-à-dire $\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M)$», est
     le « champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ de l'espace à deux dimensions plan $\left(ℰ\right)$ est dit invariant par la symétrie axiale$(𝒮{)}_{\mathrm{\Delta }}$» ssi « le champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ en $M^{\prime }$ symétrique de $M\in (ℰ)$ c'est-à-dire $\overrightarrow{A}(M^{\prime })$».

Exemple d'invariance par symétrie axiale $({𝒮}_{\Delta })$ d'un champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ d'un espace à deux dimensions plan $\left(ℰ\right)$

     Soient «$\overrightarrow{A}()$ un champ vectoriel d'un espace à deux dimensions plan $\left(ℰ\right)$» et
     Soient «$(𝒮{)}_{\Delta }$ la symétrie relativement à l'axe $(\mathrm{\Delta })\subset (ℰ)$»,
     les points $M$ de l'espace «$\left(ℰ\right)$ étant repérés à l'aide de la base «$({\overrightarrow{u}}_{\tau },{\overrightarrow{u}}_n)$» et
            ceux $M^{\prime }$ de l'espace «$\left({ℰ}^{\prime }\right)$ image par symétrie $(𝒮{)}_{\Delta }$ de l'espace $\left(ℰ\right)$»
            ceux $M^{\prime }$ de l'espace «$\left({ℰ}^{\prime }\right)$ repérés à l'aide de la base «$({{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_{\tau }={\overrightarrow{u}}_{\tau },{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_n=-{\overrightarrow{u}}_n)$ symétrique de la base de $\left(ℰ\right)$»
          ceux $M^{\prime }$ de l'espace «$\left({ℰ}^{\prime }\right)$ repérés à l'aide de la base «$({{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_{\tau }={\overrightarrow{u}}_{\tau },{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_n=-{\overrightarrow{u}}_n)$ $($voir ci-contre$)$,

     avec choix de la même origine $O$ sur l'axe $(\mathrm{\Delta })$ de symétrie dans les repères cartésiens liés à $(ℰ)$ et à $({ℰ}^{\prime })$,
     avec choix de la même origine $O$ les « coordonnées cartésiennes de $M$ dans le repère lié à $(ℰ)$ étant $(x_{\tau },x_n)$»,
     avec choix de la même origine $O$ les coordonnées cartés « celles de $M^{\prime }$ dans le même repère lié à $(ℰ)$ sont $(x_{\tau },-x_n)$»,
     avec choix de la même origine $O$ les « composantes cartésiennes de $\overrightarrow{A}()$ dans le repère lié à $(ℰ)$ étant $\{A_{\tau }(),A_n()\}$»,
     avec choix de la même origine $O$ les composantes cartés « celles de $\overrightarrow{A}{}^{\prime }()$ $[$symétrique de $\overrightarrow{A}()$ par symétrie $(𝒮{)}_{\mathrm{\Delta }}]$ dans le
      avec choix de la même origine $O$ les composantes cartés « celles de $\overrightarrow{A}{}^{\prime }()$ même repère lié à $(ℰ)$ sont $\{A_{\tau }(),-A_n()\}$» ;
     avec choix de la même origine $O$ l'invariance par symétrie axiale $(𝒮{)}_{\mathrm{\Delta }}$ du champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ «$\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M)=\overrightarrow{A}(M^{\prime })$» se réécrit
     avec choix de la même origine $O$ l'invariance «$\left\{\begin{array}{ccc}{A}_{\tau }(x_{\tau },x_n)& =& A_{\tau }(x_{\tau },-x_n)\\ -A_n(x_{\tau },x_n)& =& A_n(x_{\tau },-x_n)\end{array}\right\}\mathrm{\forall }(x_{\tau },x_n)\in {ℝ}^2$» soit
     avec choix de la même origine $O$ l'invariance «$\left\{\begin{array}{c}{A}_{\tau }()\text{paire}\\ A_n()\text{impaire}\end{array}\right\}$ de la coordonnée selon la direction $\perp$ à l'axe $(\mathrm{\Delta })$».

     Conséquences pratiques : $\succ$la « composante tangentielle du symétrique $\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M)$ du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$» $[M$ étant un point quelconque de $(ℰ)]$
           Conséquences pratiques : $\succ$la « composante tangentielle du symétrique $\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M)$ est égale à la « composante tangentielle du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M^{\prime })$» $[M^{\prime }$ étant le symétrique de $M]$ soit
           Conséquences pratiques : $\succ$la « composante tangentielle du symétrique $\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M)$ est «$\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M)\cdot {\overrightarrow{u}}_{\tau }=\overrightarrow{A}(M^{\prime })\cdot {\overrightarrow{u}}_{\tau }$»,
     Conséquences pratiques : $\succ$la « composante normale du symétrique $\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M)$ du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$» $[M$ étant un point quelconque de $(ℰ)]$
           Conséquences pratiques : $\succ$la « composante normale du symétrique $\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M)$ est opposée à la « composante normale du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M^{\prime })$» $[M^{\prime }$ étant le symétrique de $M]$ soit
           Conséquences pratiques : $\succ$la « composante normale du symétrique $\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M)$ est «$\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M)\cdot {\overrightarrow{u}}_n=-\overrightarrow{A}(M^{\prime })\cdot {\overrightarrow{u}}_n$».
     Conséquences pratiques : $\succ$Si «$N\in (\Delta )$», il est alors son propre symétrique à savoir «$N^{\prime }=N$» et le champ vectoriel en $N$ devant être son propre symétrique à savoir «$\overrightarrow{A}{}^{\prime }(N)=\overrightarrow{A}(N)$»,
     Conséquences pratiques : $\succ$Si «$N\in (\mathrm{\Delta })$», nous déduisons de «$\overrightarrow{A}{}^{\prime }(M)\cdot {\overrightarrow{u}}_n=-\overrightarrow{A}(M^{\prime })\cdot {\overrightarrow{u}}_n$» appliqué à «$N^{\prime }=N$» «$\overrightarrow{A}(N)\cdot {\overrightarrow{u}}_n=-\overrightarrow{A}(N)\cdot {\overrightarrow{u}}_n$» $\Rightarrow$ «$\overrightarrow{A}(N)\cdot {\overrightarrow{u}}_n=0$» c'est-à-dire
     Conséquences pratiques : $\succ$Si «$N\in (\mathrm{\Delta })$», nous déduisons «$\overrightarrow{A}(N)$nécessairement sur l'axe$(\mathrm{\Delta })$».

Invariance par antisymétrie plane (ou axiale) d'un champ scalaire de l'espace

Invariance par antisymétrie plane d'un champ scalaire de l'espace à trois dimensions

Orientation de l'espace à trois dimensions $\left(ℰ\right)$ et de son espace image $\left({ℰ}^{\prime }\right)$ par une symétrie $(𝒮)$ par rapport à un plan $(\mathrm{\Pi })$ et choix d'une base antisymétrique par rapport à $(\mathrm{\Pi })$ de celle de $\left(ℰ\right)$

     Envisageant une symétrie $(𝒮)$ de tous les points d'un espace à trois dimensions $\left(ℰ\right)$ relativement à un plan $(\mathrm{\Pi })$ et
     supposant cet « espace $\left(ℰ\right)$ orienté à droite » avec « choix d'une base orthonormée directe »
        supposant cet « espace $\left(ℰ\right)$ orienté à droite » avec « choix $($donc suivant la règle de la main droite$)$
         supposant cet « espace $\left(ℰ\right)$ orienté à droite » avec « choix dont les deux 1^ers vecteurs $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y)$ sont $\parallel$ au plan $(\mathrm{\Pi })$ et
         supposant cet « espace $\left(ℰ\right)$ orienté à droite » avec « choix dont le 3^ème ${\overrightarrow{u}}_z$ lui est $\perp$ $($voir ci-contre$)$,

     l'« espace image $\left({ℰ}^{\prime }\right)$, symétrique de l'espace $ℰ$ par la symétrie $(𝒮{)}_{\Pi }$, est orienté à gauche »,
     « les vecteurs images, par antisymétrie plane $(𝒜{)}_{\mathrm{\Pi }}$ relativement au plan $(\mathrm{\Pi })$, des vecteurs de base $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ de l'espace $\left(ℰ\right)$
     « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de $\left({ℰ}^{\prime }\right)$, à savoir «$({{\overrightarrow{u}}^{″}}_x=-{\overrightarrow{u}}_x,{{\overrightarrow{u}}^{″}}_y=-{\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{″}}_z={\overrightarrow{u}}_z)$»,
     « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de $\left({ℰ}^{\prime }\right)$, celle-ci est « directe $($au sens de la physique$)$ »
     « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de $\left({ℰ}^{\prime }\right)$, celle-ci est $($donc suivant la règle de la main droite$)$
     « $[$les vecteurs images, par symétrie plane $(𝒮{)}_{\Pi }$, des vecteurs de base $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ de l'espace $\left(ℰ\right)$ à savoir
     « les vecteurs images, $({{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x={\overrightarrow{u}}_x,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y={\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z=-{\overrightarrow{u}}_z)$ formant une base indirecte $($au sens de la physique$)$
     « les vecteurs images, $({{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x={\overrightarrow{u}}_x,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y={\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z=-{\overrightarrow{u}}_z)$ formant une base $($donc suivant la règle de la main gauche$)$ et
     « $[$l'antisymétrique par antisymétrie plane d'un base indirecte est un base directe $($au même sens de la physique ou non$)$$]$ ;

     le « champ scalaire $f()$ de l'espace à trois dimensions $\left(ℰ\right)$ est dit invariant par l'antisymétrie plane $(𝒜{)}_{\Pi }$» ssi «$-f(M^{\prime })=f(M)$ avec $M\stackrel{(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}}{⟶}{M}^{\prime },\mathrm{\forall }M\in \left(ℰ\right)$» ou,
     avec choix de la même origine $O$ sur le plan $(\mathrm{\Pi })$ de symétrie et d'antisymétrie dans les repères cartésiens liés à $(ℰ)$ et à $({ℰ}^{\prime })$,
     avec choix de la même origine $O$ les « coordonnées cartésiennes de $M$ dans le repère lié à $(ℰ)$ étant $(x,y,z)$»,
     avec choix de la même origine $O$ les coordonnées cartés « celles de $M^{\prime }$ dans le même repère lié à $(ℰ)$ sont $(x,y,-z)$ » et
     avec choix de la même origine $O$ l'invariance par l'antisymétrie plane $(𝒜{)}_{\Pi }$ du champ scalaire $f()$ se réécrit

«$-f(x,y,-z)=f(x,y,z),\mathrm{\forall }(x,y,z)\in {ℝ}^3$» soit
«$f()$ impaire suivant la direction $\perp$ au plan $(\mathrm{\Pi })$».                  

Invariance par antisymétrie axiale d'un champ scalaire de l'espace à deux dimensions plan

Orientation de l'espace à deux dimensions plan $\left(ℰ\right)$ et de son espace image $\left({ℰ}^{\prime }\right)$ par antisymétrie $({𝒜}_{\mathrm{\Delta }})$ par rapport à l'axe $(\mathrm{\Delta })$ de $(ℰ)$ avec une même orientation des angles de $\left(ℰ\right)$ et de $\left({ℰ}^{\prime }\right)$

     Envisageant une symétrie $(𝒮)$ des points d'un espace à deux dimensions plan $(ℰ)$ relativement à un axe $(\Delta )\in (ℰ)$ telle que
     cet « espace $\left(ℰ\right)$ est orienté dans le sens trigonométrique » $\{$angles de $\left(ℰ\right)$ orientés par le vecteur unitaire ${\overrightarrow{u}}_z\perp$ à $\left(ℰ\right)\}$
     cet « espace $\left(ℰ\right)$ avec « choix d'une base cartésienne orthonormée $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y)$ dans $\left(ℰ\right)$ $($voir ci-contre$)$
     cet « espace $\left(ℰ\right)$ avec « choix dont le 1^er vecteur ${\overrightarrow{u}}_x$ est $\perp$ à l'axe $(\mathrm{\Delta })\subset (ℰ)$,
     cet « espace $\left(ℰ\right)$ avec « choix dont le 2^ème vecteur ${\overrightarrow{u}}_y$ est $\parallel$ à l'axe $(\mathrm{\Delta })\subset (ℰ)$»,
     cet « espace $\left(ℰ\right)$ introduisant l'espace à trois dimensions $({ℰ}_3)$ orienté à droite dans lequel $(ℰ)$ est plongé avec
     cet « espace $\left(ℰ\right)$ introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe $($donc suivant la règle de la main droite$)$
      cet « espace $\left(ℰ\right)$ introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe dont les deux 1^ers vecteurs sont ${\overrightarrow{u}}_x$ et ${\overrightarrow{u}}_y$,
      cet « espace $\left(ℰ\right)$ introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe dont le 3^ème ${\overrightarrow{u}}_z$ $\perp$ au plan de l'espace $(ℰ)$ et
      cet « espace $\left(ℰ\right)$ introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe dont le 3^ème servant à orienter les angles de $(ℰ)$,
     l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, symétrique de l'espace $(ℰ)$ par symétrie axiale $(𝒮{)}_{\Delta }$,
     l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, étant orienté tel que les angles du plan commun de $({ℰ}^{\prime })$ et de $(ℰ)$, sont orientés de la même façon ainsi,
     l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, les angles de $(ℰ)$ étant orientés dans le sens trigonométrique, ceux de $({ℰ}^{\prime })$ le sont aussi $\{$orientés par
           l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, les angles de $(ℰ)$ étant orientés dans le sens trigonométrique, ceux de $({ℰ}^{\prime })$ le vecteur unitaire ${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z={\overrightarrow{u}}_z$
           l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, les angles de $(ℰ)$ étant orientés dans le sens trigonométrique, ceux de $({ℰ}^{\prime })$ le vecteur $\perp$ à $\left({ℰ}^{\prime }\right)\}$ ;
     l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, « les vecteurs images, par antisymétrie axiale $(𝒜{)}_{\mathrm{\Delta }}$ relativement à l'axe $(\Delta )$, des vecteurs de base $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y)$ de l'espace $\left(ℰ\right)$
     l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, « les vecteurs images, sont choisis pour définir la base de $\left({ℰ}^{\prime }\right)$, à savoir «$({{\overrightarrow{u}}^{″}}_x=-{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x={\overrightarrow{u}}_x,{{\overrightarrow{u}}^{″}}_y=-{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y=-{\overrightarrow{u}}_y)$» $($voir schéma ci-dessus$)$,
     l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, « les vecteurs images, sont choisis pour définir la base de $\left({ℰ}^{\prime }\right)$, à savoir $[({{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x=-{\overrightarrow{u}}_x,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y={\overrightarrow{u}}_y)$ étant symétrique par symétrie axiale $(𝒮{)}_{\Delta }$ de $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y)]$ ;
     l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, « les vecteurs images, introduisant un espace à trois dimensions $({{ℰ}^{″}}_3)$ orienté à droite dans lequel plonger $({ℰ}^{\prime })$ en choisissant pour base
     l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, « les vecteurs images, introduisant une base cartésienne orthonormée indirecte $($donc suivant la règle de la main gauche$)$ «$({{\overrightarrow{u}}^{″}}_x={\overrightarrow{u}}_x,{{\overrightarrow{u}}^{″}}_y=-{\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{″}}_z={{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z={\overrightarrow{u}}_z)$»,

$\Downarrow$

     le « champ scalaire $f()$ de l'espace à deux dimensions plan $\left(ℰ\right)$ est dit invariant par l'antisymétrie axiale$(𝒜{)}_{\mathrm{\Delta }}$» ssi «$-f(M^{\prime })=f(M)$ avec $M\stackrel{(𝒮{)}_{\mathrm{\Delta }}}{⟶}{M}^{\prime },\mathrm{\forall }M\in \left(ℰ\right)$» ou,
     avec choix de la même origine $O$ sur l'axe $(\mathrm{\Delta })$ de symétrie et d'antisymétrie dans les repères cartésiens liés à $(ℰ)$ et à $({ℰ}^{\prime })$,
     avec choix de la même origine $O$ les « coordonnées cartésiennes de $M$ dans le repère lié à $(ℰ)$ étant $(x,y)$»,
     avec choix de la même origine $O$ les coordonnées cartés « celles de $M^{\prime }$ dans le même repère lié à $(ℰ)$ sont $(-x,y)$ » et
     avec choix de la même origine $O$ l'invariance par l'antisymétrie axiale $(𝒜{)}_{\mathrm{\Delta }}$ du champ scalaire $f()$ se réécrit «$-f(-x,y)=f(x,y),\mathrm{\forall }(x,y)\in {ℝ}^2$» soit
     avec choix de la même origine $O$ l'invariance par l'antisymétrie axiale $(𝒜{)}_{\mathrm{\Delta }}$ du champ scalaire $f()$ se réécrit «$f()$ impaire suivant la direction $\perp$ à l'axe $(\mathrm{\Delta })$».

Invariance par antisymétrie plane (ou axiale) d'un champ vectoriel de l'espace

Invariance par antisymétrie plane d'un champ vectoriel de l'espace à trois dimensions

Orientation de l'espace à trois dimensions $\left(ℰ\right)$ et de son espace image $\left({ℰ}^{\prime }\right)$ par une symétrie $(𝒮)$ par rapport à un plan $(\mathrm{\Pi })$ et choix d'une base antisymétrique par rapport à $(\mathrm{\Pi })$ de celle de $\left(ℰ\right)$

     Envisageant une symétrie $(𝒮)$ de tous les points d'un espace à trois dimensions $\left(ℰ\right)$ relativement à un plan $(\mathrm{\Pi })$ et
     supposant cet « espace $\left(ℰ\right)$ orienté à droite » avec « choix d'une base orthonormée directe »
        supposant cet « espace $\left(ℰ\right)$ orienté à droite » avec « choix $($donc suivant la règle de la main droite$)$
         supposant cet « espace $\left(ℰ\right)$ orienté à droite » avec « choix dont les deux 1^ers vecteurs $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y)$ sont $\parallel$ au plan $(\mathrm{\Pi })$ et
         supposant cet « espace $\left(ℰ\right)$ orienté à droite » avec « choix dont le 3^ème ${\overrightarrow{u}}_z$ lui est $\perp$ $($voir ci-contre$)$,

     l'« espace image $\left({ℰ}^{\prime }\right)$, symétrique de l'espace $ℰ$ par la symétrie $(𝒮{)}_{\Pi }$, est orienté à gauche »,
     « les vecteurs images, par antisymétrie plane $(𝒜{)}_{\mathrm{\Pi }}$ relativement au plan $(\mathrm{\Pi })$, des vecteurs de base $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ de l'espace $\left(ℰ\right)$
     « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de $\left({ℰ}^{\prime }\right)$, à savoir «$({{\overrightarrow{u}}^{″}}_x=-{\overrightarrow{u}}_x,{{\overrightarrow{u}}^{″}}_y=-{\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{″}}_z={\overrightarrow{u}}_z)$»,
     « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de $\left({ℰ}^{\prime }\right)$, celle-ci est « directe $($au sens de la physique$)$ »
     « les vecteurs images, étant choisis pour définir la base de $\left({ℰ}^{\prime }\right)$, celle-ci est $($donc suivant la règle de la main droite$)$
     « $[$les vecteurs images, par symétrie plane $(𝒮{)}_{\Pi }$, des vecteurs de base $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ de l'espace $\left(ℰ\right)$ à savoir
     « les vecteurs images, $({{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x={\overrightarrow{u}}_x,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y={\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z=-{\overrightarrow{u}}_z)$ formant une base indirecte $($au sens de la physique$)$
     « les vecteurs images, $({{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x={\overrightarrow{u}}_x,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y={\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z=-{\overrightarrow{u}}_z)$ formant une base $($donc suivant la règle de la main gauche$)$ et
     « $[$l'antisymétrique par antisymétrie plane d'un base indirecte est un base directe $($au même sens de la physique ou non$)$$]$ ;

     le « champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ de $\left(ℰ\right)$ étant invariant par l'antisymétrie plane$(𝒜{)}_{\Pi }$» ssi «$\overrightarrow{A}{}^{″}(M)=\overrightarrow{A}(M^{\prime })$ avec
     le « champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ de $\left(ℰ\right)$ étant invariant par l'antisymétrie plane$(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}$» ssi $\left\{\begin{array}{c}M\stackrel{(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}}{⟶}{M}^{\prime }\\ \overrightarrow{A}()\stackrel{(𝒜{)}_{\mathrm{\Pi }}}{⟶}\overrightarrow{A}{}^{″}()\end{array}\right\}$ ou,
     avec choix de la même origine $O$ sur le plan $(\mathrm{\Pi })$ de symétrie et d'antisymétrie dans les repères cartésiens liés à $(ℰ)$ et à $({ℰ}^{\prime })$,
     avec choix de la même origine $O$ les « coordonnées cartésiennes de $M$ dans le repère lié à $(ℰ)$ étant $(x,y,z)$»,
     avec choix de la même origine $O$ les coordonnées cartés « celles de $M^{\prime }$ dans le même repère lié à $(ℰ)$ sont $(x,y,-z)$»,
     avec choix de la même origine $O$ les « composantes cartésiennes de $\overrightarrow{A}()$ dans le repère lié à $(ℰ)$ étant $\{A_x(),A_y(),A_z()\}$»,
     avec choix de la même origine $O$ les composantes cartés « celles de $\overrightarrow{A}{}^{″}()$ dans le même repère lié à $(ℰ)$ sont $\{-A_x(),-A_y(),A_z()\}$» d'où
     avec choix de la même origine $O$ l'invariance par l'antisymétrie $(𝒜{)}_{\Pi }$ du champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ «$\overrightarrow{A}{}^{″}(M)=\overrightarrow{A}(M^{\prime })$» dans le même repère lié à $(ℰ)$ se réécrit
     avec choix de la même origine $O$ l'invariance par l'antisymétrie $(𝒜{)}_{\mathrm{\Pi }}$ du champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ «$\left\{\begin{array}{ccc}-A_x(x,y,z)& =& A_x(x,y,-z)\\ -A_y(x,y,z)& =& A_y(x,y,-z)\\ A_z(x,y,z)& =& A_z(x,y,-z)\end{array}\right\}\mathrm{\forall }(x,y,z)\in {ℝ}^3$» soit
     avec choix de la même origine $O$ l'invariance par l'antisymétrie $(𝒜{)}_{\mathrm{\Pi }}$ du champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ «$\left\{\begin{array}{c}{A}_x()\text{impaire}\\ A_y()\text{impaire}\\ A_z()\text{paire}\end{array}\right\}$ de la coordonnée selon la direction $\perp$ au plan $(\mathrm{\Pi })$».

Exemple d'invariance par antisymétrie plane $({𝒜}_{\Pi })$ d'un champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ d'un espace à trois dimensions $\left(ℰ\right)$

     Soient «$\overrightarrow{A}()$ un champ vectoriel d'un espace à trois dimensions $\left(ℰ\right)$»,
     Soient «$(𝒮{)}_{\Pi }$ la symétrie relativement au plan $(\pi )\subset (ℰ)$» et
     Soient «$(𝒜{)}_{\Pi }$ l'antisymétrie relativement au même plan $(\pi )\subset (ℰ)$»,
     l'espace «$\left(ℰ\right)$ étant orienté à droite » avec « choix d'une base directe $({\overrightarrow{u}}_{1,\tau },{\overrightarrow{u}}_{2,\tau },{\overrightarrow{u}}_{3,n})$»
        l'espace «$\left(ℰ\right)$ étant orienté à droite » avec « $($suivant la règle de la main droite$)$,
     l'espace «$\left({ℰ}^{\prime }\right)$ image par symétrie plane $(𝒮{)}_{\Pi }$ de l'espace $\left(ℰ\right)$, est orienté à gauche »
     l'espace «$\left({ℰ}^{\prime }\right)$ image avec pour « base $({{\overrightarrow{u}}^{″}}_{1,\tau }=-{\overrightarrow{u}}_{1,\tau },{{\overrightarrow{u}}^{″}}_{2,\tau }=-{\overrightarrow{u}}_{2,\tau },{{\overrightarrow{u}}^{″}}_{3,n}={\overrightarrow{u}}_{3,n})$
      l'espace «$\left({ℰ}^{\prime }\right)$ image avec pour « base antisymétrique de la base de $\left(ℰ\right)$ donc directe $($au sens de la physique$)$ »
     l'espace «$\left({ℰ}^{\prime }\right)$ image avec pour « base $($suivant la règle de la main droite$)$ $($voir ci-contre$)$.

     le « champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ de $\left(ℰ\right)$ étant invariant par l'antisymétrie plane$(𝒜{)}_{\Pi }$» ssi «$\overrightarrow{A}{}^{″}(M)=\overrightarrow{A}(M^{\prime })$ avec
     le « champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ de $\left(ℰ\right)$ étant invariant par l'antisymétrie plane$(𝒜{)}_{\mathrm{\Pi }}$» ssi $\left\{\begin{array}{c}M\stackrel{(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}}{⟶}{M}^{\prime }\\ \overrightarrow{A}()\stackrel{(𝒜{)}_{\mathrm{\Pi }}}{⟶}\overrightarrow{A}{}^{″}()\end{array}\right\}$ ou
     avec choix de la même origine $O$ sur le plan $(\mathrm{\Pi })$ dans les repères cartésiens liés à $(ℰ)$ et à $({ℰ}^{\prime })$,
     avec choix de la même origine $O$ les « coordonnées cartésiennes de $M$ dans le repère lié à $(ℰ)$ étant $(x_1,x_2,x_3)$»,
     avec choix de la même origine $O$ les coordonnées cartés « celles de $M^{\prime }$ dans le même repère lié à $(ℰ)$ sont $(x_1,x_2,-x_3)$»,
     avec choix de la même origine $O$ les « composantes cartésiennes de $\overrightarrow{A}()$ dans le repère lié à $(ℰ)$ étant $\{A_1(),A_2(),A_3()\}$»,
     avec choix de la même origine $O$ les composantes cartés « celles de $\overrightarrow{A}{}^{″}()$ dans le même repère lié à $(ℰ)$ sont $\{-A_1(),-A_2(),A_3()\}$» d'où
     avec choix de la même origine $O$ l'invariance par antisymétrie plane $(𝒜{)}_{\Pi }$ du champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ «$\overrightarrow{A}{}^{″}(M)=\overrightarrow{A}(M^{\prime })$» se réécrit
     avec choix de la même origine $O$ l'invariance par antisymétrie plane $(𝒜{)}_{\mathrm{\Pi }}$ du champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ «$\left\{\begin{array}{ccc}-A_1(x_1,x_2,x_3)& =& A_1(x_1,x_2,-x_3)\\ -A_2(x_1,x_2,x_3)& =& A_2(x_1,x_2,-x_3)\\ A_3(x_1,x_2,x_3)& =& A_3(x_1,x_2,-x_3)\end{array}\right\}\mathrm{\forall }(x_1,x_2,x_3)\in {ℝ}^3$»
avec choix de la même origine $O$ l'invariance par antisymétrie plane $(𝒜{)}_{\mathrm{\Pi }}$ du champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$soit «$\left\{\begin{array}{c}{A}_1()\text{impaire}\\ A_2()\text{impaire}\\ A_3()\text{paire}\end{array}\right\}$ de la coordonnée selon la direction $\perp$ à $(\mathrm{\Pi })$».

     Conséquences pratiques : $\bullet$les « composantes tangentielles de l'antisymétrique $\overrightarrow{A}{}^{″}(M)$ du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$» $[M$ étant un point quelconque de $(ℰ)]$
            Conséquences pratiques : $\bullet$les « composantes tangentielles de l'antisymétrique $\overrightarrow{A}{}^{″}(M)$ du champ vectoriel sont opposées aux « composantes tangentielles du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M^{\prime })$»
            Conséquences pratiques : $\bullet$les « composantes tangentielles de l'antisymétrique $\overrightarrow{A}{}^{″}(M)$ du champ vectoriel sont opposées aux « $[M^{\prime }$ étant le symétrique du point $M]$ soit
            Conséquences pratiques : $\bullet$les « composantes tangentielles de l'antisymétrique $\overrightarrow{A}{}^{″}(M)$ du champ vectoriel sont opposées aux «$\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{A}{}^{″}(M)\cdot {\overrightarrow{u}}_{1,\tau }=-\overrightarrow{A}(M^{\prime })\cdot {\overrightarrow{u}}_{1,\tau }\\ \overrightarrow{A}{}^{″}(M)\cdot {\overrightarrow{u}}_{2,\tau }=-\overrightarrow{A}(M^{\prime })\cdot {\overrightarrow{u}}_{2,\tau }\end{array}\right\}$»,
     Conséquences pratiques : $\bullet$la « composante normale de l'antisymétrique $\overrightarrow{A}{}^{″}(M)$ du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$» $[M$ étant un point quelconque de $(ℰ)]$
            Conséquences pratiques : $\bullet$la « composante normale de l'antisymétrique $\overrightarrow{A}{}^{″}(M)$ du champ vectoriel est égale à la « composante normale du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M^{\prime })$»
            Conséquences pratiques : $\bullet$la « composante normale de l'antisymétrique $\overrightarrow{A}{}^{″}(M)$ du champ vectoriel est égale à la « $[M^{\prime }$ étant le symétrique du point $M]$ soit
            Conséquences pratiques : $\bullet$la « composante normale de l'antisymétrique $\overrightarrow{A}{}^{″}(M)$ du champ vectoriel est égale à la «$\overrightarrow{A}{}^{″}(M)\cdot {\overrightarrow{u}}_{3,n}=\overrightarrow{A}(M^{\prime })\cdot {\overrightarrow{u}}_{3,n}$» ;
     Conséquences pratiques : $\bullet$si «$N\in (\mathrm{\Pi })$», il est alors son propre symétrique c'est-à-dire «$N^{\prime }=N$» et le champ vectoriel en $N$ devant être son propre antisymétrique c'est-à-dire «$\overrightarrow{A}{}^{″}(N)=\overrightarrow{A}(N)$»,
     Conséquences pratiques : $\bullet$si «$N\in (\mathrm{\Pi })$», nous déduisons de «$\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{A}{}^{″}(M)\cdot {\overrightarrow{u}}_{1,\tau }=-\overrightarrow{A}(M^{\prime })\cdot {\overrightarrow{u}}_{1,\tau }\\ \overrightarrow{A}{}^{″}(M)\cdot {\overrightarrow{u}}_{2,\tau }=-\overrightarrow{A}(M^{\prime })\cdot {\overrightarrow{u}}_{2,\tau }\end{array}\right\}$» appliqué à «$N^{\prime }=N$» «$\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{A}{}^{″}(N)\cdot {\overrightarrow{u}}_{1,\tau }=-\overrightarrow{A}(N)\cdot {\overrightarrow{u}}_{1,\tau }\\ \overrightarrow{A}{}^{″}(N)\cdot {\overrightarrow{u}}_{2,\tau }=-\overrightarrow{A}(N)\cdot {\overrightarrow{u}}_{2,\tau }\end{array}\right\}$» $\Rightarrow$
     Conséquences pratiques : $\bullet$si «$N\in (\mathrm{\Pi })$», nous déduisons «$\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{A}(N)\cdot {\overrightarrow{u}}_{1,\tau }=0\\ \overrightarrow{A}(N)\cdot {\overrightarrow{u}}_{2,\tau }=0\end{array}\right\}$» ou «$\overrightarrow{A}(N)$nécessairement$\perp$au plan$(\mathrm{\Pi })$».

Invariance par antisymétrie axiale d'un champ vectoriel d'un espace à deux dimensions plan

Orientation de l'espace à deux dimensions plan $\left(ℰ\right)$ et de son espace image $\left({ℰ}^{\prime }\right)$ par antisymétrie $({𝒜}_{\mathrm{\Delta }})$ par rapport à l'axe $(\mathrm{\Delta })$ de $(ℰ)$ avec une même orientation des angles de $\left(ℰ\right)$ et de $\left({ℰ}^{\prime }\right)$

     Envisageant une symétrie $(𝒮)$ des points d'un espace à deux dimensions plan $(ℰ)$ relativement à un axe $(\Delta )\in (ℰ)$ telle que
     cet « espace $\left(ℰ\right)$ est orienté dans le sens trigonométrique » $\{$angles de $\left(ℰ\right)$ orientés par le vecteur unitaire ${\overrightarrow{u}}_z\perp$ à $\left(ℰ\right)\}$
     cet « espace $\left(ℰ\right)$ avec « choix d'une base cartésienne orthonormée $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y)$ dans $\left(ℰ\right)$ $($voir ci-contre$)$
     cet « espace $\left(ℰ\right)$ avec « choix dont le 1^er vecteur ${\overrightarrow{u}}_x$ est $\perp$ à l'axe $(\mathrm{\Delta })\subset (ℰ)$,
     cet « espace $\left(ℰ\right)$ avec « choix dont le 2^ème vecteur ${\overrightarrow{u}}_y$ est $\parallel$ à l'axe $(\mathrm{\Delta })\subset (ℰ)$»,
     cet « espace $\left(ℰ\right)$ introduisant l'espace à trois dimensions $({ℰ}_3)$ orienté à droite dans lequel $(ℰ)$ est plongé avec
     cet « espace $\left(ℰ\right)$ introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe $($donc suivant la règle de la main droite$)$
      cet « espace $\left(ℰ\right)$ introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe dont les deux 1^ers vecteurs sont ${\overrightarrow{u}}_x$ et ${\overrightarrow{u}}_y$,
      cet « espace $\left(ℰ\right)$ introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe dont le 3^ème ${\overrightarrow{u}}_z$ $\perp$ au plan de l'espace $(ℰ)$ et
      cet « espace $\left(ℰ\right)$ introduisant choix d'une base cartésienne orthonormée directe dont le 3^ème servant à orienter les angles de $(ℰ)$,
     l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, symétrique de l'espace $(ℰ)$ par symétrie axiale $(𝒮{)}_{\Delta }$,
     l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, étant orienté tel que les angles du plan commun de $({ℰ}^{\prime })$ et de $(ℰ)$, sont orientés de la même façon ainsi,
     l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, les angles de $(ℰ)$ étant orientés dans le sens trigonométrique, ceux de $({ℰ}^{\prime })$ le sont aussi $\{$orientés par
           l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, les angles de $(ℰ)$ étant orientés dans le sens trigonométrique, ceux de $({ℰ}^{\prime })$ le vecteur unitaire ${{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z={\overrightarrow{u}}_z$
           l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, les angles de $(ℰ)$ étant orientés dans le sens trigonométrique, ceux de $({ℰ}^{\prime })$ le vecteur $\perp$ à $\left({ℰ}^{\prime }\right)\}$ ;
     l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, « les vecteurs images, par antisymétrie axiale $(𝒜{)}_{\mathrm{\Delta }}$ relativement à l'axe $(\Delta )$, des vecteurs de base $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y)$ de l'espace $\left(ℰ\right)$
     l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, « les vecteurs images, sont choisis pour définir la base de $\left({ℰ}^{\prime }\right)$, à savoir «$({{\overrightarrow{u}}^{″}}_x=-{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x={\overrightarrow{u}}_x,{{\overrightarrow{u}}^{″}}_y=-{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y=-{\overrightarrow{u}}_y)$» $($voir schéma ci-dessus$)$,
     l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, « les vecteurs images, sont choisis pour définir la base de $\left({ℰ}^{\prime }\right)$, à savoir $[({{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x=-{\overrightarrow{u}}_x,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y={\overrightarrow{u}}_y)$ étant symétrique par symétrie axiale $(𝒮{)}_{\Delta }$ de $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y)]$ ;
     l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, « les vecteurs images, introduisant un espace à trois dimensions $({{ℰ}^{″}}_3)$ orienté à droite dans lequel plonger $({ℰ}^{\prime })$ en choisissant pour base
     l'espace image $({ℰ}^{\prime })$, « les vecteurs images, introduisant une base cartésienne orthonormée indirecte $($donc suivant la règle de la main gauche$)$ «$({{\overrightarrow{u}}^{″}}_x={\overrightarrow{u}}_x,{{\overrightarrow{u}}^{″}}_y=-{\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{″}}_z={{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z={\overrightarrow{u}}_z)$»,

$\Downarrow$

     le « champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ de l'espace à deux dimensions plan $\left(ℰ\right)$ est dit invariant par l'antisymétrie axiale$(𝒜{)}_{\mathrm{\Delta }}$» ssi «$\overrightarrow{A}{}^{″}(M)=\overrightarrow{A}(M^{\prime })$ avec $\left\{\begin{array}{c}M\stackrel{(𝒮{)}_{\mathrm{\Delta }}}{⟶}{M}^{\prime }\\ \overrightarrow{A}(M)\stackrel{(𝒜{)}_{\mathrm{\Delta }}}{⟶}\overrightarrow{A}{}^{″}(M)\end{array}\right\}$» soit
     le « champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ de l'espace à deux dimensions plan $\left(ℰ\right)$ est dit invariant par l'antisymétrie axiale$(𝒜{)}_{\mathrm{\Delta }}$» ssi « l'antisymétrique par $(𝒜{)}_{\mathrm{\Delta }}$ du champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ en $M\in (ℰ)$
     le « champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ de l'espace à deux dimensions plan $\left(ℰ\right)$ est dit invariant par l'antisymétrie axiale$(𝒜{)}_{\mathrm{\Delta }}$» ssi « l'antisymétrique par $(𝒜{)}_{\mathrm{\Delta }}$ du champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ c'est-à-dire $\overrightarrow{A}{}^{″}(M)$», est
     le « champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ de l'espace à deux dimensions plan $\left(ℰ\right)$ est dit invariant par l'antisymétrie axiale$(𝒜{)}_{\mathrm{\Delta }}$» ssi « le champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ en $M^{\prime }$ symétrique de $M\in (ℰ)$ c'est-à-dire $\overrightarrow{A}(M^{\prime })$».

Exemple d'invariance par antisymétrie axiale $({𝒜}_{\mathrm{\Delta }})$ d'un champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ d'un espace à deux dimensions plan $\left(ℰ\right)$

     Soient «$\overrightarrow{A}()$ un champ vectoriel d'un espace à deux dimensions plan $\left(ℰ\right)$»,
     Soient «$(𝒮{)}_{\Delta }$ la symétrie relativement à l'axe $(\mathrm{\Delta })\subset (ℰ)$» et
     Soient «$(𝒜{)}_{\Delta }$ l'antisymétrie relativement au même axe $(\mathrm{\Delta })\subset (ℰ)$»,
     les points $M$ de l'espace «$\left(ℰ\right)$ étant repérés à l'aide de la base «$({\overrightarrow{u}}_{\tau },{\overrightarrow{u}}_n)$» et
            ceux $M^{\prime }$ de l'espace «$\left({ℰ}^{\prime }\right)$ image par symétrie $(𝒮{)}_{\Delta }$ de l'espace $\left(ℰ\right)$»
            ceux $M^{\prime }$ de l'espace «$\left({ℰ}^{\prime }\right)$ repérés à l'aide de la base «$({{\overrightarrow{u}}^{″}}_{\tau }=-{\overrightarrow{u}}_{\tau },{{\overrightarrow{u}}^{″}}_n={\overrightarrow{u}}_n)$ antisymétrique de la base de $\left(ℰ\right)$»
            ceux $M^{\prime }$ de l'espace «$\left({ℰ}^{\prime }\right)$ repérés à l'aide de la base $($voir ci-contre$)$,

     le « champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ de $\left(ℰ\right)$ est dit invariant par l'antisymétrie axiale$(𝒜{)}_{\mathrm{\Delta }}$» ssi «$\overrightarrow{A}{}^{″}(M)=\overrightarrow{A}(M^{\prime })$ avec
     le « champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ de $\left(ℰ\right)$ étant invariant par l'antisymétrie plane$(𝒜{)}_{\mathrm{\Pi }}$» ssi $\left\{\begin{array}{c}M\stackrel{(𝒮{)}_{\mathrm{\Delta }}}{⟶}{M}^{\prime }\\ \overrightarrow{A}(M)\stackrel{(𝒜{)}_{\mathrm{\Delta }}}{⟶}\overrightarrow{A}{}^{″}(M)\end{array}\right\}$» ou
     avec choix de la même origine $O$ sur l'axe $(\mathrm{\Delta })$ de symétrie et d'antisymétrie dans les repères cartésiens liés à $(ℰ)$ et à $({ℰ}^{\prime })$,
     avec choix de la même origine $O$ les « coordonnées cartésiennes de $M$ dans le repère lié à $(ℰ)$ étant $(x_{\tau },x_n)$»,
     avec choix de la même origine $O$ les coordonnées cartés « celles de $M^{\prime }$ dans le même repère lié à $(ℰ)$ sont $(x_{\tau },-x_n)$»,
     avec choix de la même origine $O$ les « composantes cartésiennes de $\overrightarrow{A}()$ dans le repère lié à $(ℰ)$ étant $\{A_{\tau }(),A_n()\}$»,
     avec choix de la même origine $O$ les composantes cartés « celles de $\overrightarrow{A}{}^{″}()$ dans le même repère lié à $(ℰ)$
          avec choix de la même origine $O$ les composantes cartés « celles de $\overrightarrow{A}{}^{″}()$ dans le même repère sont $\{-A_{\tau }(),A_n()\}$» ;
     avec choix de la même origine $O$ l'invariance par l'antisymétrie axiale $(𝒜{)}_{\mathrm{\Delta }}$ du champ vectoriel $\overrightarrow{A}()$ «$\overrightarrow{A}{}^{″}(M)=\overrightarrow{A}(M^{\prime })$»
     avec choix de la même origine $O$ l'invariance se réécrit «$\left\{\begin{array}{ccc}-A_{\tau }(x_{\tau },x_n)& =& A_{\tau }(x_{\tau },-x_n)\\ A_n(x_{\tau },x_n)& =& A_n(x_{\tau },-x_n)\end{array}\right\}\mathrm{\forall }(x_{\tau },x_n)\in {ℝ}^2$» soit
     avec choix de la même origine $O$ l'invariance se réécrit «$\left\{\begin{array}{c}{A}_{\tau }()\text{impaire}\\ A_n()\text{paire}\end{array}\right\}$ de la coordonnée selon la direction $\perp$ à l'axe $(\mathrm{\Delta })$».

     Conséquences pratiques : $\succ$la « composante tangentielle de l'antisymétrique $\overrightarrow{A}{}^{″}(M)$ du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$» $[M$ étant un point quelconque de $(ℰ)]$
           Conséquences pratiques : $\succ$la « composante tangentielle de l'antisymétrique $\overrightarrow{A}{}^{″}(M)$ est opposée à la « composante tangentielle du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M^{\prime })$» $[M^{\prime }$ étant le symétrique de $M]$
           Conséquences pratiques : $\succ$la « composante tangentielle de l'antisymétrique $\overrightarrow{A}{}^{″}(M)$ soit «$\overrightarrow{A}{}^{″}(M)\cdot {\overrightarrow{u}}_{\tau }=-\overrightarrow{A}(M^{\prime })\cdot {\overrightarrow{u}}_{\tau }$»,
     Conséquences pratiques : $\succ$la « composante normale de l'antisymétrique $\overrightarrow{A}{}^{″}(M)$ du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M)$» $[M$ étant un point quelconque de $(ℰ)]$
           Conséquences pratiques : $\succ$la « composante normale de l'antisymétrique $\overrightarrow{A}{}^{″}(M)$ est égale à la « composante normale du champ vectoriel $\overrightarrow{A}(M^{\prime })$» $[M^{\prime }$ étant le symétrique de $M]$
           Conséquences pratiques : $\succ$la « composante normale de l'antisymétrique $\overrightarrow{A}{}^{″}(M)$ soit «$\overrightarrow{A}{}^{″}(M)\cdot {\overrightarrow{u}}_n=\overrightarrow{A}(M^{\prime })\cdot {\overrightarrow{u}}_n$».
     Conséquences pratiques : $\succ$Si «$N\in (\Delta )$», il est alors son propre symétrique c'est-à-dire «$N^{\prime }=N$» et le champ vectoriel $N$ devant être son propre antisymétrique c'est-à-dire «$\overrightarrow{A}{}^{″}(N)=\overrightarrow{A}(N)$»,
     Conséquences pratiques : $\succ$Si «$N\in (\mathrm{\Delta })$», nous déduisons de «$\overrightarrow{A}{}^{″}(M)\cdot {\overrightarrow{u}}_{\tau }=-\overrightarrow{A}(M^{\prime })\cdot {\overrightarrow{u}}_{\tau }$» appliqué à «$N^{\prime }=N$» «$\overrightarrow{A}(N)\cdot {\overrightarrow{u}}_{\tau }=-\overrightarrow{A}(N)\cdot {\overrightarrow{u}}_{\tau }$» $\Rightarrow$ «$\overrightarrow{A}(N)\cdot {\overrightarrow{u}}_{\tau }=0$» c'est-à-dire
     Conséquences pratiques : $\succ$Si «$N\in (\mathrm{\Delta })$», nous déduisons «$\overrightarrow{A}(N)$nécessairement$\perp$à l'axe$(\mathrm{\Delta })$».

Principe de Curie, généralités, application aux cas d'une invariance des sources par symétrie géométrique plane ou par antisymétrie plane

Principe de Curie, généralités

     Le principe de Curie $($encore appelé principe de symétrie de Curie$)$ traite du lien existant entre « la source scalaire ou vectoriel d'un champ vectoriel » et « ce dernier »
                       Le principe de Curie $($encore appelé principe de symétrie de Curie$)$ traite du lien du point de vue de l'invariance de la source relativement à une symétrie donnée ;
     pour concrétiser le principe nous prendrons deux exemples d'électromagnétisme

• « le champ électrostatique ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M)$» champ vectoriel polaire dont la source est le champ scalaire « répartition volumique de charges ${𝒟}_q$ d'expansion tridimensionnelle $𝒟$ et de densité volumique de charges $\rho (P),P\in 𝒟$», les invariances par symétrie de la source étant celles par symétrie géométrique plane ou par antisymétrie plane,
• « le champ magnétostatique ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M)$» champ vectoriel axial dont la source est le champ vectoriel polaire « répartition volumique de courants ${𝒟}_{\overrightarrow{j}}$ d'expansion tridimensionnelle $𝒟$ et de densité volumique de courant $\overrightarrow{j}(P),P\in 𝒟$», les invariances par symétrie de la source étant celles par symétrie géométrique plane ou par antisymétrie plane.

Début d’un théorème

Énoncé du principe de Curie

     Les éléments de symétrie de la source d'un champ vectoriel doivent se retrouver dans ceux du champ vectoriel considéré.

Fin du théorème

     Remarques : Par contre les éléments de symétrie d'un champ vectoriel peuvent ne pas être présents dans ceux de la source du champ vectoriel considéré d'où

     Remarques : « l'ensemble des éléments de symétrie de la source d'un champ vectoriel » est $\subseteq$ dans « l'ensemble des éléments de symétrie du champ vectoriel » mais

     Remarques : « l'ensemble des éléments de symétrie d'un champ vectoriel » peut être $⊈$ dans « l'ensemble des éléments de symétrie de la source de ce champ vectoriel ».

Principe de Curie reliant champ vectoriel polaire et source scalaire de ce champ lors d'une invariance par symétrie géométrique plane de la source

     Considérons une source scalaire d'un champ vectoriel polaire de l'espace sur l'exemple suivant :
     soit la « distribution volumique de charges statiques ${𝒟}_q$ d'expansion tridimensionnelle $𝒟$ et de densité volumique de charges $\rho (P),P\in 𝒟$»,
     soit la « source du vecteur polaire champ électrostatique ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M),M\in (ℰ)$» $[(ℰ)$ étant l'espace physique tridimensionnel « orienté à droite » dans lequel les points sont repérés en cartésien
     soit la « source du vecteur polaire champ électrostatique ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M),M\in (ℰ)$» $[$avec choix d'une origine $O$ et d'une base orthonormée directe $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$
     soit la « source du vecteur polaire champ électrostatique ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M),M\in (ℰ)$» $[$avec choix d'une origine $O$ et d'une $($donc suivant la règle de la main droite$\left)\right]$ telle que
     soit « la source scalaire de densité volumique $\rho (P),P\in 𝒟$ est invariante par symétrie plane relativement au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$» c'est-à-dire que «$\rho (x_P,y_P,-z_P)=\rho (x_P,y_P,z_P)$»,

     l'application du principe de Curie $\Rightarrow$ « le champ vectoriel polaire électrostatique ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M),M\in (ℰ)$ est invariant par symétrie plane relativement au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$» c'est-à-dire
           l'application du principe de Curie $\Rightarrow$ «$M^{\prime }(x_M,y_M,-z_M)$ étant le symétrique de $M(x_M,y_M,z_M)$ relativement au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$»,
           l'application du principe de Curie $\Rightarrow$ « le champ ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M^{\prime })$ est le symétrique du champ ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M)$ par rapport au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$» ;

     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ relativement au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$ étant « orienté à gauche »
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ avec pour choix de base, la symétrique relativement au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$ de la base directe $\left(ℬ\right)=({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ de $\left(ℰ\right)$
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ avec pour choix de base, la symétrique relativement au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$ de la $[$laquelle suit la règle de la main droite$]$,
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ avec pour choix de base, la base $\left({ℬ}^{\prime }\right)=({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z=-{\overrightarrow{u}}_z)$ de $({ℰ}^{\prime })$ est alors indirecte $($au sens de la physique$)$ car
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ avec pour choix de base, la base $\left({ℬ}^{\prime }\right)=({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z=-{\overrightarrow{u}}_z)$ de $({ℰ}^{\prime })$ est alors suivant la règle de la main gauche,

           l'application du principe de Curie $\Rightarrow$ de «${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M^{\prime })$ symétrique de ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M)$ par rapport au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$» nous en déduisons :
           l'application du principe de Curie $\Rightarrow$ de «${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M^{\prime })$ symétrique de ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M)$ $\bullet$en décomposant «${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M^{\prime })$ dans la base $\left({ℬ}^{\prime }\right)$» et «${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M)$ dans la base $\left(ℬ\right)$» selon
           l'application du principe de Curie $\Rightarrow$ de «${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M^{\prime })$ symétrique de ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M)$ $\bullet$«$\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M)={\bar{E}}_{{𝒟}_q,x}(M){\overrightarrow{u}}_x+{\bar{E}}_{{𝒟}_q,y}(M){\overrightarrow{u}}_y+{\bar{E}}_{{𝒟}_q,z}(M){\overrightarrow{u}}_z\\ {\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M^{\prime })={\bar{E}}_{{𝒟}_q,x}(M^{\prime }){\overrightarrow{u}}_x+{\bar{E}}_{{𝒟}_q,y}(M^{\prime }){\overrightarrow{u}}_y+{\bar{E}}_{{𝒟}_q,z}(M^{\prime }){{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z\end{array}\right\}$», l'égalité des composantes
           l'application du principe de Curie $\Rightarrow$ de «${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M^{\prime })$ symétrique de ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M)$ $\bullet$correspondantes soit «$\left\{\begin{array}{c}{\bar{E}}_{{𝒟}_q,x}(M^{\prime })={\bar{E}}_{{𝒟}_q,x}(M)\\ {\bar{E}}_{{𝒟}_q,y}(M^{\prime })={\bar{E}}_{{𝒟}_q,y}(M)\\ {\bar{E}}_{{𝒟}_q,z}(M^{\prime })={\bar{E}}_{{𝒟}_q,z}(M)\end{array}\right\}$» ou
           l'application du principe de Curie $\Rightarrow$ de «${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M^{\prime })$ symétrique de ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M)$ $\bullet$en décomposant «${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M^{\prime })$ et ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M)$ dans la même base $\left(ℬ\right)$ de $(ℰ)$» selon
           l'application du principe de Curie $\Rightarrow$ de «${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M^{\prime })$ symétrique de ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M)$ $\bullet$«$\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M)={\bar{E}}_{{𝒟}_q,x}(M){\overrightarrow{u}}_x+{\bar{E}}_{{𝒟}_q,y}(M){\overrightarrow{u}}_y+{\bar{E}}_{{𝒟}_q,z}(M){\overrightarrow{u}}_z\\ {\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M^{\prime })={\bar{E}}_{{𝒟}_q,x}(M^{\prime }){\overrightarrow{u}}_x+{\bar{E}}_{{𝒟}_q,y}(M^{\prime }){\overrightarrow{u}}_y+{\bar{E}}_{{𝒟}_q,z}(M^{\prime }){\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right\}$»,
           l'application du principe de Curie $\Rightarrow$ de «${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M^{\prime })$ symétrique de ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M)$ $\bullet$l'égalité des composantes sur les vecteurs de la base $\left(ℬ\right)$ $\parallel$ au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$ et
           l'application du principe de Curie $\Rightarrow$ de «${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M^{\prime })$ symétrique de ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M)$ $\bullet$le caractère opposé de celle sur le vecteur de la base $\left(ℬ\right)$ $\perp$ au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$ soit
           l'application du principe de Curie $\Rightarrow$ de «${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M^{\prime })$ symétrique de ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M)$ $\bullet$«$\left\{\begin{array}{c}{\bar{E}}_{{𝒟}_q,x}(M^{\prime })={\bar{E}}_{{𝒟}_q,x}(M)\\ {\bar{E}}_{{𝒟}_q,y}(M^{\prime })={\bar{E}}_{{𝒟}_q,y}(M)\\ {\bar{E}}_{{𝒟}_q,z}(M^{\prime })=-{\bar{E}}_{{𝒟}_q,z}(M)\end{array}\right\}$» ou «$\left\{\begin{array}{c}{\bar{E}}_{{𝒟}_q,x}(x_M,y_M,-z_M)={\bar{E}}_{{𝒟}_q,x}(x_M,y_M,z_M)\\ {\bar{E}}_{{𝒟}_q,y}(x_M,y_M,-z_M)={\bar{E}}_{{𝒟}_q,y}(x_M,y_M,z_M)\\ {\bar{E}}_{{𝒟}_q,z}(x_M,y_M,-z_M)=-{\bar{E}}_{{𝒟}_q,z}(x_M,y_M,z_M)\end{array}\right\}$».

     Conclusion : L'« invariance par symétrie plane de la source scalaire » d'un champ vectoriel polaire entraîne l'« invariance par symétrie plane du champ vectoriel polaire », ceci ayant pour conséquence

     Conclusion : $\succ$le champ vectoriel polaire en $M^{\prime }$ $($symétrique plan de $M)$ est le symétrique plan du champ vectoriel polaire en $M$ $\Rightarrow$ mêmes composantes parallèlement au plan et
     Conclusion : $\succ$le champ vectoriel polaire en $M^{\prime }$ $($symétrique plan de $M)$ est le symétrique plan du champ vectoriel polaire en $M$ $\Rightarrow$ des composantes opposées perpendiculairement au plan ;

     Conclusion : $\succ$le champ vectoriel polaire en un point$N$du plan de symétrie étant son propre symétrique plan, il est contenu dans le plan de symétrie.

Principe de Curie reliant champ vectoriel polaire et source scalaire de ce champ lors d'une invariance par antisymétrie plane de la source

     Considérons une source scalaire d'un champ vectoriel polaire de l'espace sur l'exemple suivant :
     soit la « distribution volumique de charges statiques ${𝒟}_q$ d'expansion tridimensionnelle $𝒟$ et de densité volumique de charges $\rho (P),P\in 𝒟$»,
     soit la « source du vecteur polaire champ électrostatique ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M),M\in (ℰ)$» $[(ℰ)$ étant l'espace physique tridimensionnel « orienté à droite » dans lequel les points sont repérés en cartésien
     soit la « source du vecteur polaire champ électrostatique ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M),M\in (ℰ)$» $[$avec choix d'une origine $O$ et d'une base orthonormée directe $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$
     soit la « source du vecteur polaire champ électrostatique ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M),M\in (ℰ)$» $[$avec choix d'une origine $O$ et d'une $($donc suivant la règle de la main droite$\left)\right]$ telle que
     soit « la source scalaire de densité volumique $\rho (P),P\in 𝒟$ est invariante par antisymétrie plane relativement au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$» c'est-à-dire que «$\rho (x_P,y_P,-z_P)=-\rho (x_P,y_P,z_P)$»,

     l'application du principe de Curie $\Rightarrow$ « le champ vectoriel polaire électrostatique ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M),M\in (ℰ)$ est invariant par antisymétrie plane relativement au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$» c'est-à-dire
           l'application du principe de Curie $\Rightarrow$ «$M^{\prime }(x_M,y_M,-z_M)$ étant le symétrique de $M(x_M,y_M,z_M)$ relativement au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$»,
           l'application du principe de Curie $\Rightarrow$ « le champ ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M^{\prime })$ est l'antisymétrique du champ ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M)$ par rapport au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$» ;

     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ relativement au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$ étant « orienté à gauche »
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ avec pour choix de base, l'antisymétrique relativement au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$ de la base directe $\left(ℬ\right)=({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ de $\left(ℰ\right)$
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ avec pour choix de base, l'antisymétrique relativement au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$ de la $[$laquelle suit la règle de la main droite$]$,
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ avec pour choix de base, la base $\left({ℬ}^{″}\right)=({{\overrightarrow{u}}^{″}}_x=-{\overrightarrow{u}}_x,{{\overrightarrow{u}}^{″}}_y=-{\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{″}}_z={\overrightarrow{u}}_z)$ de $({ℰ}^{\prime })$ est alors directe $($au sens de la physique$)$ car
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ avec pour choix de base, la base $\left({ℬ}^{″}\right)=({{\overrightarrow{u}}^{″}}_x=-{\overrightarrow{u}}_x,{{\overrightarrow{u}}^{″}}_y=-{\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{″}}_z={\overrightarrow{u}}_z)$ de $({ℰ}^{\prime })$ est alors suivant la règle de la main droite,

           l'application du principe de Curie $\Rightarrow$ de «${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M^{\prime })$ antisymétrique de ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M)$ par rapport au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$» nous en déduisons :
           l'application du principe de Curie $\Rightarrow$ de «${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M^{\prime })$ antisymétrique de ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M)$ $\bullet$en décomposant «${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M^{\prime })$ dans la base $\left({ℬ}^{″}\right)$» et «${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M)$ dans la base $\left(ℬ\right)$» selon
           l'application du principe de Curie $\Rightarrow$ de «${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M^{\prime })$ antisymétrique de ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M)$ $\bullet$«$\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M)={\bar{E}}_{{𝒟}_q,x}(M){\overrightarrow{u}}_x+{\bar{E}}_{{𝒟}_q,y}(M){\overrightarrow{u}}_y+{\bar{E}}_{{𝒟}_q,z}(M){\overrightarrow{u}}_z\\ {\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M^{\prime })={\bar{E}}_{{𝒟}_q,x}(M^{\prime }){{\overrightarrow{u}}^{″}}_x+{\bar{E}}_{{𝒟}_q,y}(M^{\prime }){{\overrightarrow{u}}^{″}}_y+{\bar{E}}_{{𝒟}_q,z}(M^{\prime }){{\overrightarrow{u}}^{″}}_z\end{array}\right\}$», l'égalité des composantes
           l'application du principe de Curie $\Rightarrow$ de «${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M^{\prime })$ antisymétrique de ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M)$ $\bullet$correspondantes soit «$\left\{\begin{array}{c}{\bar{E}}_{{𝒟}_q,x}(M^{\prime })={\bar{E}}_{{𝒟}_q,x}(M)\\ {\bar{E}}_{{𝒟}_q,y}(M^{\prime })={\bar{E}}_{{𝒟}_q,y}(M)\\ {\bar{E}}_{{𝒟}_q,z}(M^{\prime })={\bar{E}}_{{𝒟}_q,z}(M)\end{array}\right\}$» ou
           l'application du principe de Curie $\Rightarrow$ de «${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M^{\prime })$ antisymétrique de ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M)$ $\bullet$en décomposant «${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M^{\prime })$ et ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M)$ dans la même base $\left(ℬ\right)$ de $(ℰ)$» selon
           l'application du principe de Curie $\Rightarrow$ de «${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M^{\prime })$ antisymétrique de ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M)$ $\bullet$«$\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M)={\bar{E}}_{{𝒟}_q,x}(M){\overrightarrow{u}}_x+{\bar{E}}_{{𝒟}_q,y}(M){\overrightarrow{u}}_y+{\bar{E}}_{{𝒟}_q,z}(M){\overrightarrow{u}}_z\\ {\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M^{\prime })=-{\bar{E}}_{{𝒟}_q,x}(M^{\prime }){\overrightarrow{u}}_x-{\bar{E}}_{{𝒟}_q,y}(M^{\prime }){\overrightarrow{u}}_y+{\bar{E}}_{{𝒟}_q,z}(M^{\prime }){\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right\}$»,
           l'application du principe de Curie $\Rightarrow$ de «${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M^{\prime })$ antisymétrique de ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M)$ $\bullet$le caractère opposé des composantes sur les vecteurs de la base $\left(ℬ\right)$ $\parallel$ au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$ et
           l'application du principe de Curie $\Rightarrow$ de «${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M^{\prime })$ antisymétrique de ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M)$ $\bullet$l'égalité de celle sur le vecteur de la base $\left(ℬ\right)$ $\perp$ au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$ soit
           l'application du principe de Curie $\Rightarrow$ de «${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M^{\prime })$ antisymétrique de ${\overrightarrow{E}}_{{𝒟}_q}(M)$ $\bullet$«$\left\{\begin{array}{c}{\bar{E}}_{{𝒟}_q,x}(M^{\prime })=-{\bar{E}}_{{𝒟}_q,x}(M)\\ {\bar{E}}_{{𝒟}_q,y}(M^{\prime })=-{\bar{E}}_{{𝒟}_q,y}(M)\\ {\bar{E}}_{{𝒟}_q,z}(M^{\prime })={\bar{E}}_{{𝒟}_q,z}(M)\end{array}\right\}$» ou «$\left\{\begin{array}{c}{\bar{E}}_{{𝒟}_q,x}(x_M,y_M,-z_M)=-{\bar{E}}_{{𝒟}_q,x}(x_M,y_M,z_M)\\ {\bar{E}}_{{𝒟}_q,y}(x_M,y_M,-z_M)=-{\bar{E}}_{{𝒟}_q,y}(x_M,y_M,z_M)\\ {\bar{E}}_{{𝒟}_q,z}(x_M,y_M,-z_M)={\bar{E}}_{{𝒟}_q,z}(x_M,y_M,z_M)\end{array}\right\}$ ».

     Conclusion : L'« invariance par antisymétrie plane de la source scalaire » d'un champ vectoriel polaire $\Rightarrow$ l'« invariance par antisymétrie plane du champ vectoriel polaire », ceci ayant pour conséquence

     Conclusion : $\succ$le champ vectoriel polaire en $M^{\prime }$ $($symétrique plan de $M)$ est l'antisymétrique plan du champ vectoriel polaire en $M$ $\Rightarrow$ même composante perpendiculairement au plan et
     Conclusion : $\succ$le champ vectoriel polaire en $M^{\prime }$ $($symétrique plan de $M)$ est l'antisymétrique plan du champ vectoriel polaire en $M$ $\Rightarrow$ des composantes opposées parallèlement au plan ;

     Conclusion : $\succ$le champ vectoriel polaire en un point$N$du plan d'antisymétrie étant son propre antisymétrique plan, il est$\perp$au plan d'antisymétrie.

Principe de Curie reliant champ vectoriel axial et source vectorielle polaire de ce champ lors d'une invariance par symétrie géométrique plane de la source

     Considérons une source vectorielle polaire d'un champ vectoriel axial de l'espace sur l'exemple suivant :
     soit la « distribution volumique de courants statiques ${𝒟}_{\overrightarrow{j}}$ d'expansion tridimensionnelle $𝒟$ et de densité volumique de courants $\overrightarrow{j}(P),P\in 𝒟$»,
     soit la « source du vecteur axial champ magnétostatique ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M),M\in (ℰ)$» $[(ℰ)$ étant l'espace physique tridimensionnel « orienté à droite » dans lequel les points sont repérés en cartésien
     soit la « source du vecteur axial champ magnétostatique ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M),M\in (ℰ)$» $[$avec choix d'une origine $O$ et d'une base orthonormée directe $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$
     soit la « source du vecteur axial champ magnétostatique ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M),M\in (ℰ)$» $[$avec choix d'une origine $O$ et d'une $($donc suivant la règle de la main droite$\left)\right]$ telle que
     soit « la source vectorielle polaire de densité volumique de courants $\overrightarrow{j}(P),P\in 𝒟$ est invariante par symétrie plane relativement au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$» c'est-à-dire que
     soit « la source vectorielle polaire de densité volumique de courants $\overrightarrow{j}(P),P\in 𝒟$ est invariante par symétrie plane «$\overrightarrow{j}{}^{\prime }(P)=\overrightarrow{j}(P^{\prime })$ avec $\left\{\begin{array}{c}P\stackrel{(𝒮{)}_{\Pi }}{⟶}{P}^{\prime }\\ \overrightarrow{j}()\stackrel{(𝒮{)}_{\Pi }}{⟶}\overrightarrow{j}{}^{\prime }()\end{array}\right\}$ » ou encore,

     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ relativement au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$ étant « orienté à gauche »
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ avec pour choix de base, la symétrique relativement au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$ de la base directe $\left(ℬ\right)=({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ de $\left(ℰ\right)$
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ avec pour choix de base, la symétrique relativement au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$ de la $[$laquelle suit la règle de la main droite$]$,
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ avec pour choix de base, la base $\left({ℬ}^{\prime }\right)=({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z=-{\overrightarrow{u}}_z)$ de $({ℰ}^{\prime })$ est alors indirecte $($au sens de la physique$)$ car
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ avec pour choix de base, la base $\left({ℬ}^{\prime }\right)=({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z=-{\overrightarrow{u}}_z)$ de $({ℰ}^{\prime })$ est alors suivant la règle de la main gauche
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ et choix de la même origine $O$ sur le plan $(\mathrm{\Pi })=\left(xOy\right)$ de symétrie dans les repères cartésiens liés à $(ℰ)$ et à $({ℰ}^{\prime })$,
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ et choix de la même origine $O$ les « coordonnées cartésiennes de $P$ dans le repère lié à $(ℰ)$ étant $(x,y,z)$»,
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ et choix de la même origine $O$ les coordonnées cartés « celles de $P^{\prime }$ dans le même repère lié à $(ℰ)$ sont $(x,y,-z)$»,
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ et choix de la même origine $O$ les « composantes cartésiennes de $\overrightarrow{j}()$ dans le repère lié à $(ℰ)$ étant $\{{\bar{j}}_x(),{\bar{j}}_y(),{\bar{j}}_z()\}$»,
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ et choix de la même origine $O$ les composantes cartés « celles de $\overrightarrow{j}{}^{\prime }()$ dans le même repère lié à $(ℰ)$ sont $\{{\bar{j}}_x(),{\bar{j}}_y(),-{\bar{j}}_z()\}$ et
          l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ et choix de la même origine $O$ les composantes cartés « celles de $\overrightarrow{j}{}^{\prime }()$ dans le repère lié à $({ℰ}^{\prime })$ sont $\{{\bar{j}}_x(),{\bar{j}}_y(),{\bar{j}}_z()\}$ d'où
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ $\bullet$en décomposant «$\overrightarrow{j}(P^{\prime })$ dans la base $\left({ℬ}^{\prime }\right)$» et de «$\overrightarrow{j}{}^{\prime }(P)$ dans la base $\left(ℬ\right)$» selon «$\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{j}{}^{\prime }(P)={\bar{j}}_x(P){\overrightarrow{u}}_x+{\bar{j}}_y(P){\overrightarrow{u}}_y-{\bar{j}}_z(P){\overrightarrow{u}}_z\\ \overrightarrow{j}(P^{\prime })={\bar{j}}_x(P^{\prime }){\overrightarrow{u}}_x+{\bar{j}}_y(P^{\prime }){\overrightarrow{u}}_y+{\bar{j}}_z(P^{\prime }){{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z\end{array}\right\}$»
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ $\bullet$$\Rightarrow$ l'égalité des composantes correspondantes soit «$\left\{\begin{array}{c}{\bar{j}}_x(P^{\prime })={\bar{j}}_x(P)\\ {\bar{j}}_y(P^{\prime })={\bar{j}}_x(P)\\ {\bar{j}}_z(P^{\prime })={\bar{j}}_x(P)\end{array}\right\}$» ou
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ $\bullet$en décomposant «$\overrightarrow{j}(P^{\prime })$ et $\overrightarrow{j}{}^{\prime }(P)$ dans la même base $\left(ℬ\right)$ de $(ℰ)$» selon «$\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{j}{}^{\prime }(P)={\bar{j}}_x(P){\overrightarrow{u}}_x+{\bar{j}}_y(P){\overrightarrow{u}}_y-{\bar{j}}_z(P){\overrightarrow{u}}_z\\ \overrightarrow{j}(P^{\prime })={\bar{j}}_x(P^{\prime }){\overrightarrow{u}}_x+{\bar{j}}_y(P^{\prime }){\overrightarrow{u}}_y+{\bar{j}}_z(P^{\prime }){\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right\}$»
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ $\bullet$$\Rightarrow$ l'égalité des composantes sur les vecteurs de la base $\left(ℬ\right)$ $\parallel$ au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$ et
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ $\bullet$$\Rightarrow$ le caractère opposé de celle sur le vecteur de la base $\left(ℬ\right)$ $\perp$ au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$ soit «$\left\{\begin{array}{c}{\bar{j}}_x(P^{\prime })={\bar{j}}_x(P)\\ {\bar{j}}_y(P^{\prime })={\bar{j}}_x(P)\\ {\bar{j}}_z(P^{\prime })=-{\bar{j}}_z(P)\end{array}\right\}$» s'écrivant encore,
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ $\bullet$$\Rightarrow$ en explicitant les coordonnées de $P^{\prime }$ et $P$, «$\left\{\begin{array}{c}{\bar{j}}_x(x_P,y_P,-z_P)={\bar{j}}_x(x_P,y_P,z_P)\\ {\bar{j}}_y(x_P,y_P,-z_P)={\bar{j}}_y(x_P,y_P,z_P)\\ {\bar{j}}_z(x_P,y_P,-z_P)=-{\bar{j}}_z(x_P,y_P,z_P)\end{array}\right\}$» ;

Schéma en perspective exposant l'utilisation du principe de Curie dans le cas d'une source vectorielle polaire $\overrightarrow{j}(P)$ d'un champ vectoriel axial $\overrightarrow{B}(M)$, la source étant invariante par symétrie plane

     l'application du principe de Curie en tenant compte du fait que le champ vectoriel est axial alors
          l'application du principe de Curie en tenant compte du fait que sa source vectorielle est polaire $\Rightarrow$
           l'application du principe de Curie « le champ vectoriel magnétostatique ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M),M\in (ℰ)$ est
           l'application du principe de Curie « le champ vectoriel invariant par antisymétrie plane par rapport à $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$»
l'application du principe de Curiec'est-à-dire «$M^{\prime }(x_M,y_M,-z_M)$ étant le symétrique de $M(x_M,y_M,z_M)$
l'application du principe de Curiec.-à-d. «$M^{\prime }(x_M,y_M,-z_M)$ étant le symétrique relativement au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$»,
           l'application du principe de Curie « le champ ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M^{\prime })$ est l'antisymétrique du champ ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M)$
           l'application du principe de Curie « le champ ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M^{\prime })$ est l'antisymétrique relativement au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$» ;
           l'application du principe de Curie l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ relativement au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$
           l'application du principe de Curie l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ étant « orienté à gauche »,
           l'application du principe de Curie avec comme base pour repérer ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}()$ en un point de $({ℰ}^{\prime })$,
           l'application du principe de Curie avec comme base l'antisymétrique relativement au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$
           l'application du principe de Curie avec comme base l'antisymétrique de la base directe $\left(ℬ\right)=({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ de $\left(ℰ\right)$
           l'application du principe de Curie avec comme base l'antisymétrique de la $[$laquelle suit la règle de la main droite$]$,
       l'application du principe de Curie avec comme la base $\left({ℬ}^{″}\right)=({{\overrightarrow{u}}^{″}}_x=-{\overrightarrow{u}}_x,{{\overrightarrow{u}}^{″}}_y=-{\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{″}}_z={\overrightarrow{u}}_z)$ de $({ℰ}^{\prime })$
       l'application du principe de Curie avec comme la base $\left({ℬ}^{″}\right)$ étant alors directe $($au sens de la physique$)$ $[$car        l'application du principe de Curie avec comme la base $\left({ℬ}^{″}\right)$ étant alors directe suivant la règle de la main droite$]$ ;
           l'application du principe de Curie de «${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M^{\prime })$ antisymétrique de ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M)$ par rapport au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$» nous en déduisons :
           l'application du principe de Curie de «${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M^{\prime })$ antisymétrique de ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M)$ $\bullet$en décomposant «${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M^{\prime })$ dans la base $\left({ℬ}^{″}\right)$» et «${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M)$ dans la base $\left(ℬ\right)$» selon
           l'application du principe de Curie de «${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M^{\prime })$ antisymétrique de ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M)$ $\bullet$«$\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M)={\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},x}(M){\overrightarrow{u}}_x+{\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},y}(M){\overrightarrow{u}}_y+{\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},z}(M){\overrightarrow{u}}_z\\ {\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M^{\prime })={\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},x}(M^{\prime }){{\overrightarrow{u}}^{″}}_x+{\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},y}(M^{\prime }){{\overrightarrow{u}}^{″}}_y+{\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},z}(M^{\prime }){{\overrightarrow{u}}^{″}}_z\end{array}\right\}$», l'égalité des composantes
           l'application du principe de Curie de «${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M^{\prime })$ antisymétrique de ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M)$ $\bullet$correspondantes soit «$\left\{\begin{array}{c}{\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},x}(M^{\prime })={\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},x}(M)\\ {\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},y}(M^{\prime })={\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},y}(M)\\ {\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},z}(M^{\prime })={\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},z}(M)\end{array}\right\}$» ou
           l'application du principe de Curie de «${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M^{\prime })$ antisymétrique de ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M)$ $\bullet$en décomposant «${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M^{\prime })$ et ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M)$ dans la même base $\left(ℬ\right)$ de $(ℰ)$» selon
           l'application du principe de Curie de «${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M^{\prime })$ antisymétrique de ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M)$ $\bullet$«$\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M)={\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},x}(M){\overrightarrow{u}}_x+{\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},y}(M){\overrightarrow{u}}_y+{\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},z}(M){\overrightarrow{u}}_z\\ {\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M^{\prime })={\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},x}(M^{\prime }){\overrightarrow{u}}_x+{\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},y}(M^{\prime }){\overrightarrow{u}}_y+{\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},z}(M^{\prime }){\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right\}$»,
           l'application du principe de Curie de «${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M^{\prime })$ antisymétrique de ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M)$ $\bullet$l'égalité des composantes sur le vecteur de la base $\left(ℬ\right)$ $\perp$ au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$ et
           l'application du principe de Curie de «${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M^{\prime })$ antisymétrique de ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M)$ $\bullet$le caractère opposé de celles sur les vecteurs de la base $\left(ℬ\right)$ $\parallel$ au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$ soit
           l'application du principe de Curie de «${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M^{\prime })$ antisymétrique de ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M)$ $\bullet$«$\left\{\begin{array}{c}{\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},x}(M^{\prime })=-{\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},x}(M)\\ {\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},y}(M^{\prime })=-{\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},y}(M)\\ {\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},z}(M^{\prime })={\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},z}(M)\end{array}\right\}$» ou «$\left\{\begin{array}{c}{\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},x}(x_M,y_M,-z_M)=-{\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},x}(x_M,y_M,z_M)\\ {\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},y}(x_M,y_M,-z_M)=-{\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},y}(x_M,y_M,z_M)\\ {\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},z}(x_M,y_M,-z_M)={\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},z}(x_M,y_M,z_M)\end{array}\right\}$».

     Conclusion : L'« invariance par symétrie plane de la source vectorielle polaire » d'un champ vectoriel axial $\Rightarrow$ l'« invariance par antisymétrie plane du champ vectoriel axial », ceci ayant pour conséquence

     Conclusion : $\succ$le champ vectoriel axial en $M^{\prime }$ $($symétrique plan de $M)$ est l'antisymétrique plan du champ vectoriel axial en $M$ $\Rightarrow$ mêmes composantes perpendiculairement au plan et
     Conclusion : $\succ$le champ vectoriel axial en $M^{\prime }$ $($symétrique plan de $M)$ est l'antisymétrique plan du champ vectoriel axial en $M$ $\Rightarrow$ des composantes opposées parallèlement au plan ;

     Conclusion : $\succ$le champ vectoriel axial en un point$N$du plan de symétrie de${𝒟}_{\overrightarrow{j}}$ étant son propre antisymétrique plan, il est$\perp$au plan de symétrie de${𝒟}_{\overrightarrow{j}}$.

Principe de Curie reliant champ vectoriel axial et source vectorielle polaire de ce champ lors d'une invariance par antisymétrie plane de la source

     Considérons une source vectorielle polaire d'un champ vectoriel axial de l'espace sur l'exemple suivant :
     soit la « distribution volumique de courants statiques ${𝒟}_{\overrightarrow{j}}$ d'expansion tridimensionnelle $𝒟$ et de densité volumique de courants $\overrightarrow{j}(P),P\in 𝒟$»,
     soit la « source du vecteur axial champ magnétostatique ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M),M\in (ℰ)$» $[(ℰ)$ étant l'espace physique tridimensionnel « orienté à droite » dans lequel les points sont repérés en cartésien
     soit la « source du vecteur axial champ magnétostatique ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M),M\in (ℰ)$» $[$avec choix d'une origine $O$ et d'une base orthonormée directe $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$
     soit la « source du vecteur axial champ magnétostatique ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M),M\in (ℰ)$» $[$avec choix d'une origine $O$ et d'une $($donc suivant la règle de la main droite$\left)\right]$ telle que
     soit « la source vectorielle polaire de densité volumique de courants $\overrightarrow{j}(P),P\in 𝒟$ est invariante par antisymétrie plane relativement au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$» c'est-à-dire que
     soit « la source vectorielle polaire de densité volumique de courants $\overrightarrow{j}(P),P\in 𝒟$ est invariante par antisymétrie plane «$\overrightarrow{j}{}^{″}(P)=\overrightarrow{j}(P^{\prime })$ avec $\left\{\begin{array}{c}P\stackrel{(𝒮{)}_{\mathrm{\Pi }}}{⟶}{P}^{\prime }\\ \overrightarrow{j}()\stackrel{(𝒜{)}_{\mathrm{\Pi }}}{⟶}\overrightarrow{j}{}^{″}()\end{array}\right\}$ » ou encore,

     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ relativement au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$ étant « orienté à gauche »
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ avec pour choix de base, l'antisymétrique relativement au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$ de la base directe $\left(ℬ\right)=({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ de $\left(ℰ\right)$
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ avec pour choix de base, l'antisymétrique relativement au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$ de la $[$laquelle suit la règle de la main droite$]$,
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ avec pour choix de base, la base $\left({ℬ}^{″}\right)=({{\overrightarrow{u}}^{″}}_x=-{\overrightarrow{u}}_x,{{\overrightarrow{u}}^{″}}_y=-{\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{″}}_z={\overrightarrow{u}}_z)$ de $({ℰ}^{\prime })$ est alors directe $($au sens de la physique$)$ car
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ avec pour choix de base, la base $\left({ℬ}^{″}\right)=({{\overrightarrow{u}}^{″}}_x=-{\overrightarrow{u}}_x,{{\overrightarrow{u}}^{″}}_y=-{\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{″}}_z={\overrightarrow{u}}_z)$ de $({ℰ}^{\prime })$ est alors suivant la règle de la main droite
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ et choix de la même origine $O$ sur le plan $(\mathrm{\Pi })=\left(xOy\right)$ de symétrie et d'antisymétrie dans les repères cartésiens liés à $(ℰ)$ et à $({ℰ}^{\prime })$,
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ et choix de la même origine $O$ les « coordonnées cartésiennes de $P$ dans le repère lié à $(ℰ)$ étant $(x,y,z)$»,
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ et choix de la même origine $O$ les coordonnées cartés « celles de $P^{\prime }$ dans le même repère lié à $(ℰ)$ sont $(x,y,-z)$»,
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ et choix de la même origine $O$ les « composantes cartésiennes de $\overrightarrow{j}()$ dans le repère lié à $(ℰ)$ étant $\{{\bar{j}}_x(),{\bar{j}}_y(),{\bar{j}}_z()\}$»,
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ et choix de la même origine $O$ les composantes cartés « celles de $\overrightarrow{j}{}^{″}()$ dans le même repère lié à $(ℰ)$ sont $\{-{\bar{j}}_x(),-{\bar{j}}_y(),{\bar{j}}_z()\}$ et
          l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ et choix de la même origine $O$ les composantes cartés « celles de $\overrightarrow{j}{}^{″}()$ dans le repère lié à $({ℰ}^{\prime })$ sont $\{{\bar{j}}_x(),{\bar{j}}_y(),{\bar{j}}_z()\}$ d'où
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ $\bullet$en décomposant «$\overrightarrow{j}(P^{\prime })$ dans la base $\left({ℬ}^{″}\right)$» et de «$\overrightarrow{j}{}^{″}(P)$ dans la base $\left(ℬ\right)$» selon «$\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{j}{}^{″}(P)=-{\bar{j}}_x(P){\overrightarrow{u}}_x-{\bar{j}}_y(P){\overrightarrow{u}}_y+{\bar{j}}_z(P){\overrightarrow{u}}_z\\ \overrightarrow{j}(P^{\prime })={\bar{j}}_x(P^{\prime }){{\overrightarrow{u}}^{″}}_x+{\bar{j}}_y(P^{\prime }){{\overrightarrow{u}}^{″}}_y+{\bar{j}}_z(P^{\prime }){{\overrightarrow{u}}^{″}}_z\end{array}\right\}$»
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ $\bullet$$\Rightarrow$ l'égalité des composantes correspondantes soit «$\left\{\begin{array}{c}{\bar{j}}_x(P^{\prime })={\bar{j}}_x(P)\\ {\bar{j}}_y(P^{\prime })={\bar{j}}_x(P)\\ {\bar{j}}_z(P^{\prime })={\bar{j}}_x(P)\end{array}\right\}$» ou
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ $\bullet$en décomposant «$\overrightarrow{j}(P^{\prime })$ et $\overrightarrow{j}{}^{″}(P)$ dans la même base $\left(ℬ\right)$ de $(ℰ)$» selon «$\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{j}{}^{″}(P)=-{\bar{j}}_x(P){\overrightarrow{u}}_x-{\bar{j}}_y(P){\overrightarrow{u}}_y+{\bar{j}}_z(P){\overrightarrow{u}}_z\\ \overrightarrow{j}(P^{\prime })={\bar{j}}_x(P^{\prime }){\overrightarrow{u}}_x+{\bar{j}}_y(P^{\prime }){\overrightarrow{u}}_y+{\bar{j}}_z(P^{\prime }){\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right\}$»
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ $\bullet$$\Rightarrow$ le caractère opposé des composantes sur les vecteurs de la base $\left(ℬ\right)$ $\parallel$ au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$ et
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ $\bullet$$\Rightarrow$ l'égalité de celle sur le vecteur de la base $\left(ℬ\right)$ $\perp$ au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$ soit «$\left\{\begin{array}{c}{\bar{j}}_x(P^{\prime })=-{\bar{j}}_x(P)\\ {\bar{j}}_y(P^{\prime })=-{\bar{j}}_x(P)\\ {\bar{j}}_z(P^{\prime })={\bar{j}}_z(P)\end{array}\right\}$» s'écrivant encore,
     l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ $\bullet$$\Rightarrow$ en explicitant les coordonnées de $P^{\prime }$ et $P$, «$\left\{\begin{array}{c}{\bar{j}}_x(x_P,y_P,-z_P)=-{\bar{j}}_x(x_P,y_P,z_P)\\ {\bar{j}}_y(x_P,y_P,-z_P)=-{\bar{j}}_y(x_P,y_P,z_P)\\ {\bar{j}}_z(x_P,y_P,-z_P)={\bar{j}}_z(x_P,y_P,z_P)\end{array}\right\}$» ;

Schéma en perspective exposant l'utilisation du principe de Curie dans le cas d'une source vectorielle polaire $\overrightarrow{j}(P)$ d'un champ vectoriel axial $\overrightarrow{B}(M)$, la source étant invariante par antisymétrie plane

     l'application du principe de Curie en tenant compte du fait que le champ vectoriel est axial alors
           l'application du principe de Curie en tenant compte du fait que sa source vectorielle est polaire $\Rightarrow$
           l'application du principe de Curie « le champ vectoriel magnétostatique ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M),M\in (ℰ)$ est
           l'application du principe de Curie « le champ vectoriel invariant par symétrie plane relativement à $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$»
l'application du principe de Curiec'est-à-dire «$M^{\prime }(x_M,y_M,-z_M)$ étant le symétrique de $M(x_M,y_M,z_M)$
l'application du principe de Curiec.-à-d. «$M^{\prime }(x_M,y_M,-z_M)$ étant le symétrique relativement au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$»,
           l'application du principe de Curie « le champ ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M^{\prime })$ est le symétrique du champ ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M)$
           l'application du principe de Curie « le champ ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M^{\prime })$ est l'antisymétrique relativement au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$» ;
           l'application du principe de Curie l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ relativement au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$
           l'application du principe de Curie l'espace $({ℰ}^{\prime })$ symétrique de l'espace $(ℰ)$ étant « orienté à gauche »,
           l'application du principe de Curie avec comme base pour repérer ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}()$ en un point de $({ℰ}^{\prime })$,
           l'application du principe de Curie avec comme base la symétrique relativement au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$
           l'application du principe de Curie avec comme base la symétrique de la base directe $\left(ℬ\right)=({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$ de $\left(ℰ\right)$
           l'application du principe de Curie avec comme base la symétrique de la $[$laquelle suit la règle de la main droite$]$,
       l'application du principe de Curie avec comme la base $\left({ℬ}^{\prime }\right)=({{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x={\overrightarrow{u}}_x,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y={\overrightarrow{u}}_y,{{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z=-{\overrightarrow{u}}_z)$ de $({ℰ}^{\prime })$
       l'application du principe de Curie avec comme la base $\left({ℬ}^{\prime }\right)$ étant alors indirecte $($au sens de la physique$)$ $[$car        l'application du principe de Curie avec comme la base $\left({ℬ}^{\prime }\right)$ étant alors indirecte suivant la règle de la main gauche$]$ ;
           l'application du principe de Curie de «${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M^{\prime })$ symétrique de ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M)$ par rapport au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$» nous en déduisons :
           l'application du principe de Curie de «${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M^{\prime })$ symétrique de ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M)$ $\bullet$en décomposant «${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M^{\prime })$ dans la base $\left({ℬ}^{\prime }\right)$» et «${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M)$ dans la base $\left(ℬ\right)$» selon
           l'application du principe de Curie de «${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M^{\prime })$ symétrique de ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M)$ $\bullet$«$\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M)={\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},x}(M){\overrightarrow{u}}_x+{\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},y}(M){\overrightarrow{u}}_y+{\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},z}(M){\overrightarrow{u}}_z\\ {\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M^{\prime })={\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},x}(M^{\prime }){{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_x+{\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},y}(M^{\prime }){{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_y+{\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},z}(M^{\prime }){{\overrightarrow{u}}^{\prime }}_z\end{array}\right\}$», l'égalité des composantes
           l'application du principe de Curie de «${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M^{\prime })$ symétrique de ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M)$ $\bullet$correspondantes soit «$\left\{\begin{array}{c}{\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},x}(M^{\prime })={\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},x}(M)\\ {\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},y}(M^{\prime })={\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},y}(M)\\ {\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},z}(M^{\prime })={\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},z}(M)\end{array}\right\}$» ou
           l'application du principe de Curie de «${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M^{\prime })$ symétrique de ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M)$ $\bullet$en décomposant «${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M^{\prime })$ et ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M)$ dans la même base $\left(ℬ\right)$ de $(ℰ)$» selon
           l'application du principe de Curie de «${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M^{\prime })$ symétrique de ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M)$ $\bullet$«$\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M)={\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},x}(M){\overrightarrow{u}}_x+{\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},y}(M){\overrightarrow{u}}_y+{\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},z}(M){\overrightarrow{u}}_z\\ {\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M^{\prime })={\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},x}(M^{\prime }){\overrightarrow{u}}_x+{\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},y}(M^{\prime }){\overrightarrow{u}}_y+{\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},z}(M^{\prime }){\overrightarrow{u}}_z\end{array}\right\}$»,
           l'application du principe de Curie de «${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M^{\prime })$ symétrique de ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M)$ $\bullet$l'égalité des composantes sur les vecteurs de la base $\left(ℬ\right)$ $\parallel$ au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$ et
           l'application du principe de Curie de «${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M^{\prime })$ symétrique de ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M)$ $\bullet$le caractère opposé de celles sur le vecteur de la base $\left(ℬ\right)$ $\perp$ au plan $\left(\mathrm{\Pi }\right)=\left(xOy\right)$ soit
           l'application du principe de Curie de «${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M^{\prime })$ symétrique de ${\overrightarrow{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}}}(M)$ $\bullet$«$\left\{\begin{array}{c}{\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},x}(M^{\prime })={\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},x}(M)\\ {\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},y}(M^{\prime })={\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},y}(M)\\ {\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},z}(M^{\prime })=-{\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},z}(M)\end{array}\right\}$» ou «$\left\{\begin{array}{c}{\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},x}(x_M,y_M,-z_M)={\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},x}(x_M,y_M,z_M)\\ {\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},y}(x_M,y_M,-z_M)={\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},y}(x_M,y_M,z_M)\\ {\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},z}(x_M,y_M,-z_M)=-{\bar{B}}_{{𝒟}_{\overrightarrow{j}},z}(x_M,y_M,z_M)\end{array}\right\}$».

     Conclusion : L'« invariance par antisymétrie plane de la source vectorielle polaire » d'un champ vectoriel axial $\Rightarrow$ l'« invariance par symétrie plane du champ vectoriel axial », ceci ayant pour conséquence

     Conclusion : $\succ$le champ vectoriel axial en $M^{\prime }$ $($symétrique plan de $M)$ est le symétrique plan du champ vectoriel axial en $M$ $\Rightarrow$ mêmes composantes parallèlement au plan et
     Conclusion : $\succ$le champ vectoriel axial en $M^{\prime }$ $($symétrique plan de $M)$ est le symétrique plan du champ vectoriel axial en $M$ $\Rightarrow$ des composantes opposées perpendiculairement au plan ;

     Conclusion : $\succ$le champ vectoriel axial en un point$N$du plan d'antisymétrie de${𝒟}_{\overrightarrow{j}}$ étant son propre symétrique plan, il est contenu dans le plan d'antisymétrie de${𝒟}_{\overrightarrow{j}}$.

Commentaires

     $\succ$Le cas de l'invariance par symétrie ou antisymétrie axiales relativement à un axe $\left(\mathrm{\Delta }\right)$ d'une source scalaire ou vectorielle polaire d'un champ vectoriel défini sur un espace bidimensionnel plan $\left(ℰ\right)$ $[\left(\mathrm{\Delta }\right)\in \left(ℰ\right)]$,
     $\succ$Le cas de l'invariance par symétrie ou antisymétrie axiales relativement à un axe $\left(\Delta \right)$ d'une source scalaire ou vectorielle polaire n'est pas traité car il est à considérer comme le cas projeté orthogonal de l'invariance par
     $\succ$Le cas de l'invariance par symétrie ou antisymétrie axiales relativement à un axe $\left(\Delta \right)$ d'une source scalaire ou vectorielle polaire n'est pas traité car symétrie ou antisymétrie planes relativement à un plan $\left(\Pi \right)$ de la même
     $\succ$Le cas de l'invariance par symétrie ou antisymétrie axiales relativement à un axe $\left(\Delta \right)$ d'une source scalaire ou vectorielle polaire n'est pas traité car source scalaire ou vectorielle polaire du même champ vectoriel mais
     $\succ$Le cas de l'invariance par symétrie ou antisymétrie axiales relativement à un axe $\left(\Delta \right)$ d'une source scalaire ou vectorielle polaire n'est pas traité car défini sur un espace tridimensionnel $\left({ℰ}_3\right)$ $[$avec $\left(\mathrm{\Delta }\right)=\left(ℰ\right)\cap \left(\mathrm{\Pi }\right)$,
     $\succ$Le cas de l'invariance par symétrie ou antisymétrie axiales relativement à un axe $\left(\Delta \right)$ d'une source scalaire ou vectorielle polaire n'est pas traité car défini sur un espace tridimensionnel $\left(ℰ\right)$ et $\left(\Pi \right)$ étant $\perp$ entre eux$]$.

     $\succ$Seuls les liens les plus fréquents entre source et champ ont été envisagés, il en existe d'autres non traités car pouvant être considérés comme des liens composés de ceux évoqués ci-dessus, par exemple :

     $\succ$$\bullet$source scalaire d'un champ scalaire de l'espace $($souvent un simple lien de proportionnalité$)$ $\Rightarrow$ invariance identique ;

     $\succ$$\bullet$source scalaire d'un champ vectoriel axial de l'espace à considérer comme composé de la source scalaire d'un champ vectoriel polaire, lequel est source vectorielle polaire du champ vectoriel axial,
     $\succ$$\bullet$$▸$invariance par symétrie plane de la source scalaire $\Rightarrow$ invariance par symétrie plane du champ vectoriel polaire intermédiaire $\Rightarrow$ invariance par antisymétrie plane du champ vectoriel polaire,
     $\succ$$\bullet$$▸$invariance par antisymétrie plane de la source scalaire $\Rightarrow$ invariance par antisymétrie plane du champ vectoriel polaire intermédiaire $\Rightarrow$ invariance par symétrie plane du champ vectoriel polaire ;

     $\succ$$\bullet$source vectorielle polaire d'un champ vectoriel polaire de l'espace $($souvent un simple lien de proportionnalité$)$ $\Rightarrow$ invariance identique ;

     $\succ$$\bullet$source vectorielle axiale d'un champ vectoriel axial de l'espace $($souvent un simple lien de proportionnalité$)$ $\Rightarrow$ invariance identique.